Непрерывные функции в компактном хаусдорфовом пространстве

В математическом анализе и особенно функциональном анализе фундаментальную роль играет пространство непрерывных функций на компакте пространство Хаусдорфа со значениями в вещественных или комплексных числах. Это пространство, обозначаемое C (X), является векторным пространством относительно поточечного сложения функций и скалярного умножения на константы. Более того, это нормированное пространство с нормой, определенной как

$\Vert \; f\; \Vert \; =\; sup\; x\; \in \; X\; |\; f\; (x)\; |,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; |\; =\; \backslash \; sup\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; X\}\; |\; f\; (x)\; |,\}$

единообразная норма. Равномерная норма определяет топологию равномерной сходимости функций на X. Пространство C (X) является банаховой алгеброй относительно этой нормы. (Рудин 1973, §11.3)

• Согласно лемме Урысона, C (X) разделяет точки X: если x, y ∈ X и x ≠ y, то существует f ∈ C (X) такой, что f (x) ≠ f (y).
• Пространство C (X) бесконечномерно, если X бесконечное пространство (поскольку оно разделяет точки). Следовательно, в частности, оно обычно не локально компактно.
• Теорема о представлении Рисса – Маркова – Какутани дает характеристику непрерывного двойственного пространства к C (X). В частности, это двойственное пространство является пространством мер Радона на X (регулярные борелевские меры ), обозначаемых rca (X). Это пространство с нормой, заданной полной вариацией меры, также является банаховым пространством, принадлежащим к классу ba пространств. (Dunford Schwartz 1958, §IV.6.3)
• Положительные линейные функционалы на C (X) соответствуют (положительным) регулярным мерам Бореля на X другой формой теоремы Рисса о представлении. (Рудин 1966, Глава 2)
• Если X бесконечно, то C (X) не рефлексивно и не слабо завершено.
• Верна теорема Арсела-Асколи : подмножество K в C (X) относительно компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено в норма C (X) и равностепенно непрерывная.
• Теорема Стоуна-Вейерштрасса верна для C (X). В случае реальных функций, если A - подкольцо C (X), которое содержит все константы и разделяет точки, то закрытие A - это C (X). В случае комплексных функций утверждение выполняется с дополнительной гипотезой, что A замкнута относительно комплексного сопряжения.
• Если X и Y - два компактных хаусдорфовых пространства, и F: C (X) → C (Y) является гомоморфизм алгебр, коммутирующий с комплексным сопряжением, то F непрерывен. Кроме того, F имеет вид F (h) (y) = h (f (y)) для некоторой непрерывной функции ƒ: Y → X. В частности, если C (X) и C (Y) изоморфны как алгебры, то X и Y являются гомеоморфными топологическими пространствами.
• Пусть ∆ - пространство максимальных идеалов в C (X). Тогда существует взаимно однозначное соответствие между Δ и точками X. Кроме того, Δ можно отождествить с набором всех комплексных гомоморфизмов C (X) → C . Оборудуйте Δ исходной топологией относительно этой пары с C (X) (т. Е. преобразованием Гельфанда ). Тогда X гомеоморфно Δ, снабженной этой топологией. (Рудин 1973, §11.13)
• Последовательность в C (X) слабо Коши тогда и только тогда, когда она (равномерно) ограничена в C (X) и поточечно сходится. В частности, C (X) является только слабо полным для X конечного множества.
• нечеткая топология - это слабая * топология на двойственном к C (X
• Из теоремы Банаха – Алаоглу следует, что любое нормированное пространство изометрически изоморфно подпространству C (X) для некоторого X.

пространство C (X) вещественных или комплекснозначных непрерывных функций может быть определено на любом топологическом пространстве X. Однако в некомпактном случае C (X), вообще говоря, не является банаховым пространством относительно равномерной нормы, поскольку оно может содержать неограниченные функции. Следовательно, более типично рассматривать пространство, обозначенное здесь C B (X), ограниченных непрерывных функций на X. Это банахово пространство (фактически коммутативная банахова алгебра с единицей) относительно равномерной норма. (Hewitt Stromberg 1965, теорема 7.9)

Иногда желательно, особенно в теории меры, дополнительно уточнить это общее определение, рассмотрев частный случай, когда X является локально компактным хаусдорфовым пространством. В этом случае можно идентифицировать пару выделенных подмножеств C B (X): (Hewitt Stromberg 1965, §II.7)

• C00(X), подмножество C (X), состоящее из функций с компактным носителем. Это называется пространством функций, исчезающих в окрестности бесконечности .
• C0(X), подмножество C (X), состоящее из таких функций, что для любого ε>0 существует компакт K⊂X такой что | f (x) | < ε for all x ∈ X\K. This is called the space of functions исчезающий на бесконечности.

Замыкание C 00 (X) в точности равно C 0 (X). В частности, последнее - банахово пространство.

• Dunford, N.; Шварц, Дж. (1958), Линейные операторы, Часть I, Wiley-Interscience.
• Хьюитт, Эдвин; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ, Springer-Verlag.
• Rudin, Walter (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Рудин, Уолтер (1966), Реальный и комплексный анализ, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1.