Потенциальный градиент

В физике, химия и биология, градиент потенциала - это локальная скорость изменения потенциала по отношению к смещению, т.е. пространственная производная или градиент. Эта величина часто встречается в уравнениях физических процессов, потому что она приводит к некоторой форме потока.

• 1 Определение
  • 1.1 Одно измерение
  • 1.2 Трехмерное измерение
• 2 Физика
  • 2.1 Ньютоновская гравитация
  • 2.2 Электромагнетизм
  • 2.3 Механика жидкостей
• 3 Химия
• 4 Биология
• 5 Неединственность потенциалов
• 6 Теория потенциала
• 7 См. Также
• 8 Ссылки

Одно измерение

Простейшим определением градиента потенциала F в одном измерении является следующее:

$F\; =\; \varphi \; 2\; -\; \varphi \; 1\; x\; 2\; -\; x\; 1\; =\; \Delta \; \varphi \; \Delta \; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; phi\; \_\; \{2\}\; -\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\}\}\; \{x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; Delta\; x\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

где ϕ (x) - это некоторый тип скалярного потенциала, а x - смещение (не расстояние ) в В направлении x нижние индексы обозначают две разные позиции x 1, x 2 и потенциалы в этих точках, ϕ 1 = ϕ (x 1), ϕ 2 = ϕ (x 2). В пределах бесконечно малых перемещений отношение разностей становится отношением разностей :

$F\; =\; d\; \varphi \; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; phi\}\; \{\{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; x\}\}.\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Направление градиента электрического потенциала от $x\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\}$до $x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{2\}\}$.

Три измерения

В трех измерениях, декартовы координаты дают понять, что результирующий градиент потенциала является суммой градиентов потенциала в каждом направлении:

$F\; =\; ex\; \partial \; \varphi \; \partial \; x\; +\; ey\; \partial \; \varphi \; \partial \; y\; +\; ez\; \partial \; \varphi \; \partial \; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{x\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{y\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{z\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

где ex, ey, ez- единичные векторы в направлениях x, y, z. Это можно компактно записать в терминах оператора градиента ∇,

$F\; =\; \nabla \; \varphi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; phi.\; \backslash ,\; \backslash !\}$

, хотя эта окончательная форма сохраняется в любой криволинейной системе координат, а не только в декартовой.

Это выражение представляет собой важную особенность любого консервативного векторного поля F, а именно F имеет соответствующий потенциал ϕ.

Использование Стокса Теорема, это эквивалентно формулируется как

$\nabla \; \times \; F\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{0\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

, что означает curl, обозначенное ∇ ×, векторного поля обращается в нуль.

Ньютоновская гравитация

В случае гравитационного поля g, которое может быть показано как консервативное, оно равно градиенту в гравитационный потенциал Φ:

$g\; =\; -\; \nabla \; \Phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; =\; -\; \backslash \; nabla\; \backslash \; Phi.\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Между гравитационным полем и потенциалом есть противоположные знаки, потому что градиент потенциала и поле противоположны по направлению: по мере увеличения потенциала напряженность гравитационного поля уменьшается, и наоборот.

Электромагнетизм

В электростатике электрическое поле Eне зависит от времени t, поэтому нет индукции зависящего от времени магнитное поле Bпо закону индукции Фарадея :

$\nabla \; \times \; E\; =\; -\; \partial \; B\; \partial \; t\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{0\}\}\; \backslash ,,\}$

что означает, что E - градиент электрического потенциала V, идентичный классическому гравитационному полю:

$-\; E\; =\; \nabla \; V.\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; =\; \backslash \; nabla\; V.\; \backslash ,\; \backslash !\}$

В электродинамике поле E зависит от времени и вызывает зависящее от времени B также поле (снова по закону Фарадея), поэтому ротор E не равен нулю, как раньше, что означает, что электрическое поле больше не является градиентом электрического потенциала. Необходимо добавить зависящий от времени член:

$-\; E\; =\; \nabla \; V\; +\; \partial \; A\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; =\; \backslash \; nabla\; V\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

где A - электромагнитный векторный потенциал . Это последнее возможное выражение фактически сводит закон Фарадея к тождеству.

Механика жидкости

В механике жидкости поле скорости vописывает движение жидкости. Безвихревой поток означает, что поле скорости является консервативным, или, что эквивалентно, поле псевдовектора завихренности ω равно нулю:

$\omega \; =\; \nabla \; \times \; v\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{0\}\}.\}$

Это позволяет потенциал скорости определять просто как :

$v\; =\; \nabla \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; phi\}$

В электрохимическом полуячейке, на границе раздела между электролитом (ионный раствор ) и металлическим электродом стандартный разность электрических потенциалов равна:

$\Delta \; \varphi \; (M,\; M\; +\; z)\; =\; \Delta \; \varphi \; (M,\; M\; +\; z)\; \ominus \; +\; RT\; ze\; NA\; ln\; \; a\; M\; +\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; phi\; \_\; \{(M,\; M\; ^\; \{+\; z\})\}\; =\; \backslash \; Delta\; \backslash \; phi\; \_\; \{(M,\; M\; ^\; \{+\; z\})\}\; ^\; \{\backslash \; ominus\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{RT\}\; \{zeN\; \_\; \{\backslash \; text\; \{A\; \}\}\}\}\; \backslash \; ln\; a\_\; \{M\; ^\; \{+\; z\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

где R = газовая постоянная, T = температура раствора, z = валентность металла, e = элементарный заряд, N A= постоянная Авогадро, а M - активность ионы в растворе. Величины с надстрочным индексом ⊖ означают, что измерение выполнено при стандартных условиях. Градиент потенциала относительно резок, поскольку существует почти определенная граница между металлом и раствором, отсюда и термин границы раздела.

В биологии градиент потенциала это чистая разница в электрическом заряде на клеточной мембране.

Поскольку градиенты потенциалов соответствуют физическим полям, это не имеет значения, добавляется ли константа (она стирается оператором градиента ∇, который включает частичное дифференцирование ). Это означает, что невозможно определить, что такое «абсолютное значение» потенциала - нулевое значение потенциала совершенно произвольно и может быть выбрано в любом месте для удобства (даже «на бесконечности»). Эта идея также применима к векторным потенциалам и используется в классической теории поля, а также в теории калибровочного поля.

Абсолютные значения потенциалов физически не наблюдаемы, только градиенты и зависящие от пути разности потенциалов. Однако эффект Ааронова – Бома является квантово-механическим эффектом, который иллюстрирует ненулевые электромагнитные потенциалы вдоль замкнутого контура (даже когда E и B равны нулю повсюду в области) приводят к изменению фазы волновой функции электрически заряженной частицы в области, таким образом, кажется, что потенциалы имеют измеримое значение.

Уравнения поля, такие как законы Гаусса для электричества, для магнетизма и для гравитации, могут можно записать в виде:

$\nabla \; \cdot \; F\; =\; X\; \rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; X\; \backslash \; rho\}$

, где ρ - плотность электрического заряда, монопольная плотность (если они существуют) или массовая плотность, а X является константой (в терминах физических констант G, ε0, μ0 и других числовых факторов).

Скалярные градиенты потенциала приводят к уравнению Пуассона :

$\nabla \; \cdot \; (\nabla \; \varphi )\; =\; X\; \rho \; \Rightarrow \; 2\; \varphi \; =\; X\; \rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; phi)\; =\; X\; \backslash \; rho\; \backslash \; quad\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; quad\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; =\; X\; \backslash \; rho\}$

Общая теория потенциалов была разработана для решения этого уравнения относительно потенциала. Градиент этого решения дает физическое поле, решая уравнение поля.

• Тензоры в криволинейных координатах