Закон Стефана – Больцмана

редактировать

График функции полной излучаемой энергии черного тела

j ⋆ {\ displaystyle j ^ {\ star }}

j ^ {\ star}

пропорционально его термодинамической температуре

T {\ displaystyle T \,}

T\,

. Синим цветом обозначена полная энергия согласно аппроксимации Вина,

j W ⋆ = j ⋆ / ζ (4) ≈ 0,924 σ T 4 {\ displaystyle j_ {W} ^ {\ star} = j ^ {\ star} / \ zeta (4) \ приблизительно 0,924 \, \ sigma T ^ {4} \! \,}

j ^ {\ star} _ {W} = j ^ {\ star} / \ zeta (4) \ приблизительно 0,924 \, \ sigma T ^ {4} \! \,

Закон Стефана – Больцмана описывает мощность, излучаемую источником черное тело с точки зрения его температуры. В частности, закон Стефана – Больцмана гласит, что общая энергия, излучаемая на единицу площади черного тела на всех длинах волн на единицу время $j ⋆ {\ displaystyle j ^ {\ star}}$ $j ^ {\ star}$ (также известное как черное тело излучательная способность ) прямо пропорционально четвертой степени термодинамической температуры черного тела T:

j ⋆ = σ T 4. {\ displaystyle j ^ {\ star} = \ sigma T ^ {4}.}

j ^ {\ star} = \ sigma T ^ {4}.

Константа пропорциональности σ, называемая постоянной Стефана – Больцмана, получается из другие известные физические константы. Значение константы равно

σ = 2 π 5 k 4 15 c 2 h 3 = 5.670373 × 10-8 Вт м - 2 K - 4, {\ displaystyle \ sigma = {\ frac {2 \ pi ^ { 5} k ^ {4}} {15c ^ {2} h ^ {3}}} = 5.670373 \ times 10 ^ {- 8} \, \ mathrm {W \, m ^ {- 2} K ^ {- 4 }},}

\ sigma = {\ frac {2 \ pi ^ {5} k ^ {4}} {15c ^ {2} h ^ {3}}} = 5.670373 \ times 10 ^ {{- 8}} \, {\ mathrm {W \, m ^ {{- 2}} K ^ {{- 4}}}},

где k - постоянная Больцмана, h - постоянная Планка, а c - скорость света в вакууме. Сияние с заданного угла обзора (ватт на квадратный метр на стерадиан ) определяется как

L = j ⋆ π = σ π T 4. {\ displaystyle L = {\ frac {j ^ {\ star}} {\ pi}} = {\ frac {\ sigma} {\ pi}} T ^ {4}.}

L = \ frac {j ^ {\ star}} \ pi = \ frac \ sigma \ pi T ^ {4}.

Тело, которое не поглощает все падающее излучение (иногда называемое серым телом) излучает меньше общей энергии, чем черное тело, и характеризуется коэффициентом излучения , $ε < 1 {\displaystyle \varepsilon <1}$ $\ varepsilon <1$ :

j ⋆ = ε σ T 4. {\ displaystyle j ^ {\ star} = \ varepsilon \ sigma T ^ {4}.}

j ^ {\ star} = \ varepsilon \ sigma T ^ {4}.

Излучение $j ⋆ {\ displaystyle j ^ {\ star}}$ $j ^ {\ star}$ имеет измерения потока энергии (энергия в единицу времени на единицу площади), а единицы измерения системы СИ составляют джоули в секунду на квадратный метр., или, что эквивалентно, ватт на квадратный метр. Единицей измерения абсолютной температуры T в системе СИ является кельвин. $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ - коэффициент излучения серого тела; если это абсолютно черное тело, $ε = 1 {\ displaystyle \ varepsilon = 1}$ $\ varepsilon = 1$ . В еще более общем (и реалистичном) случае коэффициент излучения зависит от длины волны, $ε = ε (λ) {\ displaystyle \ varepsilon = \ varepsilon (\ lambda)}$ $\ varepsilon = \ varepsilon (\ lambda)$ .

Чтобы найти общую мощность, излучаемая объектом, умноженная на площадь его поверхности, $A {\ displaystyle A}$ $A$ :

P = A j ⋆ = A ε σ T 4. {\ displaystyle P = Aj ^ {\ star} = A \ varepsilon \ sigma T ^ {4}.}

P = A j ^ {\ star} = A \ varepsilon \ sigma T ^ {4}.

Частицы длины волны и субволновой шкалы, метаматериалы и другие наноструктуры не подлежат лучево-оптические ограничения и могут быть разработаны таким образом, чтобы превышать закон Стефана – Больцмана.

Содержание

1 История
2 Примеры
- 2.1 Температура Солнца
- 2.2 Температура звезд
- 2.3 Эффективная температура Земли
3 Происхождение
- 3.1 Термодинамическое определение плотность энергии
- 3.2 Вывод из закона Планка
- 3.3 Плотность энергии
4 См. также
5 Примечания
6 Ссылки

История

В 1864 году Джон Тиндаль представил результаты измерений инфракрасного излучения платиновой нити накала и соответствующего цвета нити. Пропорциональность четвертой степени абсолютной температуры была выведена Йозефом Стефаном (1835–1893) в 1879 году на основе экспериментальных измерений Тиндаля в статье Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (On связь между тепловым излучением и температурой) в бюллетенях сессий Венской академии наук. Вывод закона из теоретических соображений был представлен Людвигом Больцманном (1844–1906) в 1884 году на основе работы Адольфо Бартоли. Бартоли в 1876 г. вывел существование радиационного давления из принципов термодинамики. Вслед за Бартоли Больцман рассматривал идеальную тепловую машину, использующую электромагнитное излучение вместо идеального газа в качестве рабочего вещества.

Закон был почти сразу же экспериментально подтвержден. Генрих Вебер в 1888 году указал на отклонения при более высоких температурах, но к 1897 году была подтверждена высокая точность в пределах погрешностей измерения вплоть до температур 1535 К. Закон, включая теоретическое предсказание постоянной Стефана – Больцмана как функция от скорости света, постоянной Больцмана и постоянной Планка, является прямым следствием из Закон Планка, сформулированный в 1900 году.

Примеры

Температура Солнца

С помощью своего закона Стефан также определил температуру Солнца Поверхность. Он сделал вывод из данных Жака-Луи Соре (1827–1890), что плотность потока энергии от Солнца в 29 раз больше, чем плотность потока энергии определенного нагретого металла ламели (тонкая пластинка). Круглая пластинка была размещена на таком расстоянии от измерительного прибора, чтобы она была видна под тем же углом, что и Солнце. Сорет оценил температуру ламели примерно от 1900 ° C до 2000 ° C. Стефан предположил, что ⅓ потока энергии от Солнца поглощается атмосферой Земли, поэтому он принял за правильный поток энергии Солнца значение, в 3/2 раза превышающее значение Соре, а именно 29 × 3/2 = 43,5.

Точные измерения атмосферного поглощения не проводились до 1888 и 1904 годов. Температура, полученная Стефаном, была медианным значением предыдущих, 1950 ° C и абсолютным термодинамическим значением 2200 K. As 2.57 = 43,5, из закона следует, что температура Солнца в 2,57 раза больше температуры ламели, поэтому Стефан получил значение 5430 ° C или 5700 K (современное значение 5778 K). Это было первое разумное значение температуры Солнца. До этого заявлялись значения в диапазоне от 1800 ° C до 13000000 ° C. Нижнее значение 1800 ° C было определено Клодом Пуйе (1790–1868) в 1838 году с использованием закона Дюлонга – Пети. Пуйе также взял только половину значения правильного потока энергии Солнца.

Температура звезд

Температуру звезд, отличных от Солнца, можно приблизительно оценить с помощью аналогичных средств, рассматривая излучаемую энергию как черное тело радиация. Итак:

L = 4 π R 2 σ T e 4 {\ displaystyle L = 4 \ pi R ^ {2} \ sigma {T_ {e}} ^ {4}}

L = 4 \ pi R ^ {2} \ sigma {T_ {e}} ^ {4}

где L - светимость, σ - постоянная Стефана – Больцмана, R - радиус звезды, а T - эффективная температура. Эту же формулу можно использовать для вычисления приблизительного радиуса звезды главной последовательности относительно Солнца:

RR ⊙ ≈ (T ⊙ T) - 2 ⋅ LL ⊙ {\ displaystyle {\ frac {R} {R _ {\ odot}}} \ приблизительно \ left ({\ frac {T _ {\ odot}} {T}} \ right) ^ {- 2} \ cdot {\ sqrt {\ frac {L} {L _ {\ odot}}} }}

{\ frac {R} {R _ {\ odot}}} \ приблизительно \ left ({\ гидроразрыв {T _ {\ odot}} {T}} \ right) ^ {- 2} \ cdot {\ sqrt {\ frac {L} {L _ {\ odot}}}}

где $R ⊙ {\ displaystyle R _ {\ odot}}$ $R_ \ odot$ - солнечный радиус, $L ⊙ {\ displaystyle L _ {\ odot} }$ $L _ {\ odot}$ - светимость Солнца и так далее.

С помощью закона Стефана – Больцмана астрономы могут легко определить радиусы звезд. Этот закон также выполняется в термодинамике черных дыр в так называемом излучении Хокинга.

Эффективная температура Земли

Аналогичным образом мы можем вычислить эффективная температура Земли T ⊕ путем приравнивания энергии, полученной от Солнца, и энергии, излучаемой Землей, в приближении черного тела (собственное производство энергии Землей мало достаточно, чтобы быть незначительным). Светимость Солнца, L ⊙, определяется по формуле:

L ⊙ = 4 π R ⊙ 2 σ T ⊙ 4 {\ displaystyle L _ {\ odot} = 4 \ pi R _ {\ odot } ^ {2} \ sigma T _ {\ odot} ^ {4}}

{\ displaystyle L _ {\ odot} = 4 \ pi R _ {\ odot} ^ {2} \ sigma T _ {\ odot} ^ {4}}

На Земле эта энергия проходит через сферу с радиусом 0, расстояние между Землей и Солнце, а освещенность (полученная мощность на единицу площади) определяется как

E ⊕ = L ⊙ 4 π a 0 2 {\ displaystyle E _ {\ oplus} = {\ frac {L _ {\ odot}} {4 \ pi a_ {0} ^ {2}}}}

{\ displaystyle E _ {\ oplus} = {\ frac {L _ {\ odot}} {4 \ pi a_ {0} ^ {2}}}}

Земля имеет радиус R ⊕ и, следовательно, имеет поперечное сечение $π R ⊕ 2 {\ Displaystyle \ pi R _ {\ oplus} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ pi R _ {\ oplus} ^ {2}}$ . лучистый поток (то есть солнечная энергия), поглощаемый Землей, таким образом, определяется следующим образом:

Φ abs = π R ⊕ 2 × E ⊕: {\ displaystyle \ Phi _ {\ text {abs}} = \ pi R _ {\ oplus} ^ {2} \ times E _ {\ oplus}:}

{\ displaystyle \ Phi _ {\ text {abs}} = \ pi R _ {\ oplus} ^ {2} \ times E _ {\ oplus}:}

Поскольку закон Стефана – Больцмана использует четвертую степень, он имеет стабилизирующий эффект на обмен, и поток, излучаемый Землей, имеет тенденцию быть равным поглощенному потоку, близкому к установившемуся состоянию, где:

4 π R ⊕ 2 σ T ⊕ 4 = π R ⊕ 2 × E ⊕ = π R ⊕ 2 × 4 π R ⊙ 2 σ T ⊙ 4 4 π a 0 2 {\ displaystyle {\ begin {align} 4 \ pi R _ {\ oplus} ^ {2} \ sigma T _ {\ oplus} ^ {4} = \ pi R _ {\ oplus} ^ {2} \ times E _ {\ oplus} \\ = \ pi R _ {\ oplus} ^ {2} \ times {\ frac {4 \ pi R _ {\ odot} ^ {2} \ sigma T _ {\ odot} ^ {4 }} {4 \ pi a_ {0} ^ {2}}} \\\ конец {выровнено}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 4 \ pi R _ {\ oplus} ^ {2} \ sigma T _ {\ oplus} ^ {4} = \ pi R_ {\ oplus} ^ {2} \ times E _ {\ oplus} \\ = \ pi R _ {\ oplus} ^ {2} \ times {\ frac {4 \ pi R _ {\ odot} ^ {2} \ sigma T _ {\ odot} ^ {4 }} {4 \ pi a_ {0} ^ {2}}} \\\ конец {выровнено}}}

T⊕тогда можно найти:

T ⊕ 4 = R ⊙ 2 T ⊙ 4 4 a 0 2 T ⊕ = T ⊙ × R ⊙ 2 a 0 = 5780 К × 696 × 10 6 м 2 × 149,598 × 10 9 м ≈ 279 К {\ displaystyle {\ begin {align} T _ {\ oplus} ^ {4} = {\ frac {R _ {\ odot} ^ {2} T _ {\ odot} ^ {4}} {4a_ {0} ^ {2}}} \\ T _ {\ oplus} = T _ {\ odot} \ times {\ sqrt {\ frac {R _ {\ odot}} {2a_ {0}}}} \\ = 5780 \; {\ rm {K}} \ times {\ sqrt {696 \ times 10 ^ {6} \; {\ rm {m}} \ over 2 \ times 149.598 \ times 10 ^ {9} \; { \ rm {m}}}} \\ \ приблизительно 279 \; {\ rm {K}} \ end {align}}}

{ \ displaystyle {\ begin {align} T _ {\ oplus} ^ {4} = {\ frac {R _ {\ odot} ^ {2} T _ {\ odot} ^ {4}} {4a_ {0} ^ {2 }}} \\ T _ {\ oplus} = T _ {\ odot} \ times {\ sqrt {\ frac {R _ {\ odot}} {2a_ {0}}}} \\ = 5780 \; {\ rm {K}} \ times {\ sqrt {696 \ times 10 ^ {6} \; {\ rm {m}} \ более 2 \ times 149,598 \ times 10 ^ {9} \; {\ rm {m}}} } \\ \ приблизительно 279 \; {\ rm {K}} \ end {align}}}

где T ⊙ - температура Солнца, R ⊙ радиус Солнца, а 0 - расстояние между Землей и Солнцем. Это дает эффективную температуру на поверхности Земли 6 ° C при условии, что она отлично поглощает все падающие на нее выбросы и не имеет атмосферы.

Земля имеет альбедо 0,3, что означает, что 30% солнечного излучения, попадающего на планету, рассеивается обратно в космос без поглощения. Влияние альбедо на температуру можно приблизительно оценить, если предположить, что поглощенная энергия умножена на 0,7, но что планета все еще излучает черное тело (последнее по определению эффективной температуры, что и есть у нас. расчет). Это приближение снижает температуру в 0,7 раза, что дает 255 К (-18 ° C).

Вышеупомянутая температура - это температура Земли, если смотреть из космоса, а не температура земли, а среднее значение для всех излучающих тел Земли из космоса. поверхность на большую высоту. Из-за парникового эффекта фактическая средняя температура поверхности Земли составляет около 288 K (15 ° C), что выше, чем эффективная температура 255 K, и даже выше, чем температура 279 K, которую имеет черное тело. имел бы.

В приведенном выше обсуждении мы предположили, что вся поверхность Земли имеет одну температуру. Другой интересный вопрос состоит в том, чтобы задать вопрос, какова будет температура поверхности черного тела на Земле, если предположить, что она достигает равновесия с падающим на нее солнечным светом. Это, конечно, зависит от угла наклона солнца к поверхности и от того, сколько воздуха прошло через солнечный свет. Когда солнце находится в зените, а поверхность горизонтальна, освещенность может достигать 1120 Вт / м. Тогда закон Стефана – Больцмана дает температуру

T = (1120 Вт / м 2 σ) 1/4 ≈ 375 К {\ displaystyle T = \ left ({\ frac {1120 {\ text {W / m}) } ^ {2}} {\ sigma}} \ right) ^ {1/4} \ приблизительно 375 {\ text {K}}}

{\ displaystyle T = \ left ({\ frac {1120 {\ text {W / m}} ^ {2}} {\ sigma}} \ right) ^ {1/4 } \ приблизительно 375 {\ text {K}}}

или 102 ° C. (Выше атмосферы результат еще выше: 394 К.) Мы можем думать о земной поверхности как о «пытающейся» достичь равновесной температуры в течение дня, но охлаждаемой атмосферой и «пытающейся» достичь равновесия со звездным светом. и, возможно, лунный свет ночью, но его согревает атмосфера.

Происхождение

Термодинамическое определение плотности энергии

Тот факт, что плотность энергии бокса, содержащего излучение, пропорциональна $T 4 {\ displaystyle T ^ {4}}$ $T ^ {4}$ можно получить с помощью термодинамики. Этот вывод использует соотношение между давлением излучения p и внутренней энергией плотностью $u {\ displaystyle u}$ $u$ , соотношение, которое может быть показано с использованием формы тензора энергии-напряжения электромагнитного поля. Это соотношение:

p = u 3. {\ displaystyle p = {\ frac {u} {3}}.}

{\ displaystyle p = {\ frac {u} {3}}.}

Теперь, исходя из фундаментального термодинамического соотношения

d U = T d S - pd V, {\ displaystyle dU = T \, dS-p \, dV,}

{\ displaystyle dU = T \, dS-p \, dV,}

после деления на $d V {\ displaystyle dV}$ $dV$ и фиксации $T {\ displaystyle T} <303 получаем следующее выражение>(∂ U ∂ V) T = T (∂ S ∂ V) T - p = T (∂ p ∂ T) V - p. {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial U} {\ partial V}} \ right) _ {T} = T \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial V}} \ right) _ {T} -p = T \ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial T}} \ right) _ {V} -p.}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial U} {\ partial V}} \ right) _ {T } = T \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial V}} \ right) _ {T} -p = T \ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial T}} \ right) _ {V} -p.}$

Последнее равенство вытекает из следующего соотношения Максвелла :

(∂ S ∂ V) T = (∂ p ∂ T) V. {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial V}} \ right) _ {T} = \ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial T}} \ right) _ { V}.}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial V}} \ right) _ {T} = \ left ({\ frac {\ частичный p} {\ partial T}} \ справа) _ {V}.}

Из определения плотности энергии следует, что

U = u V {\ displaystyle U = uV}

U = УФ

где плотность энергии излучения зависит только от температуры, поэтому

( ∂ U ∂ V) T = u (∂ V ∂ V) T = u. {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial U} {\ partial V}} \ right) _ {T} = u \ left ({\ frac {\ partial V} {\ partial V}} \ right) _ {T} = u.}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial U} {\ partial V}} \ right) _ {T} = u \ left ({\ frac {\ partial V} {\ partial V}} \ right) _ {T} = u.}

Теперь равенство

(∂ U ∂ V) T = T (∂ p ∂ T) V - p, {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial U}) {\ partial V}} \ right) _ {T} = T \ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial T}} \ right) _ {V} -p,}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial U} {\ partial V }} \ right) _ {T} = T \ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial T}} \ right) _ {V} -p,}

после замены $(∂ U ∂ V) T {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial U} {\ partial V}} \ right) _ {T}}$ $\ left (\ frac {\ partial U} {\ partial V} \ right) _ {T }$ и $p {\ displaystyle p}$ $p$ для соответствующих выражений может быть записано как

u = T 3 (∂ u ∂ T) V - u 3. {\ displaystyle u = {\ frac {T} {3}} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial T}} \ right) _ {V} - {\ frac {u} {3}}.}

{\ displaystyle u = {\ frac {T} {3}} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial T}} \ right) _ {V} - {\ гидроразрыв {u} {3}}.}

Поскольку частная производная $(∂ u ∂ T) V {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial T}} \ right) _ {V}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial T}} \ right) _ {V }}$ может быть выражено как отношение только между $u {\ displaystyle u}$ $u$ и $T {\ displaystyle T}$ $T$ (если его изолировать с одной стороны равенства) частную производную можно заменить обычной производной. После разделения дифференциалов равенство становится

du 4 u = d TT, {\ displaystyle {\ frac {du} {4u}} = {\ frac {dT} {T}},}

{\ displaystyle {\ frac {du} {4u}} = {\ frac {dT} {T}}, }

, что немедленно приводит к $u = AT 4 {\ displaystyle u = AT ^ {4}}$ $u = AT ^ 4$ , где $A {\ displaystyle A}$ $A$ в качестве некоторой постоянной интегрирования.

Вывод из закона Планка

Вывод закона Стефана – Больцмана с использованием закона Планка.

Этот закон можно вывести, рассматривая небольшое плоское черное тело, исходящее из в полусферу. В этом выводе используются сферические координаты , где θ является зенитным углом, а φ - азимутальным углом; а небольшая плоская поверхность черного тела лежит в плоскости xy, где θ = / 2.

Интенсивность света, излучаемого поверхностью черного тела, определяется законом Планка :

I (ν, T) = 2 h ν 3 c 2 1 eh ν / (к Т) - 1. {\ displaystyle I (\ nu, T) = {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {e ^ {h \ nu / (kT)} - 1}}.}

{\ displaystyle I (\ nu, T) = {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac { 1} {e ^ {h \ nu /(kT)}-1}}.}

где

$I (ν, T) {\ displaystyle I (\ nu, T) \,}$ $I (\ nu, T) \,$ - количество мощности на единицу площадь поверхности на единицу телесного угла на единицу частоты, излучаемая с частотой $ν {\ displaystyle \ nu \,}$ $\ nu \,$ на черное тело при температуре T.
$h {\ displaystyle h \,}$ $h\,$ is постоянная Планка
$c {\ displaystyle c \,}$ $c \,$ is the скорость света, а
$k {\ displaystyle k \,}$ $k \,$ равно постоянная Больцмана.

Величина $I (ν, T) A d ν d Ω {\ displaystyle I (\ nu, T) ~ A ~ d \ nu ~ d \ Omega}$ $I (\ nu, T) ~ A ~ d \ nu ~ d \ Omega$ - это мощность, излучаемая поверхностью области A через телесный угол dΩ в диапазоне частот от ν до ν + dν.

Закон Стефана – Больцмана дает мощность, излучаемую на единицу площади излучающего тела,

PA = ∫ 0 ∞ I (ν, T) d ν ∫ cos ⁡ θ d Ω {\ displaystyle {\ frac {P} {A}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} I (\ nu, T) \, d \ nu \ int \ cos \ theta \, d \ Omega \,}

{\ displaystyle {\ frac {P} {A}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} I (\ nu, T) \, d \ nu \ int \ cos \ theta \, d \ Omega \,}

Примечание что косинус появляется потому, что черные тела являются ламбертовскими (т.е. они подчиняются закону косинуса Ламберта ), а это означает, что интенсивность, наблюдаемая вдоль сферы, будет фактической интенсивностью, умноженной на косинус зенитного угла. Для вывода закона Стефана – Больцмана мы должны проинтегрировать dΩ = sin (θ) dθ dφ по полусфере и проинтегрировать ν от 0 до ∞.

PA = ∫ 0 ∞ I (ν, T) d ν ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ = π ∫ 0 ∞ I (ν, T) d ν {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {P} {A}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} I (\ nu, T) \, d \ nu \ int _ {0} ^ { 2 \ pi} \, d \ varphi \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos \ theta \ sin \ theta \, d \ theta \\ = \ pi \ int _ {0} ^ {\ infty} I (\ nu, T) \, d \ nu \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ гидроразрыв {P} {A}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} I (\ nu, T) \, d \ nu \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \, d \ varphi \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos \ theta \ sin \ theta \, d \ theta \\ = \ pi \ int _ {0} ^ {\ infty} I (\ nu, T) \, d \ nu \ end {align}}}

Затем подставляем для I:

PA = 2 π hc 2 ∫ 0 ∞ ν 3 eh ν k T - 1 d ν {\ displaystyle {\ frac {P} {A}} = {\ frac {2 \ pi h} {c ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ nu ^ {3}} {e ^ {\ frac {h \ nu} {kT}} - 1}} \, d \ nu}

{\ displaystyle {\ frac {P} {A}} = {\ frac {2 \ pi h} {c ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ nu ^ {3}} {e ^ {\ frac {h \ nu} {kT}} - 1}} \, d \ nu}

Чтобы вычислить этот интеграл, сделайте замену

u = h ν к T du = чк T d ν {\ displaystyle {\ begin {align} u = {\ frac {h \ nu} {kT}} \\ [6pt] du = {\ frac {h} {kT}} \, d \ nu \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} u = {\ frac {h \ nu} {kT}} \\ [6pt] du = {\ frac {h} {kT}} \, d \ nu \ end {align}}}

, что дает:

PA = 2 π hc 2 (k T h) 4 ∫ 0 ∞ u 3 eu - 1 du. {\ displaystyle {\ frac {P} {A}} = {\ frac {2 \ pi h} {c ^ {2}}} \ left ({\ frac {kT} {h}} \ right) ^ {4 } \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {u ^ {3}} {e ^ {u} -1}} \, du.}

\ frac {P} {A} = \ frac {2 \ pi h} {c ^ 2} \ left (\ frac {k T} {h} \ right) ^ 4 \ int_0 ^ \ infty \ frac {u ^ 3} {e ^ u - 1} \, du.

Интеграл справа стандартный и идет по много имен: это частный случай интеграла Бозе – Эйнштейна, полилогарифма или дзета-функции Римана $ζ (s) {\ displaystyle \ zeta (s)}$ $\ zeta (s)$ . Значение интеграла: $6 ζ (4) = π 4 15 {\ displaystyle 6 \ zeta (4) = {\ frac {\ pi ^ {4}} {15}}}$ ${\ displaystyle 6 \ zeta ( 4) = {\ гидроразрыва {\ pi ^ {4}} {15}}}$ , что дает результат, который для идеальной поверхности черного тела:

j ⋆ = σ T 4, σ = 2 π 5 k 4 15 c 2 h 3 = π 2 k 4 60 ℏ 3 c 2. {\ displaystyle j ^ {\ star} = \ sigma T ^ {4} ~, ~~ \ sigma = {\ frac {2 \ pi ^ {5} k ^ {4}} {15c ^ {2} h ^ { 3}}} = {\ frac {\ pi ^ {2} k ^ {4}} {60 \ hbar ^ {3} c ^ {2}}}.}

j ^ \ star = \ sigma T ^ 4 ~, ~~ \ sigma = \ frac {2 \ pi ^ 5 k ^ 4} {15 c ^ 2 h ^ 3} = \ frac {\ pi ^ 2 k ^ 4 } {60 \ hbar ^ 3 c ^ 2}.

Наконец, это доказательство началось только с рассмотрения небольшая плоская поверхность. Однако любую дифференцируемую поверхность можно аппроксимировать набором небольших плоских поверхностей. До тех пор, пока геометрия поверхности не заставляет черное тело реабсорбировать собственное излучение, общая излучаемая энергия является просто суммой энергий, излучаемых каждой поверхностью; а общая площадь поверхности - это просто сумма площадей каждой поверхности, так что этот закон справедлив и для всех выпуклых абсолютно чёрных тел, пока поверхность имеет одинаковую температуру. Закон распространяется на излучение невыпуклых тел за счет использования того факта, что выпуклая оболочка черного тела излучается, как если бы оно было самим черным телом.

Плотность энергии

Полная плотность энергии U может быть рассчитана аналогичным образом, за исключением того, что интегрирование проводится по всей сфере и отсутствует косинус, а поток энергии (U c) следует разделить на скорость c для определения плотности энергии U:

U = 1 c ∫ 0 ∞ I (ν, T) d ν ∫ d Ω {\ displaystyle U = {\ frac {1} {c}} \ int _ { 0} ^ {\ infty} I (\ nu, T) \, d \ nu \ int \, d \ Omega \,}

{\ displaystyle U = {\ frac {1} {c}} \ int _ {0} ^ {\ infty } Я (\ Nu, T) \, d \ nu \ int \, d \ Omega \,}

Таким образом, $∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ { \ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos \ theta \ sin \ theta \, d \ theta}$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos \ theta \ грех \ theta \, d \ theta}$ заменяется на $∫ 0 π sin ⁡ θ d θ { \ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ theta \, d \ theta}$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ theta \, d \ theta}$ , что дает дополнительный коэффициент 4.

Таким образом, всего:

U = 4 c σ T 4 {\ displaystyle U = {\ frac {4} {c}} \, \ sigma \, T ^ {4}}

{\ displaystyle U = {\ гидроразрыва {4} {c}} \, \ sigma \, T ^ {4}}

См. Также

Примечания

Ссылки

Стефан Дж. (1879), "Über die Beziehung zwischen der W ärmestrahlung und der Temperatur " [О взаимосвязи между тепловым излучением и температурой] (PDF), Sitzungsberichte der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften (на немецком языке), 79 <18828>: 391 338>Больцманн, Л. (1884), "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Вывод небольшого закона Стефана, касающегося зависимости теплового излучения от температуры магнитная теория света], Annalen der Physik und Chemie (на немецком языке), 258 (6): 291–294, Bibcode : 1884AnP... 258..291B, doi :10.1002/andp.18842580616