One-form

редактировать

Линейные функционалы (1-формы) α, βи их сумма σ и векторы u, v, w, в 3d евклидовом пространстве. Количество (1-форма) гиперплоскостей, пересекаемых вектором, равно внутреннему произведению.

В линейной алгебре, одноформной на векторное пространство совпадает с линейным функционалом в пространстве. Использование одной формы в этом контексте обычно отличает единичные формы от полилинейных функционалов более высокой степени в пространстве. Подробнее см. линейный функционал.

. В дифференциальной геометрии одноформный на дифференцируемом многообразии является гладким раздел из котангенциального пучка. Эквивалентно, одна форма на многообразии M - это гладкое отображение тотального пространства касательного расслоения M на $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , ограничение на каждый слой которого является линейным функционалом на касательном пространстве. Символически

α: T M → R, α x = α | T x M: T x M → R, {\ displaystyle \ alpha: TM \ rightarrow {\ mathbb {R}}, \ quad \ alpha _ {x} = \ alpha | _ {T_ {x} M}: T_ { x} M \ rightarrow {\ mathbb {R}},}

{\ displaystyle \ alpha: TM \ rightarrow {\ mathbb {R}}, \ quad \ alpha _ {x} = \ alpha | _ {T_ {x} M}: T_ {x } M \ rightarrow {\ mathbb {R}},}

где α x линейно.

Часто единичные формы описываются локально, особенно в локальных координатах. В локальной системе координат единичная форма - это линейная комбинация дифференциалов координат:

α x = f 1 (x) dx 1 + f 2 (x) dx 2 + ⋯ + fn (x) dxn, {\ displaystyle \ alpha _ {x} = f_ {1} (x) \, dx_ {1} + f_ {2} (x) \, dx_ {2} + \ cdots + f_ { n} (x) \, dx_ {n},}

{ \ Displaystyle \ альфа _ {х} = f_ {1} (x) \, dx_ {1} + f_ {2} (x) \, dx_ {2} + \ cdots + f_ {n} (x) \, dx_ {n},}

где f i - гладкие функции. С этой точки зрения, одна форма имеет закон ковариантного преобразования при переходе от одной системы координат к другой. Таким образом, единичная форма - это ковариантное тензорное поле порядка 1.

Содержание

1 Примеры
- 1.1 Приложения
- 1.2 Дифференциал
2 Дифференциал функции
3 См. Также
4 Ссылки

Примеры

Приложения

Многие реальные концепции можно описать как единые формы:

Индексирование в вектор: второй элемент трехвектора - задается одноформной [0, 1, 0]. То есть второй элемент [x, y, z] равен

[0, 1, 0] · [x, y, z] = y.

Среднее : средний элемент n. -вектор задается однозначной формой [1 / n, 1 / n,..., 1 / n]. То есть

означает ⁡ (v) = [1 / n, 1 / n,…, 1 / n] ⋅ v. {\ displaystyle \ operatorname {mean} (v) = [1 / n, 1 / n, \ dots, 1 / n] \ cdot v.}

\ имя оператора {среднее} (v) = [1 / n, 1 / n, \ точки, 1 / n] \ cdot v.

Выборка : выборку с ядром можно рассматривать как единицу. -форма, где единичная форма - это ядро, смещенное в соответствующее место.
Чистая приведенная стоимость чистого денежного потока, R (t), дается единичной формой w (t): = (1 + i), где i - ставка дисконтирования. То есть

N P V (R (t)) = ⟨w, R⟩ = ∫ t = 0 ∞ R (t) (1 + i) t d t. {\ Displaystyle \ mathrm {NPV} (R ​​(t)) = \ langle w, R \ rangle = \ int _ {t = 0} ^ {\ infty} {\ frac {R (t)} {(1 + я) ^ {t}}} \, dt.}

\ mathrm {NPV} (R ​​(t)) = \ langle w, R \ rangle = \ int _ {t = 0} ^ {\ infty} {\ frac {R (t)} {(1 + i) ^ {t}}} \, dt.

Дифференциальная

Самая основная нетривиальная дифференциальная форма - это форма «изменения угла» $d θ. {\ displaystyle d \ theta.}$ $d \ theta.$ Это определяется как производная от угловой "функции" $θ (x, y) {\ displaystyle \ theta (x, y)}$ $\ theta (x, y)$ (который определяется только с точностью до аддитивной константы), который может быть явно определен в терминах функции atan2 $atan2 ⁡ (y, x) = arctan ⁡ (y / x). {\ displaystyle \ operatorname {atan2} (y, x) = \ operatorname {arctan} (y / x).}$ $\ operatorname {atan2} (y, x) = \ operatorname {arctan} (y / x).$ Взяв производную, получаем следующую формулу для полной производной :

d θ знак равно ∂ Икс (atan2 ⁡ (y, x)) dx + ∂ y (atan2 ⁡ (y, x)) dy = - yx 2 + y 2 dx + xx 2 + y 2 dy {\ displaystyle {\ begin {выровнено } d \ theta = \ partial _ {x} \ left (\ operatorname {atan2} (y, x) \ right) dx + \ partial _ {y} \ left (\ operatorname {atan2} (y, x) \ right) dy \\ = - {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dx + {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dy \ end {align}}}

{\ begin {align} d \ theta = \ partial _ {x} \ left (\ operatorname {atan2} (y, x) \ right) dx + \ partial _ {y} \ left (\ operatorname {atan2} (y, x) \ right) dy \\ = - {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dx + {\ frac { x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dy \ end {align}}

В то время как "функция" угла не может быть определена непрерывно - функция atan2 является разрывной вдоль отрицательной оси y - что отражает тот факт, что угол не может быть определен непрерывно, эта производная определяется непрерывно, за исключением начало координат, отражающее тот факт, что бесконечно малые (и даже локальные) изменения угла могут быть определены везде, кроме начала координат. Интегрирование этой производной по траектории дает полное изменение угла по траектории, а интегрирование по замкнутому контуру дает число обмоток, умноженное на 2π.

На языке дифференциальной геометрии эта производная является одной формой, и она замкнута (ее производная равна нулю), но не точна (это не производная 0-формы, т. Е. Функция), и фактически она порождает первую когомологию де Рама выколотой плоскости. Это самый простой пример такой формы, и он является фундаментальным в дифференциальной геометрии.

Дифференциал функции

Пусть $U ⊆ R {\ displaystyle U \ substeq \ mathbb {R}}$ $U \ substeq \ mathbb {R}$ будет открытым (например, интервал $(a, b) {\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ ), и рассмотрим дифференцируемую функцию $f: U → R {\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R}}$ $f: U \ to \ mathbb {R}$ , с производной f '. Дифференциальная df функции f в точке $x 0 ∈ U {\ displaystyle x_ {0} \ in U}$ $x_ {0} \ in U$ определяется как некое линейное отображение переменной dx. В частности, $df (x 0, ⋅): dx ↦ f ′ (x 0) dx {\ displaystyle df (x_ {0}, \ cdot): dx \ mapsto f '(x_ {0}) dx}$ $df(x_{0},\cdot):dx\mapsto f'(x_{0})dx$ . (Таким образом раскрывается значение символа dx: это просто аргумент или независимая переменная линейной функции $df (x 0, ⋅) {\ displaystyle df (x_ {0}, \ cdot)}$ ${\ displaystyle df (x_ {0}, \ cdot)}$ .) Следовательно, карта $x ↦ df (x) {\ displaystyle x \ mapsto df (x)}$ ${\ displaystyle x \ mapsto df ( x)}$ отправляет каждую точку x в линейный функционал $df (x, ⋅) {\ displaystyle df (x, \ cdot)}$ ${\ displaystyle df (x, \ cdot)}$ . Это простейший пример дифференциальной (одно-) формы.

В терминах коцепного комплекса де Рама один имеет присвоение от нулевых форм (скалярных функций) к одноформам, т. Е. $f ↦ df {\ displaystyle f \ mapsto df}$ $f \ mapsto df$ .

См. также

Ссылки