Квадратный корень из 3 - это положительное действительное число, которое при умножении на себя дает число 3. Математически он обозначается как √3 . Его более точно называют главным квадратным корнем из 3, чтобы отличить его от отрицательного числа с таким же свойством. квадратный корень из 3 - это иррациональное число. Она также известна как константа Теодора в честь Теодора из Кирены, который доказал ее иррациональность.
По состоянию на декабрь 2013 г. его числовое значение в десятичной системе счисления составляло не менее десяти миллиардов цифр. Его десятичное расширение, записанное здесь до 65 знаков после запятой, задается как OEIS : A002194 :
Двоичное | 1.10111011011001111010… |
Десятичное | 1.7320508075688772935… |
Шестнадцатеричное | 1.BB67AE8584CAA73B… |
Непрерывная дробь |
Дробь 97/56 (1,732142857...) может использоваться в качестве приближения. Несмотря на то, что знаменатель равен всего 56, он отличается от правильного значения менее чем на 1/10 000 (приблизительно 9,2 × 10). Округленное значение 1,732 верно с точностью до 0,01% от фактического значения.
Архимед сообщил диапазон для своего значения: (1351/780).>3>(265/153). ; нижний предел с точностью до 1/608400 (шесть десятичных знаков) и верхний предел до 2/23409 (четыре десятичных знака).
Это может быть выражено как непрерывная дробь [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1,…] (последовательность A040001 в OEIS ).
Правильно сказать:
тогда, когда :
Его также можно выразить с помощью обобщенных цепных дробей, например
который равен [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1,…] оценивается в каждом втором семестре.
Следующие вложенные квадратные выражения сходятся к √3:
Это доказательство иррациональности √3 использует метод Ферма бесконечного спуска :
Предположим, что √3 рационально, и выразить его в наименьшем возможном выражении (например, как полностью уменьшенную дробь ) как m / n для натуральных чисел m и n.
Следовательно, умножение на 1 даст равное выражение:
где q - наибольшее целое число, меньшее √3. Обратите внимание, что числитель и знаменатель были умножены на число меньше 1.
Таким образом, а также умножив числитель и знаменатель, мы получаем:
Отсюда следует, что m можно заменить на √3n:
Тогда √ 3 также можно заменить на m / n в знаменателе:
Квадрат √3 можно заменить на 3. Когда m / n умножается на n, их произведение равно m:
Тогда √3 может быть выражено меньшим числом, чем m / n (поскольку на первом этапе уменьшились размеры числителя и знаменателя, и последующие шаги не изменили их) как 3n - mq / m - nq, что противоречит гипотезе о том, что m / n было в наименьших значениях
Альтернативным доказательством этого является предположение, что √3 = m / n, где m / n является полностью уменьшенной дробью :
Умножение на n обоих членов и последующее возведение обоих в квадрат дает
Так как левая часть делится на 3, то же самое и с правой частью, требуя, чтобы m делилось на 3. Тогда m можно выразить как 3k :
Следовательно, разделив оба члена на 3 дает:
Поскольку правая часть делится на 3, то и левая часть делится на 3, а значит, и n. Таким образом, поскольку и n, и m делятся на 3, у них есть общий множитель, и m / n не является полностью уменьшенной дробью, что противоречит исходной посылке.
квадратный корень из 3 может быть найден как длина отрезка равностороннего треугольника, охватывающего круг диаметром 1.
Если равносторонний треугольник со сторонами длина 1 разрезается на две равные половины путем деления пополам внутреннего угла, чтобы получился прямой угол с одной стороной, гипотенуза прямоугольного треугольника равна единице, а стороны имеют длину 1/2 и √3 / 2. Отсюда тангенс тригонометрической функции 60 ° равен √3, а синус 60 ° и косинус 30 ° равны √3 / 2.
Квадратный корень из 3 также появляется в алгебраических выражениях для различных других тригонометрических констант, включая синусы 3 °, 12 °, 15 °, 21 °, 24 °, 33 °, 39 °, 48 °, 51 °, 57 °, 66 °, 69 °, 75 °, 78 °, 84 ° и 87 °.
Это расстояние между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами длиной 1. На комплексной плоскости это расстояние выражается как i√3 упомянутое ниже.
Это длина диагонали пространства единицы куб.
vesica piscis имеет отношение большой оси к малой оси, равное 1 : √3, это можно показать, построив внутри него два равносторонних треугольника.
Умножение из √3 на мнимую единицу дает квадратный корень из -3, мнимой номер. Точнее,
(см. квадратный корень из отрицательных чисел ). Это целое число Эйзенштейна. А именно, он выражается как разница между двумя нереальными кубическими корнями из 1 (которые являются целыми числами Эйзенштейна).
В энергетике напряжение между двумя фазами в трехфазной системе равно √3-кратное напряжение между фазой и нейтралью. Это связано с тем, что любые две фазы расположены на расстоянии 120 ° друг от друга, а две точки на окружности, разнесенные на 120 градусов, разделены на √3 радиуса (см. примеры геометрии выше).
На Викискладе есть материалы, связанные с Квадратный корень из 3. |