Войти
Четыре очка и их шесть дистанций. Точки не совпадают с круговыми, поэтому неравенство Птолемея строго для этих точек. В евклидовой геометрии, неравенство Птолемея связывает шесть расстояний определяются четыре точек в плоскости или в многомерном пространстве. Он утверждает, что для любых четырех точек A, B, C и D выполняется следующее неравенство :
Он назван в честь греческого астронома и математика Птолемея.
Четыре точки можно упорядочить любым из трех различных способов (считая развороты как неотличимые), чтобы образовать три разных четырехугольника, для каждого из которых сумма произведений противоположных сторон по крайней мере равна произведению диагоналей. Таким образом, три члена произведения в неравенстве можно аддитивно переставить, чтобы поместить любой из них в правую часть неравенства, поэтому три произведения противоположных сторон или диагоналей любого из четырехугольников должны подчиняться неравенству треугольника.
В качестве частного случая теорема Птолемея утверждает, что неравенство становится равенством, когда четыре точки лежат в циклическом порядке на окружности. Другой случай равенства возникает, когда четыре точки коллинеарны по порядку. Неравенство не распространяется с евклидовых пространств на произвольные метрические пространства. Пространства, в которых он остается действительным, называются пространствами Птолемея ; они включают в себя внутренние пространства продуктов, Адамар пространство и кратчайший путь расстояния на графиках птолемеевских.
Неравенство Птолемея часто формулирует для частного случая, в котором четыре точки является вершины из выпуклых четырехугольный, приведенных в циклическом порядке. Однако в более общем смысле теорема применима к любым четырем точкам; не требуется, чтобы образующийся ими четырехугольник был выпуклым, простым или даже плоским.
Для точек на плоскости неравенство Птолемея может быть получено из неравенства треугольника путем инверсии с центром в одной из четырех точек. В качестве альтернативы его можно получить, интерпретируя четыре точки как комплексные числа, используя тождество комплексного числа.
построить треугольник, длины сторон которого равны произведению сторон данного четырехугольника, и применить неравенство треугольника к этому треугольнику. Можно также рассматривать точки как принадлежащие сложной проективной прямой, выразить неравенство в форме, в которой абсолютные значения двух перекрестных отношений точек суммируются по крайней мере с одним, и вывести это из того факта, что сами перекрестные отношения добавить ровно к одному.
Доказательство неравенства для точек в трехмерном пространстве можно свести к плоскому случаю, заметив, что для любого неплоского четырехугольника можно вращать одну из точек вокруг диагонали, пока четырехугольник не станет плоским, увеличивая длина другой диагонали и сохранение остальных пяти расстояний постоянными. В пространствах более высокой размерности, чем три, любые четыре точки лежат в трехмерном подпространстве, и можно использовать то же трехмерное доказательство.
Для четырех точек, расположенных по кругу, неравенство Птолемея превращается в равенство, известное как теорема Птолемея :
В основанном на обращении доказательстве неравенства Птолемея преобразование четырех совпадающих круговых точек с помощью инверсии с центром в одной из них приводит к тому, что остальные три становятся коллинеарными, поэтому равенство треугольника для этих трех точек (из которого может быть получено неравенство Птолемея) также становится равенством. Для любых других четырех точек неравенство Птолемея строгое.
Цикл граф, в которой расстояние ослушаться неравенство Птолемея Неравенство Птолемея в более общем смысле справедливо для любого внутреннего пространства продукта, и всякий раз, когда оно верно для реального нормированного векторного пространства, это пространство должно быть внутренним пространством продукта.
Для других типов метрического пространства неравенство может быть, а может и нет. Пространство, в котором оно выполняется, называется птолемеевым. Например, рассмотрим циклический граф с четырьмя вершинами, показанный на рисунке, со всеми длинами ребер, равными 1. Сумма произведений противоположных сторон равна 2. Однако диагонально противоположные вершины находятся на расстоянии 2 друг от друга, поэтому произведение диагоналей на 4 больше, чем сумма произведений сторон. Следовательно, кратчайшие пути в этом графе не являются птолемеевыми. Графы, в которых расстояния подчиняются неравенству Птолемея, называются графами Птолемея и имеют ограниченную структуру по сравнению с произвольными графами; в частности, они запрещают индуцированные циклы длиной больше трех, такие как показанный.
Пространства Птолемея включают все пространства CAT (0) и, в частности, все пространства Адамара. Если полное риманово многообразие птолемеево, оно обязательно является пространством Адамара.
