Вторая основная форма

Квадратичная форма связанный с кривизной поверхностей

В дифференциальной геометрии, вторая фундаментальная форма (или тензор формы ) является квадратичной формой на касательной плоскости к гладкой поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, обычно обозначаемом $II\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{I\; \backslash !\; I\}\}$(читать «два»). Вместе с первой фундаментальной формой он служит для определения внешних инвариантов поверхности, ее главных кривизн. В более общем смысле такая квадратичная форма определяется для гладкого погруженного подмногообразия в риманово многообразие.

• 1 Поверхность в R
  • 1.1 Мотивация
  • 1.2 Классические обозначения
  • 1.3 Обозначения физика
• 2 Гиперповерхность в римановом многообразии
  • 2.1 Обобщение на произвольную коразмерность
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Определение Вторая фундаментальная форма

Мотивация

Вторая фундаментальная форма параметрической поверхности S в R была введена и изучена Гауссом. Сначала предположим, что поверхность является графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции, z = f (x, y), и что плоскость z = 0 является касательной к поверхности в точке происхождение. Тогда f и его частные производные по x и y обращаются в нуль в точке (0,0). Следовательно, разложение Тейлора числа f в точке (0,0) начинается с квадратичных членов:

$z\; =\; L\; x\; 2\; 2\; +\; M\; xy\; +\; N\; y\; 2\; 2\; +\; члены\; высшего\; порядка,\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; L\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; Mxy\; +\; N\; \{\backslash \; frac\; \{y\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; text\; \{термины\; высшего\; порядка\}\}\; \backslash ,,\}$

, а вторая фундаментальная форма в начале координат (x, y) - это квадратичная форма

$L\; dx\; 2\; +\; 2\; M\; dxdy\; +\; N\; dy\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \backslash ,\; dx\; ^\; \{2\}\; +\; 2M\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; dy\; +\; N\; \backslash ,\; dy\; ^\; \{2\}\; \backslash ,.\}$

Для гладкой точки P на S можно выбрать систему координат так, чтобы что координатная плоскость z касается S в точке P, и таким же образом определяют вторую фундаментальную форму.

Классическая нотация

Вторая фундаментальная форма общей параметрической поверхности определяется следующим образом. Пусть r= r(u, v) - регулярная параметризация поверхности в R, где r - гладкая вектор-функция двух переменных. Обычно частные производные от r по u и v обозначают ruи rv. Регулярность параметризации означает, что ruи rvлинейно независимы для любых (u, v) в области r и, следовательно, охватывают касательную плоскость к S в каждой точке. Эквивалентно, перекрестное произведение ru× rvпредставляет собой ненулевой вектор, нормальный к поверхности. Таким образом, параметризация определяет поле единичных векторов нормалей n:

$n\; =\; r\; u\; \times \; r\; v\; |\; r\; u\; \times \; r\; v\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{u\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{v\}\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{u\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{\; r\}\; \_\; \{v\}\; |\}\}\; \backslash ,.\}$

Вторая фундаментальная форма обычно записывается как

$II\; =\; L\; du\; 2\; +\; 2\; M\; dudv\; +\; N\; dv\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{I\; \backslash !\; I\}\; =\; L\; \backslash ,\; du\; ^\; \{2\}\; +\; 2M\; \backslash ,\; du\; \backslash ,\; dv\; +\; N\; \backslash ,\; dv\; ^\; \{2\}\; \backslash ,,\}$

его матрица в базисе {ru, rv} касательной плоскости равна

$[LMMN].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; LM\; \backslash \backslash \; MN\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash ,.\}$

Коэффициенты L, M, N в данной точке параметрической uv-плоскости задаются проекциями вторые частные производные r в этой точке на нормальную линию к S и могут быть вычислены с помощью скалярного произведения следующим образом:

$L\; =\; ruu\; \cdot \; n,\; M\; =\; ruv\; \cdot \; n,\; N\; =\; rvv\; \cdot \; n.\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{uu\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; M\; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{uv\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; N\; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{vv\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash ,.\}$

Для поля подписанного расстояния из Гессе Hкоэффициенты второй фундаментальной формы могут вычисляется следующим образом:

$L\; =\; -\; ru\; \cdot \; H\; \cdot \; ru,\; M\; =\; -\; ru\; \cdot \; H\; \cdot \; rv,\; N\; =\; -\; rv\; \cdot \; H\; rv.\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{u\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{u\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; M\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{u\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{v\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; N\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{v\}\; \backslash ,.\}$

Обозначение физика

Вторая фундаментальная форма общей параметрической поверхности S определяется следующим образом.

Пусть r= r(u, u) - регулярная параметризация поверхности в R, где r - гладкая векторнозначная функция двух переменных. Обычно частные производные r по u обозначают rα, α = 1, 2. Регулярность параметризации означает, что r1и r2линейно независимы для любых ( u, u) в области r и, следовательно, покрывают касательную плоскость к S в каждой точке. Эквивалентно, перекрестное произведение r1× r2представляет собой ненулевой вектор, нормальный к поверхности. Таким образом, параметризация определяет поле единичных векторов нормалей n:

$n\; =\; r\; 1\; \times \; r\; 2\; |\; r\; 1\; \times \; r\; 2\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{2\}\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{\; r\}\; \_\; \{2\}\; |\}\}\; \backslash ,.\}$

Вторая фундаментальная форма обычно записывается как

$II\; =\; b\; \alpha \; \beta \; du\; \alpha \; du\; \beta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{I\; \backslash !\; I\}\; =\; b\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash ,\; du\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash ,\; du\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash ,.\}$

В приведенном выше уравнении используется Соглашение Эйнштейна о суммировании.

Коэффициенты b αβ в заданной точке параметрической плоскости uu задаются проекциями вторых частных производных r в этой точке на нормаль линия к S и может быть вычислена в терминах вектора нормали n следующим образом:

$b\; \alpha \; \beta \; =\; r\; \alpha \; \beta \; \gamma \; n\; \gamma .\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; r\; \_\; \{\backslash ,\; \backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; ^\; \{\backslash \; \backslash \; \backslash ,\; \backslash \; gamma\}\; n\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash ,.\}$

В евклидовом пространстве вторая фундаментальная форма задается как

$II\; (v,\; w)\; =\; -\; ⟨d\; \nu \; (v),\; w⟩\; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{I\; \backslash !\; I\; \}\; (v,\; w)\; =\; -\; \backslash \; langle\; d\; \backslash \; nu\; (v),\; w\; \backslash \; rangle\; \backslash \; nu\}$

, где ν - отображение Гаусса, а dν - дифференциал ν рассматривается как векторнозначная дифференциальная форма, а скобки обозначают метрический тензор евклидова пространства.

В более общем смысле, на римановом многообразии вторая фундаментальная форма является эквивалентным способом описания оператора формы (обозначается S) гиперповерхности,

$II\; (v,\; w)\; Знак\; равно\; ⟨S\; (v),\; вес⟩\; N\; =\; -\; ⟨\nabla \; vn,\; w⟩\; N\; =\; ⟨N,\; \nabla \; vw⟩\; N,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{I\}\; \backslash !\; \backslash \; Mathrm\; \{I\}\; (v,\; w)\; =\; \backslash \; langle\; S\; (v),\; w\; \backslash \; rangle\; n\; =\; -\; \backslash \; langle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{v\}\; n,\; w\; \backslash \; rangle\; n\; =\; \backslash \; langle\; n,\; \backslash \; nabla\; \_\; \{v\}\; w\; \backslash \; rangle\; n\; \backslash ,,\}$

где ∇ v w обозначает ковариантную производную объемлющего многообразия и поле na нормальных векторов на гиперповерхности. (Если аффинная связность без кручения, то вторая фундаментальная форма симметрична.)

Знак второй фундаментальной формы зависит от выбора направления of n (что называется соориентацией гиперповерхности - для поверхностей в евклидовом пространстве это эквивалентно задается выбором ориентации поверхности).

Обобщение на произвольную коразмерность

Вторая фундаментальная форма может быть обобщена на произвольную коразмерность. В этом случае это квадратичная форма на касательном пространстве со значениями в нормальном пучке, и ее можно определить как

$II\; (v,\; w)\; =\; (\nabla \; vw)\; \perp ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{I\; \backslash !\; I\}\; (v,\; w)\; =\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{v\}\; w)\; ^\; \{\backslash \; bot\}\; \backslash ,,\}$

где (∇ v w) обозначает ортогональную проекцию ковариантной производной ∇vw на нормальное расслоение.

В евклидовом пространстве тензор кривизны подмногообразия можно описать следующей формулой:

$⟨R\; (u,\; v)\; w,\; z⟩\; =\; ⟨II\; (u,\; z),\; II\; (v,\; w)⟩\; -\; ⟨II\; (u,\; w),\; II\; (v,\; z)⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; R\; (u,\; v)\; w,\; z\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; mathrm\; \{I\}\; \backslash !\; \backslash \; mathrm\; \{I\}\; (u,\; z),\; \backslash \; mathrm\; \{I\}\; \backslash !\; \backslash \; mathrm\; \{I\}\; (\; v,\; w)\; \backslash \; rangle\; -\; \backslash \; langle\; \backslash \; mathrm\; \{I\}\; \backslash !\; \backslash \; mathrm\; \{I\}\; (u,\; w),\; \backslash \; mathrm\; \{I\}\; \backslash !\; \backslash \; mathrm\; \{I\}\; (v,\; z)\; \backslash \; rangle.\}$

Это называется уравнением Гаусса, так как его можно рассматривать как обобщение теоремы Гаусса.

. Для общих римановых многообразий нужно добавить кривизну окружающего Космос; если N - многообразие, вложенное в риманово многообразие (M, g), то тензор кривизны R N множества N с индуцированной метрикой может быть выражен с использованием второй фундаментальной формы и R M тензор кривизны M:

$⟨RN\; (u,\; v)\; w,\; z⟩\; =\; ⟨RM\; (u,\; v)\; w,\; z⟩\; +\; ⟨II\; (u,\; z),\; II\; (v,\; w)⟩\; -\; ⟨II\; (u,\; w),\; II\; (v,\; z)⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; R\_\; \{N\}\; (u,\; v)\; w,\; z\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; R\_\; \{M\}\; (u,\; v)\; w,\; z\; \backslash \; rangle\; +\; \backslash \; langle\; \backslash \; mathrm\; \{I\}\; \backslash !\; \backslash \; mathrm\; \{I\; \}\; (u,\; z),\; \backslash \; mathrm\; \{I\}\; \backslash !\; \backslash \; mathrm\; \{I\}\; (v,\; w)\; \backslash \; rangle\; -\; \backslash \; langle\; \backslash \; mathrm\; \{I\}\; \backslash !\; \backslash \; mathrm\; \{I\}\; (u,\; w),\; \backslash \; mathrm\; \{\; I\}\; \backslash !\; \backslash \; Mathrm\; \{I\}\; (v,\; z)\; \backslash \; rangle\; \backslash ,.\}$

• Первая фундаментальная форма
• Гауссова кривизна
• Уравнения Гаусса – Кодацци
• Оператор формы
• Третья основная форма
• Тавтологическая одноформа

• Гуггенхаймер, Генрих (1977). «Глава 10. Поверхности». Дифференциальная геометрия. Дувр. ISBN 0-486-63433-7.
• Кобаяси, Шошичи и Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии. 2 (Новое изд.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15732-5.
• Спивак, Майкл (1999). Комплексное введение в дифференциальную геометрию (Том 3). Опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-72-1.

• Стивен Верпоорт (2008) Геометрия второй фундаментальной формы: свойства кривизны и вариационные аспекты из Католикский университет Левена.