Специальная линейная группа

редактировать

В математике, специальная линейная группа SL (n, F) степени n над полем F представляет собой набор матриц размером n × n с определитель 1, с групповыми операциями обычного умножения матриц и обращения матриц. Это нормальная подгруппа из общей линейной группы, заданная ядром детерминанта

det: GL ⁡ (n, F) → F ×. {\ displaystyle \ det \ двоеточие \ operatorname {GL} (n, F) \ to F ^ {\ times}.}

\ det \ двоеточие \ operatorn ame {GL} (n, F) \ к F ^ \ times.

где мы пишем F для мультипликативной группы из F (то есть F без 0).

Эти элементы являются «особенными» в том смысле, что они образуют подмногообразие общей линейной группы - они удовлетворяют полиномиальному уравнению (поскольку определитель полиномиален по элементам).

Содержание

1 Геометрическая интерпретация
2 Подгруппа Ли
3 Топология
4 Отношения с другими подгруппами GL (n, A)
5 Генераторы и отношения
6 SL (n, F)
7 Структура GL (n, F)
8 См. Также
9 Ссылки

Геометрическая интерпретация

Специальная линейная группа SL (n, R ) можно охарактеризовать как группу объема и ориентации, сохраняющую линейные преобразования R ; это соответствует интерпретации детерминанта как измерения изменения объема и ориентации.

Подгруппа Ли

Когда F равно R или C, SL (n, F) является подгруппой Ли из GL (n, F) размерности n - 1. Алгебра Ли $sl (n, F) {\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (n, F)}$ $\ mathfrak {sl} (n, F)$ группы SL (n, F) состоит из всех матриц размера n × n над F с исчезающим следом . Скобка Ли задается коммутатором .

Топология

Любая обратимая матрица может быть однозначно представлена в соответствии с полярным разложением как произведение унитарная матрица и эрмитова матрица с положительными собственными значениями. Детерминант унитарной матрицы находится на единичной окружности, в то время как детерминант эрмитовой матрицы действительный и положительный, и поскольку в случае матрицы из специальной линейной группы произведение этих два определителя должны быть 1, тогда каждый из них должен быть 1. Следовательно, специальная линейная матрица может быть записана как произведение специальной унитарной матрицы (или специальной ортогональной матрицы в в реальном случае) и положительно определенной эрмитовой матрицей (или симметричной матрицей в реальном случае) с определителем 1.

Таким образом, топология группы SL (n, C ) - это произведение топологии SU (n) и топологии группы эрмитовых матриц единичного определителя с положительными собственными значениями. Эрмитова матрица с единичным определителем и положительными собственными значениями может быть однозначно выражена как экспоненциальная эрмитовой матрицы без следа, и, следовательно, топология этой матрицы имеет вид (n - 1) - мерное евклидово пространство. Поскольку SU (n) является односвязным, мы заключаем, что SL (n, C ) также односвязен для всех n.

Топология SL (n, R ) является произведением топологии SO (n) и топологии группы симметричных матриц с положительными собственными значениями и определитель единицы. Поскольку последние матрицы могут быть однозначно выражены как экспонента симметричных матриц без следов, то последняя топология является топологией (n + 2) (n - 1) / 2-мерного евклидова пространства. Таким образом, группа SL (n, R ) имеет ту же фундаментальную группу, что и SO (n), то есть Z для n = 2 и Z2для n>2. В частности, это означает, что SL (n, R ), в отличие от SL (n, C ), не является односвязным, если n больше 1.

Отношения с другими подгруппами GL (n, A)

Две связанные подгруппы, которые в некоторых случаях совпадают с SL, а в других случаях случайно объединяются с SL, являются коммутаторной подгруппой группы GL, и группа, созданная трансвекциями. Обе эти подгруппы в SL (детерминант трансвекций равен 1, а det является отображением в абелеву группу, поэтому [GL, GL] ≤ SL), но в общем случае не совпадают с ней.

Группа, генерируемая трансвекциями, обозначается E (n, A) (для элементарных матриц ) или TV (n, A). Согласно второму соотношению Стейнберга, при n ≥ 3 трансвекции являются коммутаторами, поэтому при n ≥ 3 E (n, A) ≤ [GL (n, A), GL (n, A)].

Для n = 2 трансвекции не обязательно должны быть коммутаторами (матриц 2 × 2), как видно, например, когда A равно F2, поле из двух элементов, затем

Alt ⁡ (3) ≅ [GL ⁡ (2, F 2), GL ⁡ (2, F 2)] < E ⁡ ( 2, F 2) = SL ⁡ ( 2, F 2) = GL ⁡ ( 2, F 2) ≅ Sym ⁡ ( 3), {\displaystyle \operatorname {Alt} (3)\cong [\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2}),\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2})]<\operatorname {E} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {SL} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3),}

\ operatorname {Alt} (3) \ cong [\ operatorname {GL} (2, \ mathbf {F} _2), \ operatorname {GL} (2, \ mathbf {F} _2)] <\ operatorname {E} (2, \ mathbf {F} _2) = \ operatorname {SL} (2, \ mathbf {F} _2) = \ operatorname {GL} (2, \ mathbf {F} _2) \ cong \ operatorname {Sym} (3),

где Alt (3) и Sym (3) обозначают чередующийся соответственно. симметричная группа из 3 букв.

Однако, если A - поле с более чем 2 элементами, то E (2, A) = [GL (2, A), GL (2, A)], и если A - поле с более 3 элементов, E (2, A) = [SL (2, A), SL (2, A)].

В некоторых случаях они совпадают: специальная линейная группа над полем или Евклидова область генерируется трансвекциями, а стабильная специальная линейная группа над дедекиндовской областью генерируется трансвекциями. Для более общих колец стабильная разница измеряется специальной группой Уайтхеда SK1(A): = SL (A) / E (A), где SL (A) и E (A) - это стабильные группы специальной линейной группы и элементарные матрицы.

Генераторы и отношения

При работе в кольце, где SL генерируется с помощью трансвекций (например, поля или евклидова домена ), можно дать представление SL, используя трансвекции с некоторыми отношениями. Трансвекции удовлетворяют соотношениям Стейнберга, но этого недостаточно: результирующая группа - это группа Стейнберга, которая не является специальной линейной группой, а скорее универсальным центральным расширением коммутаторной подгруппы GL.

Достаточный набор отношений для SL (n, Z ) для n ≥ 3 дается двумя отношениями Стейнберга плюс третьим соотношением (Conder, Robertson Williams 1992, с. 19). Пусть T ij : = e ij (1) будет элементарной матрицей с единицами на диагонали и в позиции ij и нулями в другом месте (и i ≠ j). Тогда

[T ij, T jk] = T ik для i ≠ k [T ij, T k ℓ] = 1 для i ≠ ℓ, j ≠ k (T 12 T 21 - 1 T 12) 4 = 1 { \ displaystyle {\ begin {align} \ left [T_ {ij}, T_ {jk} \ right] = T_ {ik} {\ text {for}} i \ neq k \\ [4pt] \ left [T_ {ij}, T_ {k \ ell} \ right] = \ mathbf {1} {\ text {for}} i \ neq \ ell, j \ neq k \\ [4pt] (T_ {12} T_ { 21} ^ {- 1} T_ {12}) ^ {4} = \ mathbf {1} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left [T_ {ij}, T_ {jk} \ right] = T_ {ik} {\ text {for}} i \ neq k \\ [4pt] \ left [T_ {ij}, T_ {k \ ell} \ right] = \ mathbf {1} {\ text {for}} i \ neq \ ell, j \ neq k \\ [4pt] (T_ {12} T_ {21} ^ {- 1} T_ {12}) ^ {4} = \ mathbf {1} \ end {align}}}

- это полный набор отношений для SL (n, Z ), n ≥ 3.

SL (n, F)

В характеристике, отличной от 2, набор матриц с определителем ± 1 формирует другую подгруппу GL, с SL как подгруппа индекса 2 (обязательно нормальная); в характеристике 2 это то же самое, что и SL. Это образует короткую точную последовательность групп:

S L (n, F) → S L ± (n, F) → {± 1}. {\ displaystyle \ mathrm {SL} (n, F) \ to \ mathrm {SL} ^ {\ pm} (n, F) \ to \ {\ pm 1 \}.}

{\ displaystyle \ mathrm {SL} (n, F) \ to \ mathrm {SL} ^ {\ pm} (n, F) \ к \ {\ pm 1 \}.}

Эта последовательность разбивается, беря любые матрица с определителем −1, например диагональная матрица $(- 1, 1,…, 1). {\ displaystyle (-1,1, \ dots, 1).}$ ${\ displaystyle (-1,1, \ dots, 1).}$ Если $n = 2 k + 1 {\ displaystyle n = 2k + 1}$ $n = 2k + 1$ нечетно, матрица отрицательной идентичности $- I {\ displaystyle -I}$ $-I$ находится в SL (n, F), но не в SL (n, F), и, таким образом, группа разделяется как внутреннее прямое product $SL ± (2 к + 1, F) ≅ SL (2 k + 1, F) × {± I} {\ displaystyle SL ^ {\ pm} (2k + 1, F) \ cong SL (2k + 1; F) \ times \ {\ pm I \}}$ ${\ displaystyle SL ^ {\ pm} (2k + 1, F) \ cong SL (2k + 1, F) \ times \ {\ pm I \}}$ . Однако, если $n = 2 k {\ displaystyle n = 2k}$ $n = 2k$ четное, $- I {\ displaystyle -I}$ $-I$ уже находится в SL (n, F), SL не разделяется и, как правило, представляет собой нетривиальное расширение группы .

В отношении вещественных чисел SL (n, R) имеет два связанных компонента, соответствующих SL ( n, R) и другой компонент, изоморфные с идентификацией в зависимости от выбора точки (матрица с определителем −1). В нечетном измерении они, естественно, обозначаются $- I {\ displaystyle -I}$ $-I$ , но в четном измерении нет единой естественной идентификации.

Структура GL (n, F)

Группа GL (n, F) разбивается по своему определителю (мы используем F ≅ GL (1, F) → GL (n, F) как мономорфизм из F в GL (n, F), см. полупрямое произведение ), и поэтому GL (n, F) может быть записан как полупрямое произведение из SL (n, F) на F:

GL (n, F) = SL (n, F) ⋊ F.

См. также

Ссылки

Кондер, Марстон ; Робертсон, Эдмунд; Уильямс, Питер (1992), «Презентации для трехмерных специальных линейных групп над целочисленные кольца », Труды Американского математического общества, Американского математического общества, 115 (1): 19–26, doi : 10.2307 / 2159559, JSTOR 2159559, MR 1079696
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer