Кривизна римановых многообразий

Слева направо: поверхность отрицательной гауссовой кривизны (гиперболоид ), поверхность нулевой гауссовой кривизны (цилиндр ) и поверхность положительной гауссовой кривизны (сфера ). В более высоких измерениях коллектор может иметь разную кривизну в разных направлениях, что описывается тензором кривизны Римана.

В математике, в частности дифференциальной геометрии, бесконечно малая геометрия римановых многообразий с размерностью больше 2 слишком сложна, чтобы описывать ее одним числом в данной точке. Риман представил абстрактный и строгий способ определения кривизны для этих многообразий, теперь известный как тензор кривизны Римана. Подобные понятия повсюду нашли применение в дифференциальной геометрии.

Для более элементарного обсуждения см. Статью о кривизне, в которой обсуждается кривизна кривых и поверхностей в двух и трех измерениях, а также дифференциальная геометрия поверхностей.

Кривизна псевдориманова многообразия может быть выражена таким же образом с небольшими изменениями.

• 1 Способы выражения кривизны риманова многообразия
  • 1.1 Тензор кривизны Римана
    • 1.1.1 Симметрии и тождества
  • 1.2 Секционная кривизна
  • 1.3 Форма кривизны
  • 1.4 Оператор кривизны
• 2 Дополнительные тензоры кривизны
  • 2.1 Скалярная кривизна
  • 2.2 Кривизна Риччи
  • 2.3 Тензор кривизны Вейля
  • 2.4 Разложение Риччи
• 3 Расчет кривизны
• 4 Ссылки
• 5 Примечания

Тензор кривизны Римана

Кривизна риманова многообразия может быть описана различными способами; наиболее стандартным является тензор кривизны, заданный в терминах связи Леви-Чивиты (или ковариантного дифференцирования ) $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$и скобка Ли $[\cdot ,\; \cdot ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot]\}$по следующей формуле:

$R\; (u,\; v)\; w\; =\; \nabla \; u\; \nabla \; vw\; -\; \nabla \; v\; \nabla \; uw\; -\; \nabla \; [u,\; v]\; w.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (u,\; v)\; вес\; =\; \backslash \; nabla\; \_\; \{u\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{v\}\; w-\; \backslash \; nabla\; \_\; \{v\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{u\}\; w-\; \backslash \; nabla\; \_\; \{[u,\; v]\}\; w.\}$

Здесь $R\; (u,\; v)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (u,\; v)\}$- линейное преобразование касательного пространства многообразия; он линейен по каждому аргументу. Если $u\; =\; \partial \; /\; \partial \; xi\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \backslash \; partial\; /\; \backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}$и $v\; =\; \partial \; /\; \partial \; xj\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \backslash \; partial\; /\; \backslash \; частичные\; x\_\; \{j\}\}$являются координатными векторными полями, тогда $[u,\; v]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [u,\; v]\; =\; 0\}$и поэтому формула упрощается до

$R\; (U,\; v)\; вес\; знак\; равно\; \nabla \; U\; \nabla \; vw\; -\; \nabla \; v\; \nabla \; uw\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (u,\; v)\; w\; =\; \backslash \; nabla\; \_\; \{u\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{v\}\; w-\; \backslash \; nabla\; \_\; \{v\; \}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{u\}\; w\}$

т.е. тензор кривизны измеряет некоммутативность ковариантной производной.

Линейное преобразование $w\; \mapsto \; R\; (u,\; v)\; w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \backslash \; mapsto\; R\; (u,\; v)\; w\}$также называется преобразованием кривизны. или эндоморфизм .

NB. Есть несколько книг, в которых тензор кривизны определяется с противоположным знаком.

Симметрии и тождества

Тензор кривизны имеет следующие симметрии:

$R\; (u,\; v)\; =\; -\; R\; (v,\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (u,\; v)\; =\; -R\; (v,\; u)\; \_\; \{\}\; ^\; \{\}\}$

$⟨R\; (u,\; v)\; w,\; z⟩\; =\; -\; ⟨R\; (u,\; v)\; z,\; w⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; R\; (u,\; v)\; w,\; z\; \backslash \; rangle\; =\; -\; \backslash \; langle\; R\; (u,\; v)\; z,\; w\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\}\; ^\; \{\}\}$

$R\; (u,\; v)\; w\; +\; R\; (v,\; w)\; u\; +\; R\; (\; w,\; u)\; v\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (u,\; v)\; w\; +\; R\; (v,\; w)\; u\; +\; R\; (w,\; u)\; v\; =\; 0\; \_\; \{\}\; ^\; \{\}\}$

Последняя идентичность была обнаружена Риччи, но его часто называют первой идентичностью Бьянки, просто потому, что она похожа на идентичность Бьянки ниже. Первые два должны рассматриваться как свойство антисимметрии и алгебры Ли соответственно, поскольку второе означает, что R (u, v) для всех u, v являются элементами псевдоортогональной алгебры Ли. Все три вместе следует назвать структурой псевдоортогональной кривизны. Они порождают тензор только путем отождествления с объектами тензорной алгебры - но точно так же существуют отождествления с понятиями в алгебре Клиффорда. Отметим, что эти три аксиомы структуры кривизны порождают хорошо разработанную структурную теорию, сформулированную в терминах проекторов (проектор Вейля, порождающий кривизну Вейля, и проектор Эйнштейна, необходимый для установки теории Эйнштейна гравитационного поля). уравнения). Эта структурная теория совместима с действием псевдоортогональных групп плюс растяжений. Он имеет тесные связи с теорией групп и алгебр Ли, троек Ли и йордановых алгебр. См. Ссылки, приведенные в обсуждении.

Эти три тождества образуют полный список симметрий тензора кривизны, т.е. для любого тензора, который удовлетворяет указанным выше тождествам, в какой-то точке можно было бы найти риманово многообразие с таким тензором кривизны. Простые вычисления показывают, что такой тензор имеет $n\; 2\; (n\; 2\; -\; 1)\; /\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{2\}\; (n\; ^\; \{2\}\; -1)\; /\; 12\}$независимых компонентов. Еще одно полезное тождество следует из этих трех:

$⟨R\; (u,\; v)\; w,\; z⟩\; =\; ⟨R\; (w,\; z)\; u,\; v⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; R\; (u,\; v)\; w,\; z\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; R\; (w,\; z)\; u,\; v\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\}\; ^\; \{\}\}$

Тождество Бьянки (часто второе тождество Бьянки ) включает ковариантную производные:

$\nabla \; U\; R\; (v,\; w)\; +\; \nabla \; v\; R\; (w,\; u)\; +\; \nabla \; w\; R\; (u,\; v)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{u\}\; R\; (v,\; w)\; +\; \backslash \; nabla\; \_\; \{v\}\; R\; (w,\; u)\; +\; \backslash \; nabla\; \_\; \{w\}\; R\; (u,\; v)\; =\; 0\}$

Секционная кривизна

Секционная кривизна - это еще одно эквивалентное, но более геометрическое описание кривизны римановых многообразий. Это функция $K\; (\sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (\backslash \; sigma)\}$, которая зависит от раздела $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$(т.е. 2-плоскость в касательных пространствах). Это кривизна Гаусса сечения $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$в точке p; здесь $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$-section - это локально определенный кусок поверхности, имеющий плоскость $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$в качестве касательной. в p, полученный из геодезических, которые начинаются в p в направлениях изображения $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$под экспоненциальной картой в p.

Если $v,\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; v,\; u\}$- два линейно независимых вектора в $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$, то

$K\; (\sigma )\; =\; K\; (u,\; v)\; /\; |\; u\; \wedge \; v\; |\; 2,\; где\; К\; (u,\; v)\; знак\; равно\; ⟨R\; (u,\; v)\; v,\; u⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (\backslash \; sigma)\; =\; K\; (u,\; v)\; /\; |\; u\; \backslash \; wedge\; v\; |\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; text\; \{\; где\}\}\; K\; (u,\; v)\; =\; \backslash \; langle\; R\; (u,\; v)\; v,\; u\; \backslash \; rangle\}$

Следующая формула показывает, что секционная кривизна полностью описывает тензор кривизны:

$6\; ⟨R\; (u,\; v)\; вес,\; z⟩\; знак\; равно\; \{\backslash \; displaystyle\; 6\; \backslash \; langle\; R\; (u,\; v)\; w,\; z\; \backslash \; rangle\; =\; \_\; \{\}\; ^\; \{\}\}$

$[K\; (u\; +\; z,\; v\; +\; w)\; -\; K\; (u\; +\; z,\; v)\; -\; К\; (u\; +\; z,\; w)\; -\; K\; (u,\; v\; +\; w)\; -\; K\; (z,\; v\; +\; w)\; +\; K\; (u,\; w)\; +\; K\; (v,\; z)]\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; [K\; (u\; +\; z,\; v\; +\; w)\; -K\; (u\; +\; z,\; v)\; -K\; (u\; +\; z,\; w)\; -K\; (u,\; v\; +\; w)\; -K\; (z,\; v\; +\; w)\; +\; K\; (\; u,\; w)\; +\; K\; (v,\; z)]\; -\_\; \{\}\; ^\; \{\}\}$

$[K\; (u\; +\; w,\; v\; +\; z)\; -\; K\; (u\; +\; w,\; v)\; -\; K\; (u\; +\; w,\; z)\; -\; K\; (u,\; v\; +\; z)\; -\; K\; (w,\; v\; +\; z)\; +\; K\; (v,\; w)\; +\; K\; (u,\; z)].\; \{\backslash \; Displaystyle\; [К\; (и\; +\; вес,\; v\; +\; z)\; -К\; (и\; +\; вес,\; v)\; -К\; (и\; +\; вес,\; z)\; -К\; (и,\; v\; +\; z)\; -К\; (вес,\; v\; +\; z)\; +\; K\; (v,\; w)\; +\; K\; (u,\; z)].\_\; \{\}\; ^\; \{\}\}$

Или в более простой формуле:

$⟨R\; (u,\; v)\; w,\; z⟩\; =\; 1\; 6\; \partial \; 2\; \partial \; s\; \partial \; t\; (K\; (u\; +\; sz,\; v\; +\; tw)\; -\; K\; (u\; +\; sw,\; v\; +\; tz))\; |\; (s,\; t)\; знак\; равно\; (0,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; R\; (u,\; v)\; w,\; z\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{6\}\}\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\; \}\}\; \{\backslash \; partial\; s\; \backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; left\; (K\; (u\; +\; sz,\; v\; +\; tw)\; -K\; (u\; +\; sw,\; v\; +\; tz)\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{(s,\; t)\; =\; (\; 0,0)\}\}$

Форма кривизны

Форма соединения дает альтернативный способ описания кривизны. Он больше используется для общих векторных пакетов и для основных связок, но он также хорошо работает для касательного пучка со связью Леви-Чивита. Кривизна n-мерного риманова многообразия задается антисимметричной n × n-матрицей $\Omega \; =\; \Omega \; ji\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; \_\; \{\}\; ^\; \{\}\; =\; \backslash \; Omega\; \_\; \{\backslash \; j\}\; ^\; \{i\}\}$из 2-форм (или эквивалентно 2-формы со значениями в $so\; \; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{so\}\; (n)\; \}$, алгебра Ли из ортогональной группы $O\; \; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{O\}\; (n)\}$, которая является структурной группой касательного расслоения риманова многообразия).

Пусть $e\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{i\}\}$будет локальным разделом ортонормированных баз. Затем можно определить форму связи, антисимметричную матрицу 1-форм $\omega \; =\; \omega \; ji\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; \backslash \; omega\; \_\; \{\backslash \; j\}\; ^\; \{i\}\}$, которые удовлетворяют из следующее тождество

$\omega \; jk\; (ei)\; =\; ⟨\nabla \; eiej,\; ek⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{\backslash \; j\}\; ^\; \{k\}\; (e\_\; \{i\})\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{e\_\; \{i\}\}\; e\_\; \{j\},\; e\_\; \{k\}\; \backslash \; rangle\}$

Тогда форма кривизны $\Omega \; =\; \Omega \; ji\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; Omega\; \_\; \{\backslash \; j\}\; ^\; \{i\}\}$равна определяется как

$\Omega \; =\; d\; \omega \; +\; \omega \; \wedge \; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; =\; d\; \backslash \; omega\; +\; \backslash \; omega\; \backslash \; wedge\; \backslash \; omega\}$.

Обратите внимание, что выражение «$\omega \; \wedge \; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \backslash \; клин\; \backslash \; omega\}$"- это сокращение от $\omega \; ji\; \wedge \; \omega \; kj\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{\backslash \; j\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; omega\; \_\; \{\backslash \; k\}\; ^\; \{j\}\; \}$и, следовательно, не обязательно исчезает. Следующее описывает связь между формой кривизны и тензором кривизны:

$R\; (u,\; v)\; w\; =\; \Omega \; (u\; \wedge \; v)\; w.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (u,\; v)\; w\; =\; \backslash \; Omega\; (u\; \backslash \; wedge\; v)\; w.\}$

Этот подход строится на всех симметриях тензора кривизны, кроме первого тождества Бьянки, которое принимает форму

$\Omega \; \wedge \; \theta \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; \backslash \; wedge\; \backslash \; theta\; =\; 0\}$

где $\theta \; =\; \theta \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; theta\; ^\; \{i\}\}$- n-вектор из 1 -формы, определенные как $\theta \; i\; (v)\; =\; ⟨ei,\; v⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; ^\; \{i\}\; (v)\; =\; \backslash \; langle\; e\_\; \{i\},\; v\; \backslash \; rangle\}$. Второе тождество Бьянки принимает форму

$D\; \Omega \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \backslash \; Omega\; =\; 0\}$

D обозначает внешнюю ковариантную производную

Оператор кривизны

Иногда удобно рассматривать кривизну как оператор $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$на касательной бивекторов (элементы $\Lambda \; 2\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; ^\; \{2\}\; (T)\}$), который однозначно определяется следующим тождеством:

$⟨Q\; (u\; \wedge \; v),\; w\; \wedge \; z⟩\; =\; ⟨R\; (u,\; v)\; z,\; w⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; Q\; (u\; \backslash \; wedge\; v),\; w\; \backslash \; wedge\; z\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; R\; (u,\; v)\; z,\; w\; \backslash \; rangle.\}$

Это возможно именно благодаря симметрии тензор кривизны (а именно антисимметрия в первой и последней парах индексов и блочная симметрия этих пар).

В общем, следующие тензоры и функции не описывают тензор кривизны полностью, однако они играют важную роль.

Скалярная кривизна

Скалярная кривизна - это функция на любом римановом многообразии, обычно обозначаемая Sc. Это полная трасса тензора кривизны; учитывая ортонормированный базис $\{ei\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{e\_\; \{i\}\; \backslash \}\}$в касательном пространстве в точке p, мы имеем

$S\; c\; =\; \sum \; i,\; J\; ⟨р\; (ei,\; ej)\; ej,\; ei⟩\; знак\; равно\; \sum \; я\; ⟨Ric\; (ei),\; ei⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash !\; c\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\}\; \backslash \; langle\; R\; (e\_\; \{i\},\; e\_\; \{j\})\; e\_\; \{j\},\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; text\; \{Ric\}\}\; (e\_\; \{i\}),\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle,\}$

где Ric означает тензор Риччи. Результат не зависит от выбора ортонормированного базиса. Начиная с размерности 3, скалярная кривизна не полностью описывает тензор кривизны.

Кривизна Риччи

Кривизна Риччи - это линейный оператор на касательном пространстве в точке, обычно обозначаемый Ric. Учитывая ортонормированный базис $\{ei\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{e\_\; \{i\}\; \backslash \}\}$в касательном пространстве в точке p, мы имеем

$R\; ic\; (u)\; =\; \sum \; i\; R\; (u,\; ei)\; ei.\; \{\backslash \; displaystyle\; Ric\; (u)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; R\; (u,\; e\_\; \{i\})\; e\_\; \{i\}.\_\; \{\}\; ^\; \{\}\}$

Результат не зависит от выбора ортонормированного базиса. При четырех или более измерениях кривизна Риччи не полностью описывает тензор кривизны.

Явные выражения для тензора Риччи в терминах связи Леви-Чивита приведены в статье о символах Кристоффеля.

тензоре кривизны Вейля

Тензор кривизны Вейля имеет те же симметрии, что и тензор кривизны, плюс одна дополнительная: его след (используемый для определения кривизны Риччи) должен исчезнуть. В размерностях 2 и 3 кривизна Вейля равна нулю, но если размерность n>3, то вторая часть может быть ненулевой.

• Тензор кривизны можно разложить на часть, которая зависит от кривизны Риччи и тензора Вейля.
• Если g ′ = fg для некоторой положительной скалярной функции f - a конформный изменение метрики - тогда W '= W.
• Для многообразия постоянной кривизны тензор Вейля равен нулю.
  • Более того, W = 0 тогда и только тогда, когда метрика локально конформна стандартной евклидовой метрике (равна fg, где g - стандартная метрика в некоторой системе координат, а f - некоторая

Разложение Риччи

Хотя по отдельности тензор Вейля и тензор Риччи в общем случае не определяют тензор полной кривизны, тензор кривизны Римана можно разложить на часть Вейля и часть Риччи. Это разложение известно как разложение Риччи и играет важную роль в конформной геометрии римановых многообразий. В частности, его можно использовать, чтобы показать, что если метрика масштабируется с помощью конформного коэффициента $e\; 2\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{2f\}\}$, то тензор кривизны Римана изменяется на ( рассматривается как (0, 4) -тензор):

$e\; 2\; f\; (R\; +\; (Hess\; (f)\; -\; df\; \otimes \; df\; +\; 1\; 2\; \Vert \; grad\; (f)\; \Vert \; 2\; g)\; \wedge \; ◯\; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{2f\}\; \backslash \; left\; (R\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; text\; \{Hess\}\}\; (f)\; -df\; \backslash \; otimes\; df\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; |\; \{\backslash \; text\; \{grad\}\}\; (f)\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; g\; \backslash \; right)\; \{~\; \backslash \; wedge\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash ;\; \backslash \; Bigcirc\; ~\}\; g\; \backslash \; right)\}$

где $\wedge \; ◯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{~\; \backslash \; wedge\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash ;\; \backslash \; bigcirc\; ~\}\}$обозначает произведение Кулькарни – Номидзу, а Гесс - Гессен.

Для расчета кривизны

• гиперповерхностей и подмногообразий см. вторую фундаментальную форму,
• в координатах, см. список формул в римановой геометрии или ковариантная производная,
• путем перемещения кадров см. связь Картана и форма кривизны.
• уравнение Якоби может помочь, если кто-то знает что-то о поведении геодезических.

• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, Vol. 1 (Новое изд.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15733-3.

.