Блокировка подвеса

редактировать

Самолет заблокирован подвесом. Когда стабилизаторы тангажа (зеленый) и рыскания (пурпурный) выравниваются, изменения на крен (синий) и рыскание применяют к самолету одно и то же вращение.

Добавление четвертой оси вращения может решить проблему блокировки подвеса, но для этого требуется самое внешнее кольцо должно активно приводиться в движение так, чтобы оно оставалось на 90 градусов не совмещенным с самой внутренней осью (вал маховика). Без активного движения крайнего кольца все четыре оси могут выровняться в плоскости, как показано выше, что снова приводит к блокировке кардана и невозможности качения.

Блокировка кардана - это потеря одной степени свободы в трехмерном, трех- карданном механизме, который возникает, когда оси двух из трех карданов приводятся в параллельную конфигурацию, «блокируя» систему во вращении в вырожденном двумерном пространстве.

Слово «блокировка» вводит в заблуждение: подвес не фиксируется. Все три подвеса могут по-прежнему свободно вращаться вокруг соответствующих осей подвески. Тем не менее, из-за параллельной ориентации двух осей подвеса нет подвеса, который мог бы обеспечить вращение вокруг одной оси.

Содержание

1 Подвесы
2 В технике
- 2.1 В двух измерениях
- 2.2 В трех измерениях
- 2.3 Решения
- 2.4 На Apollo 11
- 2.5 Робототехника
3 В прикладной математике
- 3.1 Потеря степени свободы при углах Эйлера
- 3.2 Альтернативное представление ориентации
4 См. Также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Подвесы

Подвес - это подвесное кольцо, которое может вращаться вокруг оси. Подвесы обычно вложены один в другой, чтобы обеспечить вращение вокруг нескольких осей.

Они появляются в гироскопах и в инерциальных единицах измерения, чтобы обеспечить фиксированную ориентацию внутреннего кардана, в то время как внешняя подвеска кардана принимает любую ориентацию. В механизмах компаса и маховика накопителя энергии они позволяют объектам оставаться в вертикальном положении. Они используются для ориентации двигателей на ракетах.

Некоторые системы координат в математике ведут себя так, как если бы для измерения углов использовались настоящие карданы, в частности Эйлера. angles.

В случае трех или менее вложенных подвесов блокировка подвеса неизбежно возникает в какой-то точке системы из-за свойств закрывающих пространств (описанных ниже).

В технике

Хотя только две специфические ориентации обеспечивают точную фиксацию кардана, практические механические карданы сталкиваются с трудностями вблизи этих ориентаций. Когда набор подвесов близок к заблокированной конфигурации, небольшие повороты платформы подвеса требуют больших движений окружающих подвесов. Хотя передаточное число бесконечно только в точке блокировки кардана, практические ограничения скорости и ускорения карданов - из-за инерции (в результате массы каждого кольца карданного подвеса), трения подшипника, сопротивления потоку воздуха или другой жидкости, окружающей карданный вал. подвесы (если они не находятся в вакууме) и другие физические и инженерные факторы - ограничивают движение платформы вблизи этой точки.

В двух измерениях

Фиксация кардана может происходить в карданных системах с двумя степенями свободы, таких как теодолит, с вращением вокруг азимута и высоты в двух измерениях. Эти системы могут блокировать подвес в зените и надире, потому что в этих точках азимут не определен четко, и вращение в азимутальном направлении не меняет направления, на которое указывает теодолит.

Рассмотрите возможность отслеживания вертолета, летящего к теодолиту с горизонта. Теодолит представляет собой телескоп, установленный на штативе, чтобы он мог перемещаться по азимуту и углу места для отслеживания вертолета. Вертолет летит к теодолиту и отслеживается телескопом по углу места и азимута. Вертолет летит непосредственно над треногой (т. Е. В зените), когда он меняет направление и летит под углом 90 градусов к своему предыдущему курсу. Телескоп не может отследить этот маневр без прерывистого скачка в одном или обоих положениях подвеса. Нет непрерывного движения, которое позволяет ему следовать за целью. Он находится в карданном замке. Таким образом, существует бесконечное количество направлений вокруг зенита, для которых телескоп не может непрерывно отслеживать все движения цели. Обратите внимание, что даже если вертолет проходит не в зените, а только в районе зенита, так что блокировка кардана не происходит, система все равно должна двигаться исключительно быстро, чтобы отслеживать его, поскольку он быстро переходит от одного пеленга к другому. Чем ближе к зениту находится ближайшая точка, тем быстрее это должно быть сделано, и если она действительно проходит через зенит, предел этих «все более быстрых» движений становится бесконечно быстрым, а именно прерывистым.

Чтобы выйти из блокировки подвеса, пользователь должен обойти зенит - явно: уменьшить высоту, изменить азимут, чтобы он соответствовал азимуту цели, затем изменил высоту, чтобы соответствовать цели.

Математически это соответствует тому факту, что сферические координаты не определяют координатную карту на сфере в зените и надире. В качестве альтернативы, соответствующая карта T → S от тора T до сферы S (заданная точкой с заданными азимутом и возвышением) не является покрывающей картой в этих точках.

Трехмерный

Подвес с 3 осями вращения. Набор из трех подвесов, установленных вместе, чтобы обеспечить три степени свободы: крен, тангаж и рыскание. Когда два подвеса вращаются вокруг одной оси, система теряет одну степень свободы.

Нормальная ситуация: три подвеса независимы.

Блокировка подвеса: два из трех подвесов находятся в одной плоскости, одна степень свободы потеряно

Рассмотрим случай платформы измерения уровня на самолете, летящем строго на север, с его тремя осями кардана, взаимно перпендикулярными (т. е. крен, тангаж и рыскание наклоняет каждый ноль). Если самолет наклоняется на 90 градусов, кардан оси рыскания самолета и платформы становится параллельным кардану оси крена, и изменения вокруг рыскания больше не могут быть компенсированы.

Решения

Эта проблема может быть преодолена путем использования четвертого кардана, активно приводимого в действие двигателем, чтобы поддерживать большой угол между осями кардана крена и рыскания. Другое решение - повернуть один или несколько подвесов в произвольное положение при обнаружении блокировки подвеса и, таким образом, перезагрузить устройство.

Современная практика заключается в полном отказе от использования подвесов. В контексте инерциальных навигационных систем это можно сделать, установив инерциальные датчики непосредственно на кузов автомобиля (это называется бесплатформенной системой) и интегрируя измеренные значения вращения и ускорения. в цифровом виде с использованием методов кватерниона для определения ориентации и скорости транспортного средства. Другой способ заменить подвес - использовать жидкостные подшипники или плавучую камеру.

На Аполлоне 11

Хорошо известный инцидент с карданным подвесом произошел во время миссии Аполлона 11 на Луну.. На этом космическом корабле использовался комплект подвесов на инерциальном измерительном блоке (IMU). Инженеры знали о проблеме с блокировкой кардана, но отказались от использования четвертого кардана. Некоторые аргументы в пользу этого решения очевидны из следующей цитаты:

«Преимущества дублированного стабилизатора, кажется, перевешиваются простотой оборудования, преимуществами размеров и соответствующей подразумеваемой надежностью блока с тремя степенями свободы прямого действия».

— Дэвид Хоаг, Apollo Lunar Surface Journal

Они предпочли альтернативное решение с использованием индикатора, который срабатывает при угле наклона около 85 градусов.

«Рядом с этой точкой в замкнутом контуре стабилизации теоретически можно было бы дать команду моментным двигателям мгновенно повернуть кардан на 180 градусов. Вместо этого в LM компьютер выдал предупреждение о блокировке кардана. при 70 градусах и заморозил IMU при 85 градусах »

— Пол Фьельд, Apollo Lunar Surface Journal

Вместо того, чтобы пытаться управлять подвесами быстрее, чем они могли бы двигаться, система просто отказалась и заморозила платформу. С этого момента космический корабль необходимо было вручную отвести от положения фиксации подвеса, а платформу необходимо было бы вручную перенастроить, используя звезды в качестве ориентира.

После приземления лунного модуля Майк Коллинз на борту командного модуля пошутил: «Как насчет того, чтобы прислать мне четвертый стабилизатор на Рождество?»

Робототехника

Промышленный робот, работающий на литейном производстве.

В робототехнике карданный замок обычно называют «переворот запястья» из-за использования «запястья с тремя поворотами» в роботизированные руки, где три оси запястья, управляющие рысканием, тангажом и креном, проходят через общую точку.

Пример переворота запястья, также называемого сингулярностью запястья, - это когда путь, по которому движется робот, выстраивает первую и третью оси запястья робота. Затем вторая ось запястья пытается повернуться на 180 ° за нулевое время, чтобы сохранить ориентацию рабочего органа. Результат сингулярности может быть весьма драматичным и отрицательно сказаться на манипуляторе робота, конечном эффекторе и процессе.

Важность предотвращения сингулярностей в робототехнике привела к тому, что Американский национальный стандарт для промышленных роботов и робототехнических систем - Требования безопасности определяет это как «состояние, вызванное коллинеарным выравниванием двух или более осей робота, приводящее к непредсказуемой работе робота. движение и скорости ».

В прикладной математике

Проблема блокировки кардана возникает, когда в прикладной математике используются углы Эйлера ; разработчики 3D компьютерных программ, таких как 3D-моделирование, встроенные системы навигации и видеоигры, должны избегать этого.

На формальном языке блокировка кардана возникает, потому что отображение углов Эйлера на вращения (топологически, от 3-тора T к реальному проективному пространству RP, которое совпадает с пространством 3d вращения SO3) не является локальным гомеоморфизмом в каждой точке, и, таким образом, в некоторых точках ранг (степени свободы) должен опускаться ниже 3, при этом происходит блокировка кардана. Углы Эйлера позволяют дать числовое описание любого поворота в трехмерном пространстве с использованием трех чисел, но это не только не уникальное описание, но и некоторые точки, в которых не каждое изменение в целевом пространстве (вращения) могут быть реализованы путем изменения исходного пространства (углов Эйлера). Это топологическое ограничение - не существует покрывающего отображения 3-тора в 3-мерное реальное проективное пространство; единственная (нетривиальная) карта покрытия - из 3-сферы, как при использовании кватернионов.

. Для сравнения все переводы могут быть описаны с помощью трех чисел $x {\ displaystyle x}$ $x$ , $y {\ displaystyle y}$ $y$ и $z {\ displaystyle z}$ $z$ , как последовательность трех последовательных линейных перемещений вдоль трех перпендикулярные оси $X {\ displaystyle X}$ $X$ , $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ и $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ оси. То же самое верно и для поворотов: все повороты можно описать с помощью трех чисел: $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ и $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ , как последовательность трех вращательных движений вокруг трех осей, перпендикулярных друг другу. Это сходство между линейными координатами и угловыми координатами делает углы Эйлера очень интуитивно понятными, но, к сожалению, они страдают от проблемы блокировки кардана.

Потеря степени свободы с углами Эйлера

Вращение в трехмерном пространстве может быть представлено численно с помощью матриц несколькими способами. Одно из этих представлений:

R = [1 0 0 0 cos ⁡ α - sin ⁡ α 0 sin ⁡ α cos ⁡ α] [cos ⁡ β 0 sin ⁡ β 0 1 0 - sin ⁡ β 0 cos ⁡ β ] [соз ⁡ γ - грех ⁡ γ 0 грех ⁡ γ соз ⁡ γ 0 0 0 1] {\ displaystyle {\ begin {align} R = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 0 \ cos \ alpha - \ sin \ alpha \\ 0 \ sin \ alpha \ cos \ alpha \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ cos \ beta 0 \ sin \ beta \\ 0 1 0 \\ - \ sin \ beta 0 \ cos \ beta \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ cos \ gamma - \ sin \ gamma 0 \\\ sin \ gamma \ cos \ gamma 0 \\ 0 0 1 \ end {bmatrix}} \ end {выровнено}} }

{\ begin {align} R = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 0 \ cos \ alpha - \ sin \ alpha \\ 0 \ sin \ alpha \ cos \ alpha \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ cos \ beta 0 \ sin \ beta \\ 0 1 0 \\ - \ sin \ beta 0 \ cos \ beta \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ cos \ gamma - \ sin \ gamma 0 \\\ sin \ gamma \ cos \ gamma 0 \\ 0 0 1 \ end {bmatrix} } \ end {align}}

Стоит изучить пример, когда $β = π 2 {\ displaystyle \ beta = {\ tfrac {\ pi} {2}}}$ $\ beta = {\ tfrac {\ pi} {2}}$ . Зная, что $соз ⁡ π 2 = 0 {\ displaystyle \ cos {\ tfrac {\ pi} {2}} = 0}$ $\ cos {\ tfrac {\ pi} {2}} = 0$ и $sin ⁡ π 2 = 1 {\ displaystyle \ sin {\ tfrac {\ pi} {2}} = 1}$ $\ sin {\ tfrac {\ pi} {2}} = 1$ , приведенное выше выражение становится равным:

R = [1 0 0 0 cos ⁡ α - sin ⁡ α 0 sin ⁡ α соз ⁡ α] [0 0 1 0 1 0 - 1 0 0] [соз ⁡ γ - грех ⁡ γ 0 грех ⁡ γ соз ⁡ γ 0 0 0 1] {\ displaystyle {\ begin {align} R = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 0 \ cos \ alpha - \ sin \ alpha \\ 0 \ sin \ alpha \ cos \ alpha \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 0 1 \\ 0 1 0 \\ - 1 0 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ cos \ gamma - \ sin \ gamma 0 \\\ sin \ gamma \ cos \ gamma 0 \\ 0 0 1 \ end {bmatrix}} \ end {выровнено}}}

{\ begin {align} R = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 0 \ cos \ alpha - \ sin \ alpha \\ 0 \ sin \ alpha \ cos \ alpha \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 0 1 \\ 0 1 0 \\ - 1 0 0 \ end {bmatrix}} { \ begin {bmatrix} \ cos \ gamma - \ sin \ gamma 0 \\\ sin \ gamma \ cos \ gamma 0 \\ 0 0 1 \ end {bmatrix}} \ end {align}}

Выполнение умножения матриц :

R = [0 0 1 sin ⁡ α cos ⁡ α 0 - cos ⁡ α sin ⁡ α 0] [cos ⁡ γ - sin ⁡ γ 0 sin ⁡ γ cos ⁡ γ 0 0 0 1] = [0 0 1 sin ⁡ α cos ⁡ γ + cos ⁡ α sin ⁡ γ - sin ⁡ α sin ⁡ γ + cos ⁡ α cos ⁡ γ 0 - cos ⁡ α cos ⁡ γ + sin ⁡ α sin ⁡ γ соз ⁡ α грех ⁡ γ + грех ⁡ α соз ⁡ γ 0] {\ Displaystyle {\ begin {align} R = {\ begin {bmatrix} 0 0 1 \\\ sin \ alpha \ cos \ alp ha 0 \\ - \ cos \ alpha \ sin \ alpha 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ cos \ gamma - \ sin \ gamma 0 \\\ sin \ gamma \ cos \ gamma 0 \\ 0 0 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 0 1 \\\ sin \ alpha \ cos \ gamma + \ cos \ alpha \ sin \ gamma - \ sin \ alpha \ sin \ gamma + \ cos \ alpha \ cos \ gamma 0 \\ - \ cos \ alpha \ cos \ gamma + \ sin \ alpha \ sin \ gamma \ cos \ alpha \ sin \ gamma + \ sin \ alpha \ cos \ gamma 0 \ end {bmatrix }} \ end {align}}}

{ \ begin {align} R = {\ begin {bmatrix} 0 0 1 \\\ sin \ alpha \ cos \ alpha 0 \\ - \ cos \ alpha \ sin \ alpha 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix } \ cos \ gamma - \ sin \ gamma 0 \\\ sin \ gamma \ cos \ gamma 0 \\ 0 0 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 0 1 \\\ sin \ alpha \ cos \ gamma + \ cos \ alpha \ sin \ gamma - \ sin \ alpha \ sin \ gamma + \ cos \ alpha \ cos \ gamma 0 \\ - \ cos \ alpha \ cos \ gamma + \ sin \ alpha \ sin \ гамма \ cos \ alpha \ sin \ gamma + \ sin \ alpha \ cos \ gamma 0 \ end {bmatrix}} \ end {align}}

И, наконец, используя формулы тригонометрии :

R = [0 0 1 sin ⁡ (α + γ) cos ⁡ (α + γ) 0 - cos ⁡ (α + γ) грех ⁡ (α + γ) 0] {\ displaystyle {\ begin {align} R = {\ begin {bmatrix} 0 0 1 \\\ sin (\ alpha + \ gamma) \ cos (\ alpha + \ gamma) 0 \\ - \ cos (\ alpha + \ gamma) \ sin (\ alpha + \ gamma) 0 \ end {bmatrix}} \ end {align}}}

{\ be джин {выровненный} R = {\ begin {bmatrix} 0 0 1 \\\ sin (\ alpha + \ gamma) \ cos (\ alpha + \ gamma) 0 \\ - \ cos (\ alpha + \ gamma) \ sin (\ alpha + \ gamma) 0 \ end {bmatrix}} \ end {align}}

Изменение значений $α { \ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ и $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ в приведенной выше матрице имеет те же эффекты: угол поворота $α + γ {\ displaystyle \ alpha + \ gamma}$ $\ alpha + \ gamma$ изменяется, но ось вращения остается в $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ direction: последний столбец и первая строка в матрице не изменятся. Единственное решение для $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ и $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ восстановить разные роли - это изменить $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ .

Можно представить самолет, повернутый на вышеупомянутые углы Эйлера, используя соглашение XYZ . В этом случае первый угол - $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ - это шаг. Затем значение рыскания устанавливается на $π 2 {\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {2}}}$ ${\ tfrac {\ pi} {2}}$ , а окончательный поворот - на $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ - снова тангаж самолета. Из-за блокировки кардана он потерял одну из степеней свободы - в данном случае способность катиться.

Также можно выбрать другое соглашение для представления поворота с помощью матрицы с использованием углов Эйлера, чем соглашение XYZ, указанное выше, а также выбрать другие интервалы изменения для углов, но в конце всегда есть хотя бы одно значение, для которого теряется степень свободы.

Проблема блокировки кардана не делает углы Эйлера «недействительными» (они всегда служат четко определенной системой координат), но делает их непригодными для некоторых практических приложений.

Альтернативное представление ориентации

Причиной блокировки кардана является представление ориентации в виде трех осевых вращений с углами Эйлера. Поэтому потенциальное решение состоит в том, чтобы представить ориентацию каким-либо другим способом. Это может быть матрица вращения , кватернион (см. кватернионы и пространственное вращение ) или аналогичное представление ориентации, в котором ориентация рассматривается как значение, а не три отдельных связанных значения. Учитывая такое представление, пользователь сохраняет ориентацию как значение. Чтобы применить угловые изменения, ориентация изменяется с помощью дельта-угла / поворота оси. Результирующая ориентация должна быть повторно нормализована, чтобы предотвратить накопление ошибки с плавающей запятой от последовательных преобразований. Для матриц повторная нормализация результата требует преобразования матрицы в ее ближайшее ортонормированное представление. Для кватернионов повторная нормализация требует выполнения нормализации кватернионов.

См. Также

Графики на SO (3)
Динамика полета
Север по координатной сетке (эквивалентная навигационная задача в полярных экспедициях)
Инерциальная навигационная система
Планирование движения
Кватернионы и пространственное вращение

Ссылки

^Джонатан Стрикленд (2008). «Что такое подвес и какое отношение он имеет к НАСА?».
^Адриан Попа (4 июня 1998 г.). «Re: Что подразумевается под термином« карданный замок »?».
^Крис Верплаетсе (1995). «Обзор дизайна пера и фона навигации». Архивировано из оригинального 14 февраля 2009 г.
^Chappell, Charles, D. (2006). «Опорные опоры шарнирного газового подшипника». CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
^Дэвид Хоаг (1963). «Руководство и навигация Apollo - Соображения по поводу Замок карданного подвеса Apollo IMU - Документ приборной лаборатории Массачусетского технологического института E-1344 ".
^Эрик М. Джонс; Пол Фьелд (2006). " Углы подвеса, замок кардана и четвертый карданный подвес на Рождество ".
^ANSI / RIA R15.06-1999

Внешние ссылки