Гиперболические координаты

Гиперболические координаты, нанесенные на евклидову плоскость: все точки на одном синем луче имеют одно и то же значение координаты u, а все точки на одной и той же красной гиперболе имеют одинаковое значение координаты v.

В математике, гиперболические координаты представляют собой метод точек размещая в квадранте I в декартовой плоскости

${\ Displaystyle \ {(х, у) \: \ хgt; 0, \ уgt; 0 \ \} = Q}$.

Гиперболические координаты принимают значения в гиперболической плоскости, определяемые как:

${\ Displaystyle HP = \ {(и, v): и \ in \ mathbb {R}, vgt; 0 \}}$.

Эти координаты в HP полезны для изучения логарифмических сравнений прямой пропорциональности в Q и измерения отклонений от прямой пропорциональности.

Для в дубля ${\ Displaystyle (х, у)}$${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle u = \ ln {\ sqrt {\ frac {x} {y}}}}$

а также

${\ displaystyle v = {\ sqrt {xy}}}$.

Параметр у является гиперболическим углом с ( х, у) и V представляет собой геометрическое среднее по й и у.

Обратное отображение

${\ displaystyle x = ve ^ {u}, \ quad y = ve ^ {- u}}$.

Функция является непрерывным отображением, но не аналитической функцией. ${\ displaystyle Q \ rightarrow HP}$

• 1 Метрика альтернативного квадранта
• 2 Приложения в физических науках
• 3 Статистические приложения
• 4 Экономические приложения
• 5 История
• 6 Ссылки

Так как HP переносит метрическое пространство структуру полуплоскости модели Пуанкаре в гиперболической геометрии, то взаимно однозначное соответствие приносит эту структуру к Q. Это можно понять, используя понятие гиперболических движений. Так как геодезические в HP являются полуокружности с центрами на границе, геодезические в Q получаются из корреспонденции и оказываются лучи от происхождения или лепестковых образных кривых ухода и повторного ввода координат. И гиперболическое движение HP дается влево-вправо соответствует сдвигу к отображению сжатия применяется к Q. ${\ displaystyle Q \ leftrightarrow HP}$

Поскольку гиперболы в Q соответствуют линиям параллельно границе HP, они орициклы в метрической геометрии Q.

Если рассматривать только евклидовую топологию плоскости и топологию, унаследованную Q, то линия, ограничивающие Q кажется близко к Q. Взгляд из метрического пространства HP показывает, что открытое множество Q имеет только начало в качестве границы при просмотре через соответствие. Действительно, рассмотрим лучи от начала координат в Q, и их изображения, вертикальные лучи от границы R от HP. Любая точка в HP находится на бесконечном расстоянии от точки p у основания перпендикуляра к R, но последовательность точек на этом перпендикуляре может стремиться в направлении p. Соответствующая последовательность в Q стремится по лучу к началу координат. Старая евклидова граница Q больше не актуальна.

Основные физические переменные иногда связаны уравнениями вида k = xy. Например, V = IR ( закон Ома ), P = VI ( электрическая мощность ), PV = k T ( закон идеального газа ) и f λ = v (соотношение длины волны, частоты и скорости в волновой среде). Когда k постоянно, другие переменные лежат на гиперболе, которая является орициклом в соответствующем квадранте Q.

Например, в термодинамике изотермический процесс явно следует гиперболический путь и работа может быть интерпретировано как гиперболическое изменение угла. Точно так же данная масса M газа с изменяющимся объемом будет иметь переменную плотность δ = M / V, и закон идеального газа может быть записан P = k T δ, так что изобарический процесс отслеживает гиперболу в квадранте абсолютной температуры и газа. плотность.

О гиперболических координатах в теории относительности см. Раздел История.

• Сравнительное исследование плотности населения в квадранте начинается с выбора эталонной страны, региона или городского района, население и площадь которых принимаются за точку (1,1).
• Анализ выборного представительства регионов в представительной демократии начинается с выбора стандарта для сравнения: конкретная представленная группа, численность и численность (представителей) которой составляет (1,1) в квадранте.

Есть много естественных приложений гиперболических координат в экономике :

• Анализ колебаний обменного курса :Устанавливается единица валюты. Валюта цены соответствует. Для${\ displaystyle x = 1}$${\ displaystyle y}$ $${\ Displaystyle 0 lt;у lt;1}$$ мы находим положительный гиперболический угол. Для колебания возьмите новую цену${\ displaystyle ugt; 0}$ $${\ displaystyle 0 lt;z lt;y.}$$ Тогда изменение u: $${\ displaystyle \ Delta u = \ ln {\ sqrt {\ frac {y} {z}}}.}$$ Количественная оценка колебаний обменного курса через гиперболический угол обеспечивает объективную, симметричную и последовательную меру. Величина - это длина сдвига влево-вправо в представлении гиперболического движения колебания валюты.${\ displaystyle \ Delta u}$
• Анализ инфляции или дефляции цен на корзину потребительских товаров.
• Количественная оценка изменения доли рынка в дуополии.
• Разделение корпоративных акций против обратного выкупа акций.

Среднее геометрическое древнее понятие, но гиперболический угол был разработан в этой конфигурации по Грегуар де Сен-Венсан. Он пытался выполнить квадратуру относительно прямоугольной гиперболы y = 1 / x. Эта проблема оставалась открытой, поскольку Архимед выполнил квадратуру параболы. Кривая проходит через (1,1), где она находится напротив начала координат (математика) в единичном квадрате. Остальные точки кривой можно рассматривать как прямоугольники, имеющие такую ​​же площадь, как этот квадрат. Такой прямоугольник может быть получен путем применения сопоставления сжатия к квадрату. Другой способ просмотра этих отображений - через гиперболические сектора. Начиная с (1,1), гиперболический сектор единичной площади заканчивается в точке (e, 1 / e), где e равно 2,71828…, в соответствии с разработкой Леонарда Эйлера во « Введении в анализ бесконечности» (1748 г.).

Принимая (е, 1 / е) в качестве вершины прямоугольника единичной площади, и применяя снова выжимку, который сделал его от единичного квадрата, выходы В общем случае п выжимает урожайность AA де Sarasa отметил аналогичное наблюдение Г. де Сент - Винсент, что по мере увеличения абсцисс в геометрическом ряду сумма площадей относительно гиперболы увеличивалась в арифметических рядах, и это свойство соответствовало логарифму, уже используемому для сведения умножений к сложениям. Благодаря работе Эйлера натуральный логарифм стал стандартным математическим инструментом и поднял математику до уровня трансцендентных функций. Гиперболические координаты сформированы на исходной картине Ж. де Сен-Винсента, которая предоставила квадратуру гиперболы и вышла за пределы алгебраических функций. ${\ displaystyle (e ^ {2}, \ e ^ {- 2}).}$${\ displaystyle (e ^ {n}, \ e ^ {- n}).}$

В специальной теории относительности основное внимание уделяется трехмерной гиперповерхности будущего пространства-времени, где различные скорости прибывают через заданное собственное время. Скотт Вальтер объясняет, что в ноябре 1907 года Герман Минковский ссылался на хорошо известную трехмерную гиперболическую геометрию, выступая в Геттингенском математическом обществе, но не на четырехмерную. В честь Вольфганга Риндлера, автора стандартного вводного учебника по теории относительности университетского уровня, гиперболические координаты пространства-времени называются координатами Риндлера.

1. ↑ Уолтер (1999), стр.6
2. ↑ Уолтер (1999), стр.

• Дэвид Бетунес (2001) Дифференциальные уравнения: теория и приложения, стр. 254, Springer-TELOS, ISBN   0-387-95140-7.
• Скотт Вальтер (1999). «Неевклидов стиль теории относительности Минковского». Глава 4 в: Джереми Дж. Грей (редактор), Символическая Вселенная: геометрия и физика 1890-1930, стр. 91–127. Издательство Оксфордского университета. ISBN   0-19-850088-2.