Теорема Банаха – Стоуна

В математике используется теорема Банаха – Стоуна - классический результат теории непрерывных функций на топологических пространствах, названный в честь математиков Стефана Банаха и Маршалл Стоун.

Вкратце, теорема Банаха – Стоуна позволяет восстановить компактное хаусдорфово пространство из алгебры скаляров (ограниченных непрерывных функций на пространстве). Выражаясь современным языком, это коммутативный случай спектра C * -алгебры, и теорему Банаха – Стоуна можно рассматривать как аналог функционального анализа связи между кольцом R и спектр кольца Spec (R) в алгебраической геометрии.

• 1 Утверждение
• 2 Обобщения
• 3 См. также
• 4 Ссылки

Для топологического пространства X пусть C b (X; R ) обозначает нормированное векторное пространство непрерывного вещественного, ограниченные функции f: X → R, снабженные нормой супремума ‖ · ‖ ∞. Это алгебра, называемая алгеброй скаляров поточечного умножения функций. Для компактного пространства X, C b (X; R ) совпадает с C (X; R ), пространство всех непрерывных функций f: X → R . Алгебра скаляров является аналогом функционального анализа кольца регулярных функций в алгебраической геометрии, где обозначено $OX\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\}$.

Пусть X и Y будут компактными, пространствами Хаусдорфа и пусть T: C (X; R ) → C (Y; R ) будет предметная область линейная изометрия. Тогда существует гомеоморфизм φ: Y → X и g ∈ C (Y; R ) с

$|\; г\; (у)\; |\; =\; 1\; для\; всех\; y\; \in \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; g\; (y)\; |\; =\; 1\; \{\backslash \; t\_dv\; \{для\; всех\}\}\; y\; \backslash \; in\; Y\}$

и

$(T\; f)\; (y)\; =\; g\; (y)\; f\; (\phi \; (y))\; для\; всех\; y\; \in \; Y,\; f\; \in \; C\; (X;\; R).\; \{\backslash \; displaystyle\; (Tf)\; (y)\; =\; g\; (y)\; f\; (\backslash \; varphi\; (y))\; \{\backslash \; t\_dv\; \{для\; всех\}\}\; y\; \backslash \; in\; Y,\; f\; \backslash \; in\; C\; (X;\; \backslash \; mathbf\; \{R\}).\}$

Случай, когда X и Y - компактные метрические пространства, принадлежит Банаху, а расширение на компактные хаусдорфовы пространства принадлежит Стоуну. Фактически, они оба доказывают небольшое обобщение - они не предполагают, что T линейна, а только что это изометрия в смысле метрических пространств, и используют теорему Мазура – ​​Улама, чтобы показать, что T аффинно, и поэтому $T\; -\; T\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; TT\; (0)\}$является линейной изометрией.

Теорема Банаха – Стоуна имеет некоторые обобщения для векторнозначных непрерывных функций на компактных хаусдорфовых топологических пространствах. Например, если E является банаховым пространством с тривиальным централизатором, а X и Y компактны, то любая линейная изометрия C (X; E) на C (Y; E) является а.

Более того, теорема Банаха – Стоуна предлагает философию, согласно которой можно без потерь заменить пространство (геометрическое понятие) алгеброй. В противоположность этому, это предполагает, что можно рассматривать алгебраические объекты, даже если они не происходят от геометрического объекта, как своего рода «алгебру скаляров». В этом ключе любая коммутативная C * -алгебра является алгеброй скаляров на хаусдорфовом пространстве. Таким образом, можно рассматривать некоммутативные C * -алгебры (или, скорее, их Spec) как некоммутативные пространства. Это основа области некоммутативной геометрии.

• Банахово пространство - полное нормированное векторное пространство

• Араухо, Хесус (2006). «Некомпактная теорема Банаха – Стоуна». Журнал теории операторов. 55 (2): 285–294. ISSN 0379-4024. MR 2242851.* Банах, Стефан (1932). Теория линейных операций [Теория линейных операций] (PDF). Monografie Matematyczne (на французском языке). 1 . Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901. Архивировано из оригинального (PDF) 11 января 2014 г. Проверено 11 июля 2020 г.