Обратная задача для лагранжевой механики

В математике обратная задача для лагранжевой механики - это проблема определение того, может ли данная система обыкновенных дифференциальных уравнений возникнуть как уравнения Эйлера – Лагранжа для некоторой лагранжевой функции.

С начала ХХ века в изучении этой проблемы ведется активная работа. Заметным достижением в этой области стала статья 1941 г. американского математика Джесси Дугласа, в которой он предоставил необходимые и достаточные условия для проблема иметь решение; эти условия теперь известны как условия Гельмгольца, в честь немецкого физика Германа фон Гельмгольца.

• 1 Предпосылки и изложение проблема
• 2 Теорема Дугласа и условия Гельмгольца
  • 2.1 Применение теоремы Дугласа
• 3 Ссылки

Обычная установка Лагранжева механика на n- мерном евклидовом пространстве Rвыглядит следующим образом. Рассмотрим дифференцируемый путь u: [0, T] → R . действие пути u, обозначенное S (u), задается как

$S\; (u)\; =\; \int \; 0\; TL\; (t,\; u\; (t),\; u\; \dot{}\; (t))\; dt,\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; S\; (u)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; L\; (t,\; u\; (t),\; \{\backslash \; dot\; \{u\}\}\; (t))\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t,\}$

где L - функция времени, положения и скорости, известная как лагранжиан . Принцип наименьшего действия утверждает, что при заданном начальном состоянии x 0 и конечном состоянии x 1 в R траектория система, определяемая L, будет фактически следовать, должна быть минимизатором действия функционала S, удовлетворяющего граничным условиям u (0) = x 0, u (T) = х 1. Кроме того, критические точки (и, следовательно, минимизаторы) S должны удовлетворять уравнениям Эйлера – Лагранжа для S:

$ddt\; \partial \; L\; \partial \; u\; \dot{}\; i\; -\; \partial \; L\; \partial \; ui\; =\; 0\; для\; 1\; \le \; я\; \le \; N,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{u\}\}\; ^\; \{\; i\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{i\}\}\}\; =\; 0\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; 1\; \backslash \; leq\; i\; \backslash \; leq\; n,\}$

где верхние индексы i обозначает компоненты u = (u,..., u).

В классическом случае

$T\; (u\; \dot{})\; =\; 1\; 2\; m\; |\; u\; \dot{}\; |\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (\{\backslash \; dot\; \{u\}\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; m\; |\; \{\backslash \; dot\; \{u\}\}\; |\; ^\; \{2\},\}$

$V:\; [0,\; T]\; \times \; R\; N\; \to \; R,\; \{\backslash \; Displaystyle\; V:\; [0,\; T]\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\},\}$

$L\; (t,\; u,\; u\; \dot{})\; Знак\; равно\; Т\; (и\; \dot{})\; -\; В\; (т,\; и),\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; (т,\; и,\; \{\backslash \; точка\; \{u\}\})\; =\; Т\; (\{\backslash \; точка\; \{u\}\})\; -\; В\; (т,\; и),\; \}$

уравнения Эйлера – Лагранжа - обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, более известные как законы движения Ньютона :

$mu\; ¨\; i\; =\; -\; \partial \; V\; (t,\; u)\; \partial \; ui\; для\; 1\; \le \; i\; \le \; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \{\backslash \; ddot\; \{u\}\}\; ^\; \{i\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; V\; (t,\; u)\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; 1\; \backslash \; leq\; i\; \backslash \; leq\; n,\}$

$т.е.\; m\; u\; ¨\; =\; -\; \nabla \; u\; V\; (t,\; u).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; t\_dv\; \{т.е.\; \}\}\; m\; \{\backslash \; ddot\; \{u\}\}\; =\; -\; \backslash \; nabla\; \_\; \{u\}\; V\; (t,\; u).\}$

Обратная задача лагранжевой механики выглядит следующим образом: задана система секунд -порядок обыкновенных дифференциальных уравнений

$u\; ¨\; i\; =\; fi\; (uj,\; u\; \dot{}\; j)\; для\; 1\; \le \; i,\; j\; \le \; n,\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; ddot\; \{u\}\}\; ^\; \{i\}\; =\; f\; ^\; \{\; i\}\; (u\; ^\; \{j\},\; \{\backslash \; dot\; \{u\}\}\; ^\; \{j\})\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; 1\; \backslash \; leq\; i,\; j\; \backslash \; leq\; n,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; t\_dv\; \{(E)\}\; \}\}$

для времен 0 ≤ t ≤ T, существует ли лагранжиан L: [0, T] × R× R→ R, для которого эти обыкновенные дифференциальные уравнения (E) являются уравнениями Эйлера – Лагранжа? В общем случае эта задача ставится не на евклидовом пространстве R, а на n-мерном многообразии M, и лагранжиан является функцией L: [0, T] × TM → R, где TM обозначает касательное расслоение к M.

Чтобы упростить обозначения, пусть

$vi\; =\; u\; \dot{}\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; ^\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; dot\; \{u\}\}\; ^\; \{i\}\}$

и определим набор из n функций Φ j с помощью

$\Phi \; ji\; =\; 1\; 2\; ddt\; \partial \; fi\; \partial \; vj\; -\; \partial \; fi\; \partial \; uj\; -\; 1\; 4\; \partial \; fi\; \partial \; vk\; \partial \; fk\; \partial \; vj.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \_\; \{j\}\; ^\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; v\; ^\; \{j\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{j\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; v\; ^\; \{k\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\; ^\; \{k\}\}\; \{\backslash \; partial\; v\; ^\; \{j\}\}\}.\}$

Теорема. (Дуглас 1941) Существует лагранжиан L: [0, T] × TM → R такой, что уравнения (E) являются его уравнениями Эйлера – Лагранжа тогда и только тогда, когда существует несингулярная симметричная матрица g с элементами g ij, зависящая как от u, так и от v, удовлетворяющая следующим трем условиям Гельмгольца :

$г\; \Phi \; знак\; равно\; (г\; \Phi )\; \top ,\; (H1)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; Phi\; =\; (g\; \backslash \; Phi)\; ^\; \{\backslash \; top\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; t\_dv\; \{(H1)\}\}\}$

$dgijdt\; +\; 1\; 2\; \partial \; fk\; \partial \; vigkj\; +\; 1\; 2\; \partial \; fk\; \partial \; vjgki\; =\; 0\; для\; 1\; \le \; i,\; j\; \le \; n,\; (H2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; g\_\; \{ij\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\; ^\; \{k\}\}\; \{\backslash \; partial\; v\; ^\; \{i\}\}\}\; g\_\; \{kj\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\; ^\; \{k\}\}\; \{\backslash \; partial\; v\; ^\; \{j\}\}\}\; g\_\; \{ki\}\; =\; 0\; \{\backslash \; t\_dv\; \{for\}\}\; 1\; \backslash \; leq\; i,\; j\; \backslash \; leq\; n,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; m\; box\; \{(H2)\}\}\}$

$\partial \; g\; i\; j\; \partial \; v\; k\; =\; \partial \; g\; i\; k\; \partial \; v\; j\; для\; 1\; \le \; i,\; j,\; k\; \le \; n.\; (H3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\_\; \{ij\}\}\; \{\backslash \; partial\; v\; ^\; \{k\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\_\; \{ik\}\}\; \{\backslash \; partial\; v\; ^\; \{j\}\}\}\; \{\; \backslash \; t\_dv\; \{for\}\}\; 1\; \backslash \; leq\; i,\; j,\; k\; \backslash \; leq\; n.\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; t\_dv\; \{(H3)\}\}\}$

(Соглашение о суммировании Эйнштейна используется для повторяющихся индексы.)

Применение теоремы Дугласа

На первый взгляд решение уравнений Гельмгольца (H1) - (H3) кажется чрезвычайно сложной задачей. Условие (H1) решить проще всего: всегда можно найти g, удовлетворяющий (H1), и само по себе это не означает, что лагранжиан сингулярен. Уравнение (H2) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений: обычные теоремы о существовании и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений подразумевают, что в принципе возможно решить (H2). Интегрирование не дает дополнительных констант, а дает первые интегралы системы (E), поэтому этот шаг становится трудным на практике, если (E) не имеет достаточно явных первых интегралов. В некоторых случаях с хорошим поведением (например, геодезический поток для канонической связи на группе Ли ) это условие выполняется.

Последний и самый сложный шаг - решить уравнение (H3), которое называется условиями замыкания, поскольку (H3) - это условие того, что дифференциальная 1-форма giявляется закрытой формой для каждого i. Причина, по которой это так пугает, заключается в том, что (H3) представляет собой большую систему связанных дифференциальных уравнений в частных производных: для n степеней свободы (H3) составляет систему

$2\; (n\; +\; 1\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; n\; +\; 1\; \backslash \backslash \; 3\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\}$

дифференциальные уравнения с частными производными от 2n независимых переменных, которые являются компонентами g ij функции g, где

$(nk)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; n\; \backslash \backslash \; k\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\}$

обозначает биномиальный коэффициент. Чтобы построить самый общий лагранжиан, нужно решить эту огромную систему!

К счастью, есть некоторые вспомогательные условия, которые могут быть наложены, чтобы помочь в решении условий Гельмгольца. Во-первых, (H1) - чисто алгебраическое условие на неизвестную матрицу g. Вспомогательные алгебраические условия на g могут быть заданы следующим образом: определить функции

Ψjk

как

$\Psi \; j\; k\; i\; =\; 1\; 3\; (\partial \; \Phi \; j\; i\; \partial \; v\; k\; -\; \partial \; \Phi \; k\; i\; \partial \; v\; j).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; \_\; \{jk\}\; ^\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Phi\; \_\; \{j\}\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; v\; ^\; \{\; k\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Phi\; \_\; \{k\}\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; v\; ^\; \{j\}\}\}\; \backslash \; right).\}$

Тогда вспомогательное условие на g будет

$gmi\; \Psi \; jkm\; +\; gmk\; \Psi \; ijm\; +\; gmj\; \Psi \; kim\; =\; 0\; для\; 1\; \le \; i,\; j\; \le \; n.\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{mi\}\; \backslash \; Psi\; \_\; \{jk\}\; ^\; \{m\}\; +\; g\_\; \{mk\}\; \backslash \; Psi\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{m\}\; +\; g\_\; \{mj\}\; \backslash \; Psi\; \_\; \{ki\}\; ^\; \{m\}\; =\; 0\; \{\backslash \; t\_dv\; \{for\}\}\; 1\; \backslash \; leq\; i,\; j\; \backslash \; leq\; n.\; \backslash \; Quad\; \{\backslash \; t\_dv\; \{(A)\}\}\}$

Фактически, уравнения (H2) и (A) являются лишь первыми в бесконечной иерархии подобных алгебраических условий. В случае параллельного соединения (такого как каноническая связность на группе Ли) всегда выполняются условия более высокого порядка, поэтому интерес представляют только (H2) и (A). Обратите внимание, что (A) содержит

$(n\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; n\; \backslash \backslash \; 3\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\}$

условий, тогда как (H1) содержит

$(n\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; n\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\}$

условия. Таким образом, возможно, что из (H1) и (A) вместе следует, что функция Лагранжа сингулярна. По состоянию на 2006 год не существует общей теоремы, позволяющей обойти эту трудность в произвольной размерности, хотя некоторые частные случаи были разрешены.

Второе направление атаки - посмотреть, допускает ли система (E) погружение в систему меньшей размерности, и попытаться «поднять» лагранжиан для системы меньшей размерности до многомерной системы. один. На самом деле это не столько попытка решить условия Гельмгольца, сколько попытка построить лагранжиан, а затем показать, что его уравнения Эйлера – Лагранжа действительно являются системой (E).

• Дуглас, Джесси (1941). «Решение обратной задачи вариационного исчисления». Труды Американского математического общества. 50 (1): 71–128. DOI : 10.2307 / 1989912. ISSN 0002-9947. JSTOR 1989912.
• Rawashdeh, M., Thompson, G. (2006). «Обратная задача для шестимерных коразмерных двух нильрадикальных алгебр Ли». Журнал математической физики. 47 (11): 112901. doi : 10.1063 / 1.2378620. ISSN 0022-2488. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )