Альтернатива сисек

В математике альтернатива Титса, названная в честь Жака Титса, является важной теоремой о структуре конечно порожденные линейные группы.

• 1 Утверждение
• 2 Последствия
• 3 Обобщения
• 4 Доказательство
• 5 Примечания

Теорема, доказанная Титсом, формулируется следующим образом.

Пусть $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$будет конечно порожденной линейной группой над полем. Тогда возникают две следующие возможности:

• либо $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$виртуально разрешима (т.е. имеет разрешимую подгруппу конечного индекса )

• , или он содержит неабелеву свободную группу (то есть имеет подгруппу , изоморфную свободной группе на двух образующих

Линейная группа не аменабельна тогда и только тогда, когда она содержит неабелеву свободную группу (отсюда гипотеза фон Неймана, в то время как в общем случае неверно, имеет место для линейных групп).

Альтернатива Титса является важным элементом доказательства теоремы Громова о группах полиномиального роста. Фактически, альтернатива, по сути, устанавливает результат для линейных групп (это сводит его к случаю разрешимых групп, с которыми можно справиться элементарными средствами).

В геометрической теории групп группа Говорят, что G удовлетворяет альтернативе Титса, если для любой подгруппы H группы G либо H является виртуально s olvable или H содержит неабелеву свободную подгруппу (в некоторых версиях определения это условие требуется только для выполнения для всех конечно порожденных подгрупп группы G).

Примерами групп, удовлетворяющих альтернативе Титса, которые либо не являются линейными, либо, по крайней мере, не известно, что они линейны, являются:

• Гиперболические группы
• Группы классов отображения ;
• Out (Fn) ;
• Определенные группы бирациональных преобразований алгебраических поверхностей.

Примеры групп, не удовлетворяющих альтернативе Титса:

• группа Григорчука ;
• группа Томпсона F.

Доказательство оригинальной альтернативы Титса можно найти, посмотрев на замыкание Зариски из $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$в $GL\; n\; (k)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; \_\; \{n\}\; (k)\}$. Если она разрешима, то группа разрешима. В противном случае можно посмотреть изображение $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$в компоненте Леви. Если он некомпактный, то аргумент ping-pong завершает доказательство. Если он компактный, то либо все собственные значения элементов в изображении $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$являются корнями из единицы, и тогда изображение конечно, либо можно найти вложение $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, в котором можно применить стратегию пинг-понга.

Обратите внимание, что доказательство всех вышеизложенных обобщений также опирается на аргумент о пинг-понге.