p адическая теория Ходжа

В математике, р Теория -адической Ходдж теория, что обеспечивает способ классификации и изучение р -адического представления Галуа из характерных 0 локальных полей с остаточным характерным р (такие как Q р ). Теория берет свое начало в Жан-Пьер Серр и Джон Тэйт исследования «s из модулей Тейта из абелевых многообразий и понятия представления Ходж-Тейт. Представления Ходжа – Тейта связаны с некоторыми разложениями p -адических теорий когомологий, аналогичными разложению Ходжа, отсюда и название p -адической теории Ходжа. Дальнейшие разработки были вдохновлены свойствами р -адических представлений Галуа, вытекающих из этальных когомологий из разновидностей. Жан-Марк Фонтен представил многие из основных понятий в этой области.

• 1 Общая классификация p -адических представлений
• 2 Кольца периодов и изоморфизмы сравнения в арифметической геометрии
• 3 Примечания
• 4 ссылки
  • 4.1 Первичные источники
  • 4.2 Вторичные источники

Пусть K - локальное поле с полем вычетов k характеристики p. В этих статьях, р-адическое представление о K (или G K, с абсолютной группой Галуа из K) будет непрерывное представление р: G K → GL ( V), где V представляет собой конечномерное векторное пространство над Q стр. Совокупность всех p -адических представлений K образуют абелеву категорию, обозначенную в этой статье. p -адическая теория Ходжа предоставляет подколлекции p -адических представлений в зависимости от того, насколько они хороши, а также предоставляет точные функторы для категорий линейных алгебраических объектов, которые легче изучать. Основная классификация выглядит следующим образом: ${\ Displaystyle \ mathrm {Rep} _ {\ mathbf {Q} _ {p}} (К)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Rep} _ {\ mathrm {cris}} (K) \ subsetneq \ operatorname {Rep} _ {st} (K) \ subsetneq \ operatorname {Rep} _ {dR} (K) \ subsetneq \ имя оператора {Rep} _ {HT} (K) \ subsetneq \ OperatorName {Rep} _ {\ mathbf {Q} _ {p}} (K)}$

где каждая коллекция является полной подкатегорией, правильно содержащейся в следующей. По порядку это категории кристаллических представлений, полустабильных представлений, представлений де Рама, представлений Ходжа – Тейта и всех p -адических представлений. Кроме того, могут быть введены две другие категории представлений: потенциально кристаллические представления Rep pcris ( K) и потенциально полустабильные представления Rep pst ( K). Последний строго содержит первый, который, в свою очередь, обычно строго содержит Rep cris ( K); кроме того, Rep pst ( K) обычно строго содержит Rep st ( K) и содержится в Rep dR ( K) (с равенством, когда поле вычетов K конечно, утверждение, называемое теоремой p -адической монодромии ).

Общая стратегия р -адической теории Ходжи, введенный Фонтэн, чтобы построить определенный так называемый период кольца, такие как B Д.Р., B - го, B CRIS и B HT, которые имеют как действие на G K и некоторую линейной алгебраической структуру и рассматривать так называемые модули Дьедонне

${\ Displaystyle D_ {B} (V) = (B \ otimes _ {\ mathbf {Q} _ {p}} V) ^ {G_ {K}}}$

(где B представляет собой период кольцо, а V представляет собой р -адическое представление), которое больше не имеют G K -действие, но наделены линейных алгебраических структур, унаследованных от кольца B. В частности, это векторные пространства над фиксированным полем. Эта конструкция укладывается в формализм B- допустимых представлений, введенный Фонтеном. Для кольца периодов, подобных упомянутым выше B ∗ (для ∗ = HT, dR, st, cris), категория p -адических представлений Rep ∗ ( K), упомянутая выше, является категорией B ∗ -допустимых, т. Е. Тех p -адические представления V, для которых ${\ displaystyle E: = B ^ {G_ {K}}}$

${\ displaystyle \ dim _ {E} D_ {B _ {\ ast}} (V) = \ dim _ {\ mathbf {Q} _ {p}} V}$

или, что то же самое, морфизм сравнения

${\ displaystyle \ alpha _ {V}: B _ {\ ast} \ otimes _ {E} D_ {B _ {\ ast}} (V) \ longrightarrow B _ {\ ast} \ otimes _ {\ mathbf {Q} _ { p}} V}$

является изоморфизмом.

Этот формализм (и название кольца периодов) вырос из нескольких результатов и предположений относительно изоморфизмов сравнения в арифметике и сложной геометрии :

• Если X является собственно гладкая схема над С, существует классическое сравнение изоморфизма между алгебраическими когомологий де Рама из X над C и сингулярных когомологий из X ( C)

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {\ ast} (X / \ mathbf {C}) \ cong H ^ {\ ast} (X (\ mathbf {C}), \ mathbf {Q}) \ время от времени _ {\ mathbf {Q}} \ mathbf {C}.}$

Этот изоморфизм может быть получен путем рассмотрения спаривания, полученного интегрированием дифференциальных форм в алгебраических когомологиях де Рама по циклам в особых когомологиях. Результат такого интегрирования называется периодом и обычно представляет собой комплексное число. Это объясняет, почему особые когомологии должны быть преобразованы в C, и с этой точки зрения можно сказать, что C содержит все периоды, необходимые для сравнения алгебраических когомологий де Рама с сингулярными когомологиями, и, следовательно, может быть назван кольцом периодов в этой ситуации..

• В середине шестидесятых Тейт предположил, что аналогичный изоморфизм должен выполняться для собственных гладких схем X над K между алгебраическими когомологиями де Рама и p -адическими этальными когомологиями ( гипотеза Ходжа – Тейта, также называемая C HT). В частности, пусть С К будет пополнение из алгебраического замыкания из K, пусть C K ( я) обозначает C K, где действие G K является через г г = χ ( г) ^я г г (где χ есть р -адический циклотомический символ, а i - целое число), и пусть. Тогда существует функториальный изоморфизм${\ Displaystyle B _ {\ mathrm {HT}}: = \ oplus _ {я \ in \ mathbf {Z}} \ mathbf {C} _ {K} (я)}$

${\ displaystyle B _ {\ mathrm {HT}} \ otimes _ {K} \ mathrm {gr} H _ {\ mathrm {dR}} ^ {\ ast} (X / K) \ cong B _ {\ mathrm {HT}} \ otimes _ {\ mathbf {Q} _ {p}} H _ {\ mathrm {{\ строго {e}} t}} ^ {\ ast} (X \ times _ {K} {\ overline {K}}, \ mathbf {Q} _ {p})}$

из градуированных векторных пространств с G K -действием (когомология де Рама оснащена ходжевой фильтрацией, и является его ассоциированным градуированным). Эта гипотеза была доказана Гердом Фалтингсом в конце восьмидесятых после частичных результатов, полученных несколькими другими математиками (включая самого Тейта).${\ displaystyle \ mathrm {gr} H _ {\ mathrm {dR}} ^ {\ ast}}$

• Для абелева многообразия X с хорошей редукцией над р -адических полями К, Гротендик переформулируется теорема Тейта сказать, что кристаллический когомологий Н ¹ ( Х / Ш ( к)) ⊗ Q р специального волокна (с Фробениусом Эндоморфизм на этой группе и фильтрация Ходжа на этой группе, тензорной с K) и p -адические этальные когомологии H ¹ ( X, Q p) (с действием группы Галуа группы K) содержат ту же информацию. Оба эквивалентны p -делимой группе, ассоциированной с X, с точностью до изогении. Гротендик предположил, что должен быть способ перейти непосредственно от p -адических этальных когомологий к кристаллическим когомологиям (и обратно) для всех многообразий с хорошей редукцией над p -адическими полями. Это предполагаемое отношение стало известно как загадочный функтор.

Чтобы улучшить гипотезу Ходжа – Тейта до гипотезы, включающей когомологии де Рама (а не только связанные с ней градуированные), Фонтен построил фильтрованное кольцо B dR, ассоциированным градуированным кольцом которого является B HT, и выдвинул гипотезу (названную C dR) для любой гладкой собственной схемы X более K

${\ displaystyle B _ {\ mathrm {dR}} \ otimes _ {K} H _ {\ mathrm {dR}} ^ {\ ast} (X / K) \ cong B _ {\ mathrm {dR}} \ otimes _ {\ mathbf {Q} _ {p}} H _ {\ mathrm {{\ строго {e}} t}} ^ {\ ast} (X \ times _ {K} {\ overline {K}}, \ mathbf {Q} _{п})}$

как фильтрованные векторные пространства с G K- действием. Таким образом, можно сказать, что B dR содержит все ( p -адические) периоды, необходимые для сравнения алгебраических когомологий де Рама с p -адическими этальными когомологиями, точно так же, как приведенные выше комплексные числа использовались для сравнения с сингулярными когомологиями. Отсюда B dR получил название кольца p-адических периодов.

Аналогичным образом, сформулировать гипотезу, объясняющую таинственное функтор Гротендик, Фонтэн ввел кольцо В Cris с G K -действием, в ф «фробениусовой», и фильтрацией после расширения скаляров от K 0 до K. Он предположил следующее (названное C cris) для любой гладкой собственной схемы X над K с хорошей редукцией

${\ displaystyle B _ {\ mathrm {cris}} \ otimes _ {K_ {0}} H _ {\ mathrm {dR}} ^ {\ ast} (X / K) \ cong B _ {\ mathrm {cris}} \ otimes _ {\ mathbf {Q} _ {p}} H _ {\ mathrm {{\ строго {e}} t}} ^ {\ ast} (X \ times _ {K} {\ overline {K}}, \ mathbf {Q} _ {p})}$

в виде векторных пространств с φ-действием, G K- действием и фильтрацией после расширения скаляров на K (здесь дается его структура как K 0 -векторное пространство с φ-действием, заданным его сравнением с кристаллическими когомологиями). Гипотезы C dR и C cris были доказаны Фалтингсом. ${\ Displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {\ ast} (X / K)}$

Сравнивая эти две гипотезы с понятием B ∗ -допустимых представлений, приведенным выше, видно, что если X - собственная гладкая схема над K (с хорошей редукцией), а V - p -адическое представление Галуа, полученное, как и его i- е p -адическая этальная группа когомологий, то

${\ displaystyle D_ {B _ {\ ast}} (V) = H _ {\ mathrm {dR}} ^ {i} (X / K).}$

Другими словами, модули Dieudonne следует рассматривать как предоставление других когомологии, связанные с V.

В конце 80-х Фонтейн и Уве Яннсен сформулировали другую гипотезу об изоморфизме сравнения, C st, на этот раз позволив X иметь полустабильную редукцию. Фонтэн построили кольцо В е с G K -action, в «фробениусовой» ф, фильтрации после расширения скаляров от K 0 до K (и фиксации расширение р -адического логарифма ), и «оператор монодромии» N. Когда X имеет полустабильную редукцию, когомологии де Рама можно снабдить φ-действием и оператором монодромии путем его сравнения с лог-кристаллическими когомологиями, впервые введенными Осаму Хёдо. Затем гипотеза утверждает, что

${\ displaystyle B _ {\ mathrm {st}} \ otimes _ {K_ {0}} H _ {\ mathrm {dR}} ^ {\ ast} (X / K) \ cong B _ {\ mathrm {st}} \ otimes _ {\ mathbf {Q} _ {p}} H _ {\ mathrm {{\ строго {e}} t}} ^ {\ ast} (X \ times _ {K} {\ overline {K}}, \ mathbf {Q} _ {p})}$

как векторные пространства с ф-действием, G K -действия, фильтрации после расширения скаляров до K и оператора монодромии N. Это предположение было доказано в конце девяностых годов Такеши Цудзи.

Основные источники

• Тейт, Джон (1966), « p -Делимые группы», в Proceedings of a Conference on Local Fields, Springer, 1967. doi: 10.1007 / 978-3-642-87942-5
• Фалтингсом, Герд (1988), " р -адическая теория Ходжа", журнал Американского математического общества, 1 (1): 255-299, DOI : 10,2307 / 1990970, MR   0924705
• Фалтингс, Герд, «Кристаллические когомологии и p -адические представления Галуа», в Игуса, Джун-Ичи (ред.), Алгебраический анализ, геометрия и теория чисел, Балтимор, Мэриленд: Johns Hopkins University Press, стр. 25–80, ISBN   978-0-8018-3841-5, Руководство по ремонту   1463696
• Фонтен, Жан-Марк (1982), "Sur certains типа де ЗАЯВЛЕНИЙ р -adiques дю GROUPE де Галуа d'ООН корпус местного, строительство d'ООН ANNEAU де Barsotti-Tate", Анналы математики, 115 (3): 529- 577, DOI : 10,2307 / 2007012, МР   0657238
• Гротендик, Александр (1971), "Groupes de Barsotti – Tate et cristaux", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970), 1, стр. 431–436, MR   0578496
• Хиодо, Осаму (1991), «О комплексе де Рама – Витта, присоединенном к полустабильному семейству», Compositio Mathematica, 78 (3): 241–260, MR   1106296.
• Серр, Жан-Пьер (1967), «Резюме курсов, 1965–66», Annuaire du Collège de France, Париж, стр. 49–58.
• Цуджи, Такеши (1999), « p -адические этальные когомологии и кристаллические когомологии в случае полустабильной редукции», Inventiones Mathematicae, 137 (2): 233–411, Bibcode : 1999InMat.137..233T, doi : 10.1007 / s002220050330, Руководство по ремонту   1705837

Вторичные источники

• Бергер, Лоран (2004), "Введение в теорию p -адических представлений", Геометрические аспекты теории Дворка, I, Берлин: Walter de Gruyter GmbH amp; Co. KG, arXiv : math / 0210184, Bibcode : 2002math..... 10184B, ISBN   978-3-11-017478-6, MR   2023292
• Бринон, Оливье; Конрад, Брайан (2009), Заметки летней школы CMI по p-адической теории Ходжа (PDF), извлечено 05.02.2010
• Фонтен, Жан-Марк, изд. (1994), Périodes p-adiques, Astérisque, 223, Париж: Société Mathématique de France, MR   1293969
• Иллюзи, Люк (1990), "Cohomologie de Rham et cohomologie étale p -adique (d'après G. Faltings, J.-M. Fontaine et al.) Exp. 726", Séminaire Bourbaki. Vol. 1989/90. Exposés 715–729, Astérisque, 189–190, Париж: Société Mathématique de France, стр. 325–374, MR   1099881