Уникальный домен факторизации

В математике, уникальный домен факторизации (UFD ) (также иногда называемое факториальным кольцом в соответствии с терминологией Бурбаки ) - это кольцо, в котором утверждение, аналогичное основной теореме арифметики держится. В частности, UFD - это область целостности (нетривиальное коммутативное кольцо, в котором произведение любых двух ненулевых элементов не равно нулю), в которой каждый ненулевой не- unit элемент может быть записан как произведение простых элементов (или неприводимых элементов ), однозначно с точностью до порядка и единиц.

Важными примерами UFD являются целые числа и кольца полиномов в одной или нескольких переменных с коэффициентами, получаемыми из целых чисел или из поля .

Уникальные домены факторизации появляются в следующих цепочка включений классов :

rngs ⊃ колец ⊃ коммутативных колец ⊃ целостных областей ⊃ интегрально замкнутых областей ⊃ GCD доменов ⊃ уникальных факторизационных областей ⊃ главных идеальных областей ⊃ Евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

• 1 Определение
• 2 Примеры
  • 2.1 Непримеры
• 3 Свойства
• 4 Эквивалентные условия для того, чтобы кольцо было a UFD
• 5 См. также
• 6 Ссылки

Формально уникальная область факторизации определяется как область целостности R, в которой каждый ненулевой элемент x R может быть записан как произведение (пустой продукт, если x является единицей) неприводимых элементов piR и единицы u:

x = up 1p2⋅⋅⋅ p n с n ≥ 0

и это представляет ion уникален в следующем смысле: если q 1,..., q m - неприводимые элементы R и w - единица, такая что

x = wq 1q2⋅⋅⋅ q m с m ≥ 0,

, тогда m = n, и существует биективное отображение φ: {1,..., n} → { 1,..., m} такое, что p i связано с q φ (i) для i ∈ {1,..., n}.

Часть уникальности обычно трудно проверить, поэтому полезно следующее эквивалентное определение:

Уникальная область факторизации - это область целостности R, в которой каждый ненулевой элемент может быть записан как произведение единицы и простых элементов из R.

Большинство колец, знакомых из элементарной математики, являются UFD:

• Все области главных идеалов, следовательно, все Евклидовы домены, являются UFD. В частности, целые числа (см. Также фундаментальную теорему арифметики ), целые числа Гаусса и целые числа Эйзенштейна являются UFD.
• Если R - UFD, то R [X], кольцо многочленов с коэффициентами из R. Если R не является полем, то R [X] не является областью главных идеалов. По индукции кольцо полиномов от любого числа переменных по любому UFD (и, в частности, по полю или по целым числам) является UFD.
• Формальный степенной ряд кольцо K [[[ X 1,..., X n ]] над полем K (или, в более общем смысле, над обычным UFD, таким как PID), является UFD. С другой стороны, кольцо формальных степенных рядов над UFD не обязательно должно быть UFD, даже если UFD является локальным. Например, если R является локализацией k [x, y, z] / (x + y + z) в первичном идеале (x, y, z), то R является локальным кольцом, которое является UFD, но кольцо формальных степенных рядов R [[X]] над R не является UFD.
• Теорема Ауслендера – Буксбаума утверждает, что каждое регулярное локальное кольцо - это UFD.
• $Z\; [e\; 2\; \pi \; in]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\; \{n\}\}]\}$- UFD для всех целых чисел 1 ≤ n ≤ 22, но не для n = 23.

• Мори показал, что если завершение кольца Зарисского, такого как нётерово локальное кольцо, является UFD, тогда кольцо - UFD. Обратное неверно: существуют нётеровы локальные кольца, которые являются UFD, но чьи пополнения - нет. Вопрос, когда это происходит, довольно тонкий: например, для локализации k [x, y, z] / (x + y + z) в простом идеале (x, y, z), и локальное кольцо, и его пополнение являются UFD, но в явно похожем примере локализации k [x, y, z] / (x + y + z) на первичном идеале (x, y, z) локальный кольцо является UFD, но его завершение - нет.
• Пусть $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$будет полем любой характеристики, кроме 2. Кляйн и Нагата показали, что кольцо R [X 1,..., X n ] / Q является UFD всякий раз, когда Q является невырожденной квадратичной формой в X и n не меньше 5. Когда n = 4 кольцо не обязательно должно быть УФД. Например, $R\; [X,\; Y,\; Z,\; W]\; /\; (XY\; -\; ZW)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [X,\; Y,\; Z,\; W]\; /\; (XY-ZW)\}$не является UFD, потому что элемент $XY\; \{\backslash \; displaystyle\; XY\}$равен элементу $ZW\; \{\backslash \; displaystyle\; ZW\}$, так что $XY\; \{\backslash \; displaystyle\; XY\}$и $ZW\; \{\backslash \; displaystyle\; ZW\}$- две разные факторизации одного и того же элемента в неприводимые.
• Кольцо Q [x, y] / (x + 2y + 1) является UFD, но кольцо Q (i) [x, y] / (x + 2y + 1) - нет. С другой стороны, кольцо Q [x, y] / (x + y - 1) не является UFD, но кольцо Q (i) [x, y] / (x + y - 1) является (Самуэль 1964, стр.35). Точно так же координатное кольцо R[X, Y, Z] / (X + Y + Z - 1) двумерной реальной сферы является UFD, но координатное кольцо C [X, Y, Z] / (X + Y + Z - 1) комплексной сферы не является.
• Предположим, что переменным X i заданы веса w i, и F (X 1,..., X n) является однородным многочленом веса w. Тогда, если c взаимно прост с w и R является UFD и либо любой конечно порожденный проективный модуль над R свободен, либо c равно 1 mod w, кольцо R [X 1,..., X n, Z] / (Z - F (X 1,..., X n)) является UFD (Samuel 1964, p.31).

Непримеры

• Квадратичное целочисленное кольцо $Z\; [-\; 5]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\{\backslash \; sqrt\; \{-5\}\}]\}$всех комплексных чисел формы $a\; +\; b\; -\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; b\; \{\backslash \; sqrt\; \{-5\}\}\}$, где a и b - целые числа, не является UFD, потому что 6 множителей как 2 × 3 и как $(1\; +\; -\; 5)\; (1\; -\; -\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{-5\; \}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{-5\}\}\; \backslash \; right)\}$. Это действительно разные факторизации, потому что единственные единицы в этом кольце - 1 и -1; таким образом, ни одно из 2, 3, $1\; +\; -\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{-5\}\}\}$и $1\; -\; -\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{-5\}\}\}$являются ассоциированным. Нетрудно показать, что все четыре фактора также несводимы, хотя это может быть неочевидным. См. Также алгебраическое целое число.
• . Для положительного целого числа d без квадратов, кольцо целых чисел из $Q\; [-\; d]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{\; Q\}\; [\{\backslash \; sqrt\; \{-d\}\}]\}$не может быть UFD, если d не является числом Хегнера.
• Кольцо формальных степенных рядов над комплексными числами является UFD, но подкольцо из тех, которые сходятся повсюду, другими словами, кольцо целых функций в одной комплексной переменной, не является UFD, поскольку существуют целые функции с бесконечным числом нулей, и, следовательно, бесконечность неприводимых множителей, в то время как факторизация UFD должна быть конечной, например:

$sin\; \; \pi \; z\; =\; \pi \; z\; \prod \; n\; =\; 1\; \infty \; (1\; -\; z\; 2\; n\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \backslash \; pi\; z\; =\; \backslash \; pi\; z\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\{z\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; over\; \{n\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right).\}$

Некоторые концепции, определенные для целых чисел, могут быть обобщены на UFD:

• В UFD каждый неприводимый элемент является простым. (В любой области целостности каждый простой элемент неприводим, но обратное не всегда верно. Например, элемент $z\; \in \; K\; [x,\; y,\; z]\; /\; (z\; 2\; -\; xy)\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; in\; K\; [x,\; y,\; z]\; /\; (z\; ^\; \{2\}\; -xy)\}$является неприводимым, но не простым.) Обратите внимание, что это имеет частичное обратное: область, удовлетворяющая ACCP является UFD тогда и только тогда, когда каждый неприводимый элемент является простым.
• Любые два элемента UFD имеют наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Здесь наибольший общий делитель a и b - это элемент d, который делит как a, так и b, и такой, что любой другой общий делитель a и b делит d. Все наибольшие общие делители a и b связаны.
• Любой UFD целозамкнутый. Другими словами, если R является UFD с полем частного K, и если элемент k в K является корнем из монического многочлена с коэффициентов в R, тогда k является элементом R.
• Пусть S будет мультипликативно замкнутым подмножеством UFD A. Тогда локализация $S\; -\; 1\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{-\; 1\}\; A\}$- UFD. Также имеет место частичное обратное этому; см. ниже.

A Нётерова область целостности является UFD тогда и только тогда, когда каждый height 1 простой идеал является главным (доказательство приводится в конце). Кроме того, домен Дедекинда является UFD тогда и только тогда, когда его группа идеальных классов тривиальна. В данном случае это фактически область главных идеалов.

В общем, следующие условия области целостности A эквивалентны:

1. A является UFD.
2. Любое ненулевое простой идеал в A содержит простой элемент. (Каплански )
3. A удовлетворяет условию возрастающей цепочки на главных идеалах (ACCP), а локализация SA является UFD, где S - мультипликативно замкнутое подмножество из A, порожденного простыми элементами. (Критерий Нагаты)
4. A удовлетворяет ACCP, и каждый неприводимый является простым.
5. A равен атомарный и каждый неприводимый является простым.
6. A является доменом GCD (т. е. любые два элемента имеют наибольший общий делитель), удовлетворяющим (ACCP).
7. A - это домен Шрайера, а атомарный.
8. A - пре-шрайерский домен и атомарный.
9. A имеет в которой каждый делитель является главным.
10. A - это область Крулля, в которой каждый дивизориальный идеал является главным (фактически, это определение UFD в Бурбаки.)
11. A является областью Крулля, и каждый простой идеал высоты 1 является главным.

На практике (2) и (3) являются наиболее полезными условиями для проверки. Например, это сразу следует из (2) что PID - это UFD, поскольку каждый простой идеал порождается простым элементом в PID.

В качестве другого примера рассмотрим нётерову область целостности, в которой на каждой высоте один простой идеал является главным. Поскольку каждый первичный идеал имеет конечную высоту, он содержит один первичный идеал высоты (индукция по высоте), который является главным. По (2) кольцо является УФД.

• Парафакторное локальное кольцо

• N. Бурбаки. Коммутативная алгебра.
• Б. Хартли ; T.O. Хоукс (1970). Кольца, модули и линейная алгебра. Чепмен и Холл. ISBN 0-412-09810-5.Гл. 4.
• Глава II.5 из Лэнг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Чтение, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
• Дэвид Шарп (1987). Кольца и факторизация. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-33718-6.
• Сэмюэл, Пьер (1964), Мурти, М. Павман (редактор), Лекции по уникальным областям факторизации, Институт фундаментальных исследований Тата Лекции по математике, 30, Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата, MR 0214579
• Самуэль, Пьер (1968). «Уникальная факторизация». Американский математический ежемесячник. 75: 945–952. DOI : 10.2307 / 2315529. ISSN 0002-9890.