Естественная трансформация

редактировать

Центральный объект изучения теории категорий

В теории категорий, ветвь математика, естественное преобразование обеспечивает способ преобразования одного функтора в другой с учетом внутренней структуры (т. Е. Композиции морфизмов ) вовлеченных категорий. Следовательно, естественное преобразование можно рассматривать как «морфизм функторов». В самом деле, эту интуицию можно формализовать для определения так называемых категорий функторов. После категорий и функторов естественные преобразования являются одним из самых фундаментальных понятий теории категорий и, следовательно, появляются в большинстве ее приложений.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
- 2.1 Противоположная группа
- 2.2 Абелианизация
- 2.3 Гомоморфизм Гуревича
- 2.4 Детерминант
- 2.5 Двойной двойник векторного пространства
- 2.6 Конечное исчисление
- 2.7 Тензорно-гомоприсоединение
3 Неестественный изоморфизм
- 3.1 Пример: фундаментальная группа тора
- 3.2 Пример: двойственное конечномерное векторное пространство
4 Операции с естественными преобразованиями
5 Категории функторов
- 5.1 Другие примеры
6 Лемма Йонеда
7 Исторические заметки
8 См. Также
9 Примечания
10 Ссылки
11 Внешние ссылки

Определение

Если $F {\ displaystyle F}$ $F$ и $G {\ displaystyle G}$ $G$ являются функторами между категориями $C {\ displaystyle C}$ $C$ и $D {\ displaystyle D}$ $D$ , затем естественное преобразование $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ от $F {\ displaystyle F}$ $F$ до $G {\ displaystyle G}$ $G$ - семейство морфизмов, удовлетворяющее двум требованиям. ts.

Естественное преобразование должно ассоциировать с каждым объектом $X {\ displaystyle X}$ $X$ в $C {\ displaystyle C}$ $C$ морфизм $η X: F (X) → G (X) {\ displaystyle \ eta _ {X}: F (X) \ to G (X)}$ ${\ displaystyle \ eta _ {X}: F (X) \ to G (X)}$ между объектами $Д {\ Displaystyle D}$ $D$ . Морфизм $η X {\ displaystyle \ eta _ {X}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {X}}$ называется компонентом из $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ at $X {\ displaystyle X}$ $X$ .
Компоненты должны быть такими, чтобы для каждого морфизма $f: X → Y {\ displaystyle f: X \ to Y}$ ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ в $C {\ displaystyle C}$ $C$ имеем:

η Y ∘ F (f) = G (f) ∘ η X {\ displaystyle \ eta _ {Y} \ circ F (f) = G ( f) \ circ \ eta _ {X}}

\ eta_Y \ circ F (f) = G (е) \ circ \ eta_X

Последнее уравнение удобно выразить с помощью коммутативной диаграммы

Если и $F {\ displaystyle F}$ $F$ , и $G {\ displaystyle G}$ $G$ контравариантны, вертикальные стрелки на этой диаграмме перевернуты. Если $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ является естественным преобразованием из $F {\ displaystyle F}$ $F$ в $G {\ displaystyle G}$ $G$ , мы также пишем $η: F → G {\ displaystyle \ eta: F \ to G}$ ${\ displaystyle \ eta: F \ to G}$ или $η: F ⟹ G {\ displaystyle \ eta: F \ подразумевает G}$ ${\ displaystyle \ eta: F \ подразумевает G}$ . Это также выражается следующим образом: семейство морфизмов $η X: F (X) → G (X) {\ displaystyle \ eta _ {X}: F (X) \ to G (X)}$ ${\ displaystyle \ eta _ {X}: F (X) \ to G (X)}$ равно натуральному в $X {\ displaystyle X}$ $X$ .

If, для каждого объекта $X {\ displaystyle X}$ $X$ в $C {\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ , морфизм $η X {\ displaystyle \ eta _ {X}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {X}}$ является изоморфизмом в $D {\ displaystyle D}$ $D$ , тогда $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ называется естественным изоморфизмом (или иногда естественной эквивалентностью или изоморфизм функторов ). Два функтора $F {\ displaystyle F}$ $F$ и $G {\ displaystyle G}$ $G$ называются естественно изоморфными или просто изоморфными, если существует естественный изоморфизм из $F {\ displaystyle F}$ $F$ в $G {\ displaystyle G}$ $G$ .

неестественное преобразование $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ от $F {\ displaystyle F}$ $F$ до $G {\ displaystyle G}$ $G$ - это просто семейство морфизмов $η X: F (X) → G (X) {\ displaystyle \ eta _ {X}: F (X) \ to G (X)}$ ${\ displaystyle \ eta _ {X}: F (X) \ to G (X)}$ , для всех $X {\ displaystyle X}$ $X$ в $С {\ Displaystyle C}$ $C$ . Таким образом, естественное преобразование - это сверхъестественное преобразование, для которого $η Y ∘ F (f) = G (f) ∘ η X {\ displaystyle \ eta _ {Y} \ circ F (f) = G (f) \ circ \ eta _ {X}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {Y} \ circ F (f) = G (f) \ circ \ eta _ {X}}$ для каждого морфизма $f: X → Y {\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ . натурализатор из $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ , nat $(η) {\ displaystyle (\ eta)}$ ${\ displaystyle (\ eta)}$ , является самая большая подкатегория из $C {\ displaystyle C}$ $C$ , содержащая все объекты $C {\ displaystyle C}$ $C$ , на которых $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ ограничивается естественным преобразованием.

Примеры

Противоположная группа

Такие утверждения, как

«Каждая группа естественным образом изоморфна своей противоположной группе "

, которая изобилует современной математикой. теперь дайте точное значение этого утверждения, а также его доказательство. Рассмотрим категорию $Grp {\ displaystyle {\ textbf {Grp}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {Grp}}}$ всех групп с гомоморфизмы группы как морфизмы. Если $(G, ∗) {\ displaystyle (G, *)}$ $(G, *)$ является группой, мы определяем ее противоположную группу $(G op, * op) {\ displaystyle (G ^ {\ text {op}}, {\ text {*}} ^ {\ text {op}})}$ ${\ displaystyle (G ^ {\ text {op}}, {\ text {*}} ^ {\ text {op}})}$ следующим образом: $G op {\ displaystyle G ^ {\ text {op}}}$ ${\ displaystyle G ^ {\ text {op}}}$ - это то же самое, что и $G {\ displaystyle G}$ $G$ , а операция $∗ op {\ displaystyle * ^ {\ text {op}}}$ ${\ displaystyle * ^ {\ текст {op}}}$ определяется как $a ∗ op b = b ∗ a {\ displaystyle a * ^ {\ text {op}} b = b * a}$ ${\ displaystyle a * ^ {\ text {op}} b = b * a}$ . Все умножения в $G op {\ displaystyle G ^ {\ text {op}}}$ ${\ displaystyle G ^ {\ text {op}}}$ , таким образом, «переворачиваются». Формирование противоположной группы становится (ковариантный) функтор от $Grp {\ displaystyle {\ textbf {Grp}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {Grp}}}$ до $Grp {\ displaystyle {\ textbf {Grp}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {Grp}}}$ , если мы определим $f op = f {\ displaystyle f ^ {\ text {op}} = f}$ ${\ displaystyle f ^ {\ text {op}} = f}$ для любого гомоморфизма группы $f: G → H {\ displaystyle f: G \ to H}$ $f: G \ to H$ . Обратите внимание, что $f op {\ displaystyle f ^ {\ text {op}}}$ ${\ displaystyle f ^ {\ text {op}}}$ действительно является гомоморфизмом группы из $G op {\ displaystyle G ^ {\ text {op}}} От$ ${\ displaystyle G ^ {\ text {op}}}$ до $H op {\ displaystyle H ^ {\ text {op}}}$ ${ \ displaystyle H ^ {\ text {op}}}$ :

f op (a ∗ op b) = f (b ∗ a) = f (b) ∗ f (a) = f op (a) ∗ op f op (b). {\ displaystyle f ^ {\ text {op}} (a * ^ {\ text {op}} b) = f (b * a) = f (b) * f (a) = f ^ {\ text {op }} (a) * ^ {\ text {op}} f ^ {\ text {op}} (b).}

{\ displaystyle f ^ {\ text {op}} (a * ^ {\ text {op}} b) = f (b * a) = f (b) * f (a) = f ^ {\ text {op}} (a) * ^ {\ text {op}} f ^ {\ text {op}} (b).}

Содержание приведенного выше оператора:

"Функтор идентичности

Id Grp: Grp → Grp {\ displaystyle {\ text {Id}} _ {\ textbf {Grp}}: {\ textbf {Grp}} \ to {\ textbf {Grp}}}

{\ displaystyle {\ text {Id}} _ {\ textbf {Grp}}: {\ textbf {Grp}} \ to {\ textbf {Grp}}}

естественно изоморфен к противоположному функтору

op: Grp → Grp {\ displaystyle {\ text {op}}: {\ textbf {Grp}} \ to {\ textbf {Grp}}}

{\ displaystyle {\ text {op}}: {\ textbf {Grp}} \ to {\ textbf {Grp}}}

Чтобы доказать это, нам нужно обеспечить изоморфизмы $η G: G → G op {\ displaystyle \ eta _ {G}: G \ to G ^ {\ text {op}}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {G}: G \ to G ^ {\ text {op}}}$ для каждой группы $G {\ displaystyle G}$ $G$ , так что диаграмма выше коммутирует. Установите $η G (a) = a - 1 {\ displaystyle \ eta _ {G} (a) = a ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {G} (a) = a ^ {- 1}}$ . Формулы $(a ∗ b) - 1 = b - 1 ∗ a - 1 = a - 1 ∗ op b - 1 {\ displaystyle (a * b) ^ {- 1} = b ^ {- 1} * a ^ {- 1} = a ^ {- 1} * ^ {\ text {op}} b ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle (a * b) ^ {- 1} = b ^ {- 1} * a ^ {- 1} = a ^ {- 1} * ^ {\ text {op}} b ^ {- 1}}$ и $(a - 1) - 1 = a {\ displaystyle (a ^ {- 1}) ^ {- 1} = a}$ ${\ displaystyle (a ^ {- 1}) ^ {- 1} = a}$ показывает, что $η G {\ displaystyle \ eta _ {G}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {G}}$ - групповая шлюшка моморфизм с инверсией $η G op {\ displaystyle \ eta _ {G ^ {\ text {op}}}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {G ^ {\ text {op}}}}$ . Чтобы доказать естественность, мы начнем с гомоморфизма групп $f: G → H {\ displaystyle f: G \ to H}$ $f: G \ to H$ и покажем $η H ∘ f = f op ∘ η G {\ displaystyle \ eta _ {H} \ circ f = f ^ {\ text {op}} \ circ \ eta _ {G}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {H} \ circ f = f ^ {\ text {op}} \ circ \ eta _ {G} }$ , т.е. $(f (a)) - 1 = f op (a - 1) {\ displaystyle (f (a)) ^ {- 1} = f ^ {\ text {op}} (a ^ {- 1})}$ ${\ displaystyle (f (a)) ^ {- 1} = f ^ {\ text {op}} (a ^ {- 1})}$ для всех $a {\ displaystyle a}$ $a$ в $G {\ displaystyle G}$ $G$ . Это верно, поскольку $f op = f {\ displaystyle f ^ {\ text {op}} = f}$ ${\ displaystyle f ^ {\ text {op}} = f}$ и каждый гомоморфизм группы имеет свойство $(f (a)) - 1 = f (a - 1) {\ displaystyle (f (a)) ^ {- 1} = f (a ^ {- 1})}$ ${\ displaystyle (f (a)) ^ {- 1} = f ( a ^ {- 1})}$ .

абелианизация

для группы $G { \ displaystyle G}$ $G$ , мы можем определить его абелианизацию $G ab = G / {\ displaystyle G ^ {\ text {ab}} = G /}$ ${\ displaystyle G ^ {\ text {ab}} = G /}$ $[ G, G] {\ displaystyle [G, G]}$ $[G, G]$ . Пусть $π G: G → G ab {\ displaystyle \ pi _ {G}: G \ to G ^ {\ text {ab}}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {G}: G \ to G ^ {\ text {ab}}}$ обозначает карту проекции на смежные классы $[G, G] {\ displaystyle [G, G]}$ $[G, G]$ . Этот гомоморфизм «естественен в $G {\ displaystyle G}$ $G$ », т.е. он определяет естественное преобразование, которое мы сейчас проверим. Пусть $H {\ displaystyle H}$ $H$ будет группой. Для любого гомоморфизма $f: G → H {\ displaystyle f: G \ to H}$ $f: G \ to H$ мы имеем, что $[G, G] {\ displaystyle [G, G]}$ $[G, G]$ содержится в ядре $π H ∘ f {\ displaystyle \ pi _ {H} \ circ f}$ ${\ displaystyle \ pi _ { H} \ circ f}$ , потому что любой гомоморфизм в абелеву группу уничтожает коммутаторную подгруппу. Тогда $π H ∘ f {\ displaystyle \ pi _ {H} \ circ f}$ ${\ displaystyle \ pi _ { H} \ circ f}$ умножается на $G ab {\ displaystyle G ^ {\ text {ab}}}$ ${\ displaystyle G ^ {\ text {ab}}}$ как $f ab ∘ π G = π H ∘ f {\ displaystyle f ^ {\ text {ab}} \ circ \ pi _ {G} = \ pi _ {H} \ circ f}$ ${\ displaystyle f ^ {\ text {ab}} \ circ \ pi _ {G} = \ pi _ {H} \ circ f}$ для уникального гомоморфизма $f ab: G ab → H ab {\ displaystyle f ^ {\ text {ab}}: G ^ {\ text {ab}} \ to H ^ {\ text {ab }}}$ ${\ displaystyle f ^ {\ текст {ab}}: G ^ {\ text {ab}} \ to H ^ {\ text {ab}}}$ . Это делает $ab: Grp → Grp {\ displaystyle {\ text {ab}}: {\ textbf {Grp}} \ to {\ textbf {Grp}}}$ ${\ displaystyle {\ text {ab}}: {\ textbf {Grp}} \ to {\ textbf {Grp}}}$ функтором и $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ естественное преобразование, но не естественный изоморфизм, из тождественного функтора в $ab {\ displaystyle {\ text {ab}}}$ ${\ displaystyle {\ text {ab}}}$ .

гомоморфизм Гуревича

Функторы и естественные преобразования изобилуют алгебраической топологией, с примерами гомоморфизмов Гуревича. Для любого точечного топологического пространства $(X, x) {\ displaystyle (X, x)}$ ${\ displaystyle (X, x)}$ и положительного целого числа $n {\ displaystyle n}$ $n$ существует гомоморфизм группы

h ∗: π n (X, x) → H n (X) {\ displaystyle h _ {*} \ двоеточие \ pi _ {n} (X, x) \ в H_ {n} (X)}

{\ displaystyle h _ {*} \ двоеточие \ pi _ {n} (X, x) \ to H_ {n} (X)}

из $n {\ displaystyle n}$ $n$ -й гомотопической группы из $(X, x) {\ displaystyle (X, x)}$ ${\ displaystyle (X, x)}$ в $n {\ displaystyle n}$ $n$ -й группу гомологии из $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Оба $π n {\ displaystyle \ pi _ {n}}$ $\ pi _ {n}$ и $H n {\ displaystyle H_ {n}}$ $H_ {n}$ являются функторами из категории Верх точечных топологических пространств в категорию Grp групп, и $h ∗ {\ displaystyle h _ {*}}$ ${\ displaystyle h _ {* }}$ является естественным преобразованием из $π n {\ displaystyle \ pi _ {n}}$ $\ pi _ {n}$ до $H n {\ displaystyle H_ {n}}$ $H_ {n}$ .

Определитель

Данные коммутативные кольца $R {\ displaystyle R}$ $R$ и $S {\ displaystyle S}$ $S$ с гомоморфизмом колец $f: R → S { \ displaystyle f: R \ to S}$ $f: R \ to S$ , соответствующие группы обратимых $n × n {\ displaystyle n \ times n}$ $n \ times n$ матриц $GL n (R) {\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n} (R)}$ ${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n} (R)}$ и $GL n (S) {\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n} (S)}$ ${\ displaystyle {\ text { GL}} _ {n} (S)}$ наследуют гомоморфизм, который мы обозначаем $GL n (f) {\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n} (f)}$ ${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n} (f)}$ , полученный применением $f {\ displaystyle f}$ $f$ к каждому элементу матрицы. Аналогично, $f {\ displaystyle f}$ $f$ ограничивается гомоморфизмом группы $f ∗: R ∗ → S ∗ {\ displaystyle f ^ {*}: R ^ {*} \ to S ^ {*}}$ ${\ displaystyle f ^ {*}: R ^ {*} \ к S ^ {*}}$ , где $R ∗ {\ displaystyle R ^ {*}}$ $R ^ {*}$ обозначает группу единиц из $R { \ Displaystyle R}$ $R$ . Фактически, $GL n {\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$ и $∗ {\ displaystyle *}$ $*$ являются функторами из категории коммутативных колец $CRing {\ displaystyle {\ textbf {CRing}}} от$ ${\ displaystyle {\ textbf {CRin g}}}$ до $Grp {\ displaystyle {\ textbf {Grp}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {Grp}}}$ . Определитель в группе $GL n (R) {\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n} (R)}$ ${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n} (R)}$ , обозначается $det R {\ displaystyle {\ text {det}} _ {R}}$ ${\ displaystyle {\ text {det}} _ {R }}$ , является гомоморфизмом группы

det R: GL n (R) → R ∗ {\ displaystyle {\ t_dv {det} } _ {R} \ двоеточие {\ t_dv {GL}} _ {n} (R) \ to R ^ {*}}

{\ displaystyle {\ t_dv {det}} _ {R} \ двоеточие {\ t_dv {GL}} _ {n} (R) \ to R ^ {*}}

, что естественно в $R {\ displaystyle R}$ $R$ : поскольку детерминант определяется по той же формуле для каждого кольца, $f ∘ det R = det S ∘ GL n (f) {\ displaystyle f \ circ {\ text {det}} _ {R} = { \ text {det}} _ {S} \ circ {\ text {GL}} _ {n} (f)}$ ${\ displaystyle f \ circ {\ text {det}} _ {R } = {\ текст {det}} _ {S} \ circ {\ text {GL}} _ {n} (f)}$ удерживается. Это делает определитель естественным преобразованием из $GL n {\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$ в $∗ {\ displaystyle *}$ $*$ .

Двойной двойственный векторное пространство

Если $K {\ displaystyle K}$ $К$ является полем, то для каждого векторного пространства $V {\ displaystyle V}$ $V$ поверх $K {\ displaystyle K}$ $К$ у нас есть «естественная» injective линейная карта $V → V ∗ ∗ {\ displaystyle V \ to V ^ {**}}$ $V \ to V ^ {{**}}$ из векторного пространства в его двойной двойственный. Эти отображения «естественны» в следующем смысле: двойная двойственная операция является функтором, а карты являются компонентами естественного преобразования тождественного функтора в двойной двойственный функтор.

Конечное исчисление

Для каждой абелевой группы $G {\ displaystyle G}$ $G$ множество $Hom Set (Z, U (G)) { \ displaystyle {\ text {Hom}} _ {\ textbf {Set}} (\ mathbb {Z}, U (G))}$ ${\ displaystyle {\ text {Hom}} _ {\ textbf { Установить}} (\ mathbb {Z}, U (G))}$ функций от целых чисел до базового набора $G {\ displaystyle G}$ $G$ образует абелеву группу $VZ (G) {\ displaystyle V _ {\ mathbb {Z}} (G)}$ ${\ displaystyle V _ {\ mathbb { Z}} (G)}$ при поточечном сложении. (Здесь $U {\ displaystyle U}$ $U$ - стандартный забывчивый функтор $U: Ab → Set {\ displaystyle U: {\ textbf {Ab}} \ to {\ textbf {Set}}}$ ${\ displaystyle U: {\ textbf {Ab}} \ to {\ textbf {Set}}}$ .) Учитывая $Ab {\ displaystyle {\ textbf {Ab}}}$ ${\ displaystyle {\ tex tbf {Ab}}}$ морфизм $φ: G → G ′ { \ displaystyle \ varphi: G \ to G '}$ $\varphi :G\to G'$ , карта $VZ (φ): VZ (G) → VZ (G') {\ displaystyle V _ {\ mathbb {Z}} ( \ varphi): V _ {\ mathbb {Z}} (G) \ to V _ {\ mathbb {Z}} (G ')}$ $V_{\mathbb {Z} }(\varphi):V_{\mathbb {Z} }(G)\to V_{\mathbb {Z} }(G')$ , полученный левой составляющей $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ с элементами первого сам по себе является гомоморфизмом абелевых групп; таким образом мы получаем функтор $VZ: Ab → Ab {\ displaystyle V _ {\ mathbb {Z}}: {\ textbf {Ab}} \ to {\ textbf {Ab}}}$ ${\ displaystyle V _ {\ mathbb {Z}}: {\ textbf {Ab}} \ to {\ textbf {Ab}}}$ . Оператор конечных разностей $Δ G {\ displaystyle \ Delta _ {G}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {G}}$ , принимающий каждую функцию $f: Z → U (G) {\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ к U (G)}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ to U (G)}$ к $Δ (f): n ↦ f (n + 1) - f (n) {\ displaystyle \ Delta (f): n \ mapsto f (n + 1) -f (n)}$ ${\ displaystyle \ Delta (f): n \ mapsto f (n + 1) -f (n)}$ - это карта из $VZ (G) {\ displaystyle V _ {\ mathbb {Z}} (G)}$ ${\ displaystyle V _ {\ mathbb { Z}} (G)}$ в себя, и набор $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ таких карт дает естественное преобразование $Δ: VZ → VZ {\ displaystyle \ Delta: V _ {\ mathbb {Z}} \ to V_ {\ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle \ Delta: V _ {\ mathbb {Z}} \ to V _ {\ mathbb {Z}}}$ .

Тензорно-гомологическое присоединение

Рассмотрим категорию $Ab {\ displaystyle {\ textbf {Ab}}}$ ${\ displaystyle {\ tex tbf {Ab}}}$ абелевых групп и групп гомоморфизмы. Для всех абелевых групп $X {\ displaystyle X}$ $X$ , $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ и $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ мы имеем групповой изоморфизм

Hom (Икс ⊗ Y, Z) → Hom (X, Hom (Y, Z)) {\ displaystyle {\ text {Hom}} (X \ otimes Y, Z) \ to {\ text {Hom}} ( X, {\ text {Hom}} (Y, Z))}

{\ displaystyle {\ text {Hom}} (X \ otimes Y, Z) \ to {\ text {Hom}} (X, {\ text {Hom} } (Y, Z))}

Эти изоморфизмы «естественны» в том смысле, что они определяют естественное преобразование между двумя задействованными функторами $Ab op × Ab op × Ab → Ab {\ displaystyle {\ textbf {Ab}} ^ {\ text {op}} \ times {\ textbf {Ab}} ^ {\ text {op}} \ times {\ textbf {Ab}} \ to {\ textbf {Ab}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf { Ab}} ^ {\ text {op}} \ times {\ textbf {Ab}} ^ {\ text {op}} \ times {\ textbf {Ab}} \ to {\ textbf {Ab}}}$ . (Здесь "op" - противоположная категория из $Ab {\ displaystyle {\ textbf {Ab}}}$ ${\ displaystyle {\ tex tbf {Ab}}}$ , не путать с тривиальной противоположной группой функтор на $Ab {\ displaystyle {\ textbf {Ab}}}$ ${\ displaystyle {\ tex tbf {Ab}}}$ !)

Формально это присоединение тензор-гом, и является архетипическим примером пары сопряженных функторов. Естественные преобразования часто возникают в сочетании с присоединенными функторами, и действительно, присоединенные функторы определяются некоторым естественным изоморфизмом. Кроме того, каждая пара сопряженных функторов оснащена двумя естественными преобразованиями (обычно не изоморфизмами), называемыми единицей и коит.

Неестественный изоморфизм

Понятие естественного преобразования категорично и заявляет (неформально), что конкретное отображение между функторами может быть выполнено согласованно для всей категории. Неформально конкретное отображение (особенно изоморфизм) между отдельными объектами (а не целыми категориями) называется «естественным изоморфизмом», подразумевая неявно, что оно фактически определено для всей категории и определяет естественное преобразование функторов; формализация этой интуиции была мотивирующим фактором в развитии теории категорий. И наоборот, конкретная карта между конкретными объектами может быть названа неестественным изоморфизмом (или «этот изоморфизм неестественен»), если карта не может быть расширена до естественного преобразования на всей категории. Дан объект $X, {\ displaystyle X,}$ $X,$ функтор $G {\ displaystyle G}$ $G$ (принимая для простоты первый функтор за тождество) и изоморфизм $η: X → G (X), {\ displaystyle \ eta \ двоеточие X \ to G (X),}$ $\ eta \ двоеточие X \ к G (X),$ доказательство неестественности легче всего показать с помощью автоморфизма $A: Икс → Икс {\ Displaystyle A \ двоеточие X \ к X}$ $A \ двоеточие X \ to X$ , который не коммутирует с этим изоморфизмом (так что $η ∘ A ≠ G (A) ∘ η {\ displaystyle \ eta \ circ A \ neq G (A) \ circ \ eta}$ $\ eta \ circ A \ neq G (A) \ circ \ eta$ ). Более того, если кто-то хочет доказать, что $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $G (X) {\ displaystyle G (X)}$ ${\ displaystyle G (X)}$ естественно не изоморфны, без ссылки на конкретный изоморфизм, для этого необходимо показать, что для любого изоморфизма $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ существует некоторый $A {\ displaystyle A}$ $A$ с которыми он не ездит; в некоторых случаях один автоморфизм $A {\ displaystyle A}$ $A$ работает для всех возможных изоморфизмов $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ , а в других случаях нужно показать, как построить различные $A η {\ displaystyle A _ {\ eta}}$ ${\ displaystyle A _ {\ eta}}$ для каждого изоморфизма. Карты категории играют решающую роль - любое сверхъестественное преобразование естественно, если, например, единственными картами являются карта идентичности.

Это похоже (но более категорично) на концепции теории групп или теории модулей, где данное разложение объекта в прямую сумму «неестественно» или, скорее, «не уникально», поскольку существуют автоморфизмы. которые не сохраняют разложение в прямую сумму - см. Структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов § Единственность, например.

Некоторые авторы различают условные обозначения, используя $≅ {\ displaystyle \ cong}$ $\ cong$ для естественного изоморфизма и $≈ {\ displaystyle \ приблизительно}$ $\ приблизительно$ для неестественный изоморфизм, оставляющий $= {\ displaystyle =}$ ${\ displaystyle =}$ для равенства (обычно равенства отображений).

Пример: фундаментальная группа тора

В качестве примера различия между функториальным утверждением и отдельными объектами рассмотрим гомотопические группы пространства произведения, в частности фундаментальную группу тора.

гомотопические группы пространства произведения естественным образом являются произведением гомотопических групп компонентов, $π n ((X, x 0) × (Y, y 0)) ≅ π N ((X, x 0)) × π N ((Y, y 0)), {\ displaystyle \ pi _ {n} ((X, x_ {0}) \ times (Y, y_ {0) })) \ cong \ pi _ {n} ((X, x_ {0})) \ times \ pi _ {n} ((Y, y_ {0})),}$ $\ pi_n ((X, x_0) \ times (Y, y_0)) \ cong \ pi_n ((X, x_0)) \ раз \ pi_n ((Y, y_0)),$ с изоморфизмом задается проекцией на два фактора, в основном потому, что отображения в пространство продукта - это в точности продукты отображений в компоненты - это функториальное утверждение.

Однако тор (который абстрактно является произведением двух окружностей) имеет фундаментальную группу, изоморфную $Z 2 {\ displaystyle Z ^ {2}}$ $Z ^ {2}$ , но разбиение $π 1 (T, t 0) ≈ Z × Z {\ displaystyle \ pi _ {1} (T, t_ {0}) \ приблизительно \ mathbf {Z} \ times \ mathbf {Z }}$ $\ pi_1 (T, t_0) \ приблизительно \ mathbf {Z} \ times \ mathbf {Z}$ неестественно. Обратите внимание на использование $≈ {\ displaystyle \ приблизительно}$ $\ приблизительно$ , $≅ {\ displaystyle \ cong}$ $\ cong$ и $= {\ displaystyle =}$ $=$ :

π 1 (T, t 0) ≈ π 1 (S 1, x 0) × π 1 (S 1, y 0) ≅ Z × Z = Z 2. {\ displaystyle \ pi _ {1} (T, t_ {0}) \ приблизительно \ pi _ {1} (S ^ {1}, x_ {0}) \ times \ pi _ {1} (S ^ {1 }, y_ {0}) \ cong \ mathbf {Z} \ times \ mathbf {Z} = \ mathbf {Z} ^ {2}.}

\ pi_1 (T, t_0) \ приблизительно \ pi_1 (S ^ 1, x_0) \ times \ pi_1 (S ^ 1, y_0) \ cong \ mathbf {Z} \ times \ mathbf {Z } = \ mathbf {Z} ^ 2.

Этот абстрактный изоморфизм с произведением неестественен, поскольку некоторые изоморфизмы $T {\ displaystyle T}$ $T$ не сохраняет продукт: самогомеоморфизм $T {\ displaystyle T}$ $T$ (рассматривается как частное пробел $R 2 / Z 2 {\ displaystyle R ^ {2} / \ mathbb {Z} ^ {2}}$ ${\ displaystyle R ^ {2} / \ mathbb {Z} ^ {2}}$ ), заданный как $(1 1 0 1) { \ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 1 \\ 0 1 \ end {smallmatrix}} \ right)}$ $\ left (\ begin {smallmatrix} 1 1 \\ 0 1 \ end {smallmatrix} \ right)$ (геометрически поворот Дена вокруг одной из образующих кривых) действует как эта матрица на $Z 2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$ $\ mathbb {Z} ^ {2}$ (она находится в общей линейной группе $GL (Z, 2) {\ displaystyle {\ text {GL}} (\ mathbb {Z}, 2)}$ ${\ displaystyle {\ text {GL}} (\ mathbb {Z}, 2)}$ обратимых целочисленных матриц), который не сохраняет разложение как произведение, поскольку оно не диагональное. Однако если представить тор как произведение $(T, t 0) = (S 1, x 0) × (S 1, y 0) {\ displaystyle (T, t_ {0}) = (S ^ {1}, x_ {0}) \ times (S ^ {1}, y_ {0})}$ $(T, t_0) = (S ^ 1, x_0) \ times ( S ^ 1, y_0)$ - эквивалентно, учитывая разбиение пространства - тогда разбиение группы следует из общее заявление ранее. В категориальном выражении соответствующая категория (сохраняющая структуру пространства продукта) - это «карты пространств продукта, а именно пара карт между соответствующими компонентами».

Естественность - это категориальное понятие, которое требует очень точного определения данных: тор как пространство, которое оказывается продуктом (в категории пространств и непрерывных отображений), отличается от тора. представлен как продукт (в категории продуктов двух пространств и непрерывных отображений между соответствующими компонентами).

Пример: двойственное конечномерное векторное пространство

Каждое конечномерное векторное пространство изоморфно своему двойственному пространству, но между этими двумя пространствами может быть много разных изоморфизмов. В общем случае нет естественного изоморфизма между конечномерным векторным пространством и его двойственным пространством. Однако связанные категории (с дополнительной структурой и ограничениями на карты) имеют естественный изоморфизм, как описано ниже.

Двойственное пространство конечномерного векторного пространства снова является конечномерным векторным пространством той же размерности, и, следовательно, они изоморфны, поскольку размерность является единственным инвариантом конечномерных векторных пространств над данной поле. Однако при отсутствии дополнительных ограничений (таких как требование, чтобы отображения сохраняли выбранный базис), отображение пространства в его двойственное не является уникальным, и, таким образом, такой изоморфизм требует выбора и является «неестественным». В категории конечномерных векторных пространств и линейных отображений можно определить инфестественный изоморфизм от векторных пространств к их двойственным, выбрав изоморфизм для каждого пространства (скажем, выбрав базис для каждого векторного пространства и взяв соответствующий изоморфизм), но это не будет определять естественную трансформацию. Интуитивно это связано с тем, что для этого требовался выбор, строго потому, что любой такой выбор изоморфизмов не коммутирует, скажем, с нулевым отображением; см. (MacLane Birkhoff 1999, §VI.4) для подробного обсуждения.

Начиная с конечномерных векторных пространств (как объектов) и тождественного и двойственного функторов, можно определить естественный изоморфизм, но для этого необходимо сначала добавить дополнительную структуру, а затем ограничить отображение «всех линейных карт» на «линейные карты, уважающие эту структуру». В явном виде для каждого векторного пространства потребовать, чтобы оно поставлялось с данными изоморфизма к его двойственному, $η V: V → V ∗ {\ displaystyle \ eta _ {V} \ двоеточие V \ to V ^ {*} }$ $\ eta_V \ двоеточие V \ to V ^ *$ . Другими словами, в качестве объектов возьмем векторные пространства с невырожденной билинейной формой $b V: V × V → K {\ displaystyle b_ {V} \ двоеточие V \ times V \ to K}$ $b_V \ двоеточие V \ times V \ к К$ . Это определяет сверхъестественный изоморфизм (изоморфизм для каждого объекта). Затем можно ограничить отображение только теми отображениями $T: V → U {\ displaystyle T \ двоеточие V \ to U}$ ${\ displaystyle T \ двоеточие V \ to U}$ , которые коммутируют с изоморфизмами: $T ∗ (η U (T (v))) знак равно η V (v) {\ Displaystyle T ^ {*} (\ eta _ {U} (T (v))) = \ eta _ {V} (v)}$ ${\ displaystyle T ^ {*} (\ eta _ {U} (T (v))) = \ eta _ {V} (v)}$ или, другими словами, сохранить билинейную форму: $b U (T (v), T (w)) = b V (v, w) {\ displaystyle b_ {U} (T (v), T (w)) = b_ {V} (v, w)}$ ${\ displaystyle b_ {U} (T (v), T (w)) = b_ {V} (v, w)}$ . (Эти отображения определяют натурализатор изоморфизмов.) Результирующая категория с объектами конечномерных векторных пространств с невырожденной билинейной формой и отображает линейные преобразования, которые уважают билинейную форму, по построению имеют естественный изоморфизм от единицы к двойственной форме. (каждое пространство имеет изоморфизм к своему двойственному, и карты в категории должны коммутировать). С этой точки зрения эта конструкция (добавление преобразований для каждого объекта, ограничение отображений для коммутации с ними) является полностью общей и не зависит от каких-либо конкретных свойств векторных пространств.

В этой категории (конечномерные векторные пространства с невырожденной билинейной формой, отображение линейных преобразований, учитывающих билинейную форму), двойственное отображение между векторными пространствами может быть идентифицировано как транспонирование. Часто из соображений геометрического интереса это делается в подкатегории, требуя, чтобы невырожденные билинейные формы обладали дополнительными свойствами, такими как симметричность (ортогональные матрицы ), симметричность и положительно определенная (внутреннее пространство произведения ), симметричные полуторалинейные (эрмитовы пространства ), кососимметричные и полностью изотропные (симплектическое векторное пространство ) и т. Д. - во всех этих категориях векторное пространство естественно отождествляется с его двойственная невырожденная билинейная форма.

Операции с естественными преобразованиями

Горизонтальная и вертикальная композиция естественных преобразований

Если $η: F → G {\ displaystyle \ eta: F \ to G}$ ${\ displaystyle \ eta: F \ to G}$ и $ϵ: G → H {\ displaystyle \ epsilon: G \ to H}$ ${\ displaystyle \ epsilon: G \ to H}$ - естественные преобразования между функторами $F, G, H: C → D {\ displaystyle F, G, H : C \ to D}$ ${\ displaystyle F, G, H: C \ to D}$ , затем мы можем составить их, чтобы получить естественное преобразование $ϵ η: F → H {\ displaystyle \ epsilon \ eta: F \ to H}$ ${\ displaystyle \ epsilon \ eta: F \ to H}$ . Это делается покомпонентно: $(ϵ η) X = ϵ X η X {\ displaystyle (\ epsilon \ eta) _ {X} = \ epsilon _ {X} \ eta _ {X}}$ ${\ displaystyle (\ epsilon \ eta) _ {X} = \ epsilon _ {X} \ eta _ {X}}$ . Эта «вертикальная композиция» естественного преобразования ассоциативна, имеет тождество и позволяет рассматривать совокупность всех функторов $C → D {\ displaystyle C \ to D}$ $C \ to D$ как категорию (см. ниже в разделе Категории функторов).

Природные трансформации тоже имеют «горизонтальную композицию». Если $η: F → G {\ displaystyle \ eta: F \ to G}$ $\ eta: F \ to G$ - естественное преобразование между функторами $F, G: C → D {\ displaystyle F, G: C \ to D}$ ${\ отображает tyle F, G: C \ to D}$ и $ϵ: J → K {\ displaystyle \ epsilon: J \ to K}$ ${\ displaystyle \ epsilon: J \ to K}$ - естественное преобразование между функторами $J, K: D → E {\ displaystyle J, K: D \ to E}$ ${\ displaystyle J, K: D \ to E}$ , тогда композиция функторов позволяет композицию естественных преобразований $ϵ ∗ η: JF → KG {\ displaystyle \ epsilon * \ eta : От JF \ до KG}$ ${\ displaystyle \ epsilon * \ eta : JF \ to KG}$ . Эта операция также ассоциативна с идентичностью, и идентичность совпадает с таковой для вертикальной композиции. Эти две операции связаны тождеством, которое заменяет вертикальную композицию горизонтальной композицией.

Если $η: F → G {\ displaystyle \ eta: F \ to G}$ $\ eta: F \ to G$ является естественным преобразованием между функторами $F, G: C → D {\ displaystyle F, G: C \ to D}$ ${\ отображает tyle F, G: C \ to D}$ и $H: D → E {\ displaystyle H: D \ to E}$ ${\ displaystyle H: D \ to E }$ - еще один функтор, тогда мы можем сформировать естественное преобразование $H (η): HF → HG {\ displaystyle H (\ eta): HF \ to HG}$ ${\ displaystyle H (\ eta): HF \ to HG}$ путем определения

(H η) X = H η X. {\ displaystyle (H \ eta) _ {X} = H \ eta _ {X}.}

(H \ eta) _X = H \ eta_X.

Если, с другой стороны, $K: B → C {\ displaystyle K: B \ to C}$ ${\ displaystyle K: B \ to C}$ - функтор, естественное преобразование $η K: FK → GK {\ displaystyle \ eta K: FK \ to GK}$ ${\ displaystyle \ eta K: FK \ to GK}$ определяется как

(η K) X = η K (X). {\ displaystyle (\ eta K) _ {X} = \ eta _ {K (X)}.}

{\ displaystyle (\ eta K) _ { X} = \ eta _ {K (X)}.}

Категории функторов

Если $C {\ displaystyle C}$ $C$ - любая категория, а $I {\ displaystyle I}$ $Я$ - малая категория, мы можем сформировать категорию функторов $CI {\ displaystyle C ^ {I}}$ $C ^ I$ имея в качестве объектов все функторы от $I {\ displaystyle I}$ $Я$ до $C {\ displaystyle C}$ $C$ и как морфизмы - естественные преобразования между этими функторами. Это формирует категорию, поскольку для любого функтора $F {\ displaystyle F}$ $F$ существует тождественное естественное преобразование $1 F: F → F {\ displaystyle 1_ {F}: F \ to F }$ ${\ displaystyle 1_ {F}: F \ to F}$ (который присваивает каждому объекту $X {\ displaystyle X}$ $X$ морфизм идентичности на $F (X) {\ displaystyle F (X)}$ $F (X)$ ) и композиция двух естественных преобразований («вертикальная композиция» выше) снова является естественным преобразованием.

изоморфизмы в $C I {\ displaystyle C ^ {I}}$ $C ^ I$ в точности естественные изоморфизмы. То есть естественное преобразование $η: F → G {\ displaystyle \ eta: F \ to G}$ $\ eta: F \ to G$ является естественным изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует естественное преобразование $ϵ: G → F {\ displaystyle \ epsilon: G \ to F}$ $\ epsilon: G \ to F$ так, что $η ϵ = 1 G {\ displaystyle \ eta \ epsilon = 1_ {G}}$ ${\ displaystyle \ eta \ epsilon = 1_ {G}}$ и $ϵ η = 1 F {\ displaystyle \ epsilon \ eta = 1_ {F}}$ ${\ displaystyle \ epsilon \ eta = 1_ {F}}$ .

Категория функторов $CI {\ displaystyle C ^ {I}}$ $C ^ I$ особенно полезна, если $I {\ displaystyle I}$ $Я$ возникает из ориентированного графа. Например, если $I {\ displaystyle I}$ $Я$ - категория ориентированного графа • → •, то $CI {\ displaystyle C ^ {I}}$ $C ^ I$ имеет в качестве объектов морфизмы $C {\ displaystyle C}$ $C$ и морфизм между $ϕ: U → V {\ displaystyle \ phi: U \ to V}$ ${\ displaystyle \ phi: U \ to V}$ и $ψ: X → Y {\ displaystyle \ psi: X \ to Y}$ ${\ displaystyle \ psi: X \ to Y}$ в $CI {\ displaystyle C ^ {I}}$ $C ^ I$ - пара морфизмов $f: U → X {\ displaystyle f: U \ to X}$ $f: U \ в X$ и $g: V → Y {\ displaystyle g: V \ to Y}$ ${\ displaystyle g: V \ to Y}$ в $C {\ displaystyle C}$ $C$ так, что «квадрат коммутирует», т.е. $ψ ∘ f = g ∘ ϕ {\ displaystyle \ psi \ circ f = g \ circ \ phi }$ ${\ displaystyle \ psi \ circ f = g \ circ \ phi}$ .

В более общем плане можно построить 2-category $Cat {\ displaystyle {\ textbf {Cat}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {Cat}}}$ ,

0-ячейки (объекты) - это маленькие категории,
1-ячейки (стрелки) между двумя объектами $C {\ displaystyle C}$ $C$ и $D {\ displaystyle D}$ $D$ - это функторы от $C {\ displaystyle C}$ $C$ до $D {\ displaystyle D}$ $D$ ,
2-ячейки между двумя 1-ячейками (функторы) $F: C → D {\ displaystyle F: C \ to D}$ $F: C \ к D$ и $G: C → D {\ displaystyle G: C \ to D}$ $G: C \ to D$ - это естественные преобразования из $F {\ displaystyle F}$ $F$ в $G {\ displaystyle G}$ $G$ .

Горизонтальная и вертикальная композиции - это композиции между естественными трансформациями, описанными ранее. Категория функторов $C I {\ displaystyle C ^ {I}}$ $C ^ I$ тогда является просто гом-категорией в этой категории (не говоря уже о проблемах с малостью).

Дополнительные примеры

Каждый limit и colimit предоставляет пример простого естественного преобразования, поскольку конус представляет собой естественное преобразование с диагональный функтор как область. В самом деле, если пределы и копределы определены непосредственно в терминах их универсального свойства, они являются универсальными морфизмами в категории функторов.

Лемма Йонеды

Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ является объектом локально небольшой категории $C {\ displaystyle C}$ $C$ , затем присвоение $Y ↦ Hom C (X, Y) {\ displaystyle Y \ mapsto {\ text {Hom}} _ {C} (X, Y)}$ ${\ displaystyle Y \ mapsto {\ text {Hom}} _ {C} (X, Y)}$ определяет ковариантный функтор $FX: C → Set {\ displaystyle F_ {X}: C \ to {\ textbf {Set}}}$ ${\ displaystyle F_ {X} : C \ to {\ textbf {Set}}}$ . Этот функтор называется представимым (в более общем смысле представимым функтором является любой функтор, естественно изоморфный этому функтору при соответствующем выборе $X {\ displaystyle X}$ $X$ ). Естественные преобразования представимого функтора в произвольный функтор $F: C → Set {\ displaystyle F: C \ в {\ textbf {Set}}}$ ${\ displaystyle F: C \ to {\ textbf {Set}} }$ полностью известны и легко описываются; это содержание леммы Йонеды.

Исторические заметки

Сондерс Мак Лейн, один из основоположников теории категорий, как говорят, заметил: «Я изобретал категории не для изучения функторов. ; Я изобрел их, чтобы изучать естественные превращения ». Подобно тому, как изучение групп не будет полным без изучения гомоморфизмов, изучение категорий не будет полным без изучения функторов. Причина комментария Мак Лейна заключается в том, что изучение функторов само по себе не будет полным без изучения естественных преобразований.

Контекстом замечания Мак Лейна была аксиоматическая теория гомологии. Можно показать, что различные способы построения гомологии совпадают: например, в случае симплициального комплекса группы, определенные непосредственно, будут изоморфны группам сингулярной теории. Что не может быть легко выражено без языка естественных преобразований, так это то, как группы гомологий совместимы с морфизмами между объектами и как две эквивалентные теории гомологий имеют не только одни и те же группы гомологий, но и одинаковые морфизмы между этими группами.

См. Также

Портал математики

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

nLab, вики-проект по математике, физике и философии с акцентом на n-категориальную точку зрения
Андре Жояль, CatLab, вики-проект, посвященный описанию категориальная математика
Хиллман, Крис. «Категорический букварь». CiteSeerX 10.1.1.24.3264 : Отсутствует или пусто | url =() формальное введение в категорию теория.
J. Адамек, Х. Херрлих, Г. Штекер, Абстрактные и конкретные категории - радость кошек
Стэнфордская философская энциклопедия : «Теория категорий » - Жан-Пьер Маркиз. Обширная библиография.
Список научных конференций по теории категорий
Баез, Джон, 1996, «Повесть о n-категориях. » Неформальное введение в высшие категории.
WildCats - это пакет теории категорий для Mathematica. Манипуляция и визуализация объектов, морфизмы, категории, функторы, естественные преобразования, универсальные свойства.
The catsters, канал YouTube о теории категорий.
«Теория категорий». PlanetMath.
Видеоархив записанных бесед, относящихся к категориям, логике и основам физики.
Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.