Спектр кольца

редактировать

Набор основных идеалов кольца

В алгебре и алгебраической geometry, спектр коммутативного кольца R, обозначаемый $Spec ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$ $\ operatorname {Spec} (R)$ , является набором всех простых идеалов кольца R. Обычно его дополняют топологией Зарисского и структурой связкой, превращая ее в пространство с локальным кольцом. Локально окольцованное пространство такой формы называется аффинной схемой .

Содержание

1 Топология Зарисского
2 Пучки и схемы
3 Функциональная перспектива
4 Мотивация из алгебраической геометрии
5 Примеры
6 Неаффинные примеры
7 Топологии не-Зарисского на простом спектре
8 Глобальная или относительная спецификация
- 8.1 Пример относительной спецификации
9 Перспектива теории представлений
10 Функциональная перспектива анализа
11 Обобщения
12 См. также
13 Ссылки
14 Внешние ссылки

Топология Зарисского

Для любого идеального I R определите $VI {\ displaystyle V_ {I}}$ $V_ {I}$ как набор простых идеалов, содержащий I. Мы можем поместить топологию на $Spec ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} ( R)}$ $\ operatorname {Spec} (R)$ путем определения коллекции замкнутых множеств как

{VI: I - идеал R}. {\ displaystyle \ {V_ {I} \ двоеточие I {\ text {является идеалом}} R \}.}

\ {V_ {I} \ двоеточие I {\ text {является идеалом}} R \}.

Эта топология называется топологией Зарисского.

A базисом для Зарисского топологию можно построить следующим образом. Для f ∈ R определим D f как множество простых идеалов R, не содержащих f. Тогда каждый D f является открытым подмножеством $Spec ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$ $\ operatorname {Spec} (R)$ и ${D f: f ∈ R} {\ displaystyle \ {D_ {f}: f \ in R \}}$ $\ {D_ {f}: f \ in R \}$ является основой топологии Зарисского.

$Spec ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$ $\ operatorname {Spec} (R)$ - это компактное пространство, но почти никогда Hausdorff : фактически, максимальные идеалы в R являются в точности замкнутыми точками в этой топологии. По той же причине это, как правило, не T1пробел. Однако $Spec ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$ $\ operatorname {Spec} (R)$ всегда является пространством Колмогорова (удовлетворяет T 0 аксиома); это также спектральное пространство.

Пучки и схемы

Учитывая пространство $X = Spec ⁡ (R) {\ displaystyle X = \ operatorname {Spec} (R)}$ $X = \ operatorname {Spec} (R)$ с топологией Зарисского, структурный пучок OXопределяется на выделенных открытых подмножествах D f путем задания Γ (D f, O X) = R f, локализация R по степеням f. Можно показать, что это определяет B-связку и, следовательно, что она определяет связку. Более подробно, выделенные открытые подмножества являются базисом топологии Зарисского, поэтому для произвольного открытого множества U, записанного как объединение {D fi}i∈I, мы полагаем Γ (U, O X) = lim i∈I Rfi. Можно проверить, что этот предварительный пучок является пучком, поэтому $Spec ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$ $\ operatorname {Spec} (R)$ является окольцованным пространством. Любое окольцованное пространство, изоморфное одной из этих форм, называется аффинной схемой . Общие схемы получаются путем склеивания аффинных схем.

Аналогично, для модуля M над кольцом R мы можем определить пучок $M ~ {\ displaystyle {\ tilde {M}}}$ ${\ tilde {M}}$ на $Spec ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$ $\ operatorname {Spec} (R)$ . На выделенных открытых подмножествах множество Γ (D f, $M ~ {\ displaystyle {\ tilde {M}}}$ ${\ tilde {M}}$ ) = M f, используя локализацию модуль. Как и выше, эта конструкция распространяется на предпучок на всех открытых подмножествах $Spec ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$ $\ operatorname {Spec} (R)$ и удовлетворяет аксиомам склеивания. Связка такой формы называется квазикогерентной связкой.

. Если P - точка в $Spec ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$ $\ operatorname {Spec} (R)$ , то является простым идеалом, то стержень структурного пучка в P равен локализации кольца R в идеале P, и это локальное кольцо. Следовательно, $Spec ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$ $\ operatorname {Spec} (R)$ является локально окруженным пространством.

Если R - область целостности с полем дробей K, то мы можем описать кольцо Γ (U, O X) более конкретно следующим образом. Мы говорим, что элемент f в K является регулярным в точке P в X, если его можно представить в виде дроби f = a / b, где b не входит в P. Обратите внимание, что это согласуется с понятием регулярной функции в алгебраической геометрии. Используя это определение, мы можем описать Γ (U, O X) как в точности набор элементов K, регулярных в каждой точке P в U.

Функториальная перспектива

Полезно использовать язык теории категорий и заметить, что $Spec {\ displaystyle \ operatorname {Spec}}$ $\ operatorname {Spec}$ является функтором. Каждый кольцевой гомоморфизм $f: R → S {\ displaystyle f: R \ to S}$ $f: R \ to S$ индуцирует непрерывное отображение $Spec ⁡ (f): Spec ⁡ (S) → Spec ⁡ (R) {\ displaystyle \ Operatorname {Spec} (f): \ operatorname {Spec} (S) \ to \ operatorname {Spec} (R)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} ( f): \ operatorname {Spec} (S) \ to \ operatorname {Spec} (R)}$ (поскольку прообраз любого простого идеала в $S {\ displaystyle S}$ $S$ является простым идеалом в $R {\ displaystyle R}$ $R$ ). Таким образом, $Spec {\ displaystyle \ operatorname {Spec}}$ $\ operatorname {Spec}$ можно рассматривать как контравариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию топологических пространств. Более того, для любого простого числа $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ гомоморфизм $f {\ displaystyle f}$ $f$ спускается до гомоморфизмов

O е - 1 (р) → О п {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {f ^ {- 1} ({\ mathfrak {p}})} \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathfrak {p}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ { f ^ {- 1} ({\ mathfrak {p}})} \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathfrak {p}}}

локальных колец. Таким образом, $Spec {\ displaystyle \ operatorname {Spec}}$ $\ operatorname {Spec}$ даже определяет контравариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию локально окольцованных пространств. Фактически, это универсальный такой функтор, поэтому его можно использовать для определения функтора $Spec {\ displaystyle \ operatorname {Spec}}$ $\ operatorname {Spec}$ с точностью до естественного изоморфизма.

Функтор $Spec {\ displaystyle \ operatorname {Spec}}$ $\ operatorname {Spec}$ дает контравариантную эквивалентность между категорией коммутативных колец и категорией аффинных схем ; каждая из этих категорий часто рассматривается как противоположная категория другой.

Мотивация из алгебраической геометрии

Следуя примеру, в алгебраической геометрии изучаются алгебраические множества, то есть подмножества K (где K - алгебраически замкнутый field ), которые определены как общие нули набора полиномов от n переменных. Если A - такое алгебраическое множество, то рассматривается коммутативное кольцо R всех полиномиальных функций A → K. Максимальные идеалы R соответствуют точкам A (поскольку K алгебраически замкнуто), а простые идеалы R соответствуют подмногообразия A (алгебраическое множество называется неприводимым или многообразием, если его нельзя записать как объединение двух собственных алгебраических подмножеств).

Таким образом, спектр R состоит из точек A вместе с элементами для всех подмногообразий A. Точки A замкнуты в спектре, в то время как элементы, соответствующие подмногообразиям, имеют замыкание, состоящее из всех их точек и подмногообразия. Если рассматривать только точки A, то есть максимальные идеалы в R, то определенная выше топология Зарисского совпадает с топологией Зарисского, определенной на алгебраических множествах (которая имеет в точности алгебраические подмножества как замкнутые множества). В частности, максимальные идеалы в R, то есть $MaxSpec ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {MaxSpec} (R)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {MaxSpec} (R)}$ вместе с топологией Зарисского, гомеоморфны A также с топологией Зарисского топология.

Таким образом, можно рассматривать топологическое пространство $Spec ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$ $\ operatorname {Spec} (R)$ как «обогащение» топологического пространства A ( с топологией Зарисского): для каждого подмногообразия в A введена одна дополнительная незамкнутая точка, которая «отслеживает» соответствующее подмногообразие. Эту точку воспринимают как общую точку для подмножества. Кроме того, связка на $Spec ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$ $\ operatorname {Spec} (R)$ и связка полиномиальных функций на A по существу идентичны. Изучая спектры колец многочленов вместо алгебраических множеств с топологией Зарисского, можно обобщить понятия алгебраической геометрии на неалгебраически замкнутые поля и не только, в конечном итоге придя к языку схем.

Примеры

Аффинные схема $Spec ⁡ (Z) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {Z})}$ - последний объект в категории аффинных схем, поскольку $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ - начальный объект в категории коммутативных колец.
Аффинная схема $AC n = Spec ⁡ (C [x 1,…, xn]) {\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {n} = \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}])}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {n} = \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}])}$ является теоретико-схемным аналогом $C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ {n}$ . С точки зрения функтора точек, точка $(α 1,…, α n) ∈ C n {\ displaystyle (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}) \ in \ mathbb { C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}) \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$ можно отождествить с оценочным морфизмом $C [x 1,…, xn] → ev (α 1,…, α n) C {\ displaystyle \ mathbb { C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] {\ xrightarrow {ev _ {(\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}}} \ mathbb {C}}$ $\mathbb {C} [x_{1},\ldots,x_{n}]{\xrightarrow {ev_{(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})}}}\mathbb {C}$ . Это фундаментальное наблюдение позволяет нам придать смысл другим аффинным схемам.
$Spec ⁡ (C [x, y] / (xy)) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [x, y] / (xy))}$ $\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))$ топологически выглядит как поперечное пересечение двух сложных плоскостей в точке, хотя обычно это изображается как $+ {\ displaystyle +}$ $+$ , поскольку только четко определенные морфизмы к $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\mathbb {C}$ - это оценочные морфизмы, связанные с точками ${(α 1, 0), (0, α 2): α 1, α 2 ∈ C} {\ displaystyle \ {(\ alpha _ {1}, 0), (0, \ alpha _ {2}): \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2} \ in \ mathbb {C} \}}$ ${\ displaystyle \ {(\ alpha _ {1}, 0), (0, \ alpha _ {2}): \ alpha _ { 1}, \ альфа _ {2} \ in \ mathbb {C} \}}$ .
Простой спектр булевого кольца (например, кольца с множеством степеней ) - это (Хаусдорфа) компактное пространство.
(М. Хохстер) Топологическое пространство гомеоморфно простому спектру коммутативного кольца (т. Е. спектральному пространству ) тогда и только тогда, когда оно квазикомпактно и трезво.

Не -affine examples

Вот несколько примеров схем, не являющихся аффинными схемами. Они построены из склеивания аффинных схем.

Проективное $n {\ displaystyle n}$ $n$ -Space $P kn = Proj ⁡ k [x 0,…, xn] {\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k } ^ {n} = \ operatorname {Proj} k [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$ $\mathbb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj} k[x_{0},\ldots,x_{n}]$ над полем $k {\ displaystyle k}$ $k$ . Это может быть легко обобщено на любое базовое кольцо, см. Конструкция Proj (фактически, мы можем определить проективное пространство для любой базовой схемы). Проективное $n {\ displaystyle n}$ $n$ -пространство для $n ≥ 1 {\ displaystyle n \ geq 1}$ $n \ geq 1$ не является аффинным как глобальный раздел $P kn {\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$ ${\ mathbb {P}} _ {k} ^ {n}$ равно $k {\ displaystyle k}$ $k$ .
Аффинная плоскость за вычетом начала координат. Внутри $A k 2 = Spec k [x, y] {\ displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {2} = \ operatorname {Spec} \, k [x, y]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {2} = \ operatorname {Spec} \, k [x, y]}$ выделяются открытые аффинные подсхемы $D x, D y {\ displaystyle D_ {x}, D_ {y}}$ $D_{x},D_{y}$ . Их объединение $D x ∪ D y = U {\ displaystyle D_ {x} \ cup D_ {y} = U}$ ${\ displaystyle D_ {x} \ cup D_ {y} = U}$ - это аффинная плоскость с удаленной точкой отсчета. Глобальные разделы $U {\ displaystyle U}$ $U$ представляют собой пары многочленов от $D x, D y {\ displaystyle D_ {x}, D_ {y}}$ $D_{x},D_{y}$ , которые ограничиваются одним и тем же многочленом на $D xy {\ displaystyle D_ {xy}}$ ${\ displaystyle D_ {xy}}$ , который может быть показан как $k [x, y] {\ displaystyle k [x, y]}$ ${\ displaystyle k [x, y]}$ , глобальный раздел $A k 2 {\ displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {2}}$ . $U {\ displaystyle U}$ $U$ не является аффинным, поскольку $V (x) ∩ V (y) = ∅ {\ displaystyle V _ {(x)} \ cap V _ {(y)} = \ varnothing}$ ${\ displaystyle V _ {(x)} \ cap V _ {(y)} = \ varnothing}$ in $U {\ displaystyle U}$ $U$ .

Топологии не-Зарисского на простом спектре

Некоторые авторы (в частности, М. Хохстер) рассматривают топологии на простых спектрах, отличные от топологии Зарисского.

Во-первых, существует понятие конструируемой топологии : для кольца A подмножества $Spec ⁡ (A) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (A)}$ $\ operatorname {Spec} (A)$ формы $φ ∗ (Spec ⁡ B), φ: A → B {\ displaystyle \ varphi ^ {*} (\ operatorname {Spec} B), \ varphi: A \ to B }$ ${\ displaystyle \ varphi ^ {*} (\ operatorname {Spec} B), \ varphi: A \ to B}$ удовлетворяют аксиомам замкнутых множеств в топологическом пространстве. Эта топология на $Spec ⁡ (A) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (A)}$ $\ operatorname {Spec} (A)$ называется конструируемой топологией.

В (Hochster 1969) harv error: no target: CITEREFHochster1969 (help ), Хохстер рассматривает то, что он называет патч-топологией на основном спектре. По определению, патч-топология - это наименьшая топология, в которой наборы форм $V (I) {\ displaystyle V (I)}$ ${\ displaystyle V (I)}$ и $Spec ⁡ (A) - V ( е) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (A) -V (f)}$ $\operatorname {Spec} (A)-V(f)$ закрыты.

Глобальная или относительная спецификация

Существует относительная версия функтора $Spec {\ displaystyle \ operatorname {Spec}}$ $\ operatorname {Spec}$ , называемая глобальной $Spec { \ displaystyle \ operatorname {Spec}}$ $\ operatorname {Spec}$ или относительный $Spec {\ displaystyle \ operatorname {Spec}}$ $\ operatorname {Spec}$ . Если $S {\ displaystyle S}$ $S$ - схема, то относительный $Spec {\ displaystyle \ operatorname {Spec}}$ $\ operatorname {Spec}$ обозначается $Spec _ S {\ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {S}}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {S}}$ или $S pec S {\ displaystyle \ mathbf {Spec} _ {S}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Spec} _ {S}}$ . Если $S {\ displaystyle S}$ $S$ ясно из контекста, тогда относительная спецификация может быть обозначена как $Spec _ {\ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}}}$ ${\ displaystyle { \ underline {\ operatorname {Spec}}}}$ или $S pec {\ displaystyle \ mathbf {Spec}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Spec}}$ . Для схемы $S {\ displaystyle S}$ $S$ и квазикогерентной связки $OS {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ { S}}$ ${\ mathcal {O}} _ {S}$ -алгебры $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ , есть схема $Spec _ S (A) { \ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {S} ({\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {S} ({\ mathcal {A}})}$ и морфизм $f: Spec _ S (A) → S { \ displaystyle f: {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {S} ({\ mathcal {A}}) \ to S}$ ${\ displaystyle f: {\ underline {\ имя оператора {Spec}}} _ {S} ({\ mathcal {A}}) \ to S}$ такой, что для каждого открытого аффинного $U ⊆ S {\ displaystyle U \ substeq S}$ ${\ displaystyle U \ substeq S}$ , существует изоморфизм $f - 1 (U) ≅ Spec ⁡ (A (U)) {\ displaystyle f ^ {- 1} (U) \ cong \ operatorname {Spec} ({\ mathcal {A}} (U))}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (U) \ cong \ operatorname {Spec} ({\ mathcal {A}} (U))}$ , и такое, что для открытых аффинных слов $V ⊆ U {\ displaystyle V \ substeq U}$ ${\ displaystyle V \ substeq U}$ , включение $f - 1 (V) → f - 1 (U) {\ displaystyle f ^ {- 1} (V) \ to f ^ {- 1} (U)}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (V) \ к f ^ {- 1} (U)}$ индуцируется ограничительным отображением $A (U) → A (V) {\ displaystyle {\ mathcal {A}} (U) \ to {\ mathcal {A}} (V)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} (U) \ to {\ mathcal {A}} (V)}$ . То есть, поскольку гомоморфизмы колец индуцируют противоположные отображения спектров, отображения ограничения пучка алгебр индуцируют отображения включения спектров, которые составляют Spec пучка.

Global Spec обладает универсальным свойством, аналогичным универсальному свойству для обычных Spec. Точнее, точно так же, как Spec и глобальный функтор секций являются контравариантными правыми сопряжениями между категорией коммутативных колец и схем, глобальный Spec и функтор прямого изображения для структурного отображения являются контравариантными правыми сопряжениями между категорией коммутативных $OS {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {S}}$ ${\ mathcal {O}} _ {S}$ -алгебры и схемы на основе $S {\ displaystyle S}$ $S$ . В формулах

Hom OS -alg ⁡ (A, π ∗ OX) ≅ Hom Sch / S ⁡ (X, S pec (A)), {\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {{\ mathcal {O} } _ {S} {\ text {-alg}}} ({\ mathcal {A}}, \ pi _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}) \ cong \ operatorname {Hom} _ { {\ text {Sch}} / S} (X, \ mathbf {Spec} ({\ mathcal {A}})),}

{\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {{\ mathcal {O}} _ {S} {\ text {-alg}}} ({\ mathcal {A}}, \ pi _ {*} {\ mathcal { O}} _ {X}) \ cong \ operatorname {Hom} _ {{\ text {Sch}} / S} (X, \ mathbf {Spec} ({\ mathcal {A}})),}

где $π: X → S {\ displaystyle \ pi \ двоеточие X \ to S}$ ${\ displaystyle \ pi \ двоеточие X \ to S}$ - это морфизм схем.

Пример относительной спецификации

Относительная спецификация - это правильный инструмент для параметризации семейства линий через начало координат $AC 2 {\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {2}}$ больше $X = P a, b 1. {\ displaystyle X = \ mathbb {P} _ {a, b} ^ {1}.}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {P} _ {a, b} ^ {1}.}$ Рассмотрим связку алгебр $A = OX [x, y], {\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {O}} _ {X} [x, y],}$ ${\ displaystyle {\ mathcal { A}} = {\ mathcal {O}} _ {X} [x, y],}$ и пусть $I = (ay - bx) {\ displaystyle {\ mathcal {I }} = (ay-bx)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} = (ay-bx)}$ - пучок идеалов $A. {\ displaystyle {\ mathcal {A}}.}$ ${\mathcal {A}}.$ Тогда относительная спецификация $Spec _ X (A / I) → P a, b 1 {\ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec }}} _ {X} ({\ mathcal {A}} / {\ mathcal {I}}) \ to \ mathbb {P} _ {a, b} ^ {1}}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {X} ({\ mathcal {A}} / {\ mathcal {I}}) \ to \ mathbb {P} _ {a, b} ^ {1}}$ параметризует желанная семья. Фактически, волокно над $[α: β] {\ displaystyle [\ alpha: \ beta]}$ ${ \ displaystyle [\ alpha: \ beta]}$ - это линия, проходящая через начало координат $A 2 {\ displaystyle \ mathbb {A } ^ {2}}$ ${\ mathbb {A}} ^ {2}$ , содержащий точку $(α, β). {\ displaystyle (\ alpha, \ beta).}$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta).}$ Предполагая $α ≠ 0, {\ displaystyle \ alpha \ neq 0,}$ $\alpha \neq 0,$ волокно можно вычислить, посмотрев на композиция обратных диаграмм

Spec ⁡ (C [x, y] (y - β α x)) → Spec ⁡ (C [ba] [x, y] (y - bax)) → Spec _ X (OX [x, y] (ay - bx)) ↓ ↓ ↓ Spec ⁡ (C) → Spec ⁡ (C [ba]) = U a → P a, b 1 {\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Spec } \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {\ left (y - {\ frac {\ beta} {\ alpha}} x \ right)}} \ right) \ to \ operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} \ left [{\ frac {b} {a}} \ right] [x, y]} {\ left (y - {\ frac {b } {a}} x \ right)}} \ right) \ to {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {X} \ left ({\ frac {{\ mathcal {O}} _ {X } [x, y]} {\ left (ay-bx \ right)}} \ right) \\\ downarrow \ downarrow \ downarrow \\\ operatorname {Spec} (\ mathbb {C}) \ to \ operatorname {Spec} \ left (\ mathbb {C} \ left [{\ frac {b} {a}} \ right] \ right) = U_ {a} \ to \ mathbb {P} _ {a, b} ^ {1} \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {\ left (y - {\ frac {\ beta} {\ alpha}} x \ right)}} \ right) \ to \ operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} \ left [{\ frac {b} {a}} \ right] [ x, y]} {\ left (y - {\ frac {b} {a}} x \ right)}} \ right) \ to {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {X} \ left ({\ frac {{\ mathcal {O}} _ {X} [x, y]} {\ left (ay-bx \ right)}} \ right) \\\ downarrow \ downarrow \ downarrow \\ \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C}) \ to \ operatorname {Spec} \ left (\ mathbb {C} \ left [{\ frac {b} {a}} \ right] \ right) = U_ {a} \ to \ mathbb {P} _ {a, b} ^ {1} \ end {matrix}}}

где композиция нижних стрелок

Спецификация ⁡ (C) → [α: β] п a, b 1 {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C}) {\ xrightarrow {[\ alpha: \ beta]}} \ mathbb { P} _ {a, b} ^ {1}}

{\ displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C}) {\ xrightarrow {[\ alpha: \ beta]}} \ mathbb {P} _ {a, b} ^ {1}}

дает строку, содержащую точку $(α, β) {\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ $(\ альфа, \ бета)$ и начало координат. Этот пример можно обобщить для параметризации семейства линий через начало координат $AC n + 1 {\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {n + 1}}$ более $X = P a 0,..., ann {\ displaystyle X = \ mathbb {P} _ {a_ {0},..., a_ {n}} ^ {n}}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {P} _ {a_ {0},..., a_ {n}} ^ { n}}$ , позволяя $A = OX [x 0,..., xn] {\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {O}} _ {X} [x_ {0},..., x_ {n}]}$ ${\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x_{ 0},...,x_{n}]$ и $I = (2 × 2 минора (а 0 ⋯ тревога 0 ⋯ xn)). {\ displaystyle {\ mathcal {I}} = \ left (2 \ times 2 {\ text {minors of}} {\ begin {pmatrix} a_ {0} \ cdots a_ {n} \\ x_ {0} \ cdots x_ {n} \ end {pmatrix}} \ right).}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} = \ left (2 \ times 2 {\ text { младшие из}} {\ begin {pmatrix} a_ {0} \ cdots a_ {n} \\ x_ {0} \ cdots x_ {n} \ end {pmatrix}} \ right).}$

Перспектива теории представлений

С точки зрения теории представлений простой идеал I соответствует модулю R / I, и спектр кольца соответствует неприводимым циклическим представлениям R, в то время как более общие подмногообразия соответствуют возможно приводимым представлениям, которые не обязательно должны быть циклическими. Напомним, что абстрактно теория представлений группы - это изучение модулей над ее групповой алгеброй.

Связь с теорией представлений становится более ясной, если рассматривать кольцо многочленов $R = K [x 1,…, xn] {\ displaystyle R = K [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$ $R=K[x_{1},\dots,x_{n}]$ или, без основы, $R = K [V]. {\ displaystyle R = K [V].}$ $R=K[V].$ Как ясно из последней формулировки, кольцо многочленов - это групповая алгебра над векторным пространством и запись в терминах $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ соответствует выбору основы для векторного пространства. Тогда идеал I или, что эквивалентно, модуль $R / I, {\ displaystyle R / I,}$ $R/I,$ является циклическим представлением R (циклическое значение, порожденное 1 элементом как R-модулем; это обобщает одномерные представления).

В случае, если поле алгебраически замкнуто (скажем, комплексные числа), каждый максимальный идеал соответствует точке в n-пространстве по nullstellensatz (максимальный идеал, порожденный $(x 1 - a 1), (x 2 - a 2),…, (xn - an) {\ displaystyle (x_ {1} -a_ {1}), (x_ {2} -a_ {2 }), \ ldots, (x_ {n} -a_ {n})}$ $(x_ {1} -a_ {1}), (x_ {2} -a_ {2}), \ ldots, (x_ {n} -a_ {n})$ соответствует точке $(a 1,…, an) {\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$ $(a_ {1}, \ ldots, a_ {n})$ ). Эти представления $K [V] {\ displaystyle K [V]}$ $K [V]$ затем параметризуются двойным пространством $V ∗, {\ displaystyle V ^ {*},}$ $V ^ {*},$ ковектор, задаваемый путем отправки каждого $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ в соответствующий $ai {\ displaystyle a_ {i}}$ $a_ {i}$ . Таким образом, представление $K n {\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ (K-линейные карты $K n → K {\ displaystyle K ^ {n} \ to K}$ $К ^ {n} \ к К$ ) задается набором из n чисел или, что эквивалентно, ковектором $K n → K. {\ displaystyle K ^ {n} \ to K.}$ $K ^ {n} \ to K.$

Таким образом, точки в n-пространстве, рассматриваемые как максимальная спецификация $R = K [x 1,…, xn], {\ displaystyle R = K [x_ {1}, \ dots, x_ {n}],}$ $R = K [ x_ {1}, \ dots, x_ {n}],$ соответствуют в точности одномерным представлениям R, в то время как конечные наборы точек соответствуют конечномерным представлениям (которые приводимы, геометрически соответствующий тому, чтобы быть объединением, и алгебраически не быть первичным идеалом). Тогда немаксимальные идеалы соответствуют бесконечномерным представлениям.

Перспектива функционального анализа

Термин «спектр» происходит от использования в теории операторов. Учитывая линейный оператор T в конечномерном векторном пространстве V, можно рассматривать векторное пространство с оператором как модуль над кольцом многочленов от одной переменной R = K [T], как в структурной теореме для конечно порожденных модули над основной идеальной областью. Тогда спектр K [T] (как кольца) равен спектру T (как оператора).

Кроме того, геометрическая структура спектра кольца (эквивалентно алгебраическая структура модуля) отражает поведение спектра оператора, такое как алгебраическая кратность и геометрическая кратность. Например, единичная матрица 2 × 2 имеет соответствующий модуль:

K [T] / (T - 1) ⊕ K [T] / (T - 1) {\ displaystyle K [T] / (T-1) \ oplus K [T] / (T-1)}

K [T] / (T-1) \ oplus K [T] / (T-1)

нулевая матрица 2 × 2 имеет модуль

K [T] / (T - 0) ⊕ K [T] / (T - 0), {\ displaystyle K [T] / (T-0) \ oplus K [T] / (T-0),}

K [T] / (T-0) \ oplus K [ T] / (T-0),

с геометрической кратностью 2 для нулевого собственного значения, в то время как нетривиальная нильпотентная матрица 2 × 2 имеет модуль

K [T] / T 2, {\ displaystyle K [T] / T ^ {2},}

K [T] / T ^ {2},

, показывающий алгебраическую кратность 2, но геометрическую кратность 1.

Подробнее:

собственные значения (с геометрической кратностью) оператора соответствуют (приведенным) точкам многообразия с кратностью;
первичное разложение модуля соответствует нередуцированным точкам многообразия;
диагонализуемый (полупростой) оператор соответствует сокращенному разнообразию;
циклический модуль (один генератор) соответствует оператору, имеющему циклический вектор (вектор, орбита которого относительно T sp и пробел);
последний инвариантный множитель модуля равен минимальному многочлену оператора, а произведение инвариантных множителей равно характеристический полином.

Обобщения

Спектр может быть обобщен от колец до C * -алгебр в теории операторов, что дает понятие спектра C * -алгебра. Примечательно, что для хаусдорфова пространства (ограниченные непрерывные функции в пространстве, аналогичные регулярным функциям) являются коммутативной C * -алгеброй, причем пространство восстанавливается как топологическое пространство из $MaxSpec {\ displaystyle \ operatorname {MaxSpec}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {MaxSpec}}$ алгебры скаляров, действительно функториально; это содержание теоремы Банаха – Стоуна. В самом деле, любая коммутативная C * -алгебра может быть реализована таким образом как алгебра скаляров хаусдорфова пространства, обеспечивая такое же соответствие, как между кольцом и его спектром. Обобщение на некоммутативные C * -алгебры дает некоммутативную топологию.

См. Также

Литература

^AV Архангельский, Л. Понтрягин (ред.) Общая топология I (1990) Springer-Verlag ISBN 3-540-18178-4 (см. Пример 21, раздел 2.6.)
^Atiyah Macdonald, гл. 1. Упражнение 23. (iv) harvnb error: no target: CITEREFAtiyahMacdonald (help )
^M. Hochster (1969). Простая идеальная структура в коммутативных кольцах. Trans. Amer. Math. Soc., 142 43-60
^Р. Вакил, Основы алгебраической геометрии (см. Главу 4, пример 4.4.1)
^Атийха – Макдональд, глава 5, упражнение 27. harvnb error: no target: CITEREFAtiyha – Macdonald (help )
^Таризаде, Абольфазл (2018-04-11). «Плоская топология и ее аспекты двойственности». arXiv : 1503.04299 [math.AC ].
^http://mat.uab.cat/~kock/cat/spec.pdf
^М. Фонтана и К. А. Лопер, Топология заплат и топология ультрафильтров на простом спектре коммутативного кольца, Comm. Algebra 36 (2008 г.)), 2917–2922.
^Вилли Брандал, Коммутативные кольца, конечные порожденные модули которых разлагаются

Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру. Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.
Кокс, Дэвид ; О'Ши, Донал; Литтл, Джон (1997), Id. eals, Variversity, and Algorithms, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94680-1
Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (2000), геометрия схем, Graduate Texts in Mathematics, 197, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98637-1, MR 1730819
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer -Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157

Внешние ссылки

Кевин Р. Кумбс: Спектр кольца
http://stacks.math.columbia.edu/tag/01LL, относительная спецификация
Майлз Рид. "Коммутативная алгебра для студентов" (PDF). п. 22. Архивировано из оригинального (PDF) 14 апреля 2016 года.