Последовательное пространство

A топологического пространства, которое может быть охарактеризовано в терминах последовательностей

В топологии и связанных областях математики, последовательное пространство - это топологическое пространство, которое удовлетворяет очень слабой аксиоме счетности.

В любом топологическое пространство (X, τ), каждое открытое подмножество S имеет следующее свойство: если последовательность x • = (x i). i = 1 в X сходится к некоторой точке в S, тогда последовательность в конечном итоге будет полностью в S (т.е. существует целое число N такое, что x N, x N + 1,... все принадлежат S). (Любое множество с этим свойством называется последовательно открытым, независимо от того, открыто оно в (X, τ) или нет). Однако возможно, что существует подмножество S, которое обладает этим свойством, но не может быть открытым подмножеством X. Последовательные пространства - это именно те топологические пространства, в которых подмножество с этим свойством никогда не перестает работать п. Последовательные пространства можно рассматривать как именно те пространства X, где для любого отдельного данного подмножества S ⊆ X знание того, какие последовательности в X сходятся к какой точке (точкам) X (а какие нет), достаточно, чтобы определить, действительно ли S замкнуто в X. Таким образом, последовательные пространства - это те пространства X, для которых последовательности в X могут использоваться в качестве «теста», чтобы определить, открыто ли какое-либо данное подмножество (или, что эквивалентно, замкнуто) в X; или, иначе говоря, секвенциальные пространства - это те пространства, топологии которых можно полностью охарактеризовать с точки зрения сходимости последовательностей. В любом непоследовательном пространстве существует подмножество, для которого этот "тест" дает "ложное срабатывание."

. В качестве альтернативы, последовательность (X, τ), являющаяся последовательной, означает, что его топология τ, если она" забыта ", может быть полностью реконструирован с использованием только последовательностей, если имеется вся возможная информация о сходимости (или несходимости) последовательностей в (X, τ) и не более . Однако, как и все топологии, любая топология, которая не могут быть описаны полностью в терминах последовательностей, тем не менее могут быть описаны полностью в терминах сетей (также известных как последовательности Мура – ​​Смита) или, альтернативно, в терминах фильтров. Все Пространства с первым счетом, включающие метрические пространства, являются последовательными пространствами.

Существуют и другие классы топологических пространств, такие как пространства Фреше – Урысона, T-последовательные пространства и N-последовательные пространства, которые также определяются с точки зрения того, как топология пространства взаимодействует с последовательностями. Их определения отличаются от определений s Эквенциальные пространства только тонкими (но важными) способами, и часто (изначально) удивительно, что последовательное пространство не обязательно обладает свойствами Фреше – Урысона, T-секвенциального или N-секвенциального пространства.

Последовательные пробелы и N-последовательные пробелы были введены С. П. Франклин.

• 1 История
• 2 Определения
  • 2.1 Предварительные сведения
  • 2.2 Последовательное замыкание / внутреннее
  • 2.3 Последовательно открытые / закрытые множества
  • 2.4 Последовательные пробелы
  • 2,5 T -последовательные и N-последовательные пространства
  • 2.6 Пространства Фреше – Урысона
• 3 Топология последовательно открытых множеств
  • 3.1 Свойства топологии последовательно открытых множеств
• 4 Достаточные условия
• 5 Примеры
  • 5.1 Последовательные пробелы, не являющиеся пробелами Фреше – Урысона
  • 5.2 Примеры непоследовательных пробелов
• 6 Категориальные свойства
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Библиография

Хотя пространства, удовлетворяющие таким свойствам, неявно изучались в течение нескольких лет, первое формальное определение было первоначально дано С.П. Франклином (он же Стэн Франклин ) в 1965 году, который исследовал вопрос о "Какие классы топологических пространств можно полностью определить, зная их сходящиеся последовательности?" Франклин пришел к приведенному выше определению, отметив, что каждое первое счетное пространство может быть полностью определено знанием его сходящихся последовательностей, а затем он абстрагировал свойства первых счетных пространств, которые позволили этому быть истинным.

Предварительные сведения

Пусть X будет набором и пусть x • = (x i). i = 1 будет последовательностью в X, где напомним, что последовательность в наборе X по определению является просто отображением натуральных чисел ℕ в X.

Обозначения и определение : для любого индекса i хвост x •, начинающийся с i, является набором:

x≥ i : = {x j : j ≥ i}: = {x i, x i + 1, x i + 2,...}.

set Tails (x •): = {x ≥ i : i ∈ ℕ} всех хвостов x • называется последовательной базой фильтра хвостов x •, и он определяет базу фильтра на X.

Определение : Если S ⊆ X является подмножеством, то мы говорим, что последовательность x • равно в конечном итоге в S, если существует некоторый индекс i такой, что x ≥ i ⊆ S (то есть x j ∈ S для любого целого числа j такого, что j ≥ i).

Обозначение : Если f: X → Y - отображение, то f (x •): = (f (x i)). i = 1 обозначает последовательность nce:

f (x 1), f (x 2), f (x 3),...

(обратите внимание, что поскольку последовательность x • является просто функцией x • : ℕ → X, это согласуется с определением композиции функции ; т.е. f (x •): = f ∘ x •).

Пусть (X, τ) будет топологическим пространством (не обязательно Хаусдорф ) и пусть x • = (x i). i = 1 - последовательность в X.

Обозначение и определение : Мы говорим, что x •сходится в (X, τ) к точке x ∈ X, записанной x • → x в (X, τ), и мы называем xa предельной точкой x •, если для каждой окрестности U точки x в (X, τ), x • в конечном итоге находится в U.

Обозначение : Как обычно, если мы пишем lim x • = x, мы имеем в виду, что x • → x в (X, τ) и x является единственной предельной точкой x • в (X, τ) (т.е. если x • → z в (X, τ) тогда z = x).

• Обратите внимание, что если (X, τ) не Хаусдорфа, то последовательность может сходиться к двум или более различным точкам.

Определение : Мы говорят, что x ∈ X является точкой кластера или точкой накопления x • в (X, τ), если для каждой окрестности U элемента x в (X, τ) и любого i ∈ ℕ существует некоторое целое число j ≥ i такое, что x j ∈ U (или sa id иначе, тогда и только тогда, когда для каждой окрестности U точки x и каждого i ∈ ℕ выполняется U ∩ x ≥ i ≠ ∅).

Последовательное замыкание / внутренность

Определение и обозначение : Пусть (X, τ) - топологическое пространство, а S ⊆ X - подмножество.

• последовательное закрытие S в (X, τ) - это набор:

  SeqCl S: = [S] seq : = { x ∈ X: существует последовательность s • = (s i). i = 1 в S такая, что s • → x в (X, τ)}

  , где мы можем написать SeqCl X S или SeqCl (X, τ) S, если требуется ясность.
• Оператор последовательного закрытия - это отображение, индуцированное SeqCl. То есть это отображение SeqCl: ℘ (X) → ℘ (X), определенное S ↦ SeqCl S, где ℘ (X) обозначает набор степеней of X.
• последовательная внутренняя часть S в (X, τ) - это набор:

  SeqInt S: = {s ∈ S: всякий раз, когда x • = (x i). i = 1 - последовательность в X такая, что x • → s в (X, τ), тогда x • - это в конечном итоге в S}

  = {s ∈ S: не существует последовательности x • = (x i). i = 1 в X ∖ S такой, что x • → s в (X, τ)}

  = X ∖ SeqCl (X ∖ S)

  где мы можем написать SeqInt X S или SeqInt (X, τ) S, если требуется ясность.
• Мы делаем обратите внимание на топологическое замыкание (соотв. топологическая внутренность ) S в X посредством Cl X S (соответственно Int X S).

• Для любых подмножеств R и S X мы имеем:

  SeqCl ∅ = ∅

  SeqCl (R ∪ S) = (SeqCl R) ∪ (SeqCl S)

  S ⊆ SeqCl S

  SeqCl S ⊆ SeqCl (SeqCl S)

  • В частности, возможно, что SeqCl (SeqCl S) ≠ SeqCl S, что, конечно, означает, что SeqCl S ≠ Cl S (поскольку напомним, что оператор топологического замыкания является идемпотентным, что означает, что Cl (Cl S) = Cl S для всех подмножеств S).

Трансфинитное последовательное замыкание

трансфинитное последовательное замыкание определяется следующим образом: определить $A\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{0\}\}$как A, определить $A\; \alpha \; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{\; \backslash \; alpha\; +1\}\}$должно быть $[A\; \alpha ]\; seq\; \{\backslash \; displaystyle\; [A\; \_\; \{\backslash \; alpha\}]\; \_\; \{\backslash \; text\; \{seq\}\}\}$, а для a предельный порядковый номер $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$, определите $A\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$как . Тогда существует наименьший порядковый номер $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$такой, что $A\; \alpha \; =\; A\; \alpha \; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; A\_\; \{\backslash \; alpha\; +1\}\}$, и для этого $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$, $A\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$называется трансфинитное последовательное замыкание A. (На самом деле, у нас всегда $\alpha \; \le \; \omega \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; leq\; \backslash \; omega\; \_\; \{1\}\}$, где $\omega \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{1\}\}$- это первый несчетный порядковый номер.) Трансфинитное последовательное замыкание A последовательно замыкается. Трансфинитное последовательное замыкание решает указанную выше проблему идемпотентности.

Наименьшее $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$такое, что $A\; \alpha \; =\; A\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; \{\backslash \; overline\; \{A\}\}\; \}$для каждого $A\; \subseteq \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; substeq\; X\}$называется последовательным порядком пространства X. Этот порядковый инвариант хорошо определен для последовательных пространств.

Последовательно открытые / замкнутые множества

Определение : Пусть (X, τ) будет топологическим пространством (не обязательно Хаусдорфом ) и пусть S ⊆ X будет подмножеством.

• Множество S называется последовательно открытым, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
  1. Всякий раз, когда последовательность в X сходится к некоторой точке S, эта последовательность в конечном итоге находится в S.
  2. Если x • = (x i). i = 1 - последовательность в X и если существует некоторый s ∈ S, такой, что x • → s в (X, τ), тогда x • в конечном итоге окажется в S (т.е. существует некоторое целое число i такое, что x ≥ i ⊆ S).
  3. S = SeqInt XS.
  4. Дополнение X ∖ S последовательно замкнуто в (X, τ).
• Множество S называется последовательно замкнутым, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентные условия:
  1. Когда последовательность из S сходится в (X, τ) к некоторой точке x ∈ X, то x ∈ S.
  2. Если s • = (s i). i = 1 - последовательность в S, и если существует некоторый x ∈ X такой, что s • → x в (X, τ), то x ∈ S.
  3. S = SeqCl XS.
  4. Дополнение X ∖ S последовательно открыто в (X, τ).
• Множество S называется последовательным соседом od точки x ∈ X, если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
  1. x ∈ SeqInt S;
     • Обратите внимание, что «S - последовательная окрестность точки x» не определяется как: «существует последовательно открытое множество U такое, что x ∈ U ⊆ S.»
  2. Любая последовательность в X, который сходится к x, в конечном итоге оказывается в S.

Обозначение : мы обозначаем множество всех последовательно открытых подмножеств (X, τ) через SeqOpen (X, τ) или просто SeqOpen (X).

Обратите внимание, что:

• Дополнение к последовательно открытому набору является последовательно закрытым набором, и наоборот.
• Каждое открытое (соответственно закрытое) подмножество X последовательно открыто (соответственно, последовательно закрыто), из чего следует, что

  τ ⊆ SeqOpen (X, τ).

• Это возможно для сдерживания τ ⊆ SeqOpen (X, τ) должно быть правильным, что означает, что может существовать подмножество X, которое последовательно открыто, но не открыто. Точно так же может существовать последовательно замкнутое подмножество, которое не является замкнутым.

Последовательные пробелы

Определение : Последовательное пространство - это пространство (X, τ), удовлетворяющее любому из следующих эквивалентных условий:

1. Каждое последовательно открытое подмножество X открыто.
2. Каждое последовательно замкнутое подмножество X замкнуто.
3. Для любого подмножества S ⊆ X, которое не замкнуто в X, существует некоторый x ∈ (Cl S) ∖ S, для которого существует последовательность в S, сходящаяся к x.
   • Замечание: Сравните это условие со следующей характеризацией пространства Фреше – Урысона :

   Для любого подмножества S ⊆ X которая не замкнута в X и для любого x ∈ (Cl S) ∖ S, существует последовательность в S, сходящаяся к x.

   • Это делает очевидным, что каждое пространство Фреше – Урысона является последовательное пространство.
4. X - фактор первого счетного пространства.
5. X - фактор метрического пространства.
6. Для каждого топологического пространства Y, отображение f: X → Y является непрерывным тогда и только тогда, когда оно последовательно непрерывно.
   • Отображение f: X → Y называется последовательно непрерывно, если для каждого x ∈ X и каждой последовательности x • = (x i). i = 1 в X, если x • → x в X, затем f (x •) = (f (x i)). i = 1 → f (x) в Y.
   • Любое непрерывное отображение обязательно последовательно непрерывно но в целом сохранение может не выполняться.

Взяв Y: = X и f в качестве тождественного отображения на X в последнем условии, следует, что класс секвенциальных пространств состоит в точности из тех пространств, топологическая структура которых определяется сходящимися последовательностями.

Доказательство эквивалентностей

(1) ⇔ (2) : Предположим, что любые последовательно открытые подмножества открыты, и пусть F последовательно замкнут. Выше доказано, что дополнение U = X ∖ F секвенциально открыто, а значит, открыто, так что F замкнуто. Обратное аналогично. (2) ⇔ (3) : Противоположность 2 гласит, что «Незамкнутая S означает, что S не замкнута последовательно», и, следовательно, существует последовательность элементов S, которая сходится к точке вне S. Так как предел обязательно привязан к S, он находится в замыкании S. . И наоборот, предположим от противоречия, что подмножество S: = F последовательно замкнуто но не закрыто. По 3 существует последовательность в F, которая сходится к точке в $S\; ¯\; \setminus \; S\; =\; F\; ¯\; \setminus \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{S\}\}\; \backslash \; setminus\; S\; =\; \{\backslash \; overline\; \{F\}\}\; \backslash \; setminus\; F\}$, т.е. предел лежит за пределами F. Это противоречит последовательной замкнутости F.

T-последовательное и N-последовательное пространство

Последовательное пространство может не быть T- последовательное пространство, а также T-последовательное пространство могут не быть последовательным пространством. В частности, не следует предполагать, что последовательное пространство обладает свойствами, описанными в следующих определениях.

Определение : Топологическое пространство (X, τ) называется T-секвенциальным пространством, если оно удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

1. Последовательная внутренность каждого подмножество X последовательно открыто.
2. Последовательное закрытие каждого подмножества X последовательно закрывается.
3. Для всех S ⊆ X, SeqCl (SeqCl S) = SeqCl S.
   • Обратите внимание, что SeqCl S ⊆ SeqCl (SeqCl S) всегда выполняется для всех S ⊆ X.
4. Для всех S ⊆ X, SeqInt S = SeqInt (SeqInt S).
   • Обратите внимание, что SeqInt (SeqInt S) ⊆ SeqInt S всегда выполняется для всех S ⊆ X.
5. Для всех S ⊆ X, SeqInt S равен объединению всех подмножеств S, которые последовательно открываются в (X, τ).
6. Для всех S ⊆ X, SeqCl S равен пересечению всех подмножеств X, которые содержат S и последовательно замкнуты в (X, τ).
7. Для всех x ∈ X набор всех последовательно открытых окрестностей x в (X, τ) образует базис окрестностей в x для множества всех последовательных окрестностей x.
   • Это означает, что для любого x ∈ X и любой последовательной окрестности N точки x существует последовательно открытое множество U такое, что x ∈ U ⊆ N.
   • Здесь точное определение «последовательной окрестности» "важно, потому что напомним, что" N - последовательная окрестность x "было определено как означающее, что x ∈ SeqInt N.
8. Для любого x ∈ X и любой последовательной окрестности N точки x существует последовательная окрестность M точки x такая что для любого m ∈ M множество N является последовательной окрестностью m.

Как и в случае T-последовательных пространств, не следует предполагать, что последовательное пространство имеет свойства, описанные в следующем определении.

Определение : Топологическое пространство (X, τ) называется N-последовательным (или последовательным по соседству ) пространством, если оно удовлетворяет любое из следующих эквивалентных условий:

1. Для любого x ∈ X, если множество N ⊆ X является последовательной окрестностью x, то N является окрестностью x в (X, τ).
   • Напомним, что N, будучи последовательной окрестностью (соответственно, окрестностью) x, означает, что x ∈ SeqInt N (соответственно x ∈ Int N).
2. X является как последовательным, так и T-последовательным.

Каждый пробел с первым счетом является N-последовательным. Существуют топологические векторные пространства, которые являются последовательными, но не N-последовательными (и, следовательно, не T-последовательными). где напомним, что каждое метризуемое пространство сначала счетно. Также существуют топологические векторные пространства, которые являются T-последовательными, но не последовательными.

Пространства Фреше – Урысона

Каждое пространство Фреше – Урысона является последовательным пространством, но существуют последовательные пространства, которые не являются пространствами Фреше – Урысона. Урысон. Таким образом, не следует предполагать, что последовательное пространство обладает свойствами, описанными в следующем определении.

Определение : мы говорим, что топологическое пространство (X, τ) является пространством Фреше – Урысона, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. Для каждого подмножества S ⊆ X, SeqCl X S = Cl X S;
2. Каждое топологическое подпространство X является последовательным пространством;
3. Для любого подмножества S ⊆ X, которое не замкнуто в X, и для любого x ∈ (Cl S) ∖ S, существует последовательность в S, сходящаяся к x.

Обратите внимание, что пространства Фреше – Урысона также иногда называют Фреше, что не следует путать с пространствами Фреше в функциональном анализе ; что сбивает с толку, пространство Фреше в топологии также иногда используется как синоним для T1пространства.

Пусть $SeqOpen\; \; (X,\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{SeqOpen\; \}\; \backslash \; left\; (X,\; \backslash \; tau\; \backslash \; right)\}$обозначает множество всех последовательно открытых подмножеств топологического пространства (X, τ). Тогда $SeqOpen\; \; (X,\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{SeqOpen\}\; \backslash \; left\; (X,\; \backslash \; tau\; \backslash \; right)\}$- топология на X, содержащая исходную топологию $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$(т.е. $\tau \; \subseteq \; SeqOpen\; \; (X,\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \backslash \; substeq\; \backslash \; operatorname\; \{SeqOpen\}\; \backslash \; left\; (X,\; \backslash \; tau\; \backslash \; right)\}$).

Доказательства

Пусть U последовательно открыто. Покажем, что его дополнение F = X ∖ U последовательно замкнуто, т. Е. Что сходящаяся последовательность x • = (x i). i = 1 элементов F имеет предел в F. От противоречия предположим, что $xn\; ⟶\; n\; \to \; \infty \; x\; \in \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; underset\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; longrightarrow\}\}\; \backslash ,\; x\; \backslash \; в\; U\}$, тогда существует такое целое число N>0, что $\{xk:\; k\; \ge \; N\}\; \subset \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; lbrace\; x\_\; \{k\}:\; k\; \backslash \; geq\; N\; \backslash \; right\; \backslash \; rbrace\; \backslash \; subset\; U\}$, что противоречит тому факту, что все x n должны быть в F. И наоборот, если F последовательно замкнут, покажем что его дополнение U = X ∖ F последовательно открыто. Пусть x • = (x i). i = 1 - последовательность в X такая, что $lim\; n\; \to \; N\; xn\; =\; x\; \in \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; x\_\; \{n\}\; =\; x\; \backslash ,\; \backslash \; in\; U\}$и предположим от противоречия, что для любого $N\; \in \; N,\; \{xk:\; k\; \ge \; N\}\; ⊈\; U\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\},\; \backslash \; \backslash \; left\; \backslash \; lbrace\; x\_\; \{k\}:\; k\; \backslash \; geq\; N\; \backslash \; right\; \backslash \; rbrace\; \backslash \; not\; \backslash \; substeq\; U\}$, т.е..для всех целых чисел N>0 существует $k\; N\; \ge \; N,\; xk\; N\; \in \; F\; =\; X\; \setminus \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{N\}\; \backslash \; geq\; N,\; \backslash \; x\_\; \{k\_\; \{N\}\}\; \backslash \; in\; F\; =\; X\; \backslash \; setminus\; U\}$. Определим рекурсией подпоследовательность (x φ (n)) n∈ℕ элементов F: положим φ (0) = k 0, а затем φ ( n + 1) = k φ (n) +1, то есть x φ (0) : = x k0и x φ (n + 1) = x k φ (n) +1. Он сходится как подпоследовательность сходящейся последовательности, и все ее элементы принадлежат F. Следовательно, предел должен находиться в F, что противоречит тому, что x ∈ U '. Таким образом, последовательность в конечном итоге находится в U. Покажем, что набор последовательно открытых подмножеств является топологией, т.е. и X последовательно открыты, произвольные объединения последовательно открытых подмножеств последовательно открыты, а конечные пересечения последовательно открытых подмножеств открытые подмножества последовательно открыты. Любая пустая последовательность удовлетворяет любому свойству, и любая последовательность в X в конечном итоге оказывается в X. Пусть (U i)i∈I - семейство последовательно открытых подмножеств, пусть $U\; =\; \bigcup \; i\; \in \; IU\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\; U\_\; \{i\}\}$, и пусть x • = (x i). i = 1 быть последовательностью в X, сходящейся к x ∈ U. x, находящийся в объединении, означает, что существует $i\; 0\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; i\_\; \{0\}\; \backslash \; in\; I\}$такое, что $x\; \in \; U\; i\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; U\_\; \{i\_\; \{0\}\}\}$и в результате последовательной открытости последовательность в конечном итоге оказывается в U i0. Наконец, если $V\; =\; \bigcap \; i\; =\; 1\; n\; U\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \backslash \; bigcap\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; U\_\; \{i\}\}$- конечное пересечение последовательно открытых подмножеств, затем последовательность, сходящаяся к x ∈ V, в конечном итоге сходится к каждому из U я, т. е. $\forall \; i\; \in \; N,\; 1\; \le \; i\; \le \; n,\; i\; N\; i\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; forall\; \backslash \; i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\},\; \backslash \; 1\; \backslash \; leq\; я\; \backslash \; leq\; n,\; \backslash \; \backslash \; exists\; \backslash \; N\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$такой, что $\{xk:\; k\; \ge \; N\; i\}\; \subset \; U\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; lbrace\; x\_\; \{k\}:\; k\; \backslash \; geq\; N\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rbr\; ace\; \backslash \; subset\; U\_\; \{i\}\}$. Принимая $N\; =\; max\; 1\; \le \; i\; \le \; N\; N\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; \backslash \; max\; \_\; \{1\; \backslash \; leq\; i\; \backslash \; leq\; n\}\; N\_\; \{i\}\}$, получаем $\{xk\; :\; k\; \ge \; N\}\; \subset \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; lbrace\; x\_\; \{k\}:\; k\; \backslash \; geq\; N\; \backslash \; right\; \backslash \; rbrace\; \backslash \; subset\; V\}$. Сгенерированная последовательная топология более тонкая, чем исходная, т. е. если U открыт, то он последовательно открывается. Пусть x • = (x i). i = 1 последовательность в X, сходящаяся к x ∈ U. Поскольку U открыто, это окрестность x и по определению сходимости существует $N\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$такое, что $\{xk,\; k\; \ge \; N\}\; \subset \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; lbrace\; x\_\; \{k\},\; \backslash \; k\; \backslash \; geq\; N\; \backslash \; right\; \backslash \; rbrace\; \backslash \; subset\; U\}$.

Свойства топологии последовательно открытых множеств

• Каждое последовательное пространство имеет счетную плотность.
• Пространство $(Икс,\; SeqOpen\; \; (X,\; \tau ))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (X,\; \backslash \; operatorname\; \{SeqOpen\}\; \backslash \; left\; (X,\; \backslash \; tau\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$имеет те же сходящиеся последовательности и ограничивается как (X, τ) (т.е. если x ∈ X и x • = (x i). i = 1 - последовательность в X, то $(xi)\; i\; =\; 1\; \infty \; \to \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (x\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; to\; x\}$в (X, τ) тогда и только тогда, когда $(xi)\; i\; =\; 1\; \infty \; \to \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (x\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; to\; x\}$в $(X,\; SeqOpen\; \; (Икс,\; \tau ))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево\; (X,\; \backslash \; OperatorName\; \{SeqOpen\}\; \backslash \; lef\; t\; (X,\; \backslash \; tau\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$).
• $(X,\; SeqOpen\; \; (X,\; \tau ))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (X,\; \backslash \; operatorname\; \{SeqOpen\}\; \backslash \; left\; (X,\; \backslash \; tau\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$является последовательным пробел.
• Если $\tau \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \_\; \{2\}\}$- любая топология на X, такая, что последовательность в X сходится к точке X в (X, τ) тогда и только тогда, когда это происходит в $(X,\; \tau \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (X,\; \backslash \; tau\; \_\; \{2\}\; \backslash \; right)\}$, тогда обязательно $SeqOpen\; \; (X,\; \tau )\; =\; SeqOpen\; \; (X,\; \tau \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{SeqOpen\}\; \backslash \; left\; (X,\; \backslash \; tau\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{SeqOpen\}\; \backslash \; left\; (X,\; \backslash \; tau\; \_\; \{2\; \}\; \backslash \; right)\}$.
• Если $f:\; (X,\; \tau \; X)\; \to \; (Y,\; \tau \; Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \backslash \; left\; (X,\; \backslash \; tau\; \_\; \{X\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; (Y,\; \backslash \; tau\; \_\; \{Y\}\; \backslash \; right)\}$непрерывно, то также и $f:\; (X,\; SeqOpen\; \; (X,\; \tau \; X))\; \to \; (Y,\; SeqOpen\; \; (Y,\; \tau \; Y))\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \backslash \; left\; (X,\; \backslash \; operatorname\; \{SeqOpen\}\; \backslash \; left\; (X,\; \backslash \; tau\; \_\; \{X\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; (Y,\; \backslash \; operatorname\; \{SeqOpen\}\; \backslash \; left\; (Y,\; \backslash \; tau\; \_\; \{Y\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$.

Каждое пробел с первым счетом является последовательные, следовательно, каждое пространство с подсчетом секунд, метрическое пространство и дискретное пространство является последовательным. Каждое пространство с первым счетом является пространством Фреше – Урысона, и каждое пространство Фреше-Урысона секвенциально. Таким образом, каждое метризуемое и псевдометризуемое пространство является секвенциальным пространством и пространством Фреше – Урысона.

Топологическое векторное пространство Хаусдорфа является последовательным тогда и только тогда, когда не существует строго более тонкой топологии с такими же сходящимися последовательностями.

Каждые CW-комплекс является последовательным, так как его можно рассматривать как фактор метрического пространства.

простой спектр коммутативного нётерова кольца с топологией Зарисского является последовательным.

Последовательные пробелы, которые не считаются первыми.

Возьмите вещественную линию ℝ и идентифицируйте набор ℤ целых чисел до точки. Это секвенциальное пространство, так как это фактор метрического пространства. Но это не первый счет.

Последовательные пространства, не являющиеся пространствами Фреше – Урысона

Следующие широко используемые пространства являются яркими примерами последовательных пространств, которые не являются пространствами Фреше – Урысона. Пусть 𝒮 (ℝ) обозначает пространство Шварца, а $C\; \infty \; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (U)\}$обозначает пространство гладких функций. на открытом подмножестве U ⊆ ℝ, где оба этих пространства имеют свою обычную топологию пространства Фреше, как определено в статье о распределениях. И 𝒮 (ℝ), и $C\; \infty \; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (U)\}$, а также сильные двойственные пространства обоих этих пространств, являются полными ядерными Монтель ультраборнологическими пространствами, что означает, что все четыре из этих локально выпуклых пространств также паракомпактны нормальный рефлексивный пробелы с бочками. Сильные двойственные пространства как 𝒮 (ℝ), так и $C\; \infty \; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (U)\}$являются последовательными пространствами, но ни одно из этих двойственных пространств не является Пространство Фреше-Урысона.

. Каждое бесконечномерное Montel DF-пространство является последовательным пространством, а не пространством Фреше-Урысона.

Примеры не- последовательные пробелы

Пространства тестовых функций и распределений

Пусть $C\; ck\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{c\}\; ^\; \{k\}\; (U)\}$обозначает пространство тестовых функций с его канонической топологией LF, что превращает его в выделенное строгое LF-пространство, и пусть $D\; \prime \; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\; \text{'}(U)\}$обозначают пространство распределений, которое по определению является сильным двойственным пространством для $C\; c\; \infty \; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{\; c\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (U)\}$. Эти два пространства, которые полностью лежат в основе теории распределений и которые обладают множеством хороших свойств, тем не менее, являются выдающимися примерами пространств, которые не являются секвенциальными пространствами (и, следовательно, ни пространствами Фреше – Урысона, ни N-секвенциальными пространствами).

Оба $C\; c\; \infty \; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{c\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (U)\}$и $D\; \prime \; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\; \text{'}(U)\}$- это завершенные ядерные монтельные ультраборнологические пространства, которые означает, что все четыре из этих локально выпуклых пространств также являются паракомпактными нормальными рефлексивными пространствами с бочонками. Известно, что в дуальном пространстве любого пространства Монтеля последовательность непрерывных линейных функционалов сходится в сильной дуальной топологии тогда и только тогда, когда она сходится в слабой * топология (то есть поточечная), что, в частности, является причиной того, что последовательность распределений сходится в $D\; \text{'}(U)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\text{'}\; (U)\}$(задана сильная двойственная топология) тогда и только тогда, когда она сходится поточечно. Пространство $C\; c\; \infty \; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{c\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (U)\}$также является топологическим векторным пространством Шварца. Тем не менее, ни $C\; c\; \infty \; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{c\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (U)\}$, ни его сильное двойственное $D\; \text{'}(U)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{D\}\}\; \text{'}(U)\}$- это последовательное пространство (даже не).

Сосчетная топология

Еще один пример непоследовательного пространства - это сосчетное пространство. топология на бесчисленном множестве. Каждая сходящаяся последовательность в таком пространстве в конечном итоге постоянна, следовательно, каждый набор последовательно открыт. Но сопоставляемая топология не является дискретной. Фактически, можно сказать, что сосчетная топология на несчетном множестве является «последовательно дискретной».

полная подкатегория Seq всех последовательных пробелов закрывается при следующих операциях в категории Верх топологических пространств:

• Quotients
• Непрерывные закрытые или открытые изображения
• Суммы
• Индуктивные пределы
• Открытые и закрытые подпространства

Категория Seq не закрывается при следующих операциях в Top :

• Continuous images
• Subspaces
• Finite products

Поскольку они замкнутые относительно топологических сумм и факторов секвенциальные пространства образуют коррефлективную подкатегорию категории топологических пространств. Фактически, они являются корефлективной оболочкой метризуемых пространств (т.е. наименьшего класса топологических пространств, замкнутых относительно сумм и частных и содержащих метризуемые пространства).

Подкатегория Seq является декартовой закрытой категорией по отношению к своему собственному продукту (не Top ). экспоненциальные объекты имеют открытую топологию (сходящаяся последовательность). ЧИСЛО ПИ. Бут и А. Тиллотсон показали, что Seq - наименьшая декартова замкнутая подкатегория Top, содержащая лежащие в основе топологические пространства всех метрических пространств, CW- комплексы и дифференцируемые многообразия, замкнутые относительно копределов, частных и других «определенных разумных тождеств», которые Норман Стинрод описал как «удобные».

• Аксиомы счетности
• Замкнутый график - График функции, которая также является замкнутым подмножеством пространства произведения
• Пространство первого счета - A топологическое пространство, в котором каждая точка имеет счетный базис окрестности
• Пространство Фреше – Урысона

• Архангельский А.В. и Понтрягин, Л.С., Общая топология, I, Springer-Verlag, New York (1990) ISBN 3-540-18178-4.
• Бут, П.И. и Тиллотсон, А., Моноидальные замкнутые, декартовы замкнутые и удобные категории топологических пространств Pacific J. Math., 88 (1980), стр. 35–53.
• Engelking, R., Общая топология, Хельдерманн, Берлин (1989). Отредактированное и дополненное издание.
• Франклин, С. П., «Пространства, в которых достаточно последовательностей », Fund. Математика. 57(1965), 107-115.
• Franklin, S. P., "Spaces in Which Sequences Suffice II ", Fund. Математика. 61(1967), 51-56.
• Goreham, Anthony, "Sequential Convergence in Topological Spaces "
• Steenrod, N.E., A convenient category of topological spaces, Michigan Math. J., 14 (1967), 133-152.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.