Компактный оператор

В функциональном анализе, ветке математики, компактный оператор - это линейный оператор L из банахова пространства X в другое банахово пространство Y, такой, что изображение под L любого ограниченное подмножество X - это относительно компактное подмножество (имеет компактное замыкание ) Y. Такой оператор обязательно является ограниченным оператором, а значит, непрерывным.

Любой ограниченный оператор L с конечным рангом является компактным оператором; действительно, класс компактных операторов является естественным обобщением класса операторов конечного ранга в бесконечномерной ситуации. Когда Y является гильбертовым пространством, верно, что любой компактный оператор является пределом операторов конечного ранга, так что класс компактных операторов может быть определен альтернативно как замыкание множества операторов конечного ранга. операторы в топологии нормы . Верно ли это вообще для банаховых пространств (свойство аппроксимации ) долгие годы оставался нерешенным; в 1973 г. Пер Энфло привел контрпример.

Теория компактных операторов берет свое начало в теории интегральных уравнений, где интегральные операторы дают конкретные примеры. таких операторов. Типичное интегральное уравнение Фредгольма порождает компактный оператор K на функциональных пространствах ; свойство компактности выражается равностепенной непрерывностью. Метод аппроксимации операторами конечного ранга является основным при численном решении таких уравнений. Абстрактная идея оператора Фредгольма проистекает из этой связи.

• 1 Эквивалентные формулировки
• 2 Важные свойства
• 3 Истоки теории интегральных уравнений
• 4 Компактный оператор в гильбертовом пространстве
• 5 Полностью непрерывные операторы
• 6 Примеры
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки

Линейное отображение T: X → Y между двумя топологическими векторными пространствами называется компактным, если существует окрестность U начала координат в X такая, что T (U) является относительно компактным подмножеством Y.

Пусть X и Y - нормированные пространства и T: X → Y - линейный оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• T - компактный оператор;
• образ единичного шара X под T относительно компактный в Y;
• образ любого ограниченного подмножества X при T является относительно компактным в Y;
• существует окрестность U точки 0 в X и компактное подмножество $V\; \subseteq \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \backslash \; substeq\; Y\}$такая, что $T\; (U)\; \subseteq \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (U)\; \backslash \; substeq\; V\}$;
• для любой ограниченной последовательности $(\; xn)\; n\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{n\})\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$в X, последовательность $(T\; xn)\; n\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; (Tx\_\; \{n\})\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$содержит сходящуюся подпоследовательность.

Если вдобавок Y является банаховым, эти операторы также эквивалентны:

• образ любого ограниченного подмножества X при T является вполне ограниченным в Y.

Если линейный оператор компактен, то легко видеть, что он ограничен и, следовательно, непрерывен.

Далее X, Y, Z, W - банаховы пространства, B (X, Y) - пространство ограниченных операторов от X до Y с операторная норма, K (X, Y) - пространство компактных операторов из X в Y, B (X) = B (X, X), K (X) = K (X, X), $id\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; id\_\; \{X\}\}$- это оператор идентичности на X.

• K (X, Y) - замкнутое подпространство B (X, Y) ( в топологии нормы):
  • То есть, предположим, что T n, n ∈ N, - последовательность компактных операторов из одного банахова пространства в другое, и Предположим, что T n сходится к T относительно нормы оператора . Тогда T также компактен.
• Наоборот, если X, Y - гильбертовы пространства, то любой компактный оператор из X в Y является пределом операторов конечного ранга. Примечательно, что это неверно для общих банаховых пространств X и Y.
• $B\; (Y,\; Z)\; \circ \; K\; (X,\; Y)\; \circ \; B\; (W,\; X)\; \subseteq \; K\; (W,\; Z).\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (Y,\; Z)\; \backslash \; circ\; K\; (X,\; Y)\; \backslash \; circ\; B\; (W,\; X)\; \backslash \; substeq\; K\; (W,\; Z).\}$В частности, K (X) образует двусторонний идеал в B (X).
• Любой компактный оператор строго сингулярен, но не наоборот.
• Ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами компактно тогда и только тогда, когда сопряженный к нему компактен (теорема Шаудера).
• Если T: X → Y ограничено и компактно, то:
  • замыкание образа T сепарабельно.
  • , если диапазон T замкнут в Y, тогда диапазон T конечномерен.
• Если X - банахово пространство и существует обратимое ограниченное компактный оператор T: X → X, то X обязательно конечномерно.

Теперь предположим, что T: X → X - ограниченный компактный линейный оператор, X - банахово пространство и $T\; \ast :\; X\; \ast \; \to \; X\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{*\}:\; X\; ^\; \{*\}\; \backslash \; to\; X\; ^\; \{*\}\}$- это присоединенный или транспонированный T.

• Для любого T ∈ K (X) $Id\; X\; -\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Id\}\; \_\; \{X\}\; -T\}$является Fredh olm оператор индекса 0. В частности, $Im\; (Id\; X\; -\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Im\}\; \backslash ,\; (\backslash \; operatorname\; \{Id\}\; \_\; \{X\}\; -T)\}$закрыто. Это существенно для развития спектральных свойств компактных операторов. Можно заметить сходство между этим свойством и тем фактом, что если M и N являются подпространствами банахова пространства, где M замкнуто, а N конечномерно, то M + N также замкнуто.
• Если S : X → X - любой ограниченный линейный оператор, тогда и $S\; \circ \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; circ\; T\}$, и $T\; \circ \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \backslash \; circ\; S\}$- компактные операторы.
• Если $\lambda \; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; neq\; 0\}$, тогда диапазон $T\; -\; \lambda \; Id\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; -\; \backslash \; lambda\; \backslash \; operatorname\; \{Id\}\; \_\; \{X\}\}$закрыто, а ядро ​​$T\; -\; \lambda \; Id\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; \backslash \; operatorname\; \{Id\}\; \_\; \{X\}\}$является конечномерным, где $Id\; X:\; X\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Id\}\; \_\; \{X\}:\; X\; \backslash \; to\; X\}$- это тождественная карта.
• Если $\lambda \; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; neq\; 0\}$, то следующие числа конечны и равны:

$dim\; \; ker\; \; (T\; -\; \lambda \; Id\; X)\; =\; dim\; \; X\; /\; Im\; \; (T\; -\; \lambda \; Id\; X)\; =\; dim\; \; ker\; \; (T\; \ast \; -\; \lambda \; Id\; B\; \ast )\; =\; dim\; \; X\; \ast \; /\; Im\; \; (T\; \ast \; -\; \lambda \; Id\; X\; *)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{dim\}\; \backslash \; OperatorName\; \{ker\}\; \backslash \; left\; (T-\; \backslash \; lambda\; \backslash \; operatorname\; \{Id\}\; \_\; \{X\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; OperatorName\; \{dim\}\; X\; /\; \backslash \; OperatorName\; \{Im\}\; \backslash \; left\; (\; T-\; \backslash \; lambda\; \backslash \; operatorname\; \{Id\}\; \_\; \{X\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{dim\}\; \backslash \; operatorname\; \{ker\}\; \backslash \; left\; (T\; *\; -\; \backslash \; lambda\; \backslash \; operatorname\; \{Id\}\; \_\; \{B\; ^\; \{*\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{dim\}\; X\; ^\; \{*\}\; /\; \backslash \; operatorname\; \{Im\}\; \backslash \; left\; (T\; ^\; \{*\}\; -\; \backslash \; lambda\; \backslash \; operatorname\; \{Id\}\; \_\; \{X\; ^\; \{*\}\}\; \backslash \; right)\}$

• Если $\lambda \; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; neq\; 0\}$и $\lambda \; \in \; \sigma \; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; (T)\}$тогда $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$является собственным значением как T, так и $T\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{*\}\}$.
• Спектр T, $\sigma \; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (T)\}$, является компактным, счетным и имеет не более одной предельной точки, которая обязательно равна 0.
• Если X бесконечномерно, то 0 принадлежит спектру T (т. Е. $0\; \in \; \sigma \; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; (T)\}$).
• Для каждого $r>0\; \{\backslash \; displaystyle\; r>0\}$, набор $E\; r\; =\; \{\lambda \; \in \; \sigma \; (T):\; |\; \lambda \; |>r\}\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{r\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; (T):\; |\; \backslash \; lambda\; |>r\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$является конечным и для каждый ненулевой $\lambda \; \in \; \sigma \; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; (T)\}$, диапазон $T\; -\; \lambda \; Id\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; \backslash \; operatorname\; \{Id\}\; \_\; \{X\}\}$является правильным подмножеством X.

Важнейшее свойство компактных операторов - это альтернатива Фредгольма, которая утверждает, что существование решения линейных уравнений вида

$(\lambda \; K\; +\; I)\; u\; =\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; lambda\; K\; +\; I)\; u\; =\; f\; \backslash ,\}$

(где K - компактный оператор, f - заданная функция, а u - неизвестная функция, которую нужно решить) ведет себя так же, как и в конечных измерениях. Затем следует спектральная теория компактных операторов, созданная Фриджесом Риссом (1918). Он показывает, что компактный оператор K в бесконечномерном банаховом пространстве имеет спектр, который является либо конечным подмножеством C, которое включает 0, либо спектр является счетно бесконечным подмножеством C, единственная предельная точка которого - 0. Более того, в любом случае ненулевые элементы спектра являются собственными значениями оператора K с конечной кратностью (так что K - λI имеет конечномерное ядро ​​ для всех комплексных λ ≠ 0).

Важным примером компактного оператора является компактное вложение пространств Соболева, которое наряду с неравенством Гординга и Теорема Лакса – Милграма может быть использована для преобразования эллиптической краевой задачи в интегральное уравнение Фредгольма. Тогда существование решения и спектральные свойства следуют из теории компактных операторов; в частности, эллиптическая краевая задача в ограниченной области имеет бесконечно много изолированных собственных значений. Одним из следствий этого является то, что твердое тело может колебаться только на отдельных частотах, задаваемых собственными значениями, и всегда существуют произвольно высокие частоты колебаний.

Компактные операторы из банахова пространства в себя образуют двусторонний идеал в алгебре всех ограниченных операторов в пространстве. Действительно, компактные операторы в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве образуют максимальный идеал, поэтому фактор-алгебра, известная как алгебра Калкина, является простой. В более общем смысле, компактные операторы образуют операторный идеал.

Для гильбертовых пространств другое эквивалентное определение компактных операторов дается следующим образом.

Оператор $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$в бесконечномерном гильбертовом пространстве $H\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; \}$

$T:\; H\; \to \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; T:\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\}$

называется компактным, если его можно записать в форме

$T\; знак\; равно\; \sum \; N\; =\; 1\; \infty \; \lambda \; N\; ⟨fn,\; \cdot ⟩\; gn,\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; \backslash \; langle\; f\_\; \{n\},\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rangle\; g\_\; \{n\}\; \backslash ,,\}$

где $f\; 1,\; f\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\},\; f\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots\}$и $g\; 1,\; g\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{1\},\; g\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots\}$- ортонормированные множества (не обязательно полные), а $\lambda \; 1,\; \lambda \; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\},\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\},\; \backslash \; ldots\}$- это последовательность положительных чисел с нулевым пределом, называемая сингулярными значениями оператора. Особые значения могут накапливаться только в нуле. Если последовательность становится стационарной в нуле, то есть $\lambda \; N\; +\; k\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{N\; +\; k\}\; =\; 0\}$для некоторого $N\; \in \; N,\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\},\}$и каждые $k\; =\; 1,\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 1,2,\; \backslash \; dots\}$, затем оператор имеет конечный ранг, т. е. конечномерный образ, и может быть записан как

$T\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; N\; \lambda \; n\; ⟨fn,\; \cdot ⟩\; gn.\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; \backslash \; langle\; f\_\; \{n\},\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rangle\; g\_\; \{n\}\; \backslash ,.\}$

Скобка $⟨\cdot ,\; \cdot ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rangle\}$- скалярное произведение в гильбертовом пространстве; сумма в правой части сходится по операторной норме.

Важным подклассом компактных операторов является следовой класс или ядерные операторы.

Пусть X и Y - банаховы пространства. Ограниченный линейный оператор T: X → Y называется полностью непрерывным, если для каждой слабо сходящейся последовательности $(xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{\; n\})\}$от X последовательность $(T\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (Tx\_\; \{n\})\}$сходится по норме в Y (Conway 1985, §VI.3). Компактные операторы в банаховом пространстве всегда полностью непрерывны. Если X - рефлексивное банахово пространство, то всякий вполне непрерывный оператор T: X → Y компактен.

Несколько сбивает с толку, компактные операторы иногда называют «полностью непрерывными» в более ранней литературе, хотя они не обязательно являются полностью непрерывными по определению этой фразы в современной терминологии.

• Каждый оператор конечного ранга компактен.
• Для $\ell \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; ^\; \{p\}\}$и последовательности (t n), сходящийся к нулю, оператор умножения (Tx) n = t nxnкомпактен.
• Для некоторого фиксированного g ∈ C ([0, 1 ]; R ), определите линейный оператор T из C ([0, 1]; R ) в C ([0, 1]; R ) по

$(T\; f)\; (x)\; =\; \int \; 0\; xf\; (t)\; g\; (t)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; (Tf)\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{x\}\; f\; (t)\; g\; (t)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t.\}$

То, что оператор T действительно компактный, следует из теорема Асколи.

• В более общем смысле, если Ω является любой областью в R и интегральное ядро ​​k: Ω × Ω → R является Гильбертом-Шмидтом ядро, то оператор T на L (Ω; R ), определенный как

$(T\; f)\; (x)\; =\; \int \; \Omega \; k\; (x,\; y)\; f\; (y)\; dy\; \{\backslash \; displaystyle\; (Tf)\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; k\; (x,\; y)\; f\; (y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\}$

- компактный оператор.

• Автор Рисса По лемме единичный оператор является компактным оператором тогда и только тогда, когда пространство конечномерно.

• Компактное вложение
• Компактный оператор в гильбертовом пространстве
• Альтернатива Фредгольма
• Фредгольм интегральные уравнения
• Оператор Фредгольма
• Спектральная теория компактных операторов
• Строго сингулярный оператор

1. ^Конвей 1985, раздел 2.4
2. ^Конвей 1985, раздел 2.4
3. ^Enflo 1973
4. ^Schaefer Wolff 1999, стр. 98.
5. ^ Рудин 1991, с. 103-115.
6. ^Н.Л. Карозерс, Краткий курс теории банахового пространства, (2005) Тексты студентов Лондонского математического общества 64, Cambridge University Press.
7. ^ Конвей 1990, стр. 173-177.
8. ^Уильям Маклин, Сильно эллиптические системы и граничные интегральные уравнения, Cambridge University Press, 2000
9. ^Крейсиг 1978, теоремы 2.5–3, 2.5–5.

• Конвей, Джон Б. (1985). Курс функционального анализа. Springer-Verlag. Раздел 2.4. ISBN 978-3-540-96042-3.
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа. Тексты для выпускников по математике. 96(2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
• Энфло, П. (1973). «Контрпример к проблеме аппроксимации в банаховых пространствах». Acta Mathematica. 130 (1): 309–317. doi : 10.1007 / BF02392270. ISSN 0001-5962. MR 0402468. CS1 maint: ref = harv (link )
• Kreyszig, Erwin (1978). Вводный функциональный анализ с приложениями. John Wiley Sons. ISBN 978-0-471-50731-4.
• Кутателадзе, SS (1996). Основы функционального анализа. Тексты по математическим наукам. 12 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. Стр. 292. ISBN 978-0-7923-3898-7.
• Лакс, Питер (2002). Функциональный анализ. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC 47767143.
• ; ( 2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (второе издание). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Ренарди, М.; Роджерс, Р.К. (2004). Введение в уравнения в частных производных. Тексты по прикладной математике. 13 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer -Verlag. P. 356. ISBN 978-0-387-00444-0.(Раздел 7.5)
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.