Катание

редактировать
Анимация иллюстрирует качение колеса как наложение двух движений: перемещение по отношению к поверхности, и вращение вокруг собственной оси.

Прокатка - это тип движения, который объединяет вращение (обычно аксиально-симметричного объекта) и перемещение этого объекта относительно поверхности (один или другой движется), так что, если существуют идеальные условия, оба находятся в контакте друг с другом без скольжения.

качения, когда отсутствие скольжения называется чистым качением. По определению, скольжение отсутствует, когда существует система отсчета, в которой все точки контакта с катящимся объектом имеют ту же скорость, что и их двойники на поверхности, по которой катится объект; в частности, для системы отсчета, в которой плоскость качения находится в покое (см. анимацию), мгновенная скорость всех точек контакта (например, сегмента образующей цилиндра) катящегося объекта равна нулю.

На практике из-за небольших деформаций вблизи области контакта происходит некоторое скольжение и рассеяние энергии. Тем не менее, результирующее сопротивление качению намного ниже, чем трение скольжения, и, таким образом, катящиеся объекты обычно требуют гораздо меньше энергии для перемещения, чем скользящие. В результате такие объекты будут более легко перемещаться, если они будут испытывать силу с компонентом вдоль поверхности, например силу тяжести на наклонной поверхности, ветер, толкание, тянущее усилие или крутящий момент от двигателя. В отличие от цилиндрических осесимметричных объектов, качение конуса таково, что при катании по плоской поверхности его центр тяжести выполняет круговое движение, а не чем линейное перемещение. Катящиеся объекты не обязательно должны быть осесимметричными. Два хорошо известных неосесимметричных ролика - это треугольник Рило и тела Мейснера. Олоид и сферикон являются членами специального семейства развертывающихся роликов, которые развивают всю свою поверхность при катании по плоской плоскости. Объекты с углами, такие как кубик, катятся путем последовательных вращений вокруг края или угла, который находится в контакте с поверхностью. Конструкция удельной поверхности позволяет даже идеальному квадратному колесу катиться с его центроидом на постоянной высоте над базовой плоскостью.

Содержание

  • 1 Приложения
  • 2 Физика простого качения
    • 2.1 Энергия
    • 2.2 Силы и ускорение
  • 3 Ссылки
  • 4 См. Также

Приложения

Большинство наземных транспортных средств используют колеса и поэтому катятся. Скольжение должно быть сведено к минимуму (приблизительно чистое качение), в противном случае может произойти потеря управления и авария. Это может произойти, когда дорога покрыта снегом, песком или маслом, при повороте на высокой скорости или при попытке резко затормозить или ускориться.

Одним из наиболее практических применений объектов качения является использование подшипников качения, таких как шарикоподшипники, во вращающихся устройствах. Металлические тела качения обычно заключены между двумя кольцами, которые могут вращаться независимо друг от друга. В большинстве механизмов внутреннее кольцо прикреплено к неподвижному валу (или оси). Таким образом, пока внутреннее кольцо неподвижно, внешнее кольцо может свободно перемещаться с очень небольшим трением . Это основа, на которой работают почти все двигатели (например, те, что используются в потолочных вентиляторах, автомобилях, дрелях и т. Д.). Величина трения деталей механизма зависит от качества шарикоподшипников и количества смазки в механизме.

Прокатные объекты также часто используются в качестве инструментов для транспортировки. Один из самых простых способов - поместить (обычно плоский) объект на ряд выровненных роликов или колес. Предмет на колесах можно перемещать по ним по прямой, если колеса постоянно заменяются спереди (см. история подшипников ). Этот способ примитивной транспортировки эффективен, когда нет другой техники. Сегодня наиболее практичным применением объектов на колесах являются автомобили, поезда и другие средства передвижения людей.

Физика простого качения

Скорости точек катящегося объекта равны скорости вращения вокруг точки контакта.

Простейшим случаем качения является качение без скольжения по плоская поверхность, ось которой параллельна поверхности (или, что эквивалентно: перпендикулярно поверхности normal ).

Траектория любой точки - это трохоид ; в частности, траектория любой точки на оси объекта является линией, в то время как траектория любой точки на ободе объекта представляет собой циклоиду.

Скорость любой точки в катящемся объекте определяется как v = ω × r {\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}}{\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}} , где r {\ displaystyle \ mathbf {r} }\ mathbf {r} - смещение между частицей и точкой (или линией) контакта катящегося объекта с поверхностью, и ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}{\ boldsymbol {\ omega}} - это вектор угловой скорости. Таким образом, несмотря на то, что качение отличается от вращения вокруг фиксированной оси, мгновенная скорость всех частиц катящегося объекта такая же, как если бы он вращался вокруг оси, которая проходит через точку контакта с такая же угловая скорость.

Любая точка катящегося объекта, находящаяся дальше от оси, чем точка контакта, будет временно перемещаться противоположно направлению общего движения, когда она находится ниже уровня поверхности качения (например, любая точка в часть фланца колеса поезда, находящаяся ниже рельса).

Энергия

Поскольку кинетическая энергия полностью зависит от массы и скорости объекта, приведенный выше результат можно использовать с теоремой о параллельной оси для получения кинетической энергии, связанной с простым качением

K качение = K перемещение + K вращение {\ displaystyle K _ {\ text {roll}} = K _ {\ text {translation}} + K _ {\ text {вращение}}}K _ {{ \ text {Rolling}}} = K _ {{\ text {translation}}} + K _ {{\ text {вращение}}}
Вывод

Пусть r {\ displaystyle r}r будет расстоянием между центром масс и точкой контакта; когда поверхность плоская, это радиус объекта в самом широком поперечном сечении. Поскольку центр масс имеет немедленную скорость, как если бы он вращался вокруг точки контакта, его скорость составляет v c.o.m. знак равно р ω {\ Displaystyle v _ {\ текст {c.o.m.}} = г \ омега}v _ {{\ text {com}}} = r \ omega . Из-за симметрии центр масс объекта находится на его оси. Пусть I вращение {\ displaystyle I _ {\ text {вращение}}}I_{{\text{rotation}}}будет инерцией чистого вращения вокруг оси симметрии, тогда, согласно теореме о параллельной оси, инерция вращения, связанная с качением, равна I качение = MR 2 + I поворот {\ displaystyle I _ {\ text {Rolling}} = mr ^ {2} + I _ {\ text {вращение}}}I _ {{\ text {Rolling}}} = mr ^ {2} + I _ {{\ text {Rotation}}} (то же, что и инерция вращения при чистом вращении вокруг точки контакта). Используя общую формулу для кинетической энергии вращения, имеем:

K качения = 1 2 I качения ω 2 = 1 2 mr 2 ω 2 + 1 2 I вращения ω 2 = 1 2 m (r ω) 2 + 1 2 I поворот ω 2 = 1 2 мВ ком 2 + 1 2 I поворот ω 2 = K перемещение + K поворот {\ displaystyle {\ begin {align} K _ {\ text {Rolling}} = {\ frac {1} {2}} I _ {\ text {Rolling} } \ omega ^ {2} \\ = {\ frac {1} {2}} mr ^ {2} \ omega ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I _ {\ text {вращение} } \ omega ^ {2} \\ = {\ frac {1} {2}} m (r \ omega) ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I _ {\ text {вращение}} \ omega ^ {2} \\ = {\ frac {1} {2}} mv _ {\ text {com}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I _ {\ text {вращение} } \ omega ^ {2} \\ = K _ {\ text {translation}} + K _ {\ text {вращение}} \\\ end {align}}}{\ displaystyle { \ begin {align} K _ {\ text {Rolling}} = {\ frac {1} {2}} I _ {\ text {Rolling}} \ omega ^ {2} \\ = {\ frac {1} { 2}} г-н ^ {2} \ omega ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I _ {\ text {вращение}} \ omega ^ {2} \\ = {\ frac {1} { 2}} m (r \ omega) ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I _ {\ text {вращение}} \ omega ^ {2} \\ = {\ frac {1} {2 }} mv _ {\ text {com}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I _ {\ text {вращение}} \ omega ^ {2} \\ = K _ {\ text {translation} } + K _ {\ text {вращение}} \\\ end {выровнено}}}

Силы и ускорение

Дифференциация соотношение между линейной и угловой скоростью, v com = r ω {\ displaystyle v _ {\ text {com}} = r \ omega}v _ {{\ text {com}}} = r \ omega , относительно времени дает формулу, связывающую линейное и угловое ускорение a = r α {\ displaystyle a = г \ альфа}a = r \ alpha . Применяя второй закон Ньютона :

a = F net m = r α = r τ I. {\ displaystyle a = {\ frac {F _ {\ text {net}}} {m}} = r \ alpha = {\ frac {r \ tau} {I}}.}{\ displaystyle a = {\ frac {F _ {\ text {net} }} {m}} = r \ alpha = {\ frac {r \ tau} {I}}.}

Отсюда следует, что для ускорения объекта требуется как чистая сила, так и крутящий момент . Когда внешняя сила без крутящего момента действует на систему катящийся объект-поверхность, в точке контакта между поверхностью и катящимся объектом будет действовать касательная сила, которая обеспечивает требуемый крутящий момент, пока движение является чистым качением; эта сила обычно равна статическому трению, например, между дорогой и колесом или между дорожкой для боулинга и шаром для боулинга. Когда статического трения недостаточно, трение становится динамическим трением и происходит скольжение. Касательная сила противоположна по направлению внешней силе и поэтому частично ее нейтрализует. Результирующие чистая сила и ускорение равны:

F net = F external 1 + I mr 2 = F external 1 + (r gyr. R) 2 a = F external m + I r 2 {\ displaystyle {\ begin {align} F _ {\ text {net}} = {\ frac {F _ {\ text {external}}} {1 + {\ frac {I} {mr ^ {2}}}}} = {\ frac {F _ {\ text {external}}} {1+ \ left ({\ frac {r _ {\ text {gyr.}}} {r}} \ right) ^ {2}}} \\ a = {\ frac {F _ {\ text {external}}} {m + {\ frac {I} {r ^ {2}}}}} \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} F _ {\ text {net}} = {\ frac {F _ {\ text {external}}} {1 + {\ frac {I} {mr ^ {2}}}} } = {\ frac {F _ {\ text {external}}} {1+ \ left ({\ frac {r _ {\ text {gyr.}}} {r}} \ right) ^ {2}}} \\ a = {\ frac {F _ {\ text {external}}} {m + {\ frac {I} {r ^ {2}}}}} \ end {выравнивается}}}
Вывод

Предположим, что объект испытывает внешняя сила F external {\ displaystyle F _ {\ text {external}}}F _ {{\ text {external}}} , которая не вызывает крутящего момента (у нее 0 момент плеча ), статическое трение в точке контакт (F трение {\ displaystyle F _ {\ text {friction}}}F _ {{\ text {friction}}}} ) обеспечивает компенсацию крутящего момента и других задействованных сил. F трение {\ displaystyle F _ {\ text {friction}}}F _ {{\ text {friction}}}} касается объекта и поверхности в точке контакта и противоположно направлению F external {\ displaystyle F_ { \ text {external}}}F _ {{\ text {external}}} . Используя соглашение о знаках , согласно которому эта сила положительна, результирующая сила равна:

F net = F external - F friction {\ displaystyle F _ {\ text {net}} = F _ {\ text { external}} - F _ {\ text {friction}}}{\ displaystyle F _ {\ text {net}} = F _ {\ text {external}} - F _ {\ text {friction}}}

(1) {\ displaystyle (1)}(1)

Поскольку проскальзывания нет, r α = a {\ displaystyle r \ alpha = a }r \ alpha = a удерживается. Подставляя α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha и a {\ displaystyle a}a для линейной и вращательной версии второго закона Ньютона, затем решение для F friction {\ displaystyle F _ {\ text {friction}}}F_ { {\ text {friction}}} :

r τ I = F net mrr F трение I = F net m F трение = IF net mr 2 {\ displaystyle {\ begin {align} r {\ frac {\ tau} {I}} = {\ frac {F _ {\ text {net}}} {m}} \\ r {\ frac {rF _ {\ текст {трение}}} {I}} = {\ frac {F _ {\ text {net}}} {m}} \\ F _ {\ text {friction}} = {\ frac {IF _ {\ text { net}}} {mr ^ {2}}} \\\ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} r {\ frac {\ tau} {I}} = {\ frac {F _ {\ text {net}}} {m}} \\ r {\ frac {rF _ {\ text {friction}}} {I} } = {\ frac {F _ {\ text {net}}} {m}} \\ F _ {\ text {friction}} = {\ frac {IF _ {\ text {net}}} {mr ^ {2 }}} \\\ конец {выровнен}}}

Расширяющееся F friction {\ displaystyle F _ {\ text {friction}}}F_ { {\ text {friction}}} in (1) {\ displaystyle (1)}(1):

F net = F external - IF net mr 2 = F external - I mr 2 F net = F external 1 + I mr 2 {\ displaystyle {\ begin {align } F _ {\ text {net}} = F _ {\ text {external}} - {\ frac {IF _ {\ text {net}}} {mr ^ {2}}} \\ = F _ {\ text { external}} - {\ frac {I} {mr ^ {2}}} F _ {\ text {net}} \\ = {\ frac {F _ {\ text {external}}} {1 + {\ frac { I} {mr ^ {2}}}}} \\\ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} F _ {\ text {net }} = F _ {\ text {external}} - {\ frac {IF _ {\ text {net}}} {mr ^ {2}}} \\ = F _ {\ text {external}} - {\ frac {I} {mr ^ {2}}} F _ {\ text {net}} \\ = {\ frac {F _ {\ text {external}}} {1+ { \ frac {I} {mr ^ {2}}}}} \\\ конец {выровнено}}}

Последнее равенство - это первая формула для F net {\ displaystyle F _ {\ text {net}}}F _ {{\ text {net}}} ; используя его вместе со вторым законом Ньютона, затем уменьшая, получается формула для a {\ displaystyle a}a :

a = F net m = (F external 1 + I mr 2) m = F внешний m (1 + I mr 2) = F внешний m + I r 2 {\ displaystyle {\ begin {align} a = {\ frac {F _ {\ text {net}}} {m}} \\ = {\ frac {\ left ({\ frac {F _ {\ text {external}}} {1 + {\ frac {I} {mr ^ {2}}}}} \ right) } {m}} \\ = {\ frac {F _ {\ text {external}}} {m \ left (1 + {\ frac {I} {mr ^ {2}}} \ right)}} \\ = {\ frac {F _ {\ text {external}}} {m + {\ frac {I} {r ^ {2}}}}} \\\ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} a = {\ frac {F _ {\ text {net}}} { m}} \\ = {\ frac {\ left ({\ frac {F _ {\ text {external}}} {1 + {\ frac {I} {mr ^ {2}}}}} \ right)} {m}} \\ = {\ frac {F _ {\ text {external}}} {m \ left (1 + {\ frac {I} {mr ^ {2}}} \ right)}} \\ = {\ frac {F _ {\ text {external}}} {m + {\ frac {I} {r ^ {2}}} }} \\\ конец {выровнен}}}

Радиус вращения можно включить в первую формулу для F net {\ displaystyle F _ {\ text {net}}}F _ {{\ text {net}}} следующим образом:

r gyr. = Я м г гир. 2 = I m I m r 2 = (I m) r 2 = r gyr. 2 r 2 = (r gyr. R) 2 {\ displaystyle {\ begin {align} r _ {\ text {gyr.}} = {\ Sqrt {\ frac {I} {m}}} \\ r _ {\ текст {gyr.}} ^ {2} = {\ frac {I} {m}} \\ {\ frac {I} {mr ^ {2}}} = {\ frac {\ left ({\ frac {I} {m}} \ right)} {r ^ {2}}} \\ = {\ frac {r _ {\ text {gyr.}} ^ {2}} {r ^ {2}}} \ \ = \ left ({\ frac {r _ {\ text {gyr.}}} {r}} \ right) ^ {2} \\\ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} r _ {\ text {gyr.}} = {\ sqrt {\ frac {I} {m}}} \\ r _ {\ text {gyr.}} ^ {2} = {\ frac {I} {m}} \\ {\ frac {I} {mr ^ {2}}} = {\ frac {\ left ( {\ frac {I} {m}} \ right)} {r ^ {2}}} \\ = {\ frac {r _ {\ text {gyr.}} ^ {2}} {r ^ {2} }} \\ = \ left ({\ frac {r _ {\ text {gyr.}}} {r}} \ right) ^ {2} \\\ конец {выровнено}}}

Подставляя последнее равенство выше в первая формула для F net {\ displaystyle F _ {\ text {net}}}F _ {{\ text {net}}} вторая формула для него:

F net = F external 1 + (r gyr. r) 2 { \ displaystyle F _ {\ text {net}} = {\ frac {F _ {\ text {external}}} {1+ \ left ({\ frac {r _ {\ text {gyr.}}} {r}} \ right) ^ {2}}}}{\ displaystyle F _ {\ text {net}} = {\ frac {F _ {\ text {external}} } {1+ \ left ({\ frac {r _ {\ text {gyr.}}} {R}} \ right) ^ {2}}}}

I r 2 {\ displaystyle {\ tfrac {I} {r ^ {2}}}}{\ tfrac {I} {r ^ {2}}} имеет измерение массы, и это масса, которая имеют инерцию вращения I {\ displaystyle I}Iна расстоянии r {\ displaystyle r}r от оси вращения. Следовательно, термин I r 2 {\ displaystyle {\ tfrac {I} {r ^ {2}}}}{\ tfrac {I} {r ^ {2}}} можно рассматривать как массу с линейной инерцией, эквивалентной вращающемуся движущемуся объекту. инерция (относительно центра масс). Действие внешней силы на объект при простом вращении можно концептуализировать как ускорение суммы реальной массы и виртуальной массы, которая представляет инерцию вращения, которая равна m + I r 2 {\ displaystyle m + {\ tfrac {I} {r ^ {2}}}}m + { \ tfrac {I} {r ^ {2}}} . Поскольку работа, выполняемая внешней силой, распределяется между преодолением поступательной и вращательной инерции, внешняя сила приводит к меньшей чистой силе на безразмерный мультипликативный коэффициент 1 / (1 + I mr 2) {\ displaystyle 1 / \ left (1 + {\ tfrac {I} {mr ^ {2}}} \ right)}1 / \ left (1 + {\ tfrac {I} {mr ^ {2}}} \ right) где I mr 2 {\ displaystyle {\ tfrac {I} {mr ^ {2}}}}{\ tfrac {I} {мистер ^ {2}}} представляет собой отношение указанной виртуальной массы к фактической массе объекта и равно (r gyr. r) 2 {\ displaystyle \ left ({ \ tfrac {r _ {\ text {gyr.}}} {r}} \ right) ^ {2}}\ left ({\ tfrac {r _ {{\ text {gyr.}}}} {r}} \ right) ^ {2} где r gyr. {\ displaystyle r _ {\ text {gyr.}}}r _ {{\ text {gyr.}}} - это радиус вращения, соответствующий инерции вращения объекта при чистом вращении (а не инерции вращения при чистом качении). Величина квадрата мощности обусловлена ​​фактической инерцией вращения точечной массы, которая изменяется пропорционально квадрату расстояния от нее до оси.

Файл: Rolling Racers - Moment of inertia.ogv Воспроизвести мультимедиа Четыре объекта в чистом катании, мчащемся по самолету без сопротивления воздуху. Сзади на передний план: сферическая оболочка (красный), сплошная сфера (оранжевый), цилиндрическое кольцо (зеленый) и сплошной цилиндр (синий). Время до финиша полностью зависит от распределения массы объекта, наклона и ускорения свободного падения. См. подробности, версия анимированного GIF.

В конкретном случае, когда объект катится по наклонной плоскости, которая испытывает только статическое трение, нормальную силу и собственный вес сопротивление воздуха отсутствует) ускорение в направлении скатывания по склону:

a = g sin ⁡ (θ) 1 + (r gyr. R) 2 {\ displaystyle a = {\ frac {g \ sin \ left (\ theta \ right)} {1+ \ left ({\ tfrac {r _ {\ text {gyr.}}} {r}} \ right) ^ {2}}}}a = {\ frac {g \ sin \ left (\ theta \ right)} {1+ \ left ({\ tfrac {r _ {{\ text {gyr.}}}} {r}} \ right) ^ {2}}}
Вывод

Предполагая, что объект размещен так, чтобы катиться вниз в направлении наклонной плоскости (а не частично вбок), вес можно разложить на компонент в направлении качения и компонент, перпендикулярный наклонной плоскости. самолет. Только первая составляющая силы заставляет объект катиться, вторая уравновешивается контактной силой, но она не образует с ним пару действие-реакция (как объект, покоящийся на столе). Таким образом, для этого анализа рассматривается только первый компонент, таким образом:

F external = gm sin ⁡ (θ) {\ displaystyle F _ {\ text {external}} = gm \ sin \ left (\ theta \ right) }F _ {{\ text {external}}} = gm \ sin \ left (\ theta \ right)
a = F net m = (F external 1 + (r gyr. R) 2) m = (gm sin ⁡ (θ) 1 + (r gyr. R) 2) m = gm sin ⁡ (θ) м (1 + (r gyr. r) 2) знак равно g sin ⁡ (θ) 1 + (r gyr. r) 2 {\ displaystyle {\ begin {align} a = {\ frac {F _ {\ text {net} }} {m}} \\ = {\ frac {\ left ({\ frac {F _ {\ text {external}}}} {1+ \ left ({\ frac {r _ {\ text {gyr.}}}) {r}} \ right) ^ {2}}} \ right)} {m}} \\ = {\ frac {\ left ({\ frac {gm \ sin \ left (\ theta \ right)} {1 + \ left ({\ frac {r _ {\ text {gyr.}}} {r}} \ right) ^ {2}}} \ right)} {m}} \\ = {\ frac {gm \ sin \ left (\ theta \ right)} {m \ left (1+ \ left ({\ frac {r _ {\ text {gyr.}}} {r}} \ right) ^ {2} \ right)}} \ \ = {\ frac {g \ sin \ left (\ theta \ right)} {1+ \ left ({\ frac {r _ {\ text {gyr.}}} {r}} \ right) ^ {2} }} \\\ end {align}}}{\ begin {align} a = {\ frac {F _ {{\ text {net}}}} {m}} \\ = {\ frac {\ left ({\ frac {F _ {{ {\ text {external}}}}} {1+ \ left ({\ frac {r _ {{\ text {gyr.}}}} {r}} \ right) ^ {2}}} \ right)} { m}} \\ = {\ frac {\ left ({\ frac {gm \ sin \ left (\ theta \ right)} {1+ \ left ({\ frac {r _ {{\ text {gyr.}}) }} {r}} \ right) ^ {2}}} \ right)} {m}} \\ = {\ frac {gm \ sin \ left (\ theta \ right)} {m \ left (1+ \ left ({\ frac {r _ {{\ text {gyr.}}}} {r}} \ right) ^ {2} \ right)}} \\ = {\ frac {g \ sin \ left (\ theta \ right)} {1+ \ left ({\ f rac {r _ {{\ text {gyr.}}}} {r}} \ right) ^ {2}}} \\\ end {align}}

В последнем равенстве знаменатель такой же, как в формуле для силы, но множитель m {\ displaystyle m}m исчезает, потому что Это Экземпляр s в силе гравитации отменяется со своим экземпляром из-за третьего закона Ньютона.

р гыр. r {\ displaystyle {\ tfrac {r _ {\ text {gyr.}}} {r}}}{\ tfrac {r _ {{\ text {gyr.}}}} { r}} относится к форме и распределению массы объекта, оно не зависит от масштаба или плотности. Однако оно будет отличаться, если объект будет вращаться с разными радиусами; например, она варьируется между колесной парой поезда, катящейся нормально (по шине), и по ее оси. Отсюда следует, что при наличии эталонного катящегося объекта другой объект большего размера или с другой плотностью будет катиться с тем же ускорением. Это поведение аналогично поведению объекта в свободном падении или объекта, скользящего без трения (вместо того, чтобы катиться) по наклонной плоскости.

Ссылки

Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт (2014), Основы физики, главы 9: Wiley CS1 maint: location (ссылка )

См. Также

Последняя правка сделана 2021-06-04 08:49:44
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте