Координаты Краскала – Секереса

редактировать

Диаграмма Крускала – Секереса, проиллюстрированная для 2GM = 1. Квадранты - это внутренняя часть черной дыры (II), внутренняя часть белой дыры (IV) и две внешние области (I и III). Пунктирные линии под углом 45 °, разделяющие эти четыре области, представляют собой горизонты событий. Более темные гиперболы, ограничивающие верх и низ диаграммы, являются физическими особенностями. Более бледные гиперболы представляют контуры координаты Шварцшильда r, а прямые, проходящие через начало координат, представляют контуры координаты Шварцшильда t.

В общей теории относительности Краскала – Секереса координаты, названные в честь Мартина Крускала и Джорджа Секереса, являются системой координат для геометрии Шварцшильда для черная дыра. Эти координаты имеют то преимущество, что они покрывают все пространство-время многообразие максимально расширенного решения Шварцшильда и хорошо себя ведут везде за пределами физической сингулярности.

Содержание

1 Определение
2 Максимально расширенное решение Шварцшильда
3 Качественные характеристики диаграммы Крускала – Секереса
4 Вариант Lightcone
5 См. Также
6 Примечания
7 Список литературы

Определение

Диаграмма Краскала – Секереса. Каждый кадр анимации показывает синюю гиперболу как поверхность, на которой радиальная координата Шварцшильда постоянна (и с меньшим значением в каждом последующем кадре, пока не заканчивается сингулярностями).

Координаты Краскала – Секереса на геометрия черной дыры определяется из координат Шварцшильда $(t, r, θ, ϕ) {\ displaystyle (t, r, \ theta, \ phi)}$ $(t, г, \ тета, \ фи)$ , заменяя t и r новой времяподобной координатой T и новой пространственноподобной координатой $X {\ displaystyle X}$ $X$ :

T = (r 2 GM - 1) 1/2 er / 4 GM sinh ⁡ ( t 4 GM) {\ displaystyle T = \ left ({\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right) ^ {1/2} e ^ {r / 4GM} \ sinh \ left ({\ frac {t } {4GM}} \ right)}

T = \ left (\ frac {r} {2GM} - 1 \ right) ^ {1/2} e ^ {r / 4GM} \ sinh \ left (\ frac {t} {4GM} \ right)

X = (r 2 GM - 1) 1/2 er / 4 GM cosh ⁡ (t 4 GM) {\ displaystyle X = \ left ({\ frac {r} { 2GM}} - 1 \ right) ^ {1/2} e ^ {r / 4GM} \ ch \ left ({\ frac {t} {4GM}} \ right)}

X = \ left (\ frac {r} {2GM} - 1 \ right) ^ {1/2} e ^ {r / 4GM} \ ch \ left (\ frac {t} {4GM} \ right)

для внешней области $r>2 GM {\ displaystyle r>2GM}$ $r>2GM$ за пределами горизонта событий и:

T = (1 - r 2 GM) 1/2 er / 4 GM cosh ⁡ (t 4 GM) {\ displaystyle T = \ left (1 - {\ frac {r} {2GM}} \ right) ^ {1/2} e ^ {r / 4GM} \ ch \ left ({\ frac {t} {4GM}} \ right)}

T = \ left (1 - \ frac {r} {2GM} \ справа) ^ {1/2} e ^ {r / 4GM} \ ch \ left (\ frac {t} {4GM} \ right)

Икс = (1 - r 2 GM) 1/2 er / 4 GM sinh ⁡ (t 4 GM) {\ displaystyle X = \ left (1 - {\ frac {r} {2GM}} \ right) ^ {1/2} e ^ {r / 4GM} \ sinh \ left ({\ frac {t} {4GM}} \ right)}

X = \ left (1 - \ frac {r} {2GM} \ right) ^ {1/2} e ^ {r / 4GM} \ sinh \ left (\ frac {t} {4GM} \ right)

для внутренней области $0 < r < 2 G M {\displaystyle 0$ $0 <r <2GM$ . Здесь $GM {\ displaystyle GM}$ $GM$ - это гравитационная постоянная, умноженная на параметр массы Шварцшильда, и в этой статье используются единицы, где $c {\ displaystyle c}$ $с$ = 1.

Отсюда следует, что при объединении внешней области, горизонта событий и внутренней области радиальная координата Шварцшильда $r {\ displaystyle r }$ $r$ (не путать с радиусом Шварцшильда $rs = 2 GM {\ displaystyle r_ {s} = 2GM}$ ${\ displaystyle r_ {s} = 2GM}$ ) определяется в члены координат Крускала – Секереса как (единственное) решение уравнения:

T 2 - X 2 = (1 - r 2 GM) er / 2 GM, T 2 - X 2 < 1 {\displaystyle T^{2}-X^{2}=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)e^{r/2GM}\,T^{2}-X^{2}<1}

{\ displaystyle T ^ {2} -X ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r} {2GM}} \ right) e ^ {r / 2GM} \, T ^ {2} -X ^ {2} <1}

Использование Функция Ламберта W решение записывается как:

r = 2 GM (1 + W 0 (X 2 - T 2 e)) {\ displaystyle r = 2GM \ left (1 + W_ {0} \ left ({\ frac {X ^ {2} -T ^ {2}} {e}} \ right) \ right)}

{\ displaystyle r = 2GM \ left (1 + W_ {0} \ left ({\ frac {X ^ {2} -T ^ {2}} {e}} \ right) \ right)}

Более того, сразу видно, что во внешней по отношению к черной дыре области $T 2 - X 2 < 0, X>0 {\ displaystyle T ^ {2} -X ^ {2} <0,\ X>0}$ $T^{2}-X^{2}<0,\ X>0$

t = 4 GM arctanh ⁡ T / X) {\ displaystyle t = 4GM \ mathop {\ mathrm {arctanh}} (T / X)}

{\ displaystyle t = 4GM \ mathop { \ mathrm {arctanh}} (T / X)}

, тогда как во внутренней области черной дыры $0 < T 2 − X 2 < 1, T>0 {\ displaystyle 0 0}$ $0<T^{2}-X^{2}<1,\ T>0$

t = 4 GM arctanh ⁡ (X / T) {\ displaystyle t = 4GM \ mathop {\ mathrm {arctanh}} (X / T)}

{\ displaystyle t = 4GM \ mathop {\ mathrm {arctanh}} (X / T)}

В этих новых координатах метрика многообразия черных дыр Шварцшильда дается выражением

g = 32 G 3 M 3 re - r / 2 GM (- d T 2 + d X 2) + r 2 g Ω, {\ displaystyle g = {\ frac {32G ^ {3} M ^ {3}} {r}} e ^ {- r / 2GM} (- dT ^ {2} + dX ^ {2}) + r ^ {2} g _ {\ Omega},}

{\ displaystyle g = {\ frac {32G ^ {3} M ^ {3}} {r}} e ^ {- r / 2GM} (- dT ^ {2} + dX ^ {2}) + r ^ {2} g _ {\ Omega},}

записано с использованием (- + + +) подпись метрики соглашение, где угловая составляющая метрики (риманова метрика 2-сферы) равна:

g Ω = d efd θ 2 + грех 2 ⁡ θ d ϕ 2 {\ displaystyle g _ {\ Omega} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2}}

{\ displaystyle g _ {\ Omega} \ {\ stackrel {\ mathrm { def}} {=}} \ d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2}}

Выражение метрики в этой форме ясно показывает, что радиальные нулевые геодезические, т.е. с константой $Ω = (θ, ϕ) {\ displaystyle \ Omega = (\ theta, \ phi)}$ ${\ displaystyle \ Omega = (\ theta, \ phi)}$ параллельны одной из прямых $T = ± X {\ displaystyle T = \ pm X}$ ${\ displaystyle T = \ pm X}$ . В координатах Шварцшильда радиус Шварцшильда $rs = 2 GM {\ displaystyle r_ {s} = 2GM}$ ${\ displaystyle r_ {s} = 2GM}$ - это радиальная координата горизонта событий $r = rs = 2 GM {\ displaystyle r = r_ {s} = 2GM}$ ${\ displaystyle r = r_ {s} = 2GM}$ . В координатах Крускала-Секереса горизонт событий задается как $T 2 - X 2 = 0 {\ displaystyle T ^ {2} -X ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle T ^ {2} -X ^ {2} = 0}$ . Обратите внимание, что метрика отлично определена и неособа на горизонте событий. Сингулярность кривизны находится в точке $T 2 - X 2 = 1 {\ displaystyle T ^ {2} -X ^ {2} = 1}$ $T ^ 2 - X ^ 2 = 1$ .

Максимально расширенное решение Шварцшильда

Преобразование между Координаты Шварцшильда и Крускала – Секереса определены для r>2GM и −∞ < t < ∞, which is the range for which the Schwarzschild coordinates make sense. However in this region, r is an analytic function of T and X and can be extended, as an analytic function at least to the first singularity which occurs at $T 2 - X 2 = 1 {\ displaystyle T ^ {2} -X ^ {2} = 1}$ $T ^ 2 - X ^ 2 = 1$ . Таким образом, указанная выше метрика является решением уравнений Эйнштейна во всей этой области. Допустимые значения:

- ∞ < X < ∞ {\displaystyle -\infty

- \ infty <X <\ infty \,

- ∞ < T 2 − X 2 < 1 {\displaystyle -\infty

- \ infty <T ^ 2 - X ^ 2 <1

Обратите внимание, что это расширение предполагает, что решение везде аналитическое.

В максимально расширенном решении на самом деле есть две особенности при r = 0, одна для положительного T и одна для отрицательного T. Отрицательная сингулярность T - это обращенная во времени черная дыра, иногда называемая "белая дыра ". Частицы могут вырваться из белой дыры, но никогда не вернутся.

Максимально расширенная геометрия Шварцшильда может быть разделена на 4 области, каждая из которых может быть покрыта подходящим набором координат Шварцшильда. С другой стороны, координаты Крускала – Секереса покрывают все многообразие пространства-времени. Четыре региона разделены горизонтами событий.

I	внешняя область	$- X < T < + X {\displaystyle -X$ $-X <T <+ X$	$2 G M < r {\displaystyle 2GM$ $2GM <r$
II	внутренняя черная дыра	$\| X \| < T < 1 + X 2 {\displaystyle \vert X\vert$ $\ vert X \ верт <Т <\ sqrt {1 + X ^ 2}$	$0 < r < 2 G M {\displaystyle 0$ $0 <r <2GM$
III	параллельная внешняя область	$+ X < T < − X {\displaystyle +X$ $+ X <T <-X$	$2 GM < r {\displaystyle 2GM$ $2GM <r$
IV	внутренняя белая дыра	$- 1 + X 2 < T < − \| X \| {\displaystyle -{\sqrt {1+X^{2}}}$ $- \ sqrt {1 + X ^ 2} <T <- \ vert X \ vert$	$0 < r < 2 G M {\displaystyle 0$ $0 <r <2GM$

Заданное преобразование указанное выше между координатами Шварцшильда и Крускала – Секереса применимо только в регионах I и II. Аналогичное преобразование может быть записано в двух других регионах.

Временная координата Шварцшильда t определяется как

tanh ⁡ (t 4 GM) = {T / X (в I и III) X / T (в II и IV) {\ displaystyle \ tanh \ left ({\ frac {t} {4GM}} \ right) = {\ begin {cases} T / X {\ t_dv {(в I и III)}} \\ X / T {\ t_dv {(в II и IV)}} \ end {cases}}}

\ tanh \ left (\ frac {t} {4GM} \ right) = \ begin {cases} T / X \ t_dv {(в I и III)} \\ X / T \ t_dv {(в II и IV)} \ end {cases}

В каждой области он проходит от −∞ до + ∞ с бесконечностями на горизонтах событий.

Основываясь на требованиях, что квантовый процесс излучения Хокинга является унитарным, 'т Хоофт предположил, что области I и III, а также II и IV являются просто математическими артефакты, возникающие из-за выбора ветвей для корней, а не параллельных вселенных, и что отношение эквивалентности

(T, X, Ω) ∼ (- T, - X, - Ω) {\ displaystyle (T, X, \ Omega) \ sim (-T, -X, - \ Omega)}

{\ displaystyle (T, X, \ Omega) \ sim (-T, -X, - \ Omega)}

должно быть наложено. Если мы думаем, что области III и IV имеют сферические координаты, но с отрицательным выбором квадратного корня для вычисления $r {\ displaystyle r}$ $r$ , то мы, соответственно, просто используем противоположные точки на сфере, чтобы обозначают одну и ту же точку в пространстве, поэтому, например,

(t (I), r (I), Ω (I)) = (t, r, Ω) ∼ (t (III), r (III), Ω (III)) = (t, - r, - Ω) {\ displaystyle (t ^ {(I)}, r ^ {(I)}, \ Omega ^ {(I)}) = (t, r, \ Omega) \ sim (t ^ {(III)}, r ^ {(III)}, \ Omega ^ {(III)}) = (t, -r, - \ Omega)}

{\ displaystyle (t ^ {(I)}, r ^ {(I)}, \ Omega ^ {(I)}) = (t, r, \ Omega) \ sim (t ^ {(III)}, r ^ {(III)}, \ Omega ^ {(III)}) = (t, -r, - \ Omega)}

и $r (I) Ω (I) = r ( III) Ом (III) = р Ω {\ Displaystyle г ^ {(I)} \ Omega ^ {(I)} = r ^ {(III)} \ Omega ^ {(III)} = г \ Omega}$ ${\ displaystyle r ^ {(I)} \ Omega ^ {(I)} = r ^ {(III)} \ Omega ^ {(III)} = r \ Omega}$ . Поскольку это свободное действие группы $Z / 2 Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}$ , сохраняющее метрику, это дает хорошо определенное лоренцево многообразие. Он определяет предел $t (II) = - ∞ {\ displaystyle t ^ {(II)} = - \ infty}$ ${\ displaystyle t ^ {(II)} = - \ infty}$ внутренней области II, соответствующей отрезку координатной линии $T = - X, T>0, X < 0 {\displaystyle T=-X,\ T>0,X<0}$ $T=-X,\ T>0, X <0$ с пределом $t (I) = - ∞ {\ displaystyle t ^ {(I)} = - \ infty}$ ${\ displaystyle t ^ {(I)} = - \ infty}$ внешней области I, соответствующей $T = - X, T < 0, X>0 {\ displaystyle T = -X, \ T <0,X>0}$ $T=-X,\ T<0,X>0$ . Идентификация означает что каждая пара $(T, X) ∼ (- T, - X) ≠ (0, 0) {\ displaystyle (T, X) \ sim (-T, -X) \ neq (0,0) }$ ${\ Displaystyle (T, X) \ sim (-T, -X) \ neq (0,0)}$ соответствуют пространственному направлению на сфере, точка $(T, X) = (0, 0) {\ displaystyle (T, X) = (0,0)}$ ${\ displaystyle (T, X) = (0,0)}$ соответствует прямой, т.е. точке на проективной плоскости $RP 2 = S 2 / ± {\ displaystyle \ mathbf {RP} ^ {2} = S ^ {2} / \ pm}$ ${\ displaystyle \ mathbf {RP } ^ {2} = S ^ {2} / \ pm}$ , а топология лежащего в основе многообразия не l onger $R 4 - строка = R 2 × S 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4} - \ mathrm {line} = \ mathbb {R} ^ {2} \ times S ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4} - \ mathrm {line} = \ mathbb {R} ^ {2} \ times S ^ {2}}$ .

Качественные особенности диаграммы Крускала – Секереса

Координаты Крускала – Секереса обладают рядом полезных свойств, которые делают их полезными для построения интуитивных представлений о пространстве-времени Шварцшильда. Главным из них является тот факт, что все радиальные светоподобные геодезические (мировые линии световых лучей, движущихся в радиальном направлении) выглядят как прямые линии под углом 45 градусов, когда они нарисованы на диаграмме Крускала – Секереса. (это можно вывести из приведенного выше метрического уравнения, которое гарантирует, что если $d X = ± d T {\ displaystyle dX = \ pm dT \,}$ $dX = \ plusmn dT \,$ , то собственное время $ds = 0 {\ displaystyle ds = 0}$ $ds = 0$ ). Все временноподобные мировые линии медленнее световых объектов будут в каждой точке иметь наклон ближе к вертикальной оси времени (координата Т), чем 45 градусов. Итак, световой конус, нарисованный на диаграмме Крускала – Секереса, будет выглядеть точно так же, как световой конус на диаграмме Минковского в специальной теории относительности.

Горизонты событий, ограничивающие внутренние области черной дыры и белой дыры также представляют собой пару прямых линий под углом 45 градусов, что отражает тот факт, что луч света, излучаемый на горизонте в радиальном направлении (направленный наружу в случае черной дыры, внутрь в случае белая дыра) навсегда останется на горизонте. Таким образом, два горизонта черной дыры совпадают с границами светового конуса будущего события в центре диаграммы (при T = X = 0), в то время как два горизонта белой дыры совпадают с границами светового конуса прошлого этого события. то же событие. Любое событие во внутренней области черной дыры будет иметь будущий световой конус, который останется в этой области (так что любая мировая линия в пределах будущего светового конуса события в конечном итоге попадет в сингулярность черной дыры, которая выглядит как гипербола ограниченный двумя горизонтами черной дыры), и любое событие внутри внутренней области белой дыры будет иметь световой конус прошлого, который останется в этой области (так что любая мировая линия внутри этого светового конуса прошлого должна возникать в сингулярности белой дыры, т.е. гипербола, ограниченная двумя горизонтами белой дыры). Обратите внимание: хотя горизонт выглядит как расширяющийся наружу конус, площадь этой поверхности, определяемая r, составляет всего $16 π M 2 {\ displaystyle 16 \ pi M ^ {2}}$ $16 \ pi M ^ 2$ , постоянная. То есть эти координаты могут быть обманчивыми, если не проявлять осторожность.

Может быть поучительно рассмотреть, как будут выглядеть кривые постоянной координаты Шварцшильда, нанесенные на диаграмму Крускала-Секереса. Оказывается, кривые постоянной r-координаты в координатах Шварцшильда всегда выглядят как гиперболы, ограниченные парой горизонтов событий под углом 45 градусов, в то время как линии постоянной t-координаты в координатах Шварцшильда всегда выглядят как прямые под разными углами, проходящие через центр. диаграммы. Горизонт событий черной дыры, граничащий с внешней областью, я бы совпадал с t-координатой Шварцшильда + ∞, в то время как горизонт событий белой дыры, граничащей с этой областью, совпадал бы с t-координатой Шварцшильда -∞, отражая тот факт, что в координатах Шварцшильда падающий частице требуется бесконечное координатное время, чтобы достичь горизонта (то есть расстояние частицы от горизонта приближается к нулю, когда t-координата Шварцшильда приближается к бесконечности), а частица, летящая вверх от горизонта, должна была пересечь ее за бесконечное координатное время в прошлом. Это просто артефакт того, как определены координаты Шварцшильда; свободно падающей частице потребуется только конечное собственное время (время, измеряемое ее собственными часами), чтобы пройти между сторонним наблюдателем и горизонтом событий, и если мировая линия частицы проведена по шкале Крускала. Диаграмма Секереса, это также займет только конечное координатное время в координатах Крускала – Секереса.

Система координат Шварцшильда может охватывать только одну внешнюю область и одну внутреннюю область, например области I и II на диаграмме Крускала-Секереса. Система координат Крускала-Секереса, с другой стороны, может охватывать «максимально расширенное» пространство-время, которое включает область, покрываемую координатами Шварцшильда. Здесь «максимально расширенный» относится к идее о том, что пространство-время не должно иметь никаких «краев»: любой геодезический путь может быть продлен произвольно далеко в любом направлении, если он не входит в гравитационную сингулярность. Технически это означает, что максимально расширенное пространство-время является либо «геодезически полным» (то есть любая геодезическая может быть расширена до сколь угодно больших положительных или отрицательных значений ее «аффинного параметра», который в случае времениподобной геодезической может быть просто собственное время ), или если какие-то геодезические неполны, это может быть только потому, что они заканчиваются в сингулярности. Чтобы удовлетворить это требование, было обнаружено, что помимо внутренней области черной дыры (область II), в которую частицы входят, когда они падают через горизонт событий снаружи (область I), должна существовать отдельная внутренняя белая дыра. область (область IV), которая позволяет нам расширить траектории частиц, которые сторонний наблюдатель видит поднимающимися от горизонта событий, наряду с отдельной внешней областью (область III), которая позволяет нам расширить некоторые возможные траектории частиц в двух внутренних регионы. На самом деле существует несколько возможных способов расширить внешнее решение Шварцшильда до максимально расширенного пространства-времени, но расширение Крускала-Секереса уникально тем, что оно является максимальным, аналитическим, односвязным вакуумное решение, в котором все максимально протяженные геодезические либо полны, либо скаляр кривизны расходится вдоль них за конечное аффинное время.

Вариант светового конуса

В в литературе координаты Крускала – Секереса иногда также встречаются в их варианте светового конуса:

U = T - X {\ displaystyle U = TX}

U = T - X

V = T + X, {\ displaystyle V = T + X,}

V = T + X,

, в котором метрика задается как

ds 2 = - 32 G 3 M 3 re - r / 2 GM (d U d V) + r 2 d Ω 2, {\ displaystyle ds ^ {2} = - {\ frac {32G ^ {3} M ^ {3}} {r}} e ^ {- r / 2GM} (dUdV) + r ^ {2} d \ Omega ^ {2},}

ds ^ {2} = - \ frac {32G ^ 3M ^ 3} {r} e ^ {- r / 2GM} (dU dV) + r ^ 2 d \ Omega ^ 2,

и r неявно определяется уравнением

UV = (1 - r 2 GM) er / 2 GM. {\ displaystyle UV = \ left (1 - {\ frac {r} {2GM}} \ right) e ^ {r / 2GM}.}

UV = \ left (1- \ frac {r} {2GM} \ right) e ^ {r / 2GM}.

Эти координаты светового конуса имеют полезную особенность: исходящие null геодезические задаются как $U = constant {\ displaystyle U = {\ text {constant}}}$ $U = \ text {constant}$ , а входящие нулевые геодезические задаются как $V = constant {\ Displaystyle V = {\ text {constant}}}$ $V = \ text {константа}$ . Кроме того, (будущие и прошлые) горизонты событий задаются уравнением $UV = 0 {\ displaystyle UV = 0}$ $UV = 0$ , а сингулярность кривизны задается уравнением $UV = 1 {\ displaystyle UV = 1}$ $УФ = 1$ .

Координаты светового конуса точно соответствуют координатам Эддингтона – Финкельштейна.

См. Также

Примечания

Ссылки

Миснер, Торн, Уиллер (1973). Гравитация. В. Фриман и компания. ISBN 0-7167-0344-0. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )