Функция делителя

редактировать

Арифметическая функция, относящаяся к делителям целого числа

Функция делителя σ 0 (n) до n = 250

Сигма-функция σ 1 (n) до n = 250

Сумма квадратов делителей, σ 2 (n), до n = 250

Сумма кубов делителей, σ 3 (n) до n = 250

В математике и, в частности, в теории чисел, функция делителя - это арифметическая функция , относящаяся к делителям целого числа . Когда упоминается как функция делителя, она подсчитывает количество делителей целого числа (включая 1 и само число). Он проявляется в ряде замечательных идентичностей, включая отношения на дзета-функции Римана и серии Эйзенштейна из модульных форм. Функции делителей были изучены Рамануджаном, который дал ряд важных сравнений и тождеств ; они рассматриваются отдельно в статье Сумма Рамануджана.

Связанная функция - это функция суммирования делителя , которая, как следует из названия, является суммой по функции делителя.

Содержание

1 Определение
2 Пример
3 Таблица значений
4 Свойства
- 4.1 Формулы при степенях простого числа
- 4.2 Другие свойства и идентичности
5 Связи серий
6 Скорость роста
7 См. Также
8 Примечания
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Определение

Функция суммы положительных делителей σx(n) для действительного или комплексного числа x определяется как сумма x-й степеней положительных делителей числа n. Он может быть выражен в сигма-нотации как

σ x (n) = ∑ d ∣ ndx, {\ displaystyle \ sigma _ {x} (n) = \ sum _ {d \ mid n} d ^ {x} \, \ !,}

{\ displaystyle \ sigma _ {x} (n) = \ сумма _ {d \ mid n} d ^ {x} \, \ !,}

где $d ∣ n {\ displaystyle {d \ mid n}}$ ${\ displaystyle {d \ mid n}}$ - это сокращение для "d делит n ". Обозначения d (n), ν (n) и τ (n) (для немецкого Teiler = divisors) также используются для обозначения σ 0 (n) или числа- делители функция (OEIS : A000005 ). Когда x равен 1, функция называется сигма-функцией или функцией суммы делителей, и индекс часто опускается, поэтому σ (n) совпадает с σ 1 (n) (OEIS : A000203 ).

Аликвотная сумма s (n) из n является суммой собственных делителей (то есть делителей, исключая само n, OEIS : A001065 ) и равно σ 1 (n) - n; последовательность аликвот числа n формируется путем многократного применения функции суммы аликвот.

Пример

Например, σ 0 (12) - это количество делителей числа 12:

σ 0 (12) = 1 0 + 2 0 + 3 0 + 4 0 + 6 0 + 12 0 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6, {\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {0} (12) = 1 ^ { 0} + 2 ^ {0} + 3 ^ {0} + 4 ^ {0} + 6 ^ {0} + 12 ^ {0} \\ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6, \ end {align}}}

\ begin {align} \ sigma_ {0} (12) = 1 ^ 0 + 2 ^ 0 + 3 ^ 0 + 4 ^ 0 + 6 ^ 0 + 12 ^ 0 \\ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6, \ end {align}

, а σ 1 (12) - сумма всех делителей:

σ 1 (12) = 1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + 6 1 + 12 1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28, {\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {1} (12) = 1 ^ {1} + 2 ^ { 1} + 3 ^ {1} + 4 ^ {1} + 6 ^ {1} + 12 ^ {1} \\ = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28, \ end {выровнено}} }

\ begin {align} \ sigma_ {1} (12) = 1 ^ 1 + 2 ^ 1 + 3 ^ 1 + 4 ^ 1 + 6 ^ 1 + 12 ^ 1 \\ = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28, \ end {align}

а аликвотная сумма собственных делителей s (12) равна:

s (12) = 1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + 6 1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16. {\ displaystyle {\ begin {align} s (12) = 1 ^ {1} + 2 ^ {1} + 3 ^ {1} + 4 ^ {1} + 6 ^ {1} \\ = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16. \ End {align}}}

\ begin {align} s (12) = 1 ^ 1 + 2 ^ 1 + 3 ^ 1 + 4 ^ 1 + 6 ^ 1 \\ = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16. \ конец {align}

Таблица значений

Случаи x = от 2 до 5 перечислены в OEIS : A001157 - OEIS : A001160, x = от 6 до 24 перечислены в OEIS : A013954 - OEIS : A0 13972.

n	факторизация	σ0(n)	σ1(n)	σ2(n)	σ3(n)	σ4(n)
1	1	1	1	1	1	1
2	2	2	3	5	9	17
3	3	2	4	10	28	82
4	2	3	7	21	73	273
5	5	2	6	26	126	626
6	2x3	4	12	50	252	1394
7	7	2	8	50	344	2402
8	2	4	15	85	585	4369
9	3	3	13	91	757	6643
10	2 × 5	4	18	130	1134	10642
11	11	2	12	122	1332	14642
12	2 × 3	6	28	210	2044	22386
13	13	2	14	170	2198	28562
14	2 × 7	4	24	250	3096	40834
15	3×5	4	24	260	3528	51332
16	2	5	31	341	4681	69905
17	17	2	18	290	4914	83522
18	2×3	6	39	455	6813	112931
19	19	2	20	362	6860	130322
20	2x5	6	42	546	9198	170898
21	3 × 7	4	32	500	9632	196964
22	2x11	4	36	610	11988	248914
23	23	2	24	530	12168	279842
24	2 × 3	8	60	850	16380	358258
25	5	3	31	651	15751	391251
26	2 × 13	4	42	850	19782	485554
27	3	4	40	820	20440	538084
28	2 × 7	6	56	1050	25112	655746
29	29	2	30	842	24390	707282
30	2x3x5	8	72	1300	31752	872644
31	31	2	32	962	29792	923522
32	2	6	63	1365	37449	1118481
33	3x11	4	48	1220	37296	1200644
34	2 × 17	4	54	1450	44226	1419874
35	5 × 7	4	48	1300	43344	1503652
36	2 × 3	9	91	1911	55261	1813539
37	37	2	38	1370	50654	1874162
38	2 × 19	4	60	1810	61740	2215474
39	3 × 13	4	56	1700	61544	2342084
40	2 × 5	8	90	2210	73710	2734994
41	41	2	42	1682	68922	2825762
42	2 × 3 × 7	8	96	2500	86688	3348388
43	43	2	44	1850	79508	3418802
44	2x11	6	84	2562	97236	3997266
45	3x5	6	78	2366	95382	4158518
46	2x23	4	72	2650	109512	4757314
47	47	2	48	2210	103824	4879682
48	2x3	10	124	3410	131068	5732210
49	7	3	57	2451	117993	5767203
50	2×5	6	93	3255	141759	6651267

Свойства

Формулы при степенях простых чисел

Для простого числа p,

σ 0 (p) = 2 σ 0 ( pn) знак равно N + 1 σ 1 (p) = p + 1 {\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {0} (p) = 2 \\\ sigma _ {0} (p ^ {n}) = n + 1 \\\ sigma _ {1} (p) = p + 1 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {0} (p) = 2 \ \\ sigma _ {0} (p ^ {n}) = n + 1 \\\ sigma _ {1} (p) = p + 1 \ end {align}}}

потому что по определению множители простого числа равны 1 и самому себе. Кроме того, где p n # обозначает примитив,

σ 0 (pn #) = 2 n {\ displaystyle \ sigma _ {0} (p_ {n} \ #) = 2 ^ {n}}

{\ displaystyle \ sigma _ {0} (p_ {n} \ #) = 2 ^ {n}}

, поскольку n простых множителей допускают последовательность двоичного выбора ( $pi {\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ или 1) из n членов для каждого сформированного надлежащего делителя.

Очевидно, $1 < σ 0 ( n) < n {\displaystyle 1<\sigma _{0}(n)$ $1 <\ sigma_0 (n) <n$ и σ (n)>n для всех n>2.

Функция делителя мультипликативная, но не полностью мультипликативная :

gcd (a, b) = 1 ⟹ σ x (ab) = σ x (a) σ x (б). {\ displaystyle \ gcd (a, b) = 1 \ Longrightarrow \ sigma _ {x} (ab) = \ sigma _ {x} (a) \ sigma _ {x} (b).}

{\ displaystyle \ gcd (a, b) = 1 \ Longrightarrow \ sigma _ {x} (ab) = \ sigma _ {x} (a) \ sigma _ {x} (b).}

Последствия это то, что, если мы напишем

n = ∏ i = 1 rpiai {\ displaystyle n = \ prod _ {i = 1} ^ {r} p_ {i} ^ {a_ {i}}}

n = \ prod_ {i = 1} ^ r p_i ^ {a_i}

где r = ω (n) - число различных простых множителей числа n, p i - i-й простой множитель, а i - максимальная степень p i, на которое n делится, тогда мы имеем:

σ x (n) = ∏ i = 1 r ∑ j = 0 aipijx = ∏ i = 1 r ( 1 + pix + pi 2 x + ⋯ + piaix). {\ displaystyle \ sigma _ {x} (n) = \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ sum _ {j = 0} ^ {a_ {i}} p_ {i} ^ {jx} = \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ left (1 + p_ {i} ^ {x} + p_ {i} ^ {2x} + \ cdots + p_ {i} ^ {a_ {i} x} \ справа).}

{\ displaystyle \ sigma _ {x} (n) = \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ sum _ {j = 0} ^ {a_ {i}} p_ {i} ^ {jx} = \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ left (1 + p_ {i} ^ { x} + p_ {i} ^ {2x} + \ cdots + p_ {i} ^ {a_ {i} x} \ right).}

который, когда x ≠ 0, эквивалентен полезной формуле:

σ x (n) = ∏ i = 1 rpi (ai + 1) x - 1 pix - 1. {\ displaystyle \ sigma _ {x} (n) = \ prod _ {i = 1} ^ {r} {\ frac {p_ {i} ^ {(a_ {i} +1) x} -1} {p_ {i} ^ {x} -1}}.}

{\ displaystyle \ sigma _ {x} (n) = \ prod _ {i = 1} ^ {r} {\ frac {p_ {i} ^ {(a_ {i} +1) x} -1} {p_ {i } ^ {x} -1}}.}

Когда x = 0, d (n) равно:

σ 0 (n) = ∏ i = 1 r (ai + 1). {\ displaystyle \ sigma _ {0} (n) = \ prod _ {i = 1} ^ {r} (a_ {i} +1).}

\ sigma_0 (n) = \ prod_ {i = 1} ^ r (a_i + 1).

Например, если n равно 24, есть два простых числа коэффициенты (p 1 равно 2; p 2 равно 3); отмечая, что 24 - это произведение 2 × 3, a 1 равно 3, а 2 равно 1. Таким образом, мы можем вычислить $σ 0 (24) {\ displaystyle \ sigma _ {0} (24)}$ $\ sigma_0 (24)$ так:

σ 0 (24) = ∏ i = 1 2 (ai + 1) = (3 + 1) (1 + 1) = 4 ⋅ 2 = 8. {\ Displaystyle \ sigma _ {0} (24) = \ prod _ {я = 1} ^ {2} (a_ {i} +1) = (3 + 1) (1 + 1) = 4 \ cdot 2 = 8.}

{\ displaystyle \ sigma _ {0} (24) = \ prod _ {i = 1} ^ {2} (a_ {i} +1) = (3 + 1) (1 + 1) = 4 \ cdot 2 = 8.}

Восемь делителей, подсчитываемых по этой формуле: 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 и 24.

Другие свойства и тождества

Эйлер доказал замечательную повторяемость:

σ (n) = σ (n - 1) + σ (n - 2) - σ (n - 5) - σ (n - 7) + σ (n - 12) + σ (n - 15) + ⋯ = ∑ i ∈ Z (- 1) i + 1 (σ (n - 1 2 (3 i 2 - i)) + δ (n, 1 2 (3 i 2 - i)) п) {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ sigma (n) = \ sigma (n-1) + \ sigma (n-2) - \ sigma (n-5) - \ sigma (n-7) + \ sigma (n-12) + \ sigma (n-15) + \ cdots \\ = \ sum _ {i \ in \ mathbb {Z}} (- 1) ^ {i + 1} \ left (\ sigma \ left (n - {\ frac {1} {2}} \ left (3i ^ {2} -i \ right) \ right) + \ delta \ left (n, {\ frac {1} {2}} \ left (3i ^ {2} -i \ right) \ right) n \ right) \ end {выравнивается}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma (n) = \ sigma (n-1) + \ sigma (n-2) - \ sigma (n-5) - \ sigma (n-7) + \ sigma (n-12) + \ sigma (n-15) + \ cdots \\ = \ sum _ {i \ in \ mathbb {Z}} (- 1) ^ {i + 1} \ left (\ sigma \ left (n - {\ frac {1} {2}} \ left (3i ^ {2} -i \ right) \ right) + \ delta \ left (n, {\ frac { 1} {2}} \ left (3i ^ {2} -i \ right) \ right) n \ right) \ end {align}}}

w здесь мы устанавливаем $σ (0) = n {\ displaystyle \ sigma (0) = n}$ ${\ displaystyle \ sigma (0) = n}$ , если это происходит, и $σ (i) = 0 {\ displaystyle \ sigma (i) = 0}$ ${\ displaystyle \ sigma (i) = 0}$ для $i ≤ 0, {\ displaystyle i \ leq 0,}$ ${\ displaystyle i \ leq 0, }$ , мы используем дельту Кронекера $δ (⋅, ⋅), {\ displaystyle \ delta (\ cdot, \ cdot),}$ ${\ displaystyle \ delta (\ cdot, \ cdot),}$ и $1 2 (3 i 2 - i) {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ left (3i ^ {2} -i \ right)}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ left (3i ^ {2} -i \ right)}$ - это пятиугольные числа. Действительно, Эйлер доказал это логарифмическим дифференцированием тождества в своей теореме о пятиугольных числах.

. Для неквадратного целого числа n каждый делитель d числа n соединяется с делителем n / d числа n и $σ 0 (n) {\ displaystyle \ sigma _ {0} (n)}$ $\ sigma_ {0} (n)$ четное; для квадратного целого числа один делитель (а именно $n {\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$ ${\ sqrt {n}}$ ) не сочетается с отдельным делителем и $σ 0 (n) {\ displaystyle \ sigma _ {0} (n)}$ $\ sigma_ {0} (n)$ нечетно. Аналогично, число $σ 1 (n) {\ displaystyle \ sigma _ {1} (n)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {1} (n)}$ нечетно тогда и только тогда, когда n квадрат или дважды квадрат.

Отметим также s (n) = σ (n) - n. Здесь s (n) обозначает сумму собственных делителей числа n, то есть делителей числа n, исключая само число n. Эта функция используется для распознавания совершенных чисел, которые представляют собой n, для которых s (n) = n. Если s (n)>n, то n является избыточным числом, и если s (n) < n then n is a дефицитным числом.

Если n является степенью 2, например, $n = 2 к {\ displaystyle n = 2 ^ {k}}$ $n = 2 ^ k$ , тогда $σ (n) = 2 ⋅ 2 k - 1 = 2 n - 1, {\ displaystyle \ sigma (n) = 2 \ cdot 2 ^ {k} -1 = 2n-1,}$ ${\ displaystyle \ sigma (n) = 2 \ cdot 2 ^ {k} -1 = 2n-1,}$ и s (n) = n - 1, что делает n почти идеальным.

В качестве примера для двух различных простые числа p и q с p < q, let

n = pq. {\ displaystyle n = pq.}

{\ displaystyle n = pq.}

Тогда

σ (n) = (p + 1) (q + 1) = n + 1 + (p + q), {\ displaystyle \ sigma (n) = (p + 1) (q + 1) = n + 1 + (p + q),}

{\ displaystyle \ sigma (n) = (p + 1) (q + 1) = n + 1 + (p + q), }

φ (n) = (p - 1) (q - 1) = n + 1 - (p + q), {\ displaystyle \ varphi (n) = (p-1) (q-1) = n + 1- (p + q),}

{\ displaystyle \ varphi (n) = (p-1) (q -1) = n + 1- (p + q),}

n + 1 = (σ (n) + φ (п)) / 2, {\ Displaystyle п + 1 = (\ сигма (п) + \ varphi (п)) / 2,}

{\ displaystyle n + 1 = (\ sigma ( n) + \ varphi (n)) / 2,}

р + д = (σ (п) - φ (п)) / 2, {\ displaystyle p + q = (\ sigma (n) - \ varphi (n)) / 2,}

{\ displaystyle p + q = (\ sigma (n) - \ varphi (n)) / 2,}

где $φ (n) {\ displaystyle \ varphi (n)}$ $\ varphi (n)$ - это функция Эйлера.

Тогда корни:

(x - p) (x - q) = x 2 - (p + q) x + n = x 2 - [(σ (N) - φ (N)) / 2] Икс + [(σ (N) + φ (N)) / 2 - 1] = 0 {\ Displaystyle (xp) (xq) = x ^ {2} - ( p + q) x + n = x ^ {2} - [(\ sigma (n) - \ varphi (n)) / 2] x + [(\ sigma (n) + \ varphi (n)) / 2-1 ] = 0}

{\ displaystyle (xp) (xq) = x ^ {2} - (p + q) х + п = х ^ {2} - [(\ sigma (n) - \ varphi (n)) / 2 ] Икс + [(\ sigma (n) + \ varphi (n)) / 2-1] = 0}

позволяет нам выразить p и q только через σ (n) и φ (n), даже не зная n или p + q, как:

p = (σ (n) - φ (n)) / 4 - [(σ (n) - φ (n)) / 4] 2 - [(σ (n) + φ (n)) / 2 - 1], {\ d isplaystyle p = (\ sigma (n) - \ varphi (n)) / 4 - {\ sqrt {[(\ sigma (n) - \ varphi (n)) / 4] ^ {2} - [(\ sigma ( n) + \ varphi (n)) / 2-1]}},}

{\ displaystyle p = (\ sigma (n) - \ varphi (n)) / 4 - {\ sqrt {[(\ sigma (п) - \ varphi (n)) / 4] ^ {2} - [(\ sigma (n) + \ varphi (n)) / 2-1]}},}

q = (σ (n) - φ (n)) / 4 + [(σ (n) - φ (n)) / 4] 2 - [(σ (n) + φ (n)) / 2 - 1]. {\ displaystyle q = (\ sigma (n) - \ varphi (n)) / 4 + {\ sqrt {[(\ sigma (n) - \ varphi (n)) / 4] ^ {2} - [(\ sigma (n) + \ varphi (n)) / 2-1]}}.}

{\ displaystyle q = (\ sigma (n) - \ varphi (n)) / 4 + {\ sqrt {[(\ sigma (n) - \ varphi (n)) / 4 ] ^ {2} - [(\ sigma (n) + \ varphi (n)) / 2-1]}}.}

Также, зная n и либо $σ (n) {\ displaystyle \ sigma (n)}$ $\ sigma (n)$ или $φ (n) {\ displaystyle \ varphi (n)}$ $\ varphi (n)$ (или зная p + q и либо $σ (n) {\ displaystyle \ sigma (n)}$ $\ sigma (n)$ или $φ (n) {\ displaystyle \ varphi (n)}$ $\ varphi (n)$ ) позволяет нам легко найти p и q.

В 1984 году Роджер Хит-Браун доказал, что равенство

σ 0 (n) = σ 0 (n + 1) {\ displaystyle \ sigma _ {0} (n) = \ sigma _ {0} (n + 1)}

\ sigma_0 (n) = \ sigma_0 ( п + 1)

верно для бесконечного количества значений n, см. OEIS : A005237.

Связи серий

Два ряда Дирихле с функцией делителей:

∑ n = 1 ∞ σ a (n) ns = ζ (s) ζ (s - a) для s>1, s>a + 1, {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} (n)} {n ^ {s}}} = \ zeta (s) \ zeta (sa) \ quad {\ text {for}} \ quad s>1, s>a + 1,}

\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s} = \zeta(s) \zeta(s-a)\quad\text{for}\quad s>1, s>a + 1,

что для d (n) = σ 0 (n) дает :

∑ N = 1 ∞ d (n) ns = ζ 2 (s) для s>1, {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {d (n)} {n ^ {s}}} = \ zeta ^ {2} (s) \ quad {\ text {for}} \ quad s>1,}

$\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s} = \zeta^2(s)\quad\text{for}\quad s>1,$

∑ n = 1 ∞ σ a (n) σ b (n) ns = ζ (s) ζ (s - a) ζ (s - b) ζ (s - a - б) ζ (2 с - а - б). {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} (n) \ sigma _ {b} (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s) \ zeta (sa) \ zeta (sb) \ zeta (sab)} {\ zeta (2s-ab)}}.}

\ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ sigma_a (n) \ sigma_b (n)} {n ^ s} = \ frac { \ zeta (s) \ zeta (sa) \ zeta (sb) \ zeta (sab)} {\ zeta (2s-ab)}.

A Ряд Ламберта, включающий функцию делителя:

∑ N знак равно 1 ∞ QN σ a (N) знак равно ∑ N = 1 ∞ ∑ J = 1 ∞ Naqjn = ∑ N = 1 ∞ Naqn 1 - qn {\ Displaystyle \ Sum _ {n = 1} ^ {\ infty } q ^ {n} \ sigma _ {a} (n) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} n ^ {a} q ^ { j \, n} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {n ^ {a} q ^ {n}} {1-q ^ {n}}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n} \ sigma _ {a} (n) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} n ^ {a} q ^ {j \, n} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {n ^ {a } q ^ {n}} {1-q ^ {n}}}}

для произвольных комплекс | q | ≤ 1 и а. Это суммирование также выглядит как ряд Фурье ряда Эйзенштейна и инварианты эллиптических функций Вейерштрасса.

Для $k>0 {\ displaystyle k>0}$ $k>0$ существует явное представление ряда с Рамануджан суммирует $см (n) {\ displaystyle c_ {m} (n)}$ ${\ displaystyle c_ {m} (n)}$ как:

σ k (n) = ζ (k + 1) nk ∑ м знак равно 1 ∞ см (N) mk + 1, {\ displaystyle \ sigma _ {k} (n) = \ zeta (k + 1) n ^ {k} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty } {\ frac {c_ {m} (n)} {m ^ {k + 1}}}.}

{\ displaystyle \ sigma _ {k} (n) = \ zeta (k + 1) n ^ {k} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ гидроразрыв {c_ {m} (n)} {m ^ {k + 1}}}.}

Вычисление первых членов $cm (n) {\ displaystyle c_ {m} ( n)}$ ${\ displaystyle c_ {m} (n)}$ показывает его колебания около «среднего значения» $ζ (k + 1) nk {\ displaystyle \ zeta (k + 1) n ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ zeta (k + 1) n ^ {k}}$ :

σ k ( n) = ζ (k + 1) nk [1 + (- 1) n 2 k + 1 + 2 cos ⁡ 2 π n 3 3 k + 1 + 2 cos ⁡ π n 2 4 k + 1 + ⋯] {\ displaystyle \ sigma _ {k} (n) = \ zeta (k + 1) n ^ {k} \ left [1 + {\ frac {(-1) ^ {n }} {2 ^ {k + 1}}} + {\ frac {2 \ cos {\ frac {2 \ pi n} {3}}} {3 ^ {k + 1}}} + {\ frac {2 \ cos {\ frac {\ pi n} {2}}} {4 ^ {k + 1}}} + \ cdots \ right]}

{ \ Displaystyle \ sigma _ {k} (n) = \ zeta (k + 1) n ^ {k} \ left [1 + {\ frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {k + 1} }} + {\ frac {2 \ cos {\ frac {2 \ pi n} {3}}} {3 ^ {k + 1}}} + {\ frac {2 \ cos {\ frac {\ pi n}) {2}}} {4 ^ {k + 1}}} + \ cdots \ right]}

Скорость роста

В мало-о обозначение, функция делителя удовлетворяет неравенству:

для всех ε>0, d (n) = o (n ε). {\ displaystyle {\ t_dv {для всех}} \ varepsilon>0, \ quad d (n) = o (n ^ {\ varepsilon}).}

{\t_dv{for all }}\varepsilon>0, \ quad d (n) = o (n ^ {\ varepsilon}).

Северин Вигерт показал, что:

lim sup n → ∞ log ⁡ d (n) log ⁡ n / log ⁡ log ⁡ n = log ⁡ 2. {\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ log d (n)} {\ log n / \ log \ log n}} = \ log 2.}

\ limsup_ {n \ to \ infty} \ frac {\ log d (n)} {\ log n / \ log \ log n} = \ log2.

С другой стороны, поскольку существует бесконечно много простых чисел,

lim inf n → ∞ d (n) = 2. {\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} d (n) = 2.}

\ liminf_ {n \ to \ infty} d (n) = 2.

In Big -O обозначение, Питер Густав Лежен Дирихле показал, что средний порядок функции делителя удовлетворяет следующему неравенству:

для всех x ≥ 1, ∑ n ≤ xd (п) знак равно Икс журнал ⁡ Икс + (2 γ - 1) Икс + О (Икс), {\ Displaystyle {\ t_dv {для всех}} х \ GEQ 1, \ сумма _ {п \ Leq х} d (п) = x \ log x + (2 \ gamma -1) x + O ({\ sqrt {x}}),}

\ t_dv {для всех} x \ geq1, \ sum_ {n \ leq x} d (n) = x \ log x + (2 \ gamma-1) x + О (\ sqrt {x}),

где $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ - это гамма-константа Эйлера. Улучшение границы $O (x) {\ displaystyle O ({\ sqrt {x}})}$ $O (\ sqrt {x})$ в этой формуле известно как проблема делителя Дирихле.

Поведение сигмы функция нерегулярная. Асимптотическая скорость роста сигма-функции может быть выражена следующим образом:

lim sup n → ∞ σ (n) n log ⁡ log ⁡ n = e γ, {\ displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ sigma (n)} {n \, \ log \ log n}} = e ^ {\ gamma},}

\ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {\ sigma ( n)} {n \, \ log \ log n} = e ^ \ gamma,

где lim sup - верхний предел. Этот результат является теоремой Гренвалла, опубликованной в 1913 году (Grönwall 1913). В его доказательстве используется 3-я теорема Мертенса, в которой говорится, что:

lim n → ∞ 1 log ⁡ n ∏ p ≤ npp - 1 = e γ, {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {\ log n}} \ prod _ {p \ leq n} {\ frac {p} {p-1}} = e ^ {\ gamma},}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {\ log n}} \ prod _ {p \ leq n} {\ frac {p} {p-1}} = e ^ {\ gamma},}

где p обозначает прайм.

В 1915 году Рамануджан доказал, что в предположении гипотезы Римана неравенство:

σ (n) < e γ n log ⁡ log ⁡ n {\displaystyle \ \sigma (n)

\ \ sigma (n) <e ^ \ gamma n \ log \ log n

(неравенство Робина)

выполняется для всех достаточно большое n (Рамануджан 1997). Наибольшее известное значение, которое нарушает неравенство, равно n = 5040. В 1984 году доказал, что неравенство верно для всех n>5040 тогда и только тогда, когда гипотеза Римана верна (Робин 1984). Это теорема Робина, и о неравенстве стало известно после него. Робин, кроме того, показал, что если гипотеза Римана неверна, то существует бесконечное количество значений n, которые нарушают неравенство, и известно, что наименьшее такое n>5040 должно быть сверхизбыточным (Akbary Фриггстад 2009). Было показано, что неравенство выполняется для больших нечетных целых чисел без квадратов и что гипотеза Римана эквивалентна неравенству только для n, кратного пятой степени простого числа (Choie et al. 2007).

Робин также безоговорочно доказал, что неравенство:

σ (n) < e γ n log ⁡ log ⁡ n + 0.6483 n log ⁡ log ⁡ n {\displaystyle \ \sigma (n)

\ \ sigma (n) <e ^ \ gamma n \ log \ log n + \ frac {0,6483 \ n} {\ log \ log n}

выполняется для всех n ≥ 3.

Связанная оценка была дана Джеффри Лагариасом. в 2002 году, который доказал, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что:

σ (n) < H n + log ⁡ ( H n) e H n {\displaystyle \sigma (n)

{\ displaystyle \ sigma (n) <H_ {n} + \ log (H_ {n}) e ^ {H_ {n}}}

для каждого натурального числа n>1, где $H n { \ displaystyle H_ {n}}$ $H_ {n}$ - номер n-й гармоники, (Lagarias 2002).

См. Также

Свертки суммы делителей Перечисляет несколько тождеств, включающих функции делителей
функция Эйлера (функция фи Эйлера)
Реорганизуемое число
Таблица делителей
Унитарный делитель

Примечания

Литература

Акбары, Амир; Фриггстад, Захари (2009), «Избыточные числа и гипотеза Римана» (PDF), American Mathematical Monthly, 116 (3): 273–275, doi : 10.4169 / 193009709X470128, заархивировано из оригинала (PDF) на 2014-04-11.
Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическое число теория, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
Бах, Эрик ; Шаллит, Джеффри, Алгоритмическая теория чисел, том 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, см. Стр. 234 в разделе 8.8.
Кэвни, Джеффри; Николя, Жан-Луи ; Сондоу, Джонатан (2011), «Теорема Робина, простые числа и новая элементарная переформулировка гипотезы Римана» (PDF), INTEGERS: Электронный журнал комбинаторной теории чисел, 11 : A33, arXiv : 1110.5078, Bibcode : 2011arXiv1110.5078C
Choie, YoungJu ; Личиардополь, Николас; Мори, Питер ; Соле, Патрик (2007), «О критерии Робина для гипотезы Римана», Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 19 (2): 357–372, arXiv : math.NT / 0604314, doi : 10.5802 / jtnb.591, ISSN 1246-7405, MR 2394891, Zbl 1163.11059
Грёнвалл, Томас Хакон (1913), «Некоторые асимптотические выражения в теории чисел», Труды Американского математического общества, 14 : 113–122, doi : 10.1090 / S0002-9947-1913-1500940-6
Харди, GH ; Райт, Э.М. (2008) [1938], Введение в теорию чисел, редакция Д. Р. Хит-Браун и Дж. Х. Сильверман. Предисловие Эндрю Уайлса. (6-е изд.), Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921986-5, MR 2445243, Zbl 1159.11001
Ивич, Александар (1985), Дзета-функция Римана. Теория дзета-функции Римана с приложениями, A Wiley-Interscience Publication, Нью-Йорк и т.д.: John Wiley Sons, стр. 385–440, ISBN 0-471-80634-X, Zbl 0556.10026
Лагариас, Джеффри К. (2002), «Элементарная задача, эквивалентная гипотезе Римана», The American Mathematical Monthly, 109 (6): 534–543, arXiv : math / 0008177, doi : 10.2307 / 2695443, ISSN 0002-9890, JSTOR 2695443, MR 1908008
Лонг, Кальвин Т. (1972), Элементарное введение в Теория чисел (2-е изд.), Лексингтон: Д. C. Heath and Company, LCCN 77171950
Петтофреццо, Энтони Дж.; Биркит, Дональд Р. (1970), Элементы теории чисел, Энглвуд Клиффс: Прентис Холл, LCCN 77081766
Рамануджан, Шриниваса (1997), «Сильно составные числа, аннотированные Жан-Луи Николя и Ги Робеном», The Ramanujan Journal, 1 (2): 119–153, doi : 10.1023 / A: 1009764017495, ISSN 1382-4090, MR 1606180
Робин, Гай (1984), "Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série, 63 (2): 187–213, ISSN 0021-7824, MR 0774171
Уильямс, Кеннет С. (2011), Теория чисел в духе Лиувилля, London Mathematical Society Student Texts, 76, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-17562-3, Zbl 1227.11002

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик У. «Функция делителя». MathWorld.
Вайсштейн, Эрик У. «Теорема Робина». MathWorld.
Элементарная оценка некоторых сумм свертки с использованием функций делителей PDF из статьи Хуарда, Оу, Спирмана и Уильямса. Содержит элементарные (т.е. не основанные на теории модулярных форм) доказательства сверток суммы делителей, формулы для количества способов представления числа в виде суммы треугольных чисел и связанные результаты.