Статья со списком в Википедии
- Для основного неравенства a < b + c, see Неравенство треугольника.
- Для неравенств острого или тупого треугольники, см. Острый и тупой треугольники.
В геометрии, неравенства треугольника - это неравенства, включающие параметры из треугольники, которые выполняются для каждого треугольника, удовлетворяющего определенным условиям. Неравенства определяют порядок двух разных значений: они форму имеют «меньше или равно», «больше или равно». Параметры в неравенстве треугольника могут быть длины сторон, полупериметр , угол измерения, значения тригонометрических функций этих углов, площадь треугольника, медианы сторон, высоты, длина внутреннего биссектриса угла от каждого угла до противоположной стороны, серединные перпендикуляры сторон, расстояние от произвольной точки до другой точки, внутренний радиус, exradii, радиус описанной окружности, и / или другие количества.
Если не указано, в этой статье рассматриваются треугольники в евклидовой плоскости.
Содержание
- 1 Основные параметры и обозначения
- 2 Длины сторон
- 3 Углы
- 4 Площадь
- 5 Медианы и центроид
- 6 Высота
- 7 Биссектриса внутреннего угла и центр
- 8 Перпендикулярные биссектрисы сторон
- 9 Отрезки от произвольной точки
- 9.1 Внутренняя точка
- 9.2 Внутренняя или внешняя точка
- 10 Inradius, exradii, и окружной радиус
- 10.1 Inradius и enradius
- 10.2 Circumradius и другие длины
- 10.3 Inradius, exradii и другие длины
- 11 вписанные фигуры
- 11.1 вписанный шестиугольник
- 11.2 Вписанный треугольник
- 11.3 Вписанные квадраты
- 12 Линия Эйлера
- 13 Прямоугольный треугольник
- 14 Равнобедренный треугольник
- 15 Равносторонний треугольник
- 16 Два треугольника
- 17 Неевклидовыики
- 18 См.
- 19 Ссылки
Параметры и также обозначения
Параметры, наиболее часто встречающиеся в неравенствах треугольников:
- длина сторон a, b и c;
- полупериметр s = (a + b + c) / 2 (половина периметра p);
- угол угол измеряет A, B и C углов вершин напротив сторон соответствующих сторон a, b и c (при этой вершины обозначаются теми же символами, что и их угол измеряет);
- значения тригонометрических функций углов;
- площадь Т треугольника;
- медианы ma, m b и m c (каждая из которых представляет собой отрезок от средней точки стороны до противоположная вершина);
- высота ha, h b и h c (каждая длина отрезка перпендикулярного в одну сторону и достигла с этой стороны (или, возможно, продолжения этой стороны) до противоположной вершины);
- длина биссектрис внутреннего угла ta, t b и t c (каждый из которых представляет собой отрезок от вершины до противоположной стороны и делит пополам t угол вершины);
- серединный перпендикуляр pa, p b и p c каждую из которых представляет собой один сегмент перпендикулярно одной стороны в ее средней точке и достигающей одной из других сторон);
- длина отрезка прямой с концом в произвольной точке P на плоскости (например, длина отрезка от P до вершины A обозначается PA или AP);
- inradius r (радиус окружности вписанной в треугольник, касательная ко всем трем сторонам), exradii ra, r b и r c (является радиусом вневписанной окружности, касательной к стороне a, b или c соответственно и касаются продолжений двух других сторон), и радиус описанной окружности R (радиус окружности, описанной вокруг треугольника и проходящей через все три вершины).
Длины сторон
Базовое неравенство треугольника равно
или эквивалентно
Кроме того,
, где значение правой части является наименьшей возможной границей, приближается к асимптотически, поскольку некоторые классы треугольников приближаются к вырожденному случаю нулевой площади. Левое неравенство, выполняется для всех положительных a, b, c, есть неравенство Несбитта.
. Имеем
Если угол C тупой (больше 90 °), то
если C острая (менее 90 °), то
Промежуточным случаем успеха, когда является прямым углом, является Теорема Пифагора.
В общем,
с равенством приближается в пределе только тогда, когда угол при вершине равнобедренного треугольника приближается к 180 °.
Если центроид треугольника находится внутри треугольника вписанной окружности, то
Хотя все вышеперечисленные неравенства верны, потому что a, b и c должны соответствует основному неравенству треугольника, согласно которой выполняются следующие соотношения для всех положительных a, b и c:
каждое владение с равенством только тогда, когда a = b = c. Это говорит о том, что в неравностороннем случае среднее гармоническое сторон меньше, чем их среднее геометрическое, которое, в свою очередь, меньше их среднего арифметического.
Углы
для полупериметра s, с равенством только в равносторонний случай.
где грех золотое сечение.
Для радиуса окружности R и радиуса r мы имеем
с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный с углом при вершине больше или равный 60 °; и
с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный с углом при вершине меньше или равным 60 °.
У нас также есть
, а также для углов B, C с равенством в первой части, если треугольник равнобедренный и угол при вершине не менее 60 °, и равенство во второй части тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный с углом при вершине не более 60 °.
Кроме того, любые две угловые меры A и B, противоположные сторонам a и b соответственно связаны согласно
, который связан с теоремой <413ренедном о равнике и обратным ей, согласно которому A = B тогда и только, когда a = b.
Согласно теореме Евклида о внешнем угле, любой внешний треугольника больше любого из угол внутренних углов в противоположных вершинах:
Если точка D находится внутри треугольника ABC, то
Для острого треугольника мы имеем
с обратным неравенством, справедливым для тупого треугольника.
Кроме того, для не тупых треугольников мы имеем
с равенством тогда и только тогда, когда это прямоугольный треугольник с гипотенузой AC.
Площадь
Неравенство Вейтценбека в терминах площади T
с равенством только в равностороннем случае. Это следствие из неравенства Хадвигера - Финслера, которое равно
Кроме того,
и
С самого правого верхняя граница T с использованием неравенства среднего арифметико-геометрического, получается изопериметрическое неравенство для треугольников :
для полупериметра s. Иногда это выражается в терминах периметра p как
с равенством для равносторонний треугольник. Это усиливается на
Неравенство Боннесена также усиливает изопериметрическое неравенство:
У нас также есть
с равенством только в равностороннем случае;
для полупериметра s; и
Неравенство Оно для острых треугольников (со всеми углами меньше 90 °) составляет
Площадь треугольника можно сравнить с площадью вписанная окружность :
с равенством только для равностороннего треугольника.
Если внутренний треугольник вписан в контрольный треугольник, так что вершины внутреннего треугольника разделяют периметр опорный треугольник на равные сегменты длиной, отношение их площадей ограничена
Пусть внутренний угол биссектрисы А, В и С пересекаются с противоположными сторонами в точках D, E и F. Тогда
Линия, проходящая через медиану треугольника, разделяет площадь таким образом, что отношение меньшего суб -площадь первоначального треугольника составляет не менее 4/9.
Медианы и центроид
Три средних треугольника, каждая из которых соединяет вершину со средней точкой противоположной стороны, и сумма их удовлетворяет
Кроме того,
с равенством только в равностороннем случае, а для inradius r
. После обозначения длины медиан, продолженных до их пересечений с описанной окружностью, как M a, M b и M c, затем
Центроид G является пересечением медиан. Пусть AG, BG и CG пересекают описанную окружность в точках U, V и W соответственно. Тогда и
и
кроме того,
Для острого треугольника мы имеем
с точки зрения окружного радиуса R, в то время как противоположное неравенство для тупого
Обозначив как IA, IB, IC расстояния от инцентра до вершин, имеет место следующее:
Три медианы любого треугольника может образовывать стороны другого тр еугольника:
Кроме того,
Высота h a и т. Д. Каждый соединить вершину с противоположной стороной и перпендикулярно этой стороне. Они удовлетворяют обоим
и
Кроме того, если , то
У нас также есть
Для биссектрис внутреннего угла t a, t b, t c из вершин A, B, C и центра описанной окружности R и внутреннего центра r имеем
Величины, обратные высотам любого треугольника, сами могут образовывать треугольник:
Внутренний угол, биссектриса и инцентр
Биссектрисы внутреннего угла - это элементы внутри треугольника, идущие от одной вершины до противоположной и делящие пополам угол при вершине на два равных угла. Биссектрисы углов t a и т. Д. удовлетворяет
по сторонам и
с точки зрения высоты и медианы, а также для t b и t c. Далее,
в единицах медианы и
в терминах высот, радиуса r и окружного радиуса R.
Пусть T a, T b и T c - длина биссектрис угла, продолженных до описанной окружности. Тогда
с равенством только в равностороннем случае и
для радиуса R и радиуса r, опять же с равенством только в равностороннем случае. Кроме того,
Для Inter I (пересечение биссектрис внутреннего угла)
Для средних точек L, M, N сторон,
Для центра I, центроид G, центр окружности O, центр по девяти точкам N и ортоцентр H, мы имеем для неравносторонних треугольников неравенства расстояний
и
, и у нас есть угловое неравенство
Кроме того,
, где v - самая длинная медиана.
Три треугольника с вершиной в центре, OIH, GIH и OGI, тупые:
- >>90 °, >90 °.
На фигуре эти треугольники показывают тупые углы, мы имеем
и фактически второй из них эквивалентный результат, более сильному, чем первый показанному Эйлером :
Больший из двух углов треугольника имеет более короткую внутреннюю биссектрису. :
Серединные перпендикулярные сторонам
Эти неравенства к длине p a и т. Д. треугольника - внутренние части серединных перпендикуляров сторон треугольника. Обозначая стороны так, чтобы , мы имеем
и
Сегменты из произвольной точки
Внутренняя точка
Рассмотрим любую точку P внутри треугольника с вершины треугольника обозначены A, B и C, длины отрезков обозначены PA и т. д. У нас есть
и более сильным, чем второе из этих неравенств,
У нас также есть неравенство Птолемея
- Внутренняя
точки P, а также для циклических перестановок вершин.
Если мы проведем перпендикуляры из внутренней точки P к сторонам треугольника, пересекая стороны в точках D, E и F, мы получим
Кроме того, неравенство Эрдеша - Морделла утверждает, что
с равенством в равностороннем случае. Более строго, неравенство Барроу утверждает, что если внутренние биссектрисы углов во внутренней точке P (а именно, ∠APB, ∠BPC и ∠CPA) пересекают треугольника стороны в точках U, V и W, тогда
Также сильнее, чем Erds –Неравенство Морделла следующее : пусть D, E, F - ортогональные проекции P на BC, CA, AB соответственно, а H, K, L - ортогональные проекции P на касательные к описанной окружности треугольника в точках A, B., C соответственно. Тогда
С ортогональными проекциями H, K, L из P на касательные к описанной окружности треугольника в точках A, B, C соответственно, мы имеем
где R - радиус описанной окружности.
Опять же, с расстояниями PD, PE, PF внутренней точки P от сторон мы имеем эти три неравенства:
Для внутренней точки P с расстояниями PA, PB, PC от вершин и с площадью треугольника T,
и
Для внутренней точки P, центроид G, средние точки L, M, N сторонних и полупериметр s,
Кроме того, для положительных чисел k 1, k 2, k 3 и t с t меньше или равным 1:
, а для t>1 мы имеем
Внутри или снаружи точка
Существуют различные неравенства для произвольной внутренней или внешней точки на плоскости относительно радиуса r вписанной окружности треугольника. Например,
В том числе:
для к = 0, 1,..., 6;
и
для k = 0, 1,..., 9.
Кроме того, для радиуса окружности R
Пусть ABC - треугольник, G - его центр тяжести, а D, E и F - середины BC, CA и AB соответственно. Для любой точки P в плоскости ABC:
Внутренний, внешний и окружной радиус
Внутренний и окружной радиус
Неравенство Эйлера для описанного радиуса R и внутреннего радиуса r утверждает, что
с равенством только в равностороннем случае.
Более сильная версия
Для сравнения:
где правая часть может быть положительной или отрицательной.
Два других уточнения неравенства Эйлера:
и
Другое симметричное неравенство:
Более того,
в терминах полупериметра s;
по площади T;
и
в терминах полупериметра s; и
также с точки зрения полупериметр. Здесь выражение , где d - расстояние между центром окружности и центром описанной окружности.. В последнем двойном неравенстве первая часть выполняется с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный с углом при вершине не менее 60 °, а последняя часть выполняется с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равен равнобедренные с углом при вершине не более 60 °. Таким образом, оба являются равенствами тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.
Мы также имеем для любой стороны a
где , если центр описанной окружности находится на или за пределами вписанной окружности и , если центр описанной окружности находится внутри вписанной окружности. Центр описанной окружности находится внутри вписанной окружности тогда и только тогда, когда
Кроме того,
Неравенство Бландона утверждает, что
У нас также для всех острых треугольников
Для центра вписанной окружности I пусть AI, BI и CI выходят за пределы I, чтобы пересекать описанную окружность в точках D, E и F соответственно. Затем
В терминах углов при вершинах имеем
Обозначим как радиусы касательных окружностей в вершинах к описанной окружности треугольника и противоположные стороны. Тогда
с равенством только в равностороннем случае и
с равенством только в равностороннем случае.
Окружной радиус и другие длины
Для радиуса описанной окружности R мы имеем
и
У нас также есть
в единицах высоты,
в терминах медиан и
в единицах площади.
Кроме того, для центра описанной окружности O пусть прямые AO, BO и CO пересекают противоположные стороны BC, CA и AB в точках U, V и W соответственно. Тогда
Для острого треугольника расстояние между центром описанной окружности O и ортоцентром H удовлетворяет условию
с противоположное неравенство справедливо для тупого треугольника.
Радиус описанной окружности как минимум в два раза больше расстояния между первой и второй точками Брокара B1и B 2:
Inradius, exradii и другие hs
Для inradius r мы имеем
в единицах высоты и
в единицах радиусов вневписанных окружностей. Мы также имеем
и
Экстрадиумы и медианы связаны потоком
Кроме того, для острого треугольника расстояния между центром вписанной окружности I и ортоцентром H удовлетворяет условию
с обратным неравенством для тупого треугольника.
Кроме того, острый треугольник удовлетворяет
с точки зрения радиуса R описанной окружности, опять же с обратным неравенством, справедливым для тупого треугольника.
Если внутренние биссектрисы углов A, B, C пересекаются с противоположными сторонами U, V, W, то
Если биссектрисы внутреннего угла через центр проходят до пересечения описанной окружности в X, Y и Z тогда
для описанного радиуса R и
вписанная окружность касается сторон в точках D, E, F, тогда
для полупериметра s.
Вписанные фигуры
Вписанный шестиугольник
Если тангенциальный шестиугольник образован путем проведения трех сегментов, касательных к вписанной окружности треугольника и параллельных сторон, то что шестиугольник вписан в треугольник, остальные три стороны совпадают с частями треугольника,
Вписанный треугольник
Если три точки D, E, F на сторонах AB, BC и CA контрольного треугольника ABC вершинами вписанного треугольника, которым, таким образом, разделяет контрольный треугольник на треугольника, тогда площадь вписанного треугольника больше, чем площадь, по меньшей мере, одной из других внутренних треугольников, если вершины вписанный треугольника не находится на серединах сторон опорного треугольника (в этом случае вписанного треугольника является медиального треугольника и все четыре салона треугольников имеют равные площади):
Вписанные квадраты
Острый треугольник имеет три вписанных квадрата, у каждого из которых одна сторона совпадает с частью стороны треугольника и с двумя другими вершинами квадрата на оставшихся двух сторонах треугольника. (Прямоугольный треугольник имеет только два отдельных вписанных квадрата.) Если один из этих квадратов имеет длину стороны x a, а другой - длину x b с x a< xb, то
Более того, для любого квадрата, вписанного в любой треугольник, мы имеем
Линия Эйлера
Линия Эйлера треугольника проходит через его ортоцентр, его центр описанной окружности и его центроид, но не проходит через свой центр, если треугольник не равен равнобедренный. Для всех не равнобедренных треугольников расстояние от центра до линии Эйлера удовлетворяет следующим образом точки зрения самой длинной медианы v треугольника, его самой длинной стороны u и его полупериметра s:
ресурсов верхняя граница 1/3 является максимально точной.
Правый треугольник
В прямоугольных треугольниках катеты a и b и гипотенуза c подчиняется следующему, с равенством только в равнобедренном случае:
С точки зрения внутреннего радиуса, гипотенуза подчиняется
и с точки зрения высоты от гипотенузы стороны подчиняются
Равнобедренный треугольник
Если две равные стороны равнобедренный треугольник длина a, другая сторона имеет длину c, тогда внутренний биссектриса угол t от одной из двух равнополочных вершин удовлетворяет
Равносторонний треугольник
249>Для любой точки P в плоскости
равностороннего треугольника ABC, расстояния P от вершин, PA, PB и PC, таковы, что, если P не находится на
описанной окружности треугольника, они подчиняются основному неравенству треугольника и, таким образом, сами могут образовывать стороны треугольника:
, когда P на описанной сумме расстояний от P до двух ближайших вершин в отношении точности расстояний самой дальней вершины.
Треугольник является равносторонним и только тогда, когда для каждой точки P на плоскости расстояния PD, PE и PF до сторон треугольника и расстояния PA, PB и PC до его вершин,
Дваика
Неравенство Педо для двух треугольников, один со стороны a, b и c и площадью T, а другой со сторонами d, e, f и площадью S утверждает, что
с равенством тогда и только тогда, когда два треугольника подобны.
Теорема о шарнире или теорема открытого рта утверждает, что если две стороны одного треугольника конгруэнтны двух сторонам другого треугольника, и включеныны й угол первого больше, чем включенный первый угол второго, то третья сторона треугольника длиннее третьей стороны второго треугольника. То есть в треугольниках ABC и DEF со стороны a, b, c и d, e, f соответственно (с противоположным A и т. Д.), Если a = d, b = e и угол C>угол F, то
Верно обратное: если c>f, то C>F.
Углы в любых двух треугольниках ABC и DEF связаны с помощью котангенса функционирует согласно
неевклидовы треугольники
В треугольнике на поверхности сфере, а также эллиптической геометрии,
Это неравенство отменено для
>гиперболические треугольники.
См. также
Ссылки