Уравнение Фоккера – Планка

Уравнение в частных производных Решение одномерного уравнения Фоккера – Планка с дрейфом и диффузией срок. В этом случае начальным условием является дельта-функция Дирака, центрированная от нулевой скорости. Со временем распределение расширяется из-за случайных импульсов.

В статистической механике уравнение Фоккера – Планка представляет собой уравнение в частных производных, которое описывает эволюция во времени функции плотности вероятности скорости частицы под влиянием сил сопротивления и случайных сил, как в броуновском движении. Уравнение можно обобщить и на другие наблюдаемые. Оно названо в честь Адриана Фоккера и Макса Планка, а также известно как прямое уравнение Колмогорова, в честь Андрея Колмогорова, который независимо открыл эту концепцию в 1931 году. Применительно к распределению положения частиц оно более известно как уравнение Смолуховского (после Мариан Смолуховский ), и в этом контексте оно эквивалентно уравнение конвекции – диффузии. Случай с нулевой диффузией известен в статистической механике как уравнение Лиувилля. Уравнение Фоккера – Планка получается из основного уравнения от до разложения Крамерса – Мойала.

. Первый последовательный микроскопический вывод уравнения Фоккера – Планка в единой схеме классического и квантовая механика была выполнена Николаем Боголюбовым и Николаем Крыловым.

Уравнение Смолуховского - это уравнение Фоккера – Планка для функции плотности вероятности положения частиц Броуновского

Содержание

• 1 Одно измерение
• 2 Высшие измерения
• 3 Примеры
  • 3.1 Винеровский процесс
  • 3.2 Процесс Орнштейна – Уленбека
  • 3.3 Физика плазмы
• 4 Диффузионное уравнение Смолуховского
• 5 Соображения относительно вычислений
  • 5.1 Пример одномерного линейного потенциала
    • 5.1.1 Теория
    • 5.1.2 Моделирование
• 6 Решение
• 7 Частные случаи с известным решением и инверсией
• 8 Уравнение Фоккера – Планка и интеграл по путям
• 9 См. Также
• 10 Примечания и ссылки
• 11 Дополнительная литература

Одно измерение

В одном измерении Фактический размер x для процесса Itō, управляемого стандартным винеровским процессом $W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{t\}\}$и описываемого тегом стохастическое дифференциальное уравнение (SDE)

$d\; X\; t\; =\; \mu \; (X\; t,\; t)\; dt\; +\; \sigma \; (X\; t,\; t)\; d\; W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; dX\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; mu\; (X\_\; \{\; t\},\; t)\; \backslash ,\; dt\; +\; \backslash \; sigma\; (X\_\; \{t\},\; t)\; \backslash ,\; dW\_\; \{t\}\}$

с дрейфом $\mu \; (X\; t,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (X\_\; \{t\},\; t)\}$и коэффициент диффузии $D\; (X\; t,\; t)\; =\; \sigma \; 2\; (X\; t,\; t)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (X\_\; \{t\},\; t)\; =\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; (X\_\; \{t\},\; t)\; /\; 2\}$, уравнение Фоккера – Планка для плотности вероятности $p\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (x,\; t)\}$случайной величины $X\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{t\}\}$is

$\partial \; \partial \; tp\; (x,\; t)\; =\; -\; \partial \; \partial \; x\; [\mu \; (x,\; t)\; p\; (x,\; t)]\; +\; \partial \; 2\; \partial \; x\; 2\; [D\; (x,\; t)\; p\; (x,\; t)].\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; p\; (x,\; t)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; mu\; (x,\; t)\; p\; (x,\; t)\; \backslash \; right]\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; [D\; (x,\; t)\; p\; (x,\; t)\; \backslash \; right].\}$

Связь между Itō SDE и уравнением Фоккера-Планка

В дальнейшем используйте $\sigma \; =\; 2\; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2D\}\}\}$.

Определите бесконечно малую генератор $L\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}$(следующее можно найти в ссылке):

$L\; p\; (X\; t)\; =\; lim\; \Delta \; t\; \to \; 0\; 1\; \Delta \; t\; (E\; [p\; (X\; t\; +\; \Delta \; t)\; \mid \; X\; t\; =\; x]\; -\; p\; (x)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; p\; (X\_\; \{t\})\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; Delta\; t\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; t\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbb\; \{E\}\; \{\; \backslash \; big\; [\}\; p\; (X\_\; \{t\; +\; \backslash \; Delta\; t\})\; \backslash \; mid\; X\_\; \{t\}\; =\; x\; \{\backslash \; big]\}\; -\; p\; (x)\; \backslash \; right).\}$

Вероятность перехода $P\; t,\; t\; \prime \; (X\; \mid \; x\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{t,\; t\; \text{'}\}\; (x\; \backslash \; mid\; x\text{'})\}$, вероятность перехода от $(t\; \prime ,\; x\; \text{'})\; \{\backslash \; Displaystyle\; (t\text{'},\; x\; \text{'})\}$to $(t,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; (t,\; x)\}$, вводится здесь; математическое ожидание можно записать как

$E\; (p\; (X\; t\; +\; \Delta \; t)\; \mid \; X\; t\; =\; x)\; =\; \int \; p\; (y)\; P\; t\; +\; \Delta \; t,\; t\; (y\; \mid \; x)\; d\; y.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; (p\; (X\_\; \{t\; +\; \backslash \; Delta\; t\})\; \backslash \; mid\; X\_\; \{t\}\; =\; x)\; =\; \backslash \; int\; p\; (y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{t\; +\; \backslash \; Delta\; t,\; t\; \}\; (y\; \backslash \; mid\; x)\; \backslash ,\; dy.\}$

Теперь заменим в определении $L\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}$, умножить на $P\; t,\; t\; \prime \; (x\; \mid \; x\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{t,\; t\; \text{'}\}\; (x\; \backslash \; mid\; x\text{'})\}$и интегрировать по $dx\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; \}$. Предел берется на

$\int \; p\; (y)\; \int \; P\; t\; +\; \Delta \; t,\; t\; (y\; \mid \; x)\; P\; t,\; t\; \prime \; (x\; \mid \; x\; \prime )\; dxdy\; -\; \int \; p\; (x)\; P\; t,\; t\; \prime \; (\; х\; \mid \; х\; \prime )\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; p\; (y)\; \backslash \; int\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{t\; +\; \backslash \; Delta\; t,\; t\}\; (y\; \backslash \; mid\; x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{t,\; t\; \text{'}\}\; (x\; \backslash \; mid\; x\; \text{'})\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; dy-\; \backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{t,\; t\text{'}\}\; (x\; \backslash \; mid\; x\; \text{'})\; \backslash ,\; dx.\}$

Обратите внимание, что

$\int \; п\; T\; +\; \Delta \; T,\; T\; (Y\; \mid \; Икс)\; P\; T,\; t\; \prime \; (x\; \mid \; x\; \prime )\; dx\; =\; P\; t\; +\; \Delta \; t,\; t\; \prime \; (y\; \mid \; x\; \prime ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; mathbb\; \{P\; \}\; \_\; \{t\; +\; \backslash \; Delta\; t,\; t\}\; (y\; \backslash \; mid\; x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{t,\; t\; \text{'}\}\; (x\; \backslash \; mid\; x\text{'})\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{t\; +\; \backslash \; Delta\; t,\; t\; \text{'}\}\; (y\; \backslash \; mid\; x\text{'}),\}$

что является теоремой Чепмена – Колмогорова. Изменив фиктивную переменную $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$на $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, мы получим

$\int \; p\; (x)\; lim\; \Delta \; t\; \to \; 0\; 1\; \Delta \; T\; (P\; t\; +\; \Delta \; t,\; t\; \prime \; (x\; \mid \; x\; \prime )\; -\; P\; t,\; t\; \prime \; (x\; \mid \; x\; \prime ))\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; Delta\; t\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; t\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{t\; +\; \backslash \; Delta\; t,\; t\; \text{'}\}\; (x\; \backslash \; mid\; x\text{'})\; -\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{t,\; t\; \text{'}\}\; (x\; \backslash \; mid\; x\text{'})\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dx,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, которая является производной по времени. Наконец, мы приходим к

$\int \; [L\; p\; (x)]\; P\; t,\; t\; \prime \; (x\; \mid \; x\; \prime )\; d\; x\; =\; \int \; p\; (x)\; \partial \; t\; P\; t,\; t\; \prime \; (x\; \mid \; x\; \prime )\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; [\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; p\; (x)]\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{t,\; t\; \text{'}\}\; (x\; \backslash \; mid\; x\text{'})\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{t,\; t\; \text{'}\}\; (x\; \backslash \; mid\; x\text{'})\; \backslash ,\; dx.\}$

Отсюда можно вывести обратное уравнение Колмогорова. Если вместо этого мы используем сопряженный оператор $L\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}$, $L\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$, определенный таким образом, что

$\int \; [L\; p\; (x)]\; P\; t,\; t\; \prime \; (x\; \mid \; x\; \prime )\; dx\; =\; \int \; p\; (x)\; [L\; †\; P\; t,\; t\; \prime \; (x\; \mid \; x\; \prime )]\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; [\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; p\; (x)]\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{t,\; t\; \text{'}\}\; (x\; \backslash \; mid\; x\text{'})\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; p\; (x)\; [\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{t,\; t\; \text{'}\}\; (x\; \backslash \; mid\; x\text{'})]\; \backslash ,\; dx,\}$

то мы приходим к прямому уравнению Колмогорова, или к уравнению Фоккера– Уравнение Планка, которое, упрощая обозначение, $p\; (x,\; t)\; =\; P\; t,\; t\; \text{'}(x\; \mid \; x\text{'})\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (x,\; t)\; =\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{t,\; t\; \text{'}\; \}\; (x\; \backslash \; mid\; x\; \text{'})\}$, в дифференциальной форме читается как

$L\; †\; p\; (x,\; t)\; =\; \partial \; tp\; (x,\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; p\; (x,\; t)\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; p\; (x,\; t).\}$

Остается проблема явного определения $L\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}$. Это можно сделать, используя математическое ожидание от интегральной формы леммы Itō :

$E\; (p\; (X\; t))\; =\; p\; (X\; 0)\; +\; E\; (\int \; 0\; t\; (\partial \; t\; +\; \mu \; \partial \; x\; +\; \sigma \; 2\; 2\; \partial \; x\; 2)\; p\; (X\; t\; \prime )\; dt\; \prime ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; p\; (X\_\; \{t\})\; \{\backslash \; big)\}\; =\; p\; (X\_\; \{0\})\; +\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\; t\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; +\; \backslash \; mu\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; p\; (X\_\; \{t\; \text{'}\})\; \backslash ,\; dt\text{'}\; \backslash \; right).\}$

Часть, которая зависит от $d\; W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; dW\_\; \{t\}\}$, исчезла из-за свойства мартингейла.

Тогда для частицы, подчиняющейся уравнению Itō, используя

$L\; =\; \mu \; \partial \; x\; +\; \sigma \; 2\; 2\; \partial \; x\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; =\; \backslash \; mu\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; ^\; \{2\},\}$

легко вычислить, используя интегрирование по частям, что

$L\; †\; знак\; равно\; -\; \partial \; Икс\; (\mu \; \cdot )\; +\; 1\; 2\; \partial \; Икс\; 2\; (\sigma \; 2\; \cdot ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; =\; -\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; (\backslash \; mu\; \backslash \; cdot)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot),\}$

которые приводят нас к уравнению Фоккера – Планка:

$\partial \; tp\; (x,\; t)\; =\; -\; \partial \; x\; (\mu \; (x,\; t)\; \cdot \; p\; (x,\; t))\; +\; \partial \; x\; 2\; (\sigma \; (x,\; t)\; 2\; 2\; p\; (x,\; t)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; p\; (x,\; t)\; =\; -\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; mu\; (x,\; t)\; \backslash \; cdot\; p\; (x,\; t)\; \{\backslash \; big)\}\; +\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; (x,\; t)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\; p\; (x,\; t)\; \backslash \; right).\}$

В то время как Уравнение Фоккера – Планка используется с задачами, в которых известно начальное распределение, если задача состоит в том, чтобы узнать распределение в предыдущие моменты времени, можно использовать формулу Фейнмана – Каца, которая является следствием обратной теории Колмогорова. уравнение.

Стохастический процесс, определенный выше в смысле It can, может быть переписан в рамках соглашения Стратоновича как SDE Стратоновича:

$d\; X\; t\; =\; [\mu \; (X\; t,\; t)\; -\; 1\; 2\; \partial \; \partial \; X\; t\; D\; (X\; t,\; t)]\; dt\; +\; 2\; D\; (X\; t,\; t)\; \circ \; d\; W\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; dX\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; left\; [\backslash \; mu\; (X\_\; \{t\},\; t)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; X\_\; \{t\}\}\}\; D\; (\; X\_\; \{t\},\; t)\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; dt\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2D\; (X\_\; \{t\},\; t)\}\}\; \backslash \; circ\; dW\_\; \{t\}.\}$

Он включает добавленный снос, вызванный шумом из-за эффекты градиента диффузии, если шум зависит от состояния. Это соглашение чаще используется в физических приложениях. Действительно, хорошо известно, что любое решение СДУ Стратоновича является решением СДУ Itō.

Уравнение нулевого сноса с постоянной диффузией можно рассматривать как модель классического броуновского движения :

$\partial \; \partial \; tp\; (x,\; t)\; =\; D\; 0\; \partial \; 2\; \partial \; x\; 2\; [p\; (x,\; т)].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; p\; (x,\; t)\; =\; D\_\; \{0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; [p\; (x,\; t)\; \backslash \; right].\}$

Эта модель имеет дискретный спектр решений, если добавить условие фиксированных границ для $\{0\; ⩽\; x\; ⩽\; L\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{0\; \backslash \; leqslant\; x\; \backslash \; leqslant\; L\; \backslash \}\}$:

$p\; (0,\; t)\; =\; p\; (L,\; t)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (0,\; t)\; =\; p\; (L,\; t)\; =\; 0,\}$

$p\; (\; х,\; 0)\; =\; р\; 0\; (х).\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (x,\; 0)\; =\; p\_\; \{0\}\; (x).\}$

Было показано, что в этом случае аналитический спектр решений позволяет вывести соотношение локальной неопределенности для фазового объема координата-скорость:

$\Delta \; х\; \Delta \; v\; ⩾\; D\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; x\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; v\; \backslash \; geqslant\; D\_\; \{0\}.\}$

Здесь $D\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{0\}\}$- минимальное значение соответствующей диффузии спектр $D\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{j\}\}$, а $\Delta \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; x\}$и $\Delta \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Дельта\; v\}$представляет неопределенность определения координаты – скорости.

.

Более высокие измерения

В более общем смысле, если

$d\; X\; t\; =\; \mu \; (X\; t,\; t)\; dt\; +\; \sigma \; (X\; t,\; t)\; d\; W\; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; mathbf\; \{X\; \}\; \_\; \{t\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\}\; \_\; \{t\},\; t)\; \backslash ,\; dt\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\}\; \_\; \{t\},\; t)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mathbf\; \{W\}\; \_\; \{t\},\}$

где $X\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; \_\; \{t\}\}$и $\mu \; (X\; t,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\}\; \_\; \{t\},\; t)\}$- N-мерные случайные векторы, $\sigma \; (Икс\; t,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\}\; \_\; \{t\},\; t)\}$- это N $\times \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; times\}$M матрица и $W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{W\}\; \_\; \{t\}\}$- это M-мерный стандартный винеровский процесс, плотность вероятности $p\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$для $X\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; \_\; \{t\}\; \}$удовлетворяет уравнению Фоккера – Планка

$\partial \; p\; (x,\; t)\; \partial \; t\; =\; -\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; \partial \; \partial \; xi\; [\mu \; i\; (x,\; t)\; p\; (x,\; t)]\; +\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; \sum \; j\; =\; 1\; N\; \partial \; 2\; \partial \; xi\; \partial \; xj\; [D\; i\; J\; (Икс,\; T)\; п\; (Икс,\; T)],\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; p\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; p\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash \; right\; ]\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; x\_\; \{\; j\}\}\}\; \backslash \; left\; [D\_\; \{ij\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; p\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash \; right],\}$

с вектором сноса $\mu \; =\; (\mu \; 1,\; \dots ,\; {\rm M}\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\; =\; (\backslash \; mu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mu\; \_\; \{N\})\}$и тензор диффузии $D\; =\; 1\; 2\; \sigma \; \sigma \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; sigma\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\}$, то есть

$D\; ij\; (x,\; t)\; =\; 1\; 2\; \sum \; k\; =\; 1\; M\; \sigma \; ik\; (x,\; t)\; \sigma \; jk\; (x,\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{ij\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{M\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{ik\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\; \},\; t)\; \backslash \; sigma\; \_\; \{jk\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t).\}$

Если вместо Itō SDE рассматривается SDE Стратоновича,

$d\; X\; t\; =\; \mu \; (Икс\; t,\; t)\; dt\; +\; \sigma \; (Икс\; t,\; t)\; \circ \; d\; W\; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; \_\; \{t\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\}\; \_\; \{t\},\; t)\; \backslash ,\; dt\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\}\; \_\; \{t\},\; t)\; \backslash \; circ\; d\; \backslash \; mathbf\; \{W\}\; \_\; \{t\},\}$

Фоккер– Уравнение Планка будет выглядеть так:

$\partial \; p\; (x,\; t)\; \partial \; t\; =\; -\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; \partial \; \partial \; xi\; [\mu \; i\; (x,\; t)\; p\; (x,\; t)]\; +\; 1\; 2\; \sum \; k\; =\; 1\; M\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; \partial \; \partial \; xi\; \{\sigma \; ik\; (x,\; t)\; \sum \; j\; =\; 1\; N\; \partial \; \partial \; xj\; [\sigma \; jk\; (x,\; t)\; p\; (x,\; t)]\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; p\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash ,\; p\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash \; right]\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\; M\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{ik\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; sigma\; \_\; \{jk\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash ,\; p\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash \; right]\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

Примеры

винеровский процесс

Стандартный скалярный винеровский процесс генерируется стохастическое дифференциальное уравнение

$d\; X\; t\; =\; d\; W\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; dX\_\; \{t\}\; =\; dW\_\; \{t\}.\}$

Здесь член сноса равен нулю, а коэффициент диффузии равен 1/2. Таким образом, соответствующее уравнение Фоккера – Планка имеет вид

$\partial \; p\; (x,\; t)\; \partial \; t\; =\; 1\; 2\; \partial \; 2\; p\; (x,\; t)\; \partial \; x\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; p\; (x,\; t)\; \}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; p\; (x,\; t)\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\},\}$

которая является простейшей формой уравнения диффузии. Если начальное условие $p\; (x,\; 0)\; =\; \delta \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (x,\; 0)\; =\; \backslash \; delta\; (x)\}$, решение будет

$p\; (\; x,\; t)\; =\; 1\; 2\; \pi \; te\; -\; x\; 2\; /\; (2\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (x,\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\; t\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; /\; (\{2t\})\}.\}$

Процесс Орнштейна – Уленбека

Процесс Орнштейна – Уленбека - это процесс, определенный как

$d\; X\; t\; =\; -\; a\; X\; tdt\; +\; \sigma \; d\; W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; dX\_\; \{t\}\; =\; -aX\_\; \{t\}\; dt\; +\; \backslash \; sigma\; dW\_\; \{t\}\}$.

с $a>0\; \{\backslash \; displaystyle\; a>0\}$. Соответствующее уравнение Фоккера – Планка имеет вид

$\partial \; p\; (x,\; t)\; \partial \; t\; =\; a\; \partial \; \partial \; Икс\; (xp\; (x,\; t))\; +\; \sigma \; 2\; 2\; \partial \; 2\; p\; (x,\; t)\; \partial \; x\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; p\; (x,\; t)\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; a\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; left\; (x\; \backslash ,\; p\; (x,\; t)\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; p\; (x,\; t)\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\},\}$

Стационарное решение ($\partial \; tp\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; p\; =\; 0\; \}$) равно

$pss\; (x)\; =\; a\; \pi \; \sigma \; 2\; e\; -\; ax\; 2\; \sigma \; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; p\_\; \{ss\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{ax\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}.\}$

Физика плазмы

В физике плазмы функция распределения для частиц $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$, $ps\; (x\; \to ,\; v\; \to ,\; t)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; p\_\; \{s\}\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\},\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\},\; t)\}$заменяет функцию плотности вероятности . Соответствующее уравнение Больцмана задается следующим образом:

$\partial \; ps\; \partial \; t\; +\; v\; \to \; \cdot \; \nabla \; \to \; ps\; +\; Z\; sems\; (E\; \to \; +\; v\; \to \; \times \; B\; \to )\; \cdot \; \nabla \; \to \; vps\; =\; -\; \partial \; \partial \; vi\; (ps\; ⟨\Delta \; vi⟩)\; +\; 1\; 2\; \partial \; 2\; \partial \; vi\; \partial \; vj\; (пс\; ⟨\Delta \; vi\; \Delta \; vj⟩),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{s\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\; \backslash \; vec\; \{\backslash \; nabla\}\}\; p\_\; \{s\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{s\}\; e\}\; \{m\_\; \{s\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; vec\; \{E\}\}\; +\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; \backslash \; times\; \{\; \backslash \; vec\; \{B\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \_\; \{v\}\; p\_\; \{s\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; left\; (p\_\; \{\; s\}\; \backslash \; langle\; \backslash \; Delta\; v\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; v\_\; \{\; j\}\}\}\; \backslash \; left\; (p\_\; \{s\}\; \backslash \; langle\; \backslash \; Delta\; v\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; v\_\; \{j\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; right),\}$

где третий член включает ускорение частицы из-за Сила Лоренца и член Фоккера – Планка в правой части представляет собой эффекты столкновений частиц. Величины $⟨\Delta \; vi⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; Delta\; v\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\}$и $⟨\Delta \; vi\; \Delta \; vj⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; Delta\; v\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; v\_\; \{j\}\; \backslash \; rangle\}$- это среднее изменение скорости, которое испытывает частица типа $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$из-за столкновений со всеми другими частицами. виды в единицу времени. Выражения для этих величин приведены в другом месте. Если не учитывать столкновения, уравнение Больцмана сводится к уравнению Власова.

.

Уравнение диффузии Смолуховского

Уравнение диффузии Смолуховского - это уравнение Фоккера-Планка, ограниченное для броуновских частиц, на которые действует внешняя сила $F\; (r)\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (r)\}$.

$\partial \; T\; P\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; =\; \nabla \; \cdot \; [D\; (\nabla \; -\; \beta \; F\; (r))\; P\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; P\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; [D\; (\backslash \; nabla\; -\; \backslash \; beta\; F\; (r))\; P\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})]\}$

Где $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$- постоянная диффузии, а $\beta \; =\; 1\; k\; BT\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\_\; \{B\}\; T\}\}\}$. Важность этого уравнения состоит в том, что оно позволяет учесть влияние температуры на систему частиц и пространственно-зависимую константу диффузии.

Вывод уравнения Смолуховского из уравнения Фоккера-Планка

. Начиная с уравнения Ланжевена броуновской частицы во внешнем поле $F\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (r)\}$, где $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$- член трения, $\xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\}$- флуктуирующая сила на частица, а $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$- амплитуда колебаний.

$г-н\; ¨\; знак\; равно\; -\; \gamma \; р\; \dot{}\; +\; F\; (г)\; +\; \sigma \; \xi \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \{\backslash \; ddot\; \{r\}\}\; =\; -\; \backslash \; gamma\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; +\; F\; (r)\; +\; \backslash \; sigma\; \backslash \; xi\; (t)\}$

В состоянии равновесия сила трения намного больше, чем сила инерции, $|\; \gamma \; r\; \dot{}\; |>>|\; m\; r\; ¨\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; vert\; \backslash \; gamma\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; vert>>\backslash \; left\; \backslash \; vert\; m\; \{\backslash \; ddot\; \{r\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; vert\}$. Следовательно, уравнение Ланжевена принимает вид

$\gamma \; r\; \dot{}\; =\; F\; (r)\; +\; \sigma \; \xi \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; =\; F\; (r)\; +\; \backslash \; sigma\; \backslash \; xi\; (t)\}$

Что порождает следующее уравнение Фоккера-Планка,

$\partial \; t\; P\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; =\; (\nabla \; 2\; \sigma \; 2\; 2\; \gamma \; 2\; -\; \nabla \; \cdot \; F\; (r)\; \gamma )\; П\; (г,\; т\; |\; р\; 0,\; т\; 0)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{т\}\; п\; (г,\; т\; |\; г\_\; \{0\},\; т\_\; \{0\})\; =\; \{\backslash \; Bigl\; (\}\; \backslash \; набла\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (r)\}\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \{\backslash \; Bigr)\}\; P\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\}$

Преобразование уравнения Фоккера-Планка,

$\partial \; t\; P\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; =\; \nabla \; \cdot \; (\nabla \; D\; -\; F\; (r)\; \gamma )\; п\; (г,\; t\; |\; р\; 0,\; t\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; P\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; Bigl\; (\}\; \backslash \; набла\; D\; -\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (r)\}\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \{\backslash \; Bigr)\}\; P\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\}$

W здесь $D\; =\; \sigma \; 2\; 2\; \gamma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\}\}\}$. Примечание, коэффициент диффузии может не обязательно быть пространственно независимыми, если $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$или $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$пространственно зависимы.

Далее общее количество частиц в любом конкретном объеме определяется как,

$NV\; (t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; =\; \int \; V\; dr\; P\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{V\}\; (t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{V\}\; drP\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\}$

Следовательно, поток частиц можно определить, взяв производную по времени от числа частиц в данном объеме, подставив уравнение Фоккера-Планка, а затем применив теорему Гаусса.

$\partial \; t\; NV\; (t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; =\; \int \; V\; d\; V\; \nabla \; \cdot \; (\nabla \; D\; -\; F\; (r)\; \gamma )\; P\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; =\; \int \; \partial \; V\; da\; \to \; \cdot \; j\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; N\_\; \{V\}\; (t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{V\}\; dV\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; Bigl\; (\}\; \backslash \; nabla\; D\; -\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (r)\}\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \{\backslash \; Bigr)\}\; P\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; vec\; \{da\}\}\; \backslash \; cdot\; j\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\}$

$j\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; =\; (\nabla \; D\; -\; F\; (r)\; \gamma )\; P\; (г,\; т\; |\; р\; 0,\; т\; 0)\; \{\backslash \; Displaystyle\; J\; (г,\; т\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\; =\; \{\backslash \; Bigl\; (\}\; \backslash \; набла\; D\; -\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{F\; (г)\}\; \{\; \backslash \; gamma\}\}\; \{\backslash \; Bigr)\}\; P\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\}$

В равновесии предполагается, что поток уходит в ноль. Следовательно, статистика Больцмана может применяться для оценки вероятности нахождения частиц в состоянии равновесия, где $F\; (r)\; =\; -\; \nabla \; U\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (r)\; =\; -\; \backslash \; nabla\; U\; (r)\}$- консервативная сила, и вероятность нахождения частицы в состоянии $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$задается как $P\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; =\; е\; -\; \beta \; U\; (г)\; Z\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (г,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; \backslash \; beta\; U\; (r)\}\}\; \{Z\}\}\; \}$.

$j\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; =\; (\nabla \; D\; -\; F\; (r)\; \gamma )\; e\; -\; \beta \; U\; (r)\; Z\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\}),\; t\_\; \{0\})\; =\; \{\backslash \; Bigl\; (\}\; \backslash \; nabla\; D\; -\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (r)\}\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \{\backslash \; Bigr)\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; \backslash \; beta\; U\; (r)\}\; \}\; \{Z\}\}\; =\; 0\}$

$\Rightarrow \; \nabla \; D\; =\; F\; (r)\; (1\; \gamma \; -\; D\; \beta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; nabla\; D\; =\; F\; (r)\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; gamma\}\; \}\; -D\; \backslash \; beta)\}$

Это отношение является реализацией теоремы о флуктуации-диссипации. Теперь применяем $\nabla \; \cdot \; \nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\}$к $DP\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; DP\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\}$и используя теорему флуктуации-диссипации,

$\nabla \; \cdot \; \nabla \; DP\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; =\; \nabla \; \cdot \; D\; \nabla \; P\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; +\; \nabla \; \cdot \; п\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; \nabla \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; DP\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\}))\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; D\; \backslash \; nabla\; P\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\; +\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; P\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\; \backslash \; nabla\; D\}$

$=\; \nabla \; \cdot \; D\; \nabla \; P\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; +\; \nabla \; \cdot \; P\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; F\; (r)\; \gamma \; -\; \nabla \; \cdot \; P\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; D\; \beta \; F\; (r)\; \{\backslash \; Displaystyle\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; D\; \backslash \; nabla\; P\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\; +\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; P\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (r)\}\; \{\backslash \; gamma\}\}\; -\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; P\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\; D\; \backslash \; beta\; F\; (r)\}$

Перестановка,

$\Rightarrow \; \nabla \; \cdot \; (\nabla \; D\; -\; F\; (r)\; \gamma )\; P\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; =\; \nabla \; \cdot \; D\; (\nabla \; -\; \beta \; F\; (r))\; P\; (\; р,\; t\; |\; р\; 0,\; t\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; Bigl\; (\}\; \backslash \; nabla\; D\; -\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (r)\}\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \{\backslash \; Bigr)\}\; P\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; D\; (\backslash \; nabla\; -\; \backslash \; beta\; F\; (r))\; P\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\}$

Следовательно, уравнение Фоккера-Планка становится уравнением Смолуховского,

$\partial \; t\; P\; (r,\; t\; |\; р\; 0,\; T\; 0)\; знак\; равно\; \nabla \; \cdot \; D\; (\nabla \; -\; \beta \; F\; (r))\; P\; (r,\; t\; |\; r\; 0,\; t\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; P\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\}),\; t\_\; \{0\})\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; D\; (\backslash \; nabla\; -\; \backslash \; beta\; F\; (r))\; P\; (r,\; t\; |\; r\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\}$

Для произвольной силы $F\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (r)\}$.

Вычислительные соображения

Броуновское движение следует уравнению Ланжевена, которое может быть решено для многих различных стохастических воздействий с усреднением результатов ( канонический ансамбль в молекулярной динамике ). Однако вместо этого ресурсоемкого подхода можно использовать уравнение Фоккера – Планка и рассмотреть вероятность $p\; (v,\; t)\; dv\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (\backslash \; mathbf\; \{v\},\; t)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mathbf\; \{\; v\}\}$частицы, имеющей скорость в интервале $(v,\; v\; +\; dv)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{v\},\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; +\; d\; \backslash \; mathbf\; \{v\})\}$, когда он начинает свое движение с $v\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{0\}\}$в момент времени 0.

Моделирование броуновской динамики для частиц в одномерном линейном потенциале по сравнению с решением уравнения Фоккера-Планка.

Пример одномерного линейного потенциала

Теория

Начиная с линейного потенциала формы $U\; (x)\; =\; cx\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (x)\; =\; cx\}$соответствующее уравнение Смолуховского принимает вид

$\partial \; t\; P\; (x,\; t\; |\; x\; 0,\; t\; 0)\; =\; \partial \; x\; D\; (\; \partial \; Икс\; +\; \beta \; с)\; п\; (х,\; т\; |\; х\; 0,\; т\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; P\; (x,\; t\; |\; x\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; D\; (\backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +\; \backslash \; beta\; c)\; P\; (x,\; t\; |\; x\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\}$

Где постоянная диффузии, $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$, постоянна во времени и пространстве. Граничные условия таковы, что вероятность равна нулю при $x\; \to \; \pm \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; pm\; \backslash \; infty\}$с начальным условием ансамбля частиц, начинающихся в том же месте, $п\; (Икс,\; T\; |\; Икс\; 0,\; T\; 0)\; =\; \delta \; (Икс\; -\; Икс\; 0)\; \{\backslash \; Displaystyle\; Р\; (х,\; т\; |\; х\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\; =\; \backslash \; дельта\; (х-х\_\; \{0\; \})\}$.

Определение $\tau \; =\; D\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; Dt\}$и $b\; =\; \beta \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; \backslash \; beta\; c\}$и применяя преобразование координат,

$y\; =\; x\; +\; \tau \; b,\; y\; 0\; =\; x\; 0\; +\; \tau \; 0\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; x\; +\; \backslash \; tau\; b,\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; y\_\; \{0\}\; =\; x\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; тау\; \_\; \{0\}\; b\}$

с $P\; (x,\; t,\; |\; x\; 0,\; t)\; =\; q\; (y,\; \tau \; |\; y\; 0,\; \tau \; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x,\; t,\; |\; x\_\; \{0\},\; t)\; =\; q\; (y,\; \backslash \; tau\; |\; y\_\; \{0\},\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\})\}$уравнение Смолуховского принимает следующий вид:

$\partial \; tq\; (y,\; \tau \; |\; y\; 0,\; \tau \; 0)\; знак\; равно\; \partial \; Y\; 2\; Q\; (Y,\; \tau \; |\; Y\; 0,\; \tau \; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; q\; (y,\; \backslash \; tau\; |\; y\_\; \{0\},\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\})\; =\; \backslash \; частичное\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; q\; (y,\; \backslash \; tau\; |\; y\_\; \{0\},\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\})\}$

Это уравнение свободной диффузии с решением,

$q\; (y,\; \tau \; |\; y\; 0,\; \tau \; 0)\; =\; 1\; 4\; \pi \; (\tau \; -\; \tau \; 0)\; е\; -\; (Y\; -\; Y\; 0)\; 2\; 4\; (\tau \; -\; \tau \; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; (y,\; \backslash \; tau\; |\; y\_\; \{0\},\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; \backslash \; pi\; (\backslash \; tau\; -\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\})\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{(y-y\_\; \{0\})\; ^\; \{2\}\}\; \{4\; (\backslash \; tau\; -\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\})\; \}\}\}\}$

И после преобразования обратно к исходным координатам

$P\; (x,\; t\; |\; Икс\; 0,\; t\; 0)\; знак\; равно\; 1\; 4\; \pi \; D\; (t\; -\; t\; 0)\; ехр\; \; [-\; (x\; -\; x\; 0\; +\; D\; \beta \; c\; (t\; -\; t\; 0))\; 2\; 4\; D\; (t\; -\; t\; 0)]\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x,\; t\; |\; x\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; \backslash \; pi\; D\; (t-t\_\; \{0\})\}\}\}\; \backslash \; exp\; \{\{\backslash \; Bigl\; [\}\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{(x-x\_\; \{0\}\; +\; D\; \backslash \; beta\; c\; (t-t\_\; \{0\}))\; ^\; \{2\}\}\; \{4D\; (t-t\_\; \{0\})\}\}\}\}\; \{\backslash \; Bigr]\; \}\}$.

Моделирование

Моделирование справа было завершено с использованием моделирования броуновской динамики. Начиная с уравнения Ланжевена для системы,

$mx\; ¨\; =\; -\; \gamma \; x\; \dot{}\; -\; c\; +\; \sigma \; \xi \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \{\backslash \; ddot\; \{x\}\}\; =\; -\; \backslash \; gamma\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; -\; c\; +\; \backslash \; sigma\; \backslash \; xi\; (t)\}$

Где $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$- член трения, $\xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\}$- флуктуирующая сила, действующая на частицу, а $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$- амплитуда флуктуации. В состоянии равновесия сила трения намного больше, чем сила инерции, $|\; \gamma \; x\; \dot{}\; |>>|\; m\; x\; ¨\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; vert\; \backslash \; gamma\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; vert>>\backslash \; left\; \backslash \; vert\; m\; \{\backslash \; ddot\; \{x\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; vert\}$. Следовательно, уравнение Ланжевена принимает вид

$\gamma \; x\; \dot{}\; =\; -\; c\; +\; \sigma \; \xi \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; =\; -\; c\; +\; \backslash \; sigma\; \backslash \; xi\; (t)\}$

Для броуновского динамического моделирования предполагается, что сила колебаний $\xi \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; (t)\}$является гауссовой, а амплитуда зависит от температуры системы $\sigma \; =\; 2\; \gamma \; k\; BT\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; gamma\; k\_\; \{B\}\; T\}\}\}$. Переписывая уравнение Ланжевена,

$dxdt\; =\; -\; D\; \beta \; c\; +\; 2\; D\; \xi \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dt\}\}\; =\; -\; D\; \backslash \; beta\; c\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2D\}\}\; \backslash \; xi\; (t)\}$

где $D\; =\; k\; BT\; \gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \{\backslash \; frac\; \{k\_\; \{B\}\; T\}\; \{\backslash \; gamma\}\}\}$- это соотношение Эйнштейна. Интегрирование этого уравнения было выполнено с использованием Euler-M aruyama метод численной аппроксимации пути этой броуновской частицы.

Решение

Будучи уравнением в частных производных, уравнение Фоккера – Планка может быть решено аналитически только в особых случаях. Формальная аналогия уравнения Фоккера – Планка с уравнением Шредингера позволяет использовать передовые операторные методы, известные из квантовой механики, для его решения в ряде случаев. Кроме того, в случае сверхзатухающей динамики, когда уравнение Фоккера – Планка содержит вторые частные производные по всем пространственным переменным, уравнение может быть записано в форме основного уравнения, которое может быть легко решено численно. Во многих приложениях интересует только установившееся распределение вероятностей $p\; 0\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{0\}\; (x)\}$, которое можно найти из $\partial \; п\; (Икс,\; T)\; \partial \; T\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; p\; (x,\; t)\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; 0\}$. Вычисление среднего времени первого прохождения и вероятностей расщепления может быть сведено к решению обыкновенного дифференциального уравнения, которое тесно связано с уравнением Фоккера – Планка.

Частные случаи с известным решением и инверсией

В математических финансах для волатильности smile моделирование опционов через локальную волатильность, возникает проблема получения коэффициента диффузии $\sigma \; (X\; t,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sigma\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\}\; \_\; \{t\},\; t)\}$, согласующегося с вероятностью плотность, полученная из котировок рыночных опционов. Таким образом, проблема заключается в обращении уравнения Фоккера-Планка: учитывая плотность f (x, t) опциона, лежащего в основе X, выведенную из опционного рынка, нужно найти локальную волатильность $\sigma \; (X\; t,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sigma\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\}\; \_\; \{t\},\; t)\}$в соответствии с f. Это обратная задача, которая была решена Дюпире (1994, 1997) с помощью непараметрического решения. Бриго и Меркурио (2002, 2003) предлагают решение в параметрической форме через конкретную локальную волатильность $\sigma \; (X\; t,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sigma\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\}\; \_\; \{t\},\; t)\}$в соответствии с решением уравнения Фоккера – Планка, заданным моделью смеси . Дополнительная информация доступна также в Fengler (2008), Gatheral (2008) и Musiela and Rutkowski (2008).

Уравнение Фоккера – Планка и интеграл по путям

Каждое уравнение Фоккера – Планка эквивалентно интегралу по путям. Формулировка интеграла по путям - отличная отправная точка для применения методов теории поля. Это используется, например, в критической динамике.

. Вывод интеграла по путям возможен аналогично квантовой механике. Вывод уравнения Фоккера – Планка с одной переменной $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$выглядит следующим образом. Начните с вставки дельта-функции, а затем интегрирования по частям:

$\partial \; \partial \; tp\; (x\; \prime ,\; t)\; =\; -\; \partial \; \partial \; x\; \prime \; [D\; 1\; (x\; \prime ,\; t)\; p\; (x\; \prime ,\; t)]\; +\; \partial \; 2\; \partial \; x\; \prime \; 2\; [D\; 2\; (x\; \prime ,\; t)\; p\; (x\; \prime ,\; t)]\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; dx\; ([D\; 1\; (x,\; t)\; \partial \; \partial \; x\; +\; D\; 2\; (x,\; t)\; \partial \; 2\; \partial \; x\; 2]\; \delta \; (x\; \prime \; -\; x))\; p\; (x,\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; p\; \backslash !\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{\backslash \; prime\},\; t\; \backslash \; right)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\; \backslash \; partial\; x\; \text{'}\}\}\; \backslash \; left\; [D\_\; \{1\}\; (x\text{'},\; t)\; p\; (x\; \text{'},\; t)\; \backslash \; right]\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{x\text{'}\}\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; \backslash \; left\; [D\_\; \{2\}\; (x\; \text{'},\; t)\; p\; (x\text{'},\; t)\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; [5pt]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; dx\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; [D\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (x,\; t\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; +\; D\_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (x,\; t\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; delta\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; -x\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; p\; \backslash !\; \backslash \; Left\; (x,\; t\; \backslash \; right).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Производные $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$здесь действуют только на $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$- функция, а не на $p\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (x,\; t)\}$. Integrate over a time interval $\epsilon \; \{\backslash displaystyle\; \backslash varepsilon\; \}$,

$p\; (\; x\; \prime ,\; t\; +\; \epsilon )\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; d\; x\; (\; (\; 1\; +\; \epsilon \; [\; D\; 1\; (\; x,\; t)\; \partial \; \partial \; x\; +\; D\; 2\; (\; x,\; t)\; \partial \; 2\; \partial \; x\; 2\; ])\; \delta \; (\; x\; \prime \; -\; x))\; p\; (\; x,\; t)\; +\; O\; (\; \epsilon \; 2).\; \{\backslash displaystyle\; p(x^\{\backslash prime\; \},t+\backslash varepsilon)=\backslash int\; \_\{-\backslash infty\; \}^\{\backslash infty\; \}\backslash ,dx\backslash left(\backslash left(1+\backslash varepsilon\; \backslash left[D\_\{1\}(x,t)\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; \}\{\backslash partial\; x\}\}+D\_\{2\}(x,t)\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; ^\{2\}\}\{\backslash partial\; x^\{2\}\}\}\backslash right]\backslash right)\backslash delta\; (x^\{\backslash prime\; \}-x)\backslash right)p(x,t)+O(\backslash varepsilon\; ^\{2\}).\}$

Insert the Fourier integral

$\delta \; (\; x\; \prime \; -\; x)\; =\; \int \; -\; i\; \infty \; i\; \infty \; d\; x\; ~\; 2\; \pi \; i\; e\; x\; ~\; (\; x\; -\; x\; \prime )\; \{\backslash displaystyle\; \backslash delta\; \backslash left(x^\{\backslash prime\; \}-x\backslash right)=\backslash int\; \_\{-i\backslash infty\; \}^\{i\backslash infty\; \}\{\backslash frac\; \{d\{\backslash tilde\; \{x\}\}\}\{2\backslash pi\; i\}\}e^\{\{\backslash tilde\; \{x\}\}\backslash left(x-x^\{\backslash prime\; \}\backslash right)\}\}$

for the $\delta \; \{\backslash displaystyle\; \backslash delta\; \}$-function,

$p\; (\; x\; \prime ,\; t\; +\; \epsilon )\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; d\; x\; \int \; -\; i\; \infty \; i\; \infty \; d\; x\; ~\; 2\; \pi \; i\; (\; 1\; +\; \epsilon \; [\; x\; ~\; D\; 1\; (\; x,\; t)\; +\; x\; ~\; 2\; D\; 2\; (\; x,\; t)\; ])\; e\; x\; ~\; (\; x\; -\; x\; \prime )\; p\; (\; x,\; t)\; +\; O\; (\; \epsilon \; 2)\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; d\; x\; \int \; -\; i\; \infty \; i\; \infty \; d\; x\; ~\; 2\; \pi \; i\; exp\; \; (\; \epsilon \; [\; -\; x\; ~\; (\; x\; \prime \; -\; x)\; \epsilon \; +\; x\; ~\; D\; 1\; f\; (\; x,\; t)\; +\; x\; ~\; 2\; D\; 2\; (\; x,\; t)\; ])\; p\; (\; x,\; t)\; +\; O\; (\; \epsilon \; 2).\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash begin\{aligned\}p(x^\{\backslash prime\; \},t+\backslash varepsilon)=\backslash int\; \_\{-\backslash infty\; \}^\{\backslash infty\; \}dx\backslash int\; \_\{-i\backslash infty\; \}^\{i\backslash infty\; \}\{\backslash frac\; \{d\{\backslash tilde\; \{x\}\}\}\{2\backslash pi\; i\}\}\backslash left(1+\backslash varepsilon\; \backslash left[\{\backslash tilde\; \{x\}\}D\_\{1\}(x,t)+\{\backslash tilde\; \{x\}\}^\{2\}D\_\{2\}(x,t)\backslash right]\backslash right)e^\{\{\backslash tilde\; \{x\}\}(x-x^\{\backslash prime\; \})\}p(x,t)+O(\backslash varepsilon\; ^\{2\})\backslash \backslash [5pt]=\backslash int\; \_\{-\backslash infty\; \}^\{\backslash infty\; \}dx\backslash int\; \_\{-i\backslash infty\; \}^\{i\backslash infty\; \}\{\backslash frac\; \{d\{\backslash tilde\; \{x\}\}\}\{2\backslash pi\; i\}\}\backslash exp\; \backslash left(\backslash varepsilon\; \backslash left[-\{\backslash tilde\; \{x\}\}\{\backslash frac\; \{(x^\{\backslash prime\; \}-x)\}\{\backslash varepsilon\; \}\}+\{\backslash tilde\; \{x\}\}D\_\{1\}f(x,t)+\{\backslash tilde\; \{x\}\}^\{2\}D\_\{2\}(x,t)\backslash right]\backslash right)p(x,t)+O(\backslash varepsilon\; ^\{2\}).\backslash end\{aligned\}\}\}$

This equation expresses $p\; (\; x\; \prime ,\; t\; +\; \epsilon )\; \{\backslash displaystyle\; p(x^\{\backslash prime\; \},t+\backslash varepsilon)\}$as functional of $p\; (\; x,\; t)\; \{\backslash displaystyle\; p(x,t)\}$. Iterating $(\; t\; \prime \; -\; t)\; /\; \epsilon \; \{\backslash displaystyle\; (t^\{\backslash prime\; \}-t)/\backslash varepsilon\; \}$times and performing the limit $\epsilon \; \to \; 0\; \{\backslash displaystyle\; \backslash varepsilon\; \backslash rightarrow\; 0\}$gives a path integral with action

$S\; =\; \int \; d\; t\; [\; x\; ~\; D\; 1\; (\; x,\; t)\; +\; x\; ~\; 2\; D\; 2\; (\; x,\; t)\; -\; x\; ~\; \partial \; x\; \partial \; t\; ].\; \{\backslash displaystyle\; S=\backslash int\; dt\backslash left[\{\backslash tilde\; \{x\}\}D\_\{1\}(x,t)+\{\backslash tilde\; \{x\}\}^\{2\}D\_\{2\}(x,t)-\{\backslash tilde\; \{x\}\}\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; x\}\{\backslash partial\; t\}\}\backslash right].\}$

The variables $x\; ~\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash tilde\; \{x\}\}\}$conjugate to $x\; \{\backslash displaystyle\; x\}$are called "response variables".

Although formally equivalent, different problems may be solved more easily in the Fokker–Planck equation or the path integral formulation. The equilibrium distribution for instance may be obtained more directly from the Fokker–Planck equation.

See also

• Kolmogorov backward equation
• Boltzmann equation
• Vlasov equation
• Master equation
• Mean field game theory
• Bogoliubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon hierarchy of equations
• Ornstein–Uhlenbeck process
• Convection–diffusion equation

Notes and references

Further reading

• Bruno Dupire (1994) Pricing with a Smile. Risk Magazine, January, 18–20.
• Bruno Dupire (1997) Pricing and Hedging with Smiles. Mathematics of Derivative Securities. Edited by M.A.H. Dempster and S.R. Pliska, Cambridge University Press, Cambridge, 103–111. ISBN 0-521-58424-8.
• Brigo, D.; Mercurio, Fabio (2002). "Lognormal-Mixture Dynamics and Calibration to Market Volatility Smiles". International Journal of Theoretical and Applied Finance. 5(4): 427–446. CiteSeerX 10.1.1.210.4165. doi :10.1142/S0219024902001511.
• Brigo, D.; Mercurio, F.; Sartorelli, G. (2003). "Alternative asset-price dynamics and volatility smile". Quantitative Finance. 3(3): 173–183. doi :10.1088/1469-7688/3/3/303. S2CID 154069452.
• Fengler, M. R. (2008). Semiparametric Modeling of Implied Volatility, 2005, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-26234-3
• Crispin Gardiner (2009), "Stochastic Methods", 4th edition, Springer, ISBN 978-3-540-70712-7.
• Jim Gatheral (2008). The Volatility Surface. Wiley and Sons, ISBN 978-0-471-79251-2.
• Marek Musiela, Marek Rutkowski. Martingale Methods in Financial Modelling, 2008, 2nd Edition, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20966-9.
• Hannes Risken, "The Fokker–Planck Equation: Methods of Solutions and Applications", 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 3-540-61530-X.
• Giorgio Orfino, "Simulazione dell'equazione di Fokker–Planck in Ottica Quantistica", Università degli Studi di Pavia, A.a. 94/95: https://web.archive.org/web/20160304100605/http://www.qubit.it/educational/thesis/orfino.pdf
• Grigorios A. Pavliotis, "Stochastic Processes and Applications: Diffusion Processes, the Fokker-Planck and Langevin Equations", Springer Texts in Appl ied Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4939-1322-0
• Тиль Дэниел Франк, «Нелинейные уравнения Фоккера-Планка: основы и приложения», Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 3-540-21264-7