Метод неопределенных коэффициентов

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса, используемые для моделирования воздушного потока вокруг препятствия.
Сфера Природные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связано / развязано Точный Однородный  / неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотика  / Экспоненциальная устойчивость Скорость сходимости Серии  / Интегральные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разность  ( Кривошип – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галеркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вроньски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта
v т е

В математике, то метод неопределенных коэффициентов представляет собой подход к поиску конкретного решения некоторых неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений и рекуррентных соотношений. Он тесно связан с методом аннигилятора, но вместо использования особого вида дифференциального оператора (аннигилятора) для нахождения наилучшей возможной формы конкретного решения делается «предположение» относительно соответствующей формы, которая является затем проверяется дифференцированием полученного уравнения. Для сложных уравнений метод аннигилятора или изменение параметров требует меньше времени.

Неопределенные коэффициенты - это не такой общий метод, как изменение параметров, поскольку он работает только для дифференциальных уравнений, которые имеют определенную форму.

• 1 Описание метода
• 2 Типовые формы частного интеграла
• 3 Примеры
  • 3.1 Пример 1
  • 3.2 Пример 2
  • 3.3 Пример 3
• 4 ссылки

Рассмотрим линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение вида

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {п} с_ {я} у ^ {(я)} + у ^ {(п + 1)} = г (х)}$

где обозначает i-ю производную от, а обозначает функцию от.${\ Displaystyle у ^ {(я)}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle c_ {i}}$${\ displaystyle x}$

Метод неопределенных коэффициентов обеспечивает простой метод получения решения этого ОДУ при соблюдении двух критериев:

1. ${\ displaystyle c_ {i}}$ являются константами.
2. g ( x) - константа, полиномиальная функция, экспоненциальная функция, синус или косинус или конечные суммы и произведения этих функций (, константы).${\ Displaystyle е ^ {\ альфа х}}$${\ displaystyle \ sin {\ beta x}}$${\ displaystyle \ cos {\ beta x}}$${\ displaystyle {\ alpha}}$${\ displaystyle {\ beta}}$

Метод заключается в нахождении общего однородного решения дополнительного линейного однородного дифференциального уравнения ${\ displaystyle y_ {c}}$

${\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {n} c_ {i} y ^ {(i)} + y ^ {(n + 1)} = 0,}$

и частный интеграл линейного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения на основе. Тогда общее решение линейного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения было бы ${\ displaystyle y_ {p}}$${\ displaystyle g (x)}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle y = y_ {c} + y_ {p}.}$

Если состоит из суммы двух функций, и мы говорим, что это решение, основанное на, и решение, основанное на. Тогда, используя принцип суперпозиции, мы можем сказать, что конкретный интеграл равен ${\ displaystyle g (x)}$${\ Displaystyle ч (х) + ш (х)}$${\ displaystyle y_ {p_ {1}}}$${\ Displaystyle ч (х)}$${\ displaystyle y_ {p_ {2}}}$${\ Displaystyle ш (х)}$ ${\ displaystyle y_ {p}}$

${\ displaystyle y_ {p} = y_ {p_ {1}} + y_ {p_ {2}}.}$

Чтобы найти конкретный интеграл, нам нужно «угадать» его форму, оставив некоторые коэффициенты в качестве переменных, для которых необходимо решить. Это принимает форму первой производной дополнительной функции. Ниже приведена таблица некоторых типичных функций и решение для них.

Функция x	Форма для y
${\ displaystyle ke ^ {ax} \!}$	${\ displaystyle Ce ^ {ax} \!}$
${\ Displaystyle кх ^ {п}, \; п = 0,1,2, \ ldots \!}$	${\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {n} K_ {i} x ^ {i} \!}$
${\ Displaystyle к \ соз (топор) {\ текст {или}} к \ грех (топор) \!}$	${\ Displaystyle К \ соз (топор) + М \ грех (топор) \!}$
${\ displaystyle ke ^ {ax} \ cos (bx) {\ text {or}} ke ^ {ax} \ sin (bx) \!}$	${\ Displaystyle е ^ {ах} (К \ соз (bx) + M \ sin (bx)) \!}$
${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} k_ {i} x ^ {i} \ right) \ cos (bx) {\ text {or}} \ left (\ sum _ { i = 0} ^ {n} k_ {i} x ^ {i} \ right) \ sin (bx) \!}$	${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} Q_ {i} x ^ {i} \ right) \ cos (bx) + \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n } R_ {i} x ^ {i} \ right) \ sin (bx)}$
${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} k_ {i} x ^ {i} \ right) e ^ {ax} \ cos (bx) {\ text {или}} \ left ( \ sum _ {i = 0} ^ {n} k_ {i} x ^ {i} \ right) e ^ {ax} \ sin (bx) \!}$	${\ displaystyle e ^ {ax} \ left (\ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} Q_ {i} x ^ {i} \ right) \ cos (bx) + \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} R_ {i} x ^ {i} \ right) \ sin (bx) \ right)}$

Если член в приведенном выше частном интеграле для y появляется в однородном решении, необходимо умножить на достаточно большую степень x, чтобы сделать решение независимым. Если функция x является суммой членов в приведенной выше таблице, конкретный интеграл можно угадать, используя сумму соответствующих членов для y.

Пример 1

Найдите конкретный интеграл уравнения

${\ Displaystyle у '' + у = т \ соз т.}$

Правая часть t  cos  t имеет вид

${\ Displaystyle P_ {п} е ^ {\ альфа т} \ соз {\ бета т}}$

при n = 2, α = 0 и β = 1.

Поскольку α + iβ = i - простой корень характеристического уравнения

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} + 1 = 0}$

мы должны попробовать конкретный интеграл формы

${\ Displaystyle {\ begin {align} y_ {p} amp; = t \ left [F_ {1} (t) e ^ {\ alpha t} \ cos {\ beta t} + G_ {1} (t) e ^ {\ alpha t} \ sin {\ beta t} \ right] \\ amp; = t \ left [F_ {1} (t) \ cos t + G_ {1} (t) \ sin t \ right] \\ amp; = t \ left [\ left (A_ {0} t + A_ {1} \ right) \ cos t + \ left (B_ {0} t + B_ {1} \ right) \ sin t \ right] \\ amp; = \ left (A_ {0} t ^ {2} + A_ {1} t \ right) \ cos t + \ left (B_ {0} t ^ {2} + B_ {1} t \ right) \ sin t. \ конец {выровнен}}}$

Подставляя y p в дифференциальное уравнение, получаем тождество

${\ displaystyle {\ begin {align} t \ cos t amp; = y_ {p} '' + y_ {p} \\ amp; = \ left [\ left (A_ {0} t ^ {2} + A_ {1} t \ right) \ cos t + \ left (B_ {0} t ^ {2} + B_ {1} t \ right) \ sin t \ right] '' + \ left [\ left (A_ {0} t ^ {2 } + A_ {1} t \ right) \ cos t + \ left (B_ {0} t ^ {2} + B_ {1} t \ right) \ sin t \ right] \\ amp; = \ left [2A_ {0 } \ cos t + 2 \ left (2A_ {0} t + A_ {1} \ right) (- \ sin t) + \ left (A_ {0} t ^ {2} + A_ {1} t \ right) (- \ cos t) + 2B_ {0} \ sin t + 2 \ left (2B_ {0} t + B_ {1} \ right) \ cos t + \ left (B_ {0} t ^ {2} + B_ { 1} t \ right) (- \ sin t) \ right] \\ amp; \ qquad + \ left [\ left (A_ {0} t ^ {2} + A_ {1} t \ right) \ cos t + \ left (B_ {0} t ^ {2} + B_ {1} t \ right) \ sin t \ right] \\ amp; = [4B_ {0} t + (2A_ {0} + 2B_ {1})] \ cos t + [-4A_ {0} t + (- 2A_ {1} + 2B_ {0})] \ sin t. \ End {выровнено}}}$

Сравнивая обе стороны, мы имеем

${\ displaystyle {\ begin {cases} 1 = 4B_ {0} \\ 0 = 2A_ {0} + 2B_ {1} \\ 0 = -4A_ {0} \\ 0 = -2A_ {1} + 2B_ {0 } \ end {case}}}$

который имеет решение

${\ displaystyle A_ {0} = 0, \ quad A_ {1} = B_ {0} = {\ frac {1} {4}}, \ quad B_ {1} = 0.}$

Тогда у нас есть частный интеграл

${\ displaystyle y_ {p} = {\ frac {1} {4}} t \ cos t + {\ frac {1} {4}} t ^ {2} \ sin t.}$

Пример 2

Рассмотрим следующее линейное неоднородное дифференциальное уравнение:

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = y + e ^ {x}.}$

Это похоже на первый пример выше, за исключением того, что неоднородная часть () не является линейно независимой от общего решения однородной части (); в результате мы должны умножить наше предположение на достаточно большую степень x, чтобы сделать его линейно независимым. ${\ displaystyle e ^ {x}}$${\ displaystyle c_ {1} e ^ {x}}$

Вот наша догадка:

${\ displaystyle y_ {p} = Ax ^ {x}.}$

Подставляя эту функцию и ее производную в дифференциальное уравнение, можно найти A:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (Ax ^ {x} \ right) = Ax ^ {x} + e ^ {x}}$

${\ displaystyle Ax ^ {x} + Ae ^ {x} = Ax ^ {x} + e ^ {x}}$

${\ displaystyle A = 1.}$

Итак, общее решение этого дифференциального уравнения:

${\ displaystyle y = c_ {1} e ^ {x} + xe ^ {x}.}$

Пример 3

Найдите общее решение уравнения:

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = t ^ {2} -y}$

${\ displaystyle t ^ {2}}$ является многочленом степени 2, поэтому мы ищем решение, используя ту же форму,

${\ displaystyle y_ {p} = At ​​^ {2} + Bt + C,}$

Подставляя эту конкретную функцию в исходное уравнение, получаем,

${\ displaystyle 2At + B = t ^ {2} - (At ^ {2} + Bt + C),}$

${\ displaystyle 2At + B = (1-A) t ^ {2} -Bt-C,}$

${\ Displaystyle (A-1) t ^ {2} + (2A + B) t + (B + C) = 0.}$

который дает:

${\ displaystyle A-1 = 0, \ quad 2A + B = 0, \ quad B + C = 0.}$

Решая константы, получаем:

${\ displaystyle y_ {p} = t ^ {2} -2t + 2}$

Чтобы найти общее решение,

${\ displaystyle y = y_ {p} + y_ {c}}$

где - однородный раствор, следовательно, общее решение: ${\ displaystyle y_ {c}}$${\ displaystyle y_ {c} = c_ {1} e ^ {- t}}$

${\ displaystyle y = t ^ {2} -2t + 2 + c_ {1} e ^ {- t}}$

• Бойс, МЫ; ДиПрима, RC (1986). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (4-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN   0-471-83824-1.
• Райли, KF; Бенце, SJ (2010). Математические методы для физики и техники. Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-86153-3.
• Тененбаум, Моррис; Поллард, Гарри (1985). Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дувр. ISBN   978-0-486-64940-5.
• де Оливейра, ORB (2013). «Формула, заменяющая неопределенные коэффициенты и методы аннигилятора». Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 44 (3): 462–468. Bibcode : 2013IJMES..44..462R. DOI : 10.1080 / 0020739X.2012.714496. S2CID   55834468.