Вращение

редактировать

Движение объекта вокруг оси

Сфера, вращающаяся вокруг оси

A вращение - это круговое движение объект вокруг центра (или точки) вращения. Трехмерный объект всегда можно вращать вокруг бесконечного числа воображаемых линий, называемых осями вращения (). Если ось проходит через центр масс тела, говорят, что тело вращается вокруг себя или вращается. Вращение вокруг внешней точки, например планета Земля вокруг Солнца называется оборотом или орбитальным оборотом, обычно когда это происходит под действием гравитации. Ось называется полюсом .

. Содержание

1 Математика
2 Астрономия
- 2.1 Вращение и вращение
- 2.2 Ретроградное вращение
3 Физика
- 3.1 Космологический принцип
- 3.2 Вращения Эйлера
4 Динамика полета
5 Аттракционы
6 Спорт
7 Фиксированная ось по сравнению с фиксированной точкой
8 Ось двумерного вращения
9 Угол поворота и ось в 3-х измерениях
10 Плоскость вращения
11 См. Также
12 Ссылки
13 Внешние ссылки

Математика

Вращение плоской фигуры вокруг точки

Орбита вращения v Вращение

Отношения между ось вращения, плоскость орбиты и наклон оси (для Земли).

Математически вращение - это движение твердого тела, которое, в отличие от перевод, фиксирует точку. Это определение применяется к поворотам как в двух, так и в трех измерениях (в плоскости и в пространстве, соответственно).

Все движения твердого тела - это вращения, перемещения или их комбинации.

Вращение - это просто прогрессивная радиальная ориентация к общей точке. Эта общая точка находится внутри оси этого движения. Ось расположена на 90 градусов перпендикулярно плоскости движения. Если ось вращения лежит вне рассматриваемого тела, то говорят, что тело вращается по орбите. Нет принципиальной разницы между «вращением» и «орбитой» или «вращением». Ключевое различие заключается в том, где находится ось вращения, внутри или снаружи рассматриваемого тела. Это различие может быть продемонстрировано как для «твердых», так и для «нежестких» тел.

Если вращение вокруг точки или оси сопровождается вторым вращением вокруг той же точки / оси, получается третье вращение. Обратное (инверсное ) поворота также является поворотом. Таким образом, вращения вокруг точки / оси образуют группу . Однако вращение вокруг точки или оси и вращение вокруг другой точки / оси может привести к чему-то другому, кроме вращения, например перевод.

Повороты вокруг осей x, y и z называются основными вращениями. Вращение вокруг любой оси может быть выполнено путем вращения вокруг оси x с последующим вращением вокруг оси y и последующим вращением вокруг оси z. Иными словами, любое пространственное вращение можно разложить на комбинацию основных вращений.

В динамике полета основные вращения известны как рыскание, тангаж и крен (известные как углы Тейта – Брайана ). Эта терминология также используется в компьютерной графике.

астрономии

звездных следах, вызванных вращением Земли во время длительной выдержки камеры .

В астрономии вращение - обычное явление. Звезды, планеты и подобные тела вращаются вокруг своих осей. Скорость вращения планет Солнечной системы была впервые измерена путем отслеживания визуальных характеристик. Вращение звезды измеряется посредством доплеровского сдвига или путем отслеживания активных элементов поверхности.

Это вращение вызывает центробежное ускорение в системе отсчета Земли, которое немного противодействует влиянию силы тяжести, чем ближе к экватору. Один из эффектов заключается в том, что объект весит немного меньше на экваторе. Другая причина заключается в том, что Земля слегка деформирована в сплюснутый сфероид.

. Другим следствием вращения планеты является явление прецессии. Как и в гироскопе , общий эффект представляет собой небольшое «колебание» в движении оси планеты. В настоящее время наклон оси Земли к плоскости его орбиты (наклон эклиптики ) составляет 23,44 градуса, но этот угол изменяется медленно (в течение тысяч лет). (См. Также Прецессия равноденствий и Полярная звезда.)

Вращение и вращение

Хотя вращение часто используется как синоним вращения, Во многих областях, особенно в астрономии и связанных областях, вращение, которое для ясности часто называют орбитальным вращением, используется, когда одно тело движется вокруг другого, в то время как вращение используется для обозначения движения вокруг оси. Луны вращаются вокруг своей планеты, планеты вращаются вокруг своей звезды (например, Земля вокруг Солнца); и звезды медленно вращаются вокруг своего центра галактики. Движение компонентов галактики сложное, но обычно включает в себя компонент вращения.

Ретроградное вращение

Большинство планет в нашей солнечной системе, включая Землю, вращаются в том же направлении, что и их орбита Солнце. Исключение составляют Венера и Уран. Уран вращается почти на бок относительно своей орбиты. Текущее предположение состоит в том, что Уран начинал с типичной прямой ориентации и был сбит на бок в результате сильного удара в начале своей истории. Можно представить себе Венеру как медленно вращающуюся назад (или «перевернутую»). карликовая планета Плутон (ранее считавшаяся планетой) аномальна в этом и других отношениях.

Физика

Скорость вращения задается угловой частотой (рад / с) или частотой (оборотов за раз) или период (секунды, дни и т. Д.). Скорость изменения угловой частоты - это угловое ускорение (рад / с²), вызванное крутящим моментом. Отношение этих двух величин (насколько тяжело начать, остановить или иным образом изменить вращение) задается моментом инерции.

вектором угловой скорости (осевым вектором ) также описывает направление оси вращения. Точно так же крутящий момент - это осевой вектор.

Физика вращения вокруг фиксированной оси математически описывается с помощью представления угла оси вращений. Согласно правилу правой руки, направление от наблюдателя связано с вращением по часовой стрелке, а направление к наблюдателю - с вращением против часовой стрелки, как винт .

Космологический принцип

законы физики в настоящее время считаются инвариантными при любом фиксированном вращении. (Хотя кажется, что они меняются, если смотреть с вращающейся точки зрения: см. вращающуюся систему отсчета.)

В современной физической космологии космологический принцип - это понятие что распределение материи во Вселенной однородно и изотропно при рассмотрении в достаточно большом масштабе, поскольку ожидается, что силы будут действовать равномерно по всей вселенной и не имеют предпочтительного направления, и Следовательно, не должно вызывать никаких наблюдаемых нарушений в крупномасштабной структуре в ходе эволюции поля материи, которая изначально была заложена в результате Большого взрыва.

В частности, для системы, которая ведет себя одинаково независимо от того, как она ориентирована в пространстве, ее лагранжиан инвариантен относительно вращения. Согласно теореме Нётер, если действие (интеграл по времени его лагранжиана) физической системы инвариантно относительно вращения, то угловой момент сохраняется.

эйлеровы вращения

эйлеровы вращения Земли. Внутреннее (зеленый), Прецессионный (синий) и Нутационный (красный)

вращения Эйлера обеспечивают альтернативное описание вращения. Это композиция из трех поворотов, определяемых как движение, полученное путем изменения одного из углов Эйлера , оставив два других постоянными. Вращения Эйлера никогда не выражаются в терминах внешней системы отсчета или в терминах совместно движущейся системы координат вращающегося тела, а в виде смеси. Они составляют систему смешанных осей вращения, где первый угол перемещает линию узлов вокруг внешней оси z, второй вращается вокруг линии узлов, а третий - собственное вращение вокруг оси, закрепленной в движущемся теле.

Эти вращения называются прецессией, нутацией и собственным вращением.

Динамика полета

Основные оси вращения в пространстве

В динамике полета основные вращения, описанные с помощью углов Эйлера выше, известны как тангаж, крен и рыскание. Термин вращение также используется в авиации для обозначения восходящего тангажа (нос движется вверх) самолета, особенно при начале набора высоты после взлета.

Основные вращения имеют преимущество моделирования ряда физических систем, таких как подвесы и джойстики, поэтому их легко визуализировать, и они представляют собой очень компактный способ хранения вращение. Но их сложно использовать в расчетах, поскольку даже простые операции, такие как объединение поворотов, являются дорогостоящими и страдают от формы карданного замка, когда углы не могут быть однозначно рассчитаны для определенных вращений.

Аттракционы

Многие аттракционы обеспечивают вращение. Колесо обозрения имеет горизонтальную центральную ось и параллельные оси для каждой гондолы, где вращение противоположно, под действием силы тяжести или механически. В результате в любой момент гондола имеет вертикальную ориентацию (не поворачивается), просто переводится. Кончик вектора перемещения описывает круг. карусель обеспечивает вращение вокруг вертикальной оси. Многие аттракционы предусматривают комбинацию вращений вокруг нескольких осей. В Chair-O-Planes вращение вокруг вертикальной оси обеспечивается механически, а вращение вокруг горизонтальной оси происходит за счет центростремительной силы. В переворачивании американских горок вращение вокруг горизонтальной оси составляет один или несколько полных циклов, когда инерция удерживает людей на своих местах.

Спорт

Вращение мяча или другого объекта, обычно называемое вращением, играет важную роль во многих видах спорта, включая верхнее вращение и обратное вращение в теннис, английский язык, следуй и играй в бильярд и пул, кривые шары в бейсбол, боулинг с вращением в крикет, летающий диск спорт и т. Д. ракетки для настольного тенниса изготавливаются с различными характеристиками поверхности, чтобы позволить игроку придавать мячу большее или меньшее вращение..

Вращение игрока один или несколько раз вокруг вертикальной оси может называться вращением в фигурном катании, вращением (дубинки или исполнителя) в вращении дубинки, или 360, 540, 720 и т. д. в сноубординге и т. д. Вращение игрока или исполнителя один или несколько раз вокруг горизонтальной оси может называться переворотом, перекат, сальто, вертолет и т. д. в гимнастике, водных лыжах или многих других видах спорта, или полуторный, два -полуторный, гейнер (начиная лицом от воды) и т. д. в нырянии и т. д. Комбинация вертикального и горизонтального вращения (сальто назад на 360 °) называется мёбиусом в водные лыжи прыжки вольным стилем.

Вращение игрока вокруг вертикальной оси, обычно между 180 и 360 градусами, может называться вращением и использоваться как обманный маневр или маневр уклонения, или в попытке сыграть, передать пас или получить мяч или шайбу и т. д., или дать игроку возможность видеть ворота или других игроков. Часто встречается в хоккее, баскетболе, футболе различных кодов, теннисе и т. Д.

Фиксированная ось по сравнению с фиксированной точкой

Конечный результат любой последовательности вращений любого объекта в 3D вокруг фиксированной точки всегда эквивалентен вращению вокруг оси. Однако объект может физически вращаться в 3D вокруг фиксированной точки по нескольким осям одновременно, и в этом случае не существует единой фиксированной оси вращения - только фиксированная точка. Однако эти два описания можно согласовать - такое физическое движение всегда можно заново описать в терминах единственной оси вращения, при условии, что ориентация этой оси относительно объекта может изменяться от момента к моменту.

Ось двухмерных вращений

Двухмерные вращения, в отличие от трехмерных, не имеют оси вращения. Это эквивалентно для линейных преобразований, когда говорится, что нет направления в месте, которое не изменяется при двухмерном вращении, за исключением, конечно, тождества.

Вопрос о существовании такого направления - это вопрос о существовании собственного вектора для матрицы A, представляющей вращение. Каждое двумерное вращение вокруг начала координат на угол $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ против часовой стрелки может быть очень просто представлено следующей матрицей:

A = [cos ⁡ θ - sin ⁡ θ грех ⁡ θ соз ⁡ θ] {\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta - \ sin \ theta \\\ sin \ theta \ cos \ theta \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta - \ sin \ theta \\\ sin \ theta \ cos \ theta \ end {bmatrix}}}

Стандартное определение собственного значения приводит к характеристическому уравнению

λ 2 - 2 λ cos ⁡ θ + 1 = 0 {\ displaystyle \ lambda ^ {2} -2 \ lambda \ cos \ theta + 1 = 0}

{\ displaystyle \ lambda ^ {2} -2 \ lambda \ cos \ theta + 1 = 0}

, который имеет

cos ⁡ θ ± i sin ⁡ θ {\ displaystyle \ cos \ theta \ pm i \ sin \ theta}

{\ displaystyle \ cos \ theta \ pm i \ sin \ theta}

в качестве собственных значений. Следовательно, не существует реального собственного значения всякий раз, когда $cos ⁡ θ ≠ ± 1 {\ displaystyle \ cos \ theta \ neq \ pm 1}$ ${\ displaystyle \ cos \ theta \ neq \ pm 1}$ , что означает, что ни один действительный вектор в плоскости не остается неизменным с помощью A.

Угол поворота и ось в трех измерениях

Зная, что след является инвариантом, угол поворота $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ для правильного ортогональная матрица вращения 3x3 $A {\ displaystyle A}$ $A$ находится по

$α = cos - 1 ⁡ (A 11 + A 22 + A 33-1 2) {\ displaystyle \ alpha = \ cos ^ {- 1} \ left ({\ frac {A_ {11} + A_ {22} + A_ {33} -1} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ cos ^ {- 1} \ left ({\ frac {A_ {11} + A_ {22} + A_ {33 } -1} {2}} \ right)}$

Используя главный арккосинус, это формула дает угол поворота, удовлетворяющий $0 ≤ α ≤ 180 ∘ {\ displaystyle 0 \ leq \ alpha \ leq 180 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ alpha \ leq 180 ^ { \ circ}}$ . Соответствующая ось вращения должна быть определена так, чтобы указывать в направлении, ограничивающем угол поворота до 180 градусов. (Это всегда можно сделать, потому что любой поворот более чем на 180 градусов вокруг оси $m {\ displaystyle m}$ $м$ всегда можно записать как поворот, имеющий $0 ≤ α ≤ 180 ∘ { \ displaystyle 0 \ leq \ alpha \ leq 180 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ alpha \ leq 180 ^ { \ circ}}$ , если ось заменена на $n = - m {\ displaystyle n = -m}$ ${\ displaystyle n = -m}$ .)

Каждое правильное вращение $A {\ displaystyle A}$ $A$ в трехмерном пространстве имеет ось вращения, которая определяется так, что любой вектор $v {\ displaystyle v}$ $v$ , который выровнен с осью вращения, не будет подвержен вращению. Соответственно, $A v = v {\ displaystyle Av = v}$ ${\ displaystyle Av = v}$ , и поэтому ось вращения соответствует собственному вектору матрицы вращения, связанной с собственным значением 1. Пока угол поворота $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ отлично от нуля (т. Е. Вращение не является тензором идентичности), такое направление одно и только одно. Поскольку A имеет только действительные компоненты, существует по крайней мере одно действительное собственное значение, а оставшиеся два собственных значения должны быть комплексно сопряженными друг другу (см. Собственные значения и собственные векторы # Собственные значения и характеристический многочлен ). Зная, что 1 является собственным значением, следует, что оставшиеся два собственных значения являются комплексно сопряженными друг другу, но это не означает, что они являются комплексными - они могут быть действительными с двойной кратностью. В вырожденном случае угла поворота $α = 180 ∘ {\ displaystyle \ alpha = 180 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ alpha = 180 ^ {\ circ}}$ оба оставшихся собственных значения равны -1. В вырожденном случае нулевого угла поворота матрица вращения является тождественной, и все три собственных значения равны 1 (что является единственным случаем, для которого ось вращения произвольна).

Спектральный анализ не требуется для определения оси вращения. Если $n {\ displaystyle n}$ $n$ обозначает единичный собственный вектор, выровненный с осью вращения, и если $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ обозначает угол поворота, то можно показать, что $2 грех ⁡ (α) n = {A 32 - A 23, A 13 - A 31, A 21 - A 12} {\ displaystyle 2 \ sin (\ alpha) n = \ {A_ {32} -A_ {23}, A_ {13} -A_ {31}, A_ {21} -A_ {12} \}}$ ${\ displaystyle 2 \ sin (\ alpha) n = \ {A_ {32} -A_ {23}, A_ {13} -A_ {31}, A_ {21} -A_ {12} \}}$ . Следовательно, затрат на анализ собственных значений можно избежать, просто нормализовав этот вектор, если он имеет ненулевую величину. С другой стороны, если этот вектор имеет нулевую величину, это означает, что $sin ⁡ (α) = 0 {\ displaystyle \ sin (\ alpha) = 0}$ ${\ displaystyle \ sin (\ alpha) = 0}$ . Другими словами, этот вектор будет равен нулю тогда и только тогда, когда угол поворота равен 0 или 180 градусов, а ось вращения может быть назначена в этом случае путем нормализации любого столбца $A + I {\ displaystyle A + I}$ ${\ displaystyle A + I}$ с ненулевой величиной.

Это обсуждение относится к правильному вращению, и, следовательно, $det A = 1 {\ displaystyle \ det A = 1}$ ${\ Displaystyle \ Det A = 1}$ . Любая неправильная ортогональная матрица 3x3 $B {\ displaystyle B}$ $B$ может быть записана как $B = - A {\ displaystyle B = -A}$ ${\ displaystyle B = -A}$ , где $A {\ displaystyle A}$ $A$ правильно ортогонален. То есть любая неправильная ортогональная матрица 3x3 может быть разложена на собственное вращение (из которого можно найти ось вращения, как описано выше) с последующей инверсией (умножением на -1). Отсюда следует, что ось вращения $A {\ displaystyle A}$ $A$ также является собственным вектором $B {\ displaystyle B}$ $B$ , соответствующим собственному значению -1.

Плоскость вращения

Так же, как каждое трехмерное вращение имеет ось вращения, также каждое трехмерное вращение имеет плоскость, которая перпендикулярна оси вращения и которая остается неизменной при вращении. Вращение, ограниченное этой плоскостью, является обычным двумерным вращением.

Доказательство проводится аналогично предыдущему обсуждению. Во-первых, предположим, что все собственные значения трехмерной матрицы вращения A действительны. Это означает, что существует ортогональный базис, состоящий из соответствующих собственных векторов (которые обязательно ортогональны), на который эффект матрицы вращения просто растягивает его. Если в этом базисе писать A, то он диагональный; но диагональная ортогональная матрица состоит только из + 1 и -1 в диагональных элементах. Следовательно, у нас есть не собственное вращение, а либо тождество, либо результат последовательности отражений.

Следовательно, собственное вращение имеет комплексное собственное значение. Пусть v - соответствующий собственный вектор. Тогда, как мы показали в предыдущем разделе, $v ¯ {\ displaystyle {\ bar {v}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {v}}}$ также является собственным вектором, а $v + v ¯ {\ displaystyle v + { \ bar {v}}}$ ${\ displaystyle v + {\ bar {v}}}$ и $i (v - v ¯) {\ displaystyle i (v - {\ bar {v}})}$ ${\ displaystyle i (v - {\ bar {v}})}$ таковы, что их скалярное произведение равно нулю:

я (v T + v ¯ T) (v - v ¯) = i (v T v - v ¯ T v ¯ + v ¯ T v - v T v ¯) = 0 {\ displaystyle i (v ^ {T} + {\ bar {v}} ^ {T}) (v - {\ bar {v}}) = i (v ^ {T} v - {\ bar {v}} ^ { T} {\ bar {v}} + {\ bar {v}} ^ {T} vv ^ {T} {\ bar {v}}) = 0}

{\ displaystyle i (v ^ {T } + {\ bar {v}} ^ {T}) (v - {\ bar {v}}) = i (v ^ {T} v - {\ bar {v}} ^ {T} {\ bar { v}} + {\ bar {v}} ^ {T} vv ^ {T} {\ bar {v}}) = 0}

потому что, поскольку $v ¯ T v ¯ {\ displaystyle {\ bar {v}} ^ {T} {\ bar {v}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {v}} ^ {T} { \ bar {v}}}$ является вещественным, он равен своему комплексно-сопряженному $v T v {\ displaystyle v ^ {T } v}$ ${\ displaystyle v ^ {T} v}$ и $v ¯ T v {\ displaystyle {\ bar {v}} ^ {T} v}$ ${\ displaystyle {\ bar {v}} ^ {T} v}$ и $v T v ¯ {\ displaystyle v ^ {T} {\ bar {v}}}$ ${\ displaystyle v ^ { T} {\ bar {v}}}$ оба представляют одно и то же скалярное произведение между $v {\ displaystyle v}$ $v$ и $v ¯ {\ displaystyle {\ bar {v}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {v}}}$ .

Это означает $v + v ¯ {\ displaystyle v + {\ bar {v}}}$ ${\ displaystyle v + {\ bar {v}}}$ и $i (v - v ¯) {\ displa ystyle i (v - {\ bar {v}})}$ ${\ displaystyle i (v - {\ bar {v}})}$ - ортогональные векторы. Кроме того, они оба являются действительными векторами по построению. Эти векторы охватывают то же подпространство, что и $v {\ displaystyle v}$ $v$ и $v ¯ {\ displaystyle {\ bar {v}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {v}}}$ , что является инвариантом подпространство при применении A. Следовательно, они покрывают инвариантную плоскость.

Эта плоскость ортогональна инвариантной оси, которая соответствует оставшемуся собственному вектору A с собственным значением 1 из-за ортогональности собственных векторов A.

См. Также

Абсолютный вращение - Вращение независимо от любого внешнего ориентира
Балансировочный станок
Круговое движение - Движение объекта по круговой траектории
Принцип Маха - Концепция абсолютного вращения
Нанодантант, самый быстрый объект вращения
Ориентация (геометрия) - понятие наведения в направлении
качение
вращение вокруг фиксированной оси
формализмы вращения в трех измерениях - способы представления Трехмерные вращения
Вращающееся движение в живых системах - движение живых организмов посредством вращения всего тела или части тела
Вверх
Надрессорная балка грузовика

Ссылки

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Произведение вращений на узел. cut-the-knot.org
Когда Треугольник Равносторонний при разрубании узла. cut-the-knot.org
Поворот точек с использованием полярных координат, howtoproperly.com
Вращение в двух измерениях Серджио Ганнибал Мехиа после работы Роджера Гермундссона и Понимание трехмерного вращения Роджера Гермундссона, Демонстрационный проект Вольфрама. демонстрации.wolfram.com
Вращение, отражение и смена кадра: ортогональные тензоры в вычислительной инженерной механике, IOP Publishing