Процесс Орнштейна – Уленбека

Моделирование с θ = 1.0, σ = 3 и μ = (0, 0). Первоначально в позиции (10, 10) частица стремится переместиться в центральную точку. μ. 3D-моделирование с θ = 1.0, σ = 3, μ = (0, 0, 0) и начальное положение (10, 10, 10).

В математике процесс Орнштейна – Уленбека представляет собой случайный процесс с приложениями в финансовой математике и физических науках. Его первоначальное применение в физике было в качестве модели скорости массивной броуновской частицы под действием трения. Он назван в честь Леонарда Орнштейна и Джорджа Юджина Уленбека.

Процесс Орнштейна – Уленбека является стационарным процессом Гаусса – Маркова, что означает, что это гауссовский процесс, марковский процесс, однородный во времени. Фактически, это единственный нетривиальный процесс, который удовлетворяет этим трем условиям, вплоть до разрешения линейных преобразований пространственных и временных переменных. Со временем процесс имеет тенденцию дрейфовать к своей средней функции: такой процесс называется возврат к среднему.

. Процесс можно рассматривать как модификацию случайного блуждания в непрерывное время, или винеровский процесс, в котором свойства процесса были изменены так, что есть тенденция ходьбы вернуться к центральному месту с большей привлекательностью когда процесс находится дальше от центра. Процесс Орнштейна – Уленбека также можно рассматривать как непрерывный аналог процесса дискретного времени AR (1).

• 1 Определение
• 2 Представление уравнения Фоккера – Планка
• 3 Математические свойства
  • 3.1 Свойства траекторий выборки
  • 3.2 Формальное решение
  • 3.3 Числовая выборка
• 4 Интерпретация пределов масштабирования
• 5 Приложения
  • 5.1 В физических науках
  • 5.2 В финансовой математике
  • 5.3 В эволюционной биологии
• 6 Обобщения
  • 6.1 Высшие измерения
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Процесс Орнштейна – Уленбека $xt\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{t\}\}$определяется следующим стохастическим дифференциальным уравнением :

$dxt\; =\; -\; \theta \; xtdt\; +\; \sigma \; d\; W\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\_\; \{t\}\; =\; -\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; x\_\; \{t\}\; \backslash ,\; dt\; +\; \backslash \; sigma\; \backslash ,\; dW\_\; \{t\}\}$

где $\theta >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta>0\}$и $\sigma >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma>0\}$- параметры, а $W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{t\}\}$обозначает Wiener процесс.

Иногда добавляется дополнительный термин дрейфа:

$dxt\; =\; \theta \; (\mu \; -\; xt)\; dt\; +\; \sigma \; d\; W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; theta\; (\backslash \; mu\; -x\_\; \{t\})\; \backslash ,\; dt\; +\; \backslash \; sigma\; \backslash ,\; dW\_\; \{t\}\}$

, где $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- константа. В финансовой математике это также известно как модель Васичека.

Процесс Орнштейна – Уленбека иногда также записывается как уравнение Ланжевена в форме

$dxtdt\; =\; -\; \theta \; xt\; +\; \sigma \; \eta \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\_\; \{t\}\}\; \{dt\}\}\; =\; -\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; x\_\; \{t\}\; +\; \backslash \; sigma\; \backslash ,\; \backslash \; eta\; (t)\}$

где $\eta \; (\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (t)\}$, также известный как белый шум, заменяет предполагаемую производную $d\; W\; t\; /\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; dW\_\; \{t\; \}\; /\; dt\}$винеровского процесса. Однако $d\; W\; t\; /\; d\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; dW\_\; \{t\}\; /\; dt\}$не существует, потому что винеровский процесс нигде не дифференцируем, и поэтому уравнение Ланжевена, строго говоря, является только эвристическим. Тем не менее, в физике и инженерных дисциплинах это обычное представление для процесса Орнштейна – Уленбека и подобных стохастических дифференциальных уравнений.

Процесс Орнштейна – Уленбека также можно описать с помощью функции плотности вероятности, $P\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x,\; t)\}$, который указывает вероятность нахождения процесса в состоянии $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в момент времени $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$. Эта функция удовлетворяет уравнению Фоккера – Планка

$\partial \; P\; \partial \; t\; =\; \theta \; \partial \; \partial \; x\; (x\; P)\; +\; D\; \partial \; 2\; P\; \partial \; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; t\; \}\}\; =\; \backslash \; theta\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (xP)\; +\; D\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; P\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\}$

где $D\; =\; \sigma \; 2/2\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}$. Это линейное параболическое уравнение в частных производных, которое может быть решено с помощью различных методов. Вероятность перехода $P\; (x,\; t\; \mid \; x\; \prime ,\; t\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x,\; t\; \backslash \; mid\; x\; \text{'},\; t\text{'})\}$является гауссовским со средним значением $x\; \prime \; E\; -\; \theta \; (t\; -\; t\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\text{'}e\; ^\; \{-\; \backslash \; theta\; (t-t\; \text{'})\}\}$и дисперсия $D\; \theta \; (1\; -\; e\; -\; 2\; \theta \; (\; т\; -\; t\; \text{'}))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{D\}\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash \; left\; (1-e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; theta\; (t-t\text{'})\}\; \backslash \; right)\}$:

$P\; (x,\; t\; \mid \; x\; \prime ,\; t\; \prime )\; =\; \theta \; 2\; \pi \; D\; (1\; -\; e\; -\; 2\; \theta \; (t\; -\; t\; \prime ))\; exp\; \; [-\; \theta \; 2\; D\; (x\; -\; x\; \prime \; e\; -\; \theta \; (t\; -\; t\; \prime ))\; 2\; 1\; -\; е\; -\; 2\; \theta \; (t\; -\; t\; \text{'})]\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x,\; t\; \backslash \; mid\; x\text{'},\; t\; \text{'})\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\; \backslash \; pi\; D\; (1-e\; ^\; \{-2\; \backslash \; theta\; (t-t\; \text{'})\})\}\}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; [-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2D\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(x-x\text{'}e\; ^\; \{-\; \backslash \; theta\; (t\; -t\; \text{'})\})\; ^\; \{2\}\}\; \{1-e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; theta\; (t-t\text{'})\}\}\}\; \backslash \; right]\}$

Это дает вероятность состояния $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$происходит во время $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$с заданным начальным состоянием $x\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \text{'}\}$во время . Эквивалентно, $P\; (x,\; t\; \mid \; x\; \prime ,\; t\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x,\; t\; \backslash \; mid\; x\; \text{'},\; t\text{'})\}$является решением уравнения Фоккера-Планка с начальное условие $P\; (x,\; t\; \prime )\; =\; \delta \; (x\; -\; x\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x,\; t\; \text{'})\; =\; \backslash \; delta\; (x-x\text{'})\}$.

Предполагая, что $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$является постоянным, среднее значение равно

$E\; \; (xt)\; =\; x\; 0\; e\; -\; \theta \; t\; +\; \mu \; (1\; -\; e\; -\; \theta \; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (x\_\; \{t\})\; =\; x\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; theta\; t\}\; +\; \backslash \; mu\; (1-e\; ^\; \{-\; \backslash \; theta\; t\})\}$

и ковариация равна

$cov\; \; (xs,\; xt)\; =\; \sigma \; 2\; 2\; \theta \; (e\; -\; \theta \; |\; t\; -\; s\; |\; -\; e\; -\; \theta \; (t\; +\; s))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{cov\}\; (x\_\; \{s\},\; x\_\; \{t\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{-\; \backslash \; theta\; |\; ts\; |\}\; -e\; ^\; \{-\; \backslash \; theta\; (\; t\; +\; s)\}\; \backslash \; right)\}$

Процесс Орнштейна – Уленбека является примером гауссовского процесса, который имеет ограниченную дисперсию и допускает стационарное распределение вероятностей, в отличие от винеровского процесса ; разница между ними заключается в их «дрейфующем» термине. Для винеровского процесса член дрейфа является постоянным, тогда как для процесса Орнштейна – Уленбека он зависит от текущего значения процесса: если текущее значение процесса меньше, чем (долгосрочное) среднее значение, дрейф будет положительный; если текущее значение процесса больше, чем (долгосрочное) среднее значение, дрейф будет отрицательным. Другими словами, среднее значение действует как уровень равновесия для процесса. Это дает процессу его информативное название «возврат к среднему».

Свойства траекторий выборки

Однородный во времени процесс Орнштейна – Уленбека можно представить как масштабированный, преобразованный во времени винеровский процесс :

$xt\; =\; \sigma \; 2\; \theta \; e\; -\; \theta \; t\; W\; е\; 2\; \theta \; T\; \{\backslash \; Displaystyle\; x\_\; \{t\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; theta\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; theta\; t\}\; W\_\; \{e\; ^\; \{2\; \backslash \; theta\; t\}\}\}$

где $W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{t\}\}$- стандартный винеровский процесс. Аналогично, с изменением переменной $s\; =\; e\; 2\; \theta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; theta\; t\}\}$это становится

$W\; s\; =\; 2\; \theta \; \sigma \; s\; 1\; /\; 2\; Икс\; (пер\; \; s)\; /\; (2\; \theta ),\; s>0\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{s\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; s\; ^\; \{1/2\}\; x\_\; \{\; (\backslash \; ln\; s)\; /\; (2\; \backslash \; theta)\},\; \backslash \; qquad\; s>0\}$

Используя это сопоставление, можно преобразовать известные свойства $W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{t\}\}$в соответствующие операторы для $xt\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{t\}\}$. Например, закон повторного логарифма для $W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{t\; \}\}$становится

$lim\; t\; \to \; 0\; sup\; xt\; (\sigma \; 2\; /\; \theta )\; ln\; \; t\; =\; 1\; с\; вероятностью\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \backslash \; sup\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{t\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{(\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; /\; \backslash \; theta)\; \backslash \; ln\; t\}\}\}\; =\; 1,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{с\; вероятностью\; 1.\}\}\}$

Формальное решение

Стохастическое дифференциальное уравнение для $xt\; \{\backslash \; dis\; playstyle\; x\_\; \{t\}\}$может быть формально решен с помощью изменения параметров. Записывая

$f\; (xt,\; t)\; =\; xte\; \theta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\_\; \{t\},\; t)\; =\; x\_\; \{t\}\; e\; ^\; \{\backslash \; theta\; t\}\; \backslash ,\}$

, получаем

$df\; (xt,\; t)\; =\; \theta \; xte\; \theta \; tdt\; +\; e\; \theta \; tdxt\; =\; e\; \theta \; t\; \theta \; \mu \; dt\; +\; \sigma \; e\; \theta \; td\; W\; t.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; df\; (x\_\; \{t\},\; t)\; =\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; x\_\; \{t\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{\backslash \; theta\; t\}\; \backslash ,\; dt\; +\; e\; ^\; \{\backslash \; theta\; t\}\; \backslash ,\; dx\_\; \{t\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; theta\; t\}\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; \backslash \; mu\; \backslash ,\; dt\; +\; \backslash \; sigma\; \backslash ,\; e\; ^\; \{\backslash \; theta\; t\}\; \backslash ,\; dW\_\; \{t\}.\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\; \}\}$

Интегрируя от $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$до $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$, получаем

$xte\; \theta \; t\; =\; x\; 0\; +\; \int \; 0\; те\; \theta \; s\; \theta \; \mu \; ds\; +\; \int \; 0\; t\; \sigma \; e\; \theta \; sd\; W\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{t\}\; e\; ^\; \{\backslash \; theta\; t\}\; =\; x\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; e\; ^\; \{\backslash \; theta\; s\}\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; \backslash \; mu\; \backslash ,\; ds\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \backslash \; sigma\; \backslash ,\; e\; ^\; \{\backslash \; theta\; s\}\; \backslash ,\; dW\_\; \{s\}\; \backslash ,\}$

после чего мы видим

$xt\; =\; x\; 0\; e\; -\; \theta \; t\; +\; \mu \; (1\; -\; e\; -\; \theta \; t)\; +\; \sigma \; \int \; 0\; te\; -\; \theta \; (t\; -\; s)\; d\; W\; s.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{t\}\; =\; x\_\; \{0\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; theta\; t\}\; +\; \backslash \; mu\; \backslash ,\; (1-e\; ^\; \{-\; \backslash \; theta\; t\})\; +\; \backslash \; sigma\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\; t\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; theta\; (ts)\}\; \backslash ,\; dW\_\; \{s\}.\; \backslash ,\}$

Из этого представления первый момент (т.е. среднее значение) показано как

$E\; \; (xt)\; знак\; равно\; Икс\; 0\; е\; -\; \theta \; T\; +\; \mu \; (1\; -\; е\; -\; \theta \; t)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{E\}\; (x\_\; \{t\})\; =\; x\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; theta\; t\}\; +\; \backslash \; mu\; (1-e\; ^\; \{-\; \backslash \; theta\; t\})\; \backslash !\; \backslash \}$

при условии, что $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$является постоянным. Кроме того, изометрия Itō может использоваться для вычисления ковариационной функции по

$cov ⁡ (xs, xt) = E ⁡ [(xs - E ⁡ [xs]) ( xt - E ⁡ [xt])] = E ⁡ [∫ 0 s σ e θ (u - s) d W u ∫ 0 t σ e θ (v - t) d W v] = σ 2 e - θ (s + t) E ⁡ [∫ 0 se θ ud W u ∫ 0 te θ vd W v] = σ 2 2 θ e - θ (s + t) (e 2 θ min (s, t) - 1) = σ 2 2 θ (е - θ | t - s | - e - θ (t + s)). {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {cov} (x_ {s}, x_ {t}) = \ operatorname {E} [(x_ {s} - \ operatorname {E} [x_ {s}]) (x_ {t} - \ operatorname {E} [x_ {t}])] \\ [5pt] = \ operatorname {E} \ left [\ int _ {0} ^ {s} \ sigma e ^ { \ theta (us)} \, dW_ {u} \ int _ {0} ^ {t} \ sigma e ^ {\ theta (vt)} \, dW_ {v} \ right] \\ [5pt] = \ sigma ^ {2} e ^ {- \ theta (s + t)} \ operatorname {E} \ left [\ int _ {0} ^ {s} e ^ {\ theta u} \, dW_ {u} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {\ theta v} \, dW_ {v} \ right] \\ [5pt] = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2 \ theta}} \, e ^ {- \ theta (s + t)} (e ^ {2 \ theta \ min (s, t)} - ​​1) \\ [5pt] = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2 \ theta}} \ left (e ^ {- \ theta | ts |} -e ^ {- \ theta (t + s)} \ right). \ end {align}}}$

Числовая выборка

При использовании дискретно дискретизированных данных с временными интервалами шириной $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$, оценки максимального правдоподобия для параметров процесса Орнштейна – Уленбека асимптотически нормальны. к их истинным ценностям. Точнее,

$n ((θ ^ n μ ^ n σ ^ n) - (θ μ σ)) → d N ((0 0 0), (e 2 t θ - 1 t 2 0 σ 2 (e 2 t θ - 1 - 2 t θ) t 2 θ 0 σ 2 (et θ + 1) 2 (et θ - 1) θ 0 σ 2 (e 2 t θ - 1-2 t θ) t 2 θ 0 σ 4 [(e 2 t θ - 1) 2 + 2 t 2 θ 2 (e 2 t θ + 1) + 4 t θ (e 2 t θ - 1)] t 2 (e 2 t θ - 1) θ 2)) {\ displaystyle {\ sqrt {n}} \ left ({\ begin {pmatrix} {\ widehat {\ theta}} _ {n} \\ {\ widehat {\ mu}} _ {n} \\ { \ widehat {\ sigma}} _ {n} \ end {pmatrix}} - {\ begin {pmatrix} \ theta \\\ mu \\\ sigma \ end {pmatrix}} \ right) {\ xrightarrow {d}} \ {\ mathcal {N}} \ left ({\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} {\ frac {e ^ {2t \ theta} -1 } {t ^ {2}}} 0 {\ frac {\ sigma ^ {2} (e ^ {2t \ theta} -1-2t \ theta)} {t ^ {2} \ theta}} \\ 0 { \ frac {\ sigma ^ {2} \ left (e ^ {t \ theta} +1 \ right)} {2 \ left (e ^ {t \ theta} -1 \ right) \ theta}} 0 \\ { \ frac {\ sigma ^ {2} (e ^ {2t \ theta} -1-2t \ theta)} {t ^ {2} \ theta}} 0 {\ frac {\ sigma ^ {4} \ left [\ left (e ^ {2t \ theta} -1 \ right) ^ {2} + 2t ^ {2} \ theta ^ {2} \ left (e ^ {2t \ theta} +1 \ right) + 4t \ theta \ влево (e ^ {2t \ theta} -1 \ right) \ right]} {t ^ {2} \ left (e ^ {2t \ theta} -1 \ right) \ theta ^ {2}}} \ end {pmatrix}} \ right)}$

три примера пути различных OU-процессов с θ = 1, μ = 1,2, σ = 0,3:. синий : начальное значение a = 0 (as ). зеленый : начальное значение a = 2 (as). красный : начальное значение нормально распределено, так что процесс имеет инвариантную меру

Процесс Орнштейна – Уленбека можно интерпретировать как предел масштабирования дискретного процесса, точно так же, как броуновское движение является пределом масштабирования случайных блужданий. Рассмотрим урну, содержащую $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$синие и желтые шары. На каждом шаге случайным образом выбирается шар и заменяется шаром противоположного цвета. Пусть $X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{n\}\}$будет количеством синих шаров в урне после $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$шагов. Тогда $X\; [nt]\; -\; n\; /\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{X\; \_\; \{[nt]\}\; -\; n\; /\; 2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\}\}$по закону сходится к процесс Орнштейна – Уленбека, поскольку $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$стремится к бесконечности.

В физических науках

Процесс Орнштейна – Уленбека является прототипом зашумленного процесса релаксации. Рассмотрим, например, пружину Гука с жесткостью пружины $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, динамика которой сильно демпфирована с коэффициентом трения $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$. При наличии тепловых колебаний с температурой $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$длина $x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\}$пружины будет стохастически колебаться вокруг длины упора пружины $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$; его стохастическая динамика описывается процессом Орнштейна – Уленбека следующим образом:

$\theta \; =\; k\; /\; \gamma ,\; \mu \; =\; x\; 0,\; \sigma \; =\; 2\; k\; BT\; /\; \gamma ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; theta\; =\; k\; /\; \backslash \; gamma,\; \backslash \backslash \backslash \; mu\; =\; x\_\; \{0\},\; \backslash \backslash \backslash \; sigma\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2k\_\; \{B\}\; T\; /\; \backslash \; gamma\}\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$выводится из уравнения Стокса – Эйнштейна $D\; =\; \sigma \; 2/2\; =\; k\; BT\; /\; \gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\; \}\; /\; 2\; =\; k\_\; \{B\}\; T\; /\; \backslash \; gamma\}$для эффективной постоянной диффузии.

В физических науках стохастическое дифференциальное уравнение процесса Орнштейна – Уленбека переписывается как уравнение Ланжевена

$x\; \dot{}\; (t)\; =\; -\; k\; \gamma \; (x\; (t)\; -\; x\; 0)\; +\; \xi \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; (t)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (x\; (t)\; -x\_\; \{0\})\; +\; \backslash \; xi\; (t)\}$

где $\xi \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; (t)\}$- белый гауссовский шум с $⟨\xi \; (t\; 1)\; \xi \; (t\; 2)\; ⟩\; =\; 2\; k\; BT\; /\; \gamma \; \delta \; (t\; 1\; -\; t\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; xi\; (t\_\; \{1\})\; \backslash \; xi\; (t\_\; \{2\})\; \backslash \; rangle\; =\; 2k\_\; \{B\}\; T\; /\; \backslash \; gamma\; \backslash ,\; \backslash \; delta\; (t\_\; \{1\}\; -t\_\; \{2\}).\}$Колебания коррелируют как

$⟨(x\; (t\; 0)\; -\; x\; 0)\; (x\; (t\; 0\; +\; t)\; -\; x\; 0)⟩\; =\; k\; BT\; k\; exp\; \; (-\; |\; t\; |\; /\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; (x\; (t\_\; \{0\})\; -\; x\_\; \{0\})\; (x\; (t\_\; \{0\}\; +\; t)\; -x\_\; \{0\})\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{k\_\; \{B\}\; T\}\; \{k\; \}\}\; \backslash \; exp\; (-\; |\; t\; |\; /\; \backslash \; tau)\}$

со временем корреляции $\tau \; =\; \gamma \; /\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; gamma\; /\; k\}$.

В состоянии равновесия пружина сохраняет среднее энергия $⟨E⟩\; знак\; равно\; К\; ⟨(x\; -\; x\; 0)\; 2⟩\; /\; 2\; =\; k\; BT\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; E\; \backslash \; rangle\; =\; k\; \backslash \; langle\; (x-x\_\; \{0\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rangle\; /\; 2\; =\; k\_\; \{B\}\; T\; /\; 2\}$в соответствии с теоремой о равнораспределении.

В финансовой математике

Процесс Орнштейна – Уленбека - один из нескольких используемых подходов для моделирования (с изменениями) процентных ставок, валют обменных курсов и цен на товары стохастически. Параметр $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$представляет собой равновесное или среднее значение, поддерживаемое основными принципами ; $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$степень нестабильности вокруг него, вызванной потрясениями, и $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$скорость, с которой эти шоки рассеиваются, и переменная возвращается к среднему значению. Одним из применений этого процесса является торговая стратегия, известная как парная торговля.

В эволюционной биологии

Процесс Орнштейна – Уленбека был предложен как усовершенствование модели броуновского движения для моделирования изменений в организме. фенотипы с течением времени. Модель броуновского движения подразумевает, что фенотип может двигаться без ограничений, тогда как для большинства фенотипов естественный отбор требует слишком большого продвижения в любом направлении.

Можно распространить процессы Орнштейна – Уленбека на процессы, в которых фоновым управляющим процессом является процесс Леви (вместо простого броуновского движения).

Кроме того, в финансах используются случайные процессы, в которых волатильность увеличивается при больших значениях $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. В частности, процесс CKLS (Чан – Кароли – Лонгстафф – Сандерс) с заменой члена волатильности на $\sigma \; x\; \gamma \; d\; W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash ,\; x\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash ,\; dW\_\; \{t\}\}$можно решить в закрытой форме для $\gamma \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; 1\}$, а также для $\gamma \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; 0\}$, что соответствует обычному процессу OU. Другой частный случай - $\gamma \; =\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; 1/2\}$, что соответствует модели Кокса – Ингерсолла – Росса (CIR-модель)..

Высшие измерения

Многомерная версия процесса Орнштейна – Уленбека, обозначенная N-мерным вектором $xt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{t\}\}$, может быть определен как

$dxt\; =\; -\; \beta \; xtdt\; +\; \sigma \; d\; W\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{t\}\; =\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{t\}\; \backslash ,\; dt\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mathbf\; \{W\}\; \_\; \{t\}.\}$

где $W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{W\}\; \_\; \{t\}\}$- N-мерный винеровский процесс, а $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\}$и $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\}$- постоянные матрицы размера N × N. Решение:

$xt\; =\; e\; -\; \beta \; tx\; 0\; +\; \int \; 0\; te\; -\; \beta \; (t\; -\; t\; \prime )\; \sigma \; d\; W\; t\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{t\}\; =\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; t\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; (t-t\; \text{'})\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; \backslash \; sigma\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mathbf\; \{W\}\; \_\; \{t\; \text{'}\}\}$

и среднее значение равно

$E\; \; (xt)\; =\; e\; -\; \beta \; t\; E\; \; (x\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{t\})\; =\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; t\}\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0\}).\}$

Обратите внимание, что в этих выражениях используется экспоненциальная матрица .

. Процесс также можно описать в терминах функции плотности вероятности $P\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$, которая удовлетворяет уравнению Фоккера – Планка

$\partial \; P\; \partial \; t\; =\; \sum \; i,\; j\; \beta \; ij\; \partial \; \partial \; xi\; (xj\; P)\; +\; \sum \; i,\; j\; D\; ij\; \partial \; 2\; P\; \partial \; xi\; \partial \; xj.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{ij\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; (x\_\; \{j\}\; P)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\}\; D\_\; \{ij\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; P\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}.\}$

, где матрица $D\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{D\}\}\}$с компонентами $D\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{ij\}\}$определяется как $D\; =\; \sigma \; \sigma \; T\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{D\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; ^\; \{T\}\; /\; 2\}$. Что касается 1d случая, процесс представляет собой линейное преобразование гауссовских случайных величин и, следовательно, сам должен быть гауссовским. Из-за этого вероятность перехода $P\; (x,\; t\; \mid \; x\; \prime ,\; t\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \text{'},\; t\text{'})\}$- это гауссиан, который можно записать явно. Если действительные части собственных значений $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\}$больше нуля, стационарное решение $P\; st\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{\backslash \; text\; \{st\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\}$кроме того существует, заданное как

$P\; st\; (x)\; =\; (2\; \pi )\; -\; N\; /\; 2\; (det\; \omega )\; -\; 1\; /\; 2\; ехр\; \; (-\; 1\; 2\; Икс\; T\; \omega \; -\; 1\; Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; text\; \{st\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; (2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{-\; N\; /\; 2\}\; (\backslash \; det\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\})\; ^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; right)\}$

где матрица $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\}$определяется из $\beta \; \omega \; +\; \omega \; \beta \; T\; =\; 2\; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; ^\; \{T\}\; =\; 2\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; D\}\}\}$.

• Стохастическое исчисление
• Винеровский процесс
• Гауссовский процесс
• Математические финансы
• Модель Васичека процентных ставок
• Краткосрочная модель
• Диффузия
• Теорема флуктуации-диссипации

• Bibbona, E.; Панфило, Г.; Тавелла, П. (2008). «Процесс Орнштейна-Уленбека как модель белого шума, прошедшего фильтр нижних частот». Метрология. 45 (6): S117 – S126. Bibcode : 2008Metro..45S.117B. doi : 10.1088 / 0026-1394 / 45/6 / S17.
• Chan, K. C.; Karolyi, G.A.; Longstaff, F.A.; Сандерс, А. Б. (1992). «Эмпирическое сравнение альтернативных моделей краткосрочной процентной ставки». Финансовый журнал. 47(3): 1209–1227. doi : 10.1111 / j.1540-6261.1992.tb04011.x.
• Дуб, J.L. (апрель 1942 г.). «Броуновское движение и стохастические уравнения». Анналы математики. 43(2): 351–369. doi : 10.2307 / 1968873. JSTOR 1968873.
• Гиллеспи, Д. Т. (1996). «Точное численное моделирование процесса Орнштейна – Уленбека и его интеграла». Phys. Ред. E. 54(2): 2084–2091. Bibcode : 1996PhRvE..54.2084G. doi : 10.1103 / PhysRevE.54.2084. PMID 9965289.
• Люнг, Тим; Ли, Синь (2015). «Торговля с оптимальным возвратом к среднему значению с транзакционными издержками и выходом по стоп-лоссу». Международный журнал теоретических и прикладных финансов. 18 (3): 1550020. arXiv : 1411.5062. doi : 10.1142 / S021902491550020X.
• Рискен, Х. (1989). Уравнение Фоккера – Планка: метод решения и приложения. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0387504988.
• Uhlenbeck, G.E.; Орнштейн, Л. С. (1930). «К теории броуновского движения». Phys. Ред. 36 (5): 823–841. Bibcode : 1930PhRv... 36..823U. doi : 10.1103 / PhysRev.36.823.
• Мартинс, Э.П. (1994). «Оценка скорости фенотипической эволюции по сравнительным данным». Амер. Nat. 144 (2): 193–209. doi : 10.1086 / 285670.

• Обзор статистического арбитража, коинтеграции и многомерного Орнштейна – Уленбека, Аттилио Меуччи
• Набор инструментов для стохастических процессов для управления рисками, Дамиано Бриго, Антонио Далессандро, Матиас Нойгебауэр и Фарес Трики
• Моделирование и калибровка процесса Орнштейна – Уленбека, М.А. ван ден Берг
• Оценка максимального правдоподобия процессов возврата к среднему, Хосе Карлос Гарсиа Франко
• «Интерактивное веб-приложение: случайные процессы, используемые в количественных финансах». Архивировано с оригинального 20.09.2015. Дата обращения 3 июля 2015.