Ветвление (математика)

Разветвление математической структуры Схематическое изображение ветвления: волокна почти всех точек в Y ниже состоят из трех точек, за исключением двух точек в Y, отмеченных точками, где волокна состоят из одной и двух точек (отмечены черным) соответственно. Считается, что отображение f разветвлено в этих точках Y.

В геометрии, разветвление «разветвляется» так, как квадратный корень для комплексных чисел, как видно, имеет две ветви, различающиеся знаком. Этот термин также используется с противоположной точки зрения (ветви сходятся вместе), когда покрывающая карта вырождается в точке пространства с некоторым схлопыванием волокон отображения.

• 1 В комплексном анализе
• 2 В алгебраической топологии
• 3 В теории алгебраических чисел
  • 3.1 В алгебраических расширениях $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$
  • 3.2 В локальных полях
• 4 В алгебре
• 5 В алгебраической геометрии
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Использование римановой поверхности квадратного корня

В комплексном анализе базовая модель может быть взята как отображение z → z в комплексной плоскости, около z = 0. Это стандартное локальное изображение в Теория римановой поверхности ветвления порядка n. Это встречается, например, в формуле Римана – Гурвица для влияния отображений на род. См. Также точка ветвления.

В покрывающей карте характеристика Эйлера – Пуанкаре должна умножаться на количество листов; разветвление, следовательно, можно обнаружить по некоторому отбрасыванию от него. Отображение z → z показывает это как локальный образец: если мы исключаем 0, глядя на 0 < |z| < 1 say, we have (from the гомотопическую точку зрения), круг отображается на себя n-й схемой степени ( Характеристика Эйлера – Пуанкаре 0), но для всего диска характеристика Эйлера – Пуанкаре равна 1, где n - 1 являются «потерянными» точками, когда n листов сходятся при z = 0.

С точки зрения геометрии, разветвление - это то, что происходит во второй коразмерности (например, теория узлов и монодромия ); поскольку вещественная коразмерность два является комплексной коразмерностью один, локальный комплексный пример устанавливает образец для многомерных комплексных многообразий. В комплексном анализе листы не могут просто складываться вдоль линии (одна переменная) или подпространства коразмерности один в общем случае. Множество ветвлений (место ветвления на основании, двойная точка, установленная выше) будет на два реальных измерения ниже, чем окружающий коллектор, и поэтому не будет разделять его на две «стороны», локально будут пути которые следуют вокруг локуса ветвления, как в примере. В алгебраической геометрии над любым полем, по аналогии, это также происходит в алгебраической коразмерности один.

В алгебраических расширениях $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$

Ветвление в теории алгебраических чисел означает простое число идеальный разложение на множители в расширении, чтобы получить несколько повторяющихся простых идеальных факторов. А именно, пусть $OK\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{K\}\}$будет кольцом целых чисел поля алгебраических чисел $К\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$и $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\}$a простой идеал из $ОК\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{K\}\}$. Для расширения поля $L\; /\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; /\; K\}$мы можем рассмотреть кольцо целых чисел $OL\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{L\}\}$(который является интегральным замыканием из $OK\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{K\}\}$в $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$) и идеальный $p\; OL\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{L\}\}$из $OL\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{L\}\}$. Этот идеал может быть простым, а может и не быть простым, но для конечного $[L:\; K]\; \{\backslash \; displaystyle\; [L:\; K]\}$он имеет разложение на простые идеалы:

$p\; \cdot \; OL\; знак\; равно\; п\; 1\; е\; 1\; \cdots \; pkek\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{L\}\; =\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{1\}\; ^\; \{e\_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdots\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{k\}\; ^\; \{e\_\; \{k\}\}\}$

где $pi\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\}$являются различными простыми идеалами $OL\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{L\}\}$. Тогда $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\}$, как говорят, разветвляет в $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$if $ei>1\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{i\}>1\}$для некоторых $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$; в противном случае это неразветвленный . Другими словами, $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\}$разветвляется на $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$, если индекс ветвления $ei\; \{\; \backslash \; displaystyle\; e\_\; \{i\}\}$больше единицы для некоторого $pi\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\}$. Эквивалентным условием является то, что $OL\; /\; p\; OL\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{L\}\; /\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{L\}\}$не имеет -zero нильпотентный элемент : это не продукт конечных полей. Аналогия со случаем римановой поверхности уже отмечена Ричардом Дедекиндом и Генрих М. В. eber в девятнадцатом веке.

Ветвление кодируется в $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$с помощью относительного дискриминанта и в $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$на относительный другой. Первое является идеалом $OK\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{K\}\}$и делится на $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\}$тогда и только тогда, когда некоторый идеальный $pi\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\}$of $OL\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\; \}\}\; \_\; \{L\}\}$деление $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\}$является разветвленным. Последний является идеалом $OL\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{L\}\}$и делится на простой идеал $pi\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\; \}\}\; \_\; \{i\}\}$из $OL\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{L\}\}$именно тогда, когда $pi\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\}$является разветвленным.

Ветвление является ручным, когда все индексы ветвления $ei\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{i\}\}$взаимно просты с остаточной характеристикой p $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\}$, иначе wild . Это условие важно в теории модуля Галуа. Конечное обобщенно этальное расширение $B\; /\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; /\; A\}$из дедекиндовских доменов является ручным тогда и только тогда, когда след $Tr:\; B\; \to \; A\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}:\; B\; \backslash \; to\; A\}$является сюръективным.

В локальных полях

Более подробный анализ ветвления в числовых полях может быть проведен с использованием расширений p-адических чисел, потому что это местный вопрос. В этом случае количественная мера разветвления определяется для расширений Галуа, в основном задавая вопрос, как далеко группа Галуа перемещает элементы поля по отношению к метрике. Определяется последовательность групп ветвления, реифицирующая (среди прочего) дикое (неприрученное) разветвление. Это выходит за рамки геометрического аналога.

В алгебре

В теории оценки, теория разветвления оценок изучает набор расширений оценка поля K до поля расширения поля K. Это обобщает понятия алгебраической теории чисел, локальных полей и дедекиндовских областей.

В алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии также есть соответствующее понятие неразветвленного морфизма. Он служит для определения этальных морфизмов.

Пусть $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; Y\}$будет морфизмом схем. Опора квазикогерентного пучка $\Omega \; X\; /\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; \_\; \{X\; /\; Y\}\}$называется локусом ветвления $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и образ локуса ветвления, $f\; (Supp\; \; \Omega \; X\; /\; Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; left\; (\backslash \; operatorname\; \{Supp\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{X\; /\; Y\}\; \backslash \; right)\}$, называется локусом ветвления в $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$. Если $\Omega \; X\; /\; Y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; \_\; \{X\; /\; Y\}\; =\; 0\}$, мы говорим, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$равно формально неразветвленный, и если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$также имеет локально конечное представление, мы говорим, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$равно неразветвленный (см. Вакил 2017).

См. Также

• многочлен Эйзенштейна
• многоугольник Ньютона
• расширение Пюизо
• разветвленное покрытие

Найдите разветвление (математика) в Викисловарь, бесплатный словарь.

Ссылки

• Neukirch, Jürgen (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
• Вакил, Рави (18 ноября 2017 г.). Восходящее море: основы алгебраической геометрии (PDF). Получено 5 июня 2019 г. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Внешние ссылки

• «Разветвление в числовых полях». PlanetMath.