Альфапедия

Аменабельная группа

редактировать

В математике изменчивая группа - это локально компактная топологическая группа G, выполняющая своего рода операцию усреднения на ограниченных функциях, которая инвариантна относительно трансляции элементами группы. Первоначальное определение в терминах конечно аддитивной инвариантной меры (или среднего) на подмножествах G было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году под немецким названием "messbar" (" Measurable »на английском языке) в ответ на парадокс Банаха – Тарского. В 1949 году Мэлон М. Дэй ввел английский перевод «amenable», очевидно, как игра слов «подлый».

Свойство amenability имеет большое количество эквивалентных формулировок. В области анализа определение дано в терминах линейных функционалов. Интуитивно понятный способ понять эту версию состоит в том, что поддержка регулярного представления - это все пространство неприводимых представлений.

В теории дискретных групп, где G имеет дискретную топологию , используется более простое определение. В этом случае группа является приемлемой, если можно сказать, какую долю G занимает какое-либо данное подмножество.

Если группа имеет последовательность Фёльнера, то она автоматически подлежит изменению.

Содержание
  • 1 Определение для локально компактных групп
  • 2 Эквивалентные условия аменабельности
  • 3 Случай дискретных групп
  • 4 Свойства
  • 5 Примеры
  • 6 Нет примеров
  • 7 См. Также
  • 8 Примечания
  • 9 Ссылки
  • 10 Внешние ссылки
Определение для локально компактных групп

Пусть G будет локально компактным Хаусдорфом группа. Тогда хорошо известно, что он обладает уникальной масштабной инвариантной кольцевой мерой, инвариантной относительно левого (или правого) вращения, мерой Хаара. (Это регулярная мера Бореля, когда G имеет счетчик секунд ; есть и левая, и правая меры, когда G компактна.) Рассмотрим банахово пространство L ( G) существенно ограниченных измеримых функций внутри этого пространства меры (которое, очевидно, не зависит от масштаба меры Хаара).

Определение 1. Линейный функционал Λ в Hom (L (G), R ) называется средним, если Λ имеет норму 1 и не является отрицательное, т.е. f ≥ 0 п.в. влечет Λ (f) ≥ 0.

Определение 2. Среднее Λ в Hom (L (G), R ) есть называется левоинвариантным (соответственно правоинвариантным ), если Λ (g · f) = Λ (f) для всех g в G, а f в L (G) относительно действия сдвига влево (соответственно вправо) g · f (x) = f (gx) (соответственно f · g (x) = f (xg)).

Определение 3. Локально компактная хаусдорфова группа называется аменабельной, если она допускает лево- (или право-) инвариантное среднее.

Эквивалентные условия аменабельности

Pier (1984) содержит исчерпывающий отчет об условиях на второй счетной локально компактной группе G, которые эквивалентны аменабельности:

  • Существование левой (или справа) инвариантное среднее на L (G). Исходное определение, которое зависит от выбранной аксиомы .
  • Существование левоинвариантных состояний. Левоинвариантное состояние существует на любой сепарабельной левоинвариантной унитальной подалгебре C * ограниченных непрерывных функций на G.
  • Свойство неподвижной точки. Любое действие группы путем непрерывных аффинных преобразований на компактном выпуклом подмножестве (сепарабельной) локально выпуклой топологии. векторное пространство имеет фиксированную точку. Для локально компактных абелевых групп это свойство выполняется в результате теоремы Маркова – Какутани о неподвижной точке.
  • Неприводимая двойственная группа. Все неприводимые представления слабо содержатся в левом регулярном представлении λ на L (G
  • Тривиальное представление. Тривиальное представление группы G слабо содержится в левом регулярном представлении.
  • Условие Годема. Любая ограниченная положительно определенная мера μ на G удовлетворяет условию μ (1) ≥ 0. Valette (1998) улучшил этот критерий, показав, что достаточно спросить, что для любой непрерывной положительно определенной функции f с компактным носителем на G функция Δf имеет неотрицательный интеграл по мере Хаара, где Δ обозначает модулярную функцию.
  • Условие асимптотической инвариантности Дэя. Существует последовательность интегрируемых неотрицательных функций φ n с интегралом 1 на G такая, что λ (g) φ n - φ n стремится к 0 в слабой топологии на L (G).
  • Условие Рейтера. Для каждого конечного (o r compact) подмножество F группы G существует интегрируемая неотрицательная функция φ с интегралом 1 такая, что λ (g) φ - φ сколь угодно мало в L (G) для g из F.
  • Условие Диксмье. Для любого конечного (или компактного) подмножества F в G существует единичный вектор f в L (G) такой, что λ (g) f - f сколь угодно мало в L (G) для g в F.
  • Условие Гликсберга - Рейтера. Для любого f в L (G) расстояние между 0 и замкнутой выпуклой оболочкой в ​​L (G) слева переводит λ (g) f равным | ∫f |.
  • Условие Фёльнера. Для любого конечного (или компактного) подмножества F группы G существует измеримое подмножество U группы G с конечной положительной мерой Хаара такое, что m (U ∆ gU) / m (U) сколь угодно мало для g в F.
  • Условие Лептина. Для любого конечного (или компактного) подмножества F группы G существует измеримое подмножество U группы G с конечной положительной мерой Хаара такое, что m (FU Δ U) / m (U) сколь угодно мало.
  • Состояние Кестена . Левая свертка на L (G) с помощью симметричной вероятностной меры на G дает оператор операторной нормы 1.
  • Когомологическое условие Джонсона. Банахова алгебра A = L (G) аменабельна как банахова алгебра, т.е. любой ограниченный вывод A в двойственный банахову A-бимодуль является внутренним.
Случай дискретных групп

Определение аменабельности проще в случае дискретного группа, то есть группа с дискретной топологией.

Определение. Дискретная группа G аменабельна, если существует конечно-аддитивная мера (также называемая среднее) - функция, которая присваивает каждому подмножеству G число от 0 до 1 - так что

  1. мера является вероятностной мерой : мера всей группы G равна 1.
  2. Мера конечно аддитивна : для заданного конечного числа непересекающихся подмножеств G мера объединения множеств является суммой мер.
  3. Мера левоинвариантный : дано подмножество A и элемент g из G, мера A равна мере gA. (gA обозначает набор элементов ga для каждого элемента a в A. То есть каждый элемент A переводится слева на g.)

Это определение можно резюмировать следующим образом: G является аменабельным, если он имеет конечно- аддитивная левоинвариантная вероятностная мера. Учитывая подмножество A группы G, эту меру можно рассматривать как ответ на вопрос: какова вероятность того, что случайный элемент G находится в A?

Это факт, что это определение эквивалентно определению в терминах L (G).

Наличие меры μ на G позволяет нам определить интегрирование ограниченных функций на G. Для ограниченной функции f: G → R интеграл

∫ G fd μ {\ displaystyle \ int _ {G} f \, d \ mu}\ int _ {G} f \, d \ mu

определяется как в интеграции Лебега. (Обратите внимание, что некоторые свойства интеграла Лебега здесь не работают, поскольку наша мера только конечно аддитивна.)

Если группа имеет левоинвариантную меру, она автоматически имеет биинвариантную. Для левоинвариантной меры μ функция μ (A) = μ (A) является правоинвариантной мерой. Объединение этих двух дает биинвариантную меру:

ν (A) = ∫ g ∈ G μ (A g - 1) d μ -. {\ displaystyle \ nu (A) = \ int _ {g \ in G} \ mu \ left (Ag ^ {- 1} \ right) \, d \ mu ^ {-}.}\ nu (A) = \ int _ {g \ in G} \ mu \ left (Ag ^ {- 1} \ right) \, d \ mu ^ {-}.

Эквивалентные условия для Аменабельность также упрощается в случае счетной дискретной группы Γ. Для такой группы следующие условия эквивалентны:

  • Γ аменабельна.
  • Если Γ действует изометриями на (сепарабельном) банаховом пространстве E, оставляя слабо замкнутое выпуклое подмножество C замкнутого единичного шара пространства E * инвариантен, то Γ имеет неподвижную точку в C.
  • На ℓ (Γ) существует левоинвариантный по норме функционал μ с μ (1) = 1 (для этого требуется аксиома choice ).
  • На любой левоинвариантной сепарабельной унитальной C * -подалгебре в>(Γ) существует левоинвариантное состояние μ.
  • Существует множество вероятностей измеряет μ n на Γ так, что || g · μ n - μ n||1стремится к 0 для каждого g в Γ (MM Day).
  • Там - единичные векторы x n в ℓ (Γ) такие, что || g · x n - x n||2стремится к 0 для каждого g в Γ (Дж. Диксмье).
  • Существуют конечные подмножества S n из Γ такие, что | g · S n Δ S n | / | S n | стремится к 0 для каждого g в Γ (Фёльнер).
  • Если μ - симметричная вероятностная мера на Γ с носителем, порождающим Γ, то свертка по μ определяет оператор нормы 1 на (Γ) (Kesten).
  • Если Γ действует изометриями на (сепарабельном) банаховом пространстве E и f в (Γ, E *) является ограниченным 1 -коцикл, т.е. f (gh) = f (g) + g · f (h), то f является 1-кограницей, т.е. f (g) = g · φ - φ для некоторого φ в E * (BE Джонсон).
  • редуцированная групповая C * -алгебра (см. редуцированная групповая C * -алгебра C r * (G) ) ядерно.
  • редуцированная групповая C * -алгебра квазидиагональна (Дж. Розенберг, А. Тикуисис, С. Уайт, У. Винтер).
  • групповая алгебра фон Неймана (см. алгебры фон Неймана, ассоциированные с группами ) группы Γ является гиперконечной (А. Конн).

Отметим, что А. Конн также доказал, что групповая алгебра фон Неймана любой связной локально компактной группы гиперконечна, поэтому последнее условие больше не применяется в случае связных групп.

Аменабельность связана с спектральной теорией некоторых операторов. Например, фундаментальная группа замкнутого риманова многообразия аменабельна тогда и только тогда, когда нижняя часть спектра лапласиана на L2-пространстве универсального покрытия многообразия равна 0.

Свойства
  • Каждая (замкнутая) подгруппа аменабельной группы аменабельна.
  • Любое частное аменабельной группы аменабельно.
  • A расширение группы аменабельной группы группа поддающейся изменению группы снова поддается изменению. В частности, конечное прямое произведение аменабельных групп аменабельно, хотя бесконечные произведения не обязательно.
  • Прямые пределы аменабельных групп являются аменабельными. В частности, если группа может быть записана как направленное объединение аменабельных подгрупп, то она аменабельна.
  • Аменабильные группы унитаризуемы ; Обратное - открытая проблема.
  • Счетные дискретные аменабельные группы подчиняются теореме об изоморфизме Орнштейна.
Примеры
  • Конечные группы аменабельны. Используйте счетную меру с дискретным определением. В более общем смысле, компактные группы поддаются изменению. Мера Хаара является инвариантным средним (уникальным, принимая общую меру 1).
  • Группа целых чисел является аменабельной (последовательность интервалов длины, стремящейся к бесконечности, является последовательностью Фёльнера). Существование инвариантной относительно сдвига конечно-аддитивной вероятностной меры на группе Z также легко следует из теоремы Хана – Банаха таким образом. Пусть S - оператор сдвига в пространстве последовательностей ℓ(Z), который определяется как (Sx) i = x i + 1 для всех x ∈ ℓ (Z ), и пусть u ∈ ℓ (Z ) - постоянная последовательность u i = 1 для всех i ∈ Z . Любой элемент y ∈ Y: = range (S - I) имеет расстояние больше или равное 1 от u (в противном случае y i = x i + 1 - x i будет положительным и отделенным от нуля, поэтому x i не может быть ограничено). Это означает, что на подпространстве Ru +Y существует четко определенная линейная форма с единицей нормы, переводящая tu + y в t. По теореме Хана – Банаха последний допускает линейное расширение по норме единица на ℓ (Z ), которое по построению является инвариантной относительно сдвига конечно-аддитивной вероятностной мерой на Z.
  • , если каждый класс сопряженности в локально компактная группа имеет компактное замыкание, то группа аменабельна. Примеры групп с этим свойством включают компактные группы, локально компактные абелевы группы и дискретные группы с конечными классами сопряженности.
  • Согласно указанному выше свойству прямого предела группа является аменабельной, если все ее конечно порожденные Подгруппы есть. То есть локально поддающиеся группе поддаются.
  • Из свойства расширения выше следует, что группа является аменабельный, если он имеет конечную индекс аменабельную подгруппу. То есть, практически аменабельные группы поддаются подмену.
  • Кроме того, из этого следует, что все разрешимые группы поддаются подмену.

Все приведенные выше примеры являются элементарными поддающимися. Первый класс нижеприведенных примеров может быть использован для демонстрации неэлементарных поддающихся примеров благодаря существованию групп промежуточного роста.

  • Конечно порожденные группы субэкспоненциального роста поддаются изменению. Подходящая подпоследовательность шаров обеспечит последовательность Фёльнера.
  • Конечно порожденные бесконечные простые группы не могут быть получены конструкциями бутстрапа, используемыми для построения элементарных аменабельных групп. Поскольку существуют такие простые группы, которые поддаются изменению, благодаря Ющенко и Monod, это снова дает неэлементарные поддающиеся примеры.
Нет примеров

Если счетная дискретная группа содержит (не -abelian) свободная подгруппа на двух образующих, то не поддается. Обратным этому утверждению является так называемая гипотеза фон Неймана, которая была опровергнута Ольшанским в 1980 году с использованием его Тарских чудовищ. Впоследствии Адян показал, что свободные группы Бернсайда неаменабельны: поскольку они периодичны, они не могут содержать свободную группу на двух образующих. Эти группы конечно порождены, но не конечно представимы. Однако в 2002 г. Сапир и Ольшанский нашли конечно определенные контрпримеры: неаменабельные конечно определенные группы, которые имеют периодическую нормальную подгруппу с частным целыми числами.

Для конечно порожденных линейные группы, однако гипотеза фон Неймана верна с помощью альтернативы Титса : каждая подгруппа GL (n, k) с полем ka либо имеет нормальный разрешимая подгруппа конечного индекса (а значит, аменабельная) или содержит свободную группу с двумя образующими. Хотя в доказательстве Титса использовалась алгебраическая геометрия, позже Гиварч нашел аналитическое доказательство, основанное на «мультипликативной эргодической теореме. Аналоги альтернативы Титса были доказаны для многих других классов групп, таких как фундаментальные группы двумерных симплициальных комплексов неположительной кривизны.

См. Также
Примечания
Ссылки

Эта статья включает материал группы Amenable по PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

Внешние ссылки
Последняя правка сделана 2021-06-10 17:11:58
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте