Войти
 . (Анимация) | |||
| |||
  . Ортогональные проекции, похожие на золотые ромбоэдры | |||
  . Другие ортогональные проекции | |||
  . Пары золотых ромбоэдров. (Анимации) |
В геометрии Додекаэдр Билинского представляет собой 12-гранный выпуклый многогранник с конгруэнтными ромбическими гранями. Он имеет ту же топологию, но другую геометрию, чем гранно-транзитивный ромбический додекаэдр.
Эта форма появляется в книге 1752 года Джона Лоджа Коули, обозначенной как dodecarhombus . Он назван в честь Станко Билински, который заново открыл его в 1960 году. Сам Билински назвал его ромбическим додекаэдром второго рода . Открытие Билински исправило упущение 75-летней давности в классификации Евграфа Федорова выпуклых многогранников с конгруэнтными ромбическими гранями.
| степень | цвет | координаты | |
|---|---|---|---|
| 3 | красный | (0, ± 1, ± 1) |  |
| зеленый | (± φ, 0, ± φ) | ||
| 4 | синий | (± φ, ± 1, 0) | |
| черный | (0, 0, ± φ) | ||
Как и его каталонский двойник, додекаэдр Билинского имеет восемь вершин степени 3 и шесть степени 4. Но из-за своей разной симметрии он имеет четыре разных типа вершин: две на вертикальной оси и четыре в каждой осевой плоскости.
Его грани представляют собой 12 золотых ромбов трех разных видов: 2 с чередующимися синими и красными вершинами (спереди и сзади), 2 с чередующимися синими и зелеными вершинами (слева и справа) и 8 со всеми четырьмя видами вершин.
Группа симметрии этого тела такая же, как у прямоугольного кубоида : D 2h. Он состоит из восьми элементов и является подгруппой октаэдрической симметрии. Три осевые плоскости также являются плоскостями симметрии этого твердого тела.
В статье 1962 года H. С. М. Коксетер утверждал, что додекаэдр Билински может быть получен с помощью аффинного преобразования из ромбического додекаэдра, но это неверно. Ведь в додекаэдре Билински диагональ длинного тела параллельна коротким диагоналям двух граней и длинным диагоналям двух других граней. В ромбическом додекаэдре соответствующая диагональ тела параллельна четырем диагоналям коротких граней, и при любом аффинном преобразовании ромбического додекаэдра эта диагональ тела будет оставаться параллельной четырем диагоналям граней равной длины. Еще одно различие между двумя додекаэдрами состоит в том, что в ромбическом додекаэдре все диагонали тела, соединяющие противоположные вершины четвертой степени, параллельны диагоналям граней, тогда как в додекаэдре Билински более короткие диагонали тела этого типа не имеют параллельных диагоналей граней.>
Как зоноэдр, додекаэдр Билински можно рассматривать с 4 наборами из 6 параллельных ребер. Стягивание любого набора из 6 параллельных ребер до нулевой длины дает золотые ромбоэдры. Додекаэдр Билинского может быть образован из ромбического триаконтаэдра (другого зоноэдра с тридцатью золотыми ромбическими гранями) путем удаления или сжатия двух зон или поясов. из десяти и восьми золотых ромбических граней с параллельными краями. Удаление только одной зоны из десяти граней дает ромбический икосаэдр. Удаление трех зон по десять, восемь и шесть граней дает золотые ромбоэдры. Додекаэдр Билинского можно разрезать на четыре золотых ромбоэдра, по два каждого типа.
Вершины этих зоноэдров могут быть вычислены с помощью линейных комбинаций от 3 до 6 векторов. пояс mnозначает пояс, представляющий n направленных векторов и содержащий (не более) m копараллельных конгруэнтных ребер. Додекаэдр Билинского имеет 4 пояса по 6 параллельных ребер.
Эти зоноэдры представляют собой проекционные оболочки гиперкубов с n-мерным основанием проекции, с золотым сечением, φ. Конкретный базис для n = 6:
Для n = 5 базис такой же, с удалением 6-го столбца. При n = 4 удаляются 5-й и 6-й столбцы.
| Твердое имя | Триаконтаэдр | Икосаэдр | Додекаэдр | Гексаэдр | Ромб |
|---|---|---|---|---|---|
| Полная. симметрия | Ih. Заказать 120 | D5d. Заказать 20 | D2h. Заказ 8 | D3d. Заказ 12 | Dih 2. Заказ 4 |
| (2 (n-1)) nРемни | 106 | 85 | 64 | 43 | 22 |
| n (n-1) Грани | 30 | 20. (−10) | 12. (−8) | 6. (−6) | 2. (−4) |
| 2n (n-1) Ребра | 60 | 40. (−20) | 24. (−16) | 12. (−12) | 4. (−8) |
| n (n-1) +2 Вершины | 32 | 22. (−10) | 14. (−8) | 8. (−6) | 4. (−4) |
| Сплошное изображение |  |  |  |   |  |
| Изображение с параллельными краями |  |  |  | ||
| Рассечение | 10 + 10  | 5 + 5 | 2 + 2 | ||
| Проективный. многогранник | 6-куб | 5-куб | 4-куб | 3-куб | 2-куб |
| Проективный. n-cube image |  |  |  |
.gif){kind=link}
