Ортотропный материал

редактировать

Древесина является примером ортотропного материала. Свойства материалов в трех перпендикулярных направлениях (осевом, радиальном и окружном) различны.

В материаловедении и механике твердого тела, ортотропные материалы имеют свойства материала. в конкретной точке, которые различаются по трем взаимно-ортогональным осям, где каждая ось имеет двойную вращательную симметрию. Эти направленные различия в прочности могут быть количественно определены с помощью уравнения Ханкинсона.

. Они являются подмножеством анизотропных материалов, поскольку их свойства меняются при измерении с разных направлений.

Знакомым примером ортотропного материала является дерево. В дереве можно определить три взаимно перпендикулярных направления в каждой точке, в которых свойства различны. Он наиболее жесткий (и прочный) вдоль волокон, потому что большинство фибрилл целлюлозы выравниваются таким образом. Обычно он наименее жесткий в радиальном направлении (между годичными кольцами) и является промежуточным в направлении по окружности. Эта анизотропия была обеспечена эволюцией, так как она лучше всего позволяет дереву оставаться в вертикальном положении.

Поскольку предпочтительная система координат является цилиндрическо-полярной, этот тип ортотропии также называется полярной ортотропией .

Другим примером ортотропного материала является листовой металл образуются путем сдавливания толстых металлических частей между тяжелыми роликами. Это сглаживает и растягивает его зернистую структуру. В результате материал становится анизотропным - его свойства различаются в зависимости от направления прокатки и в каждом из двух поперечных направлений. Этот метод успешно используется для изготовления балок из конструкционной стали и алюминиевых обшивок самолетов.

Если ортотропные свойства различаются между точками внутри объекта, он обладает как ортотропией, так и неоднородностью. Это предполагает, что ортотропия - это свойство точки внутри объекта, а не для объекта в целом (если только объект не является однородным). Соответствующие плоскости симметрии также определены для небольшой области вокруг точки и не обязательно должны быть идентичны плоскостям симметрии всего объекта.

Ортотропные материалы - это подмножество анизотропных материалов ; их свойства зависят от направления, в котором они измеряются. Ортотропные материалы имеют три плоскости / оси симметрии. Напротив, изотропный материал имеет одинаковые свойства во всех направлениях. Можно доказать, что материал, имеющий две плоскости симметрии, должен иметь третью. Изотропные материалы имеют бесконечное количество плоскостей симметрии.

Трансверсально-изотропные материалы - это специальные ортотропные материалы, которые имеют одну ось симметрии (любая другая пара осей, перпендикулярная основной и ортогональная между собой, также являются осями симметрии). Одним из распространенных примеров поперечно-изотропного материала с одной осью симметрии является полимер, армированный параллельными стеклянными или графитовыми волокнами. Прочность и жесткость такого композиционного материала обычно будут больше в направлении, параллельном волокнам, чем в поперечном направлении, а направление толщины обычно имеет свойства, аналогичные поперечному направлению. Другим примером может быть биологическая мембрана, свойства которой в плоскости мембраны будут отличаться от свойств в перпендикулярном направлении. Было показано, что свойства ортотропного материала обеспечивают более точное представление об упругой симметрии кости, а также могут дать информацию о трехмерной направленности свойств материала на уровне ткани кости.

Важно помнить, что материал, который является анизотропным на одном масштабе длины, может быть изотропным на другом (обычно более крупном) масштабе длины. Например, большинство металлов являются поликристаллическими с очень мелкими зернами . Каждое из отдельных зерен может быть анизотропным, но если материал в целом содержит множество случайно ориентированных зерен, то его измеренные механические свойства будут средним значением свойств по всем возможным ориентациям отдельных зерен.

Содержание

1 Ортотропия в физике
- 1.1 Анизотропные отношения материалов
- 1.2 Условие симметрии материала
- 1.3 Ортотропные свойства материала
2 Ортотропия в линейной упругости
- 2.1 Анизотропная упругость
- 2.2 Условие симметрии материала
- 2.3 Матрицы жесткости и податливости в ортотропной упругости
- 2.4 Границы модулей ортотропных эластичных материалов
3 См. Также
4 Ссылки
5 Дополнительная литература

Ортотропия в физика

Анизотропные материальные отношения

Поведение материала представлено в физических теориях определяющими отношениями. Большой класс физического поведения может быть представлен линейными моделями материала, которые принимают форму тензора второго порядка. Тензор материала обеспечивает связь между двумя векторами и может быть записан как

f = K ⋅ d {\ displaystyle \ mathbf {f} = {\ boldsymbol {K}} \ cdot \ mathbf {d }}

{\mathbf {f}}={\boldsymbol {K}}\cdot {\mathbf {d}}

где $d, f {\ displaystyle \ mathbf {d}, \ mathbf {f}}$ ${\mathbf {d}},{\mathbf {f}}$ - два вектора, представляющие физические величины, а $K {\ displaystyle {\ boldsymbol {K}}}$ ${\boldsymbol {K}}$ - тензор материала второго порядка. Если мы выразим приведенное выше уравнение в терминах компонентов относительно ортонормальной системы координат, мы можем записать

f i = K i j d j. {\ displaystyle f_ {i} = K_ {ij} ~ d_ {j} ~.}

f_{i}=K_{{ij}}~d_{j}~.

Суммирование по повторяющимся индексам предполагалось в приведенном выше соотношении. В матричной форме имеем

f _ = K _ _ d _ ⟹ [f 1 f 2 f 3] = [K 11 K 12 K 13 K 21 K 22 K 23 K 31 K 32 K 33] [d 1 d 2 d 3] {\ displaystyle {\ underline {\ mathbf {f}}} = {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {K}}}} ~ {\ underline {\ mathbf {d}}} \ подразумевает {\ begin {bmatrix} f_ {1} \\ f_ {2} \\ f_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} K_ {11} K_ {12} K_ {13} \\ K_ {21 } K_ {22} K_ {23} \\ K_ {31} K_ {32} K_ {33} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} d_ {1} \\ d_ {2} \\ d_ {3 } \ end {bmatrix}}}

\ underline {{ \ mathbf {f}}} = \ underline {\ underline {{\ boldsymbol {K}}}} ~ \ underline {{\ mathbf {d}}} \ подразумевает {\ begin {bmatrix} f_ {1} \\ f_ {2} \\ f_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} K _ {{11}} K _ {{12}} K _ {{13}} \\ K _ {{21}} K_ { {22}} K _ {{23}} \\ K _ {{31}} K _ {{32}} K _ {{33}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} d_ {1} \\ d_ { 2} \\ d_ {3} \ end {bmatrix}}

Примеры физических проблем, соответствующих приведенному выше шаблону, перечислены в таблице ниже.

Проблема	$f {\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf {f}$	$d {\ displaystyle \ mathbf {d}}$ $\mathbf{d}$	$K {\ displaystyle {\ boldsymbol {K}}}$ ${\boldsymbol {K}}$
Электропроводность	Электрический ток. $J {\ displaystyle \ mathbf {J}}$ $\ mathbf {J}$	Электрическое поле. $E {\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\mathbf {E}$	Электропроводность. $σ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\boldsymbol {\sigma }}$
Диэлектрики	Электрическое смещение. $D {\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\mathbf{D}$	Электрическое поле. $E {\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\mathbf {E}$	Электрическая диэлектрическая проницаемость. $ε {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$ $\boldsymbol{\varepsilon}$
Магнетизм	Магнитная индукция. $B {\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$	Магнитное поле. $H {\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\mathbf{H}$	Магнитная проницаемость. $μ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}}}$ ${\boldsymbol {\mu }}$
Теплопроводность	Тепловой поток. $q {\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf {q}$	Температурный градиент. $- ∇ T {\ displaystyle - {\ boldsymbol {\ nabla}} T}$ $- { \ boldsymbol {\ nabla}} T$	Теплопроводность. $κ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ kappa}}}$ ${\ boldsymbol {\ kappa}}$
Диффузия	Частица поток. $J {\ displaystyle \ mathbf {J}}$ $\ mathbf {J}$	Градиент концентрации. $- ∇ c {\ displaystyle - {\ boldsymbol {\ nabla}} c}$ $-{\boldsymbol {\nabla }}c$	Коэффициент диффузии. $D {\ displaystyle {\ boldsymbol {D}}}$ ${\ boldsymbol {D}}$
Расход в пористой среде	Утяжеленная жидкость скорость. $η μ v {\ displaystyle \ eta _ {\ mu} \ mathbf {v}}$ $\ eta _ {\ mu} {\ mathbf {v}}$	градиент давления. $∇ P {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} P}$ ${\ boldsymbol {\ nabla}} P$	проницаемость для жидкости. $κ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ kappa}}}$ ${\ boldsymbol {\ kappa}}$

Условие для симметрии материала

Матрица материала $K _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {K}}}}}$ $\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {K}}}}$ имеет симметрию относительно задано ортогональное преобразование ( $A {\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$ ${\boldsymbol {A}}$ ), если оно не изменяется при выполнении этого преобразования. Для неизменности свойств материала при таком преобразовании нам потребуется

A ⋅ f = K ⋅ (A ⋅ d) ⟹ f = (A - 1 ⋅ K ⋅ A) ⋅ d {\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} \ cdot \ mathbf {f} = {\ boldsymbol {K}} \ cdot ({\ boldsymbol {A}} \ cdot {\ boldsymbol {d}}) \ подразумевает \ mathbf {f} = ({\ boldsymbol {A} } ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {K}} \ cdot {\ boldsymbol {A}}) \ cdot {\ boldsymbol {d}}}

{\boldsymbol {A}}\cdot {\mathbf {f}}={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\implies {\mathbf {f}}=({\boldsymbol {A}}^{{-1}}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}

Следовательно, условие симметрии материала (используя определение ортогональное преобразование)

K = A - 1 ⋅ K ⋅ A = AT ⋅ K ⋅ A {\ displaystyle {\ boldsymbol {K}} = {\ boldsymbol {A}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {K}} \ cdot {\ boldsymbol {A}} = {\ boldsymbol {A}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {K}} \ cdot {\ boldsymbol {A}}}

{\ boldsymbol {K}} = {\ boldsymbol {A}} ^ {{- 1}} \ cdot {\ boldsymbol {K}} \ cdot {\ boldsymbol {A}} = {\ boldsymbol {A}} ^ {{T} } \ cdot {\ boldsymbol {K}} \ cdot {\ boldsymbol {A}}

Ортогональные преобразования могут быть представлен в декартовых координатах $3 × 3 {\ displaystyle 3 \ times 3}$ $3 \ times 3$ матрицей $A _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {A}} }}}$ $\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}}}}$ задается как

A _ _ = [A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33]. {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {A}}}} = {\ begin {bmatrix} A_ {11} A_ {12} A_ {13} \\ A_ {21} A_ {22} A_ {23 } \\ A_ {31} A_ {32} A_ {33} \ end {bmatrix}} ~.}

\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}}}} = {\ begin {bmatrix} A _ {{11}} A _ {{12}} A_ {{13}} \\ A _ {{21}} A _ {{22}} A _ {{23}} \\ A _ {{31}} A _ {{32}} A _ {{33}} \ en d {bmatrix}} ~.

Следовательно, условие симметрии может быть записано в матричной форме как

K _ _ = AT _ _ K _ _ A _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {K}}}} = {\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}} ^ {T}}}} ~ {\ underline { \ underline {\ boldsymbol {K}}}} ~ {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {A}}}}}

\underline {\underline {{\boldsymbol {K}}}}=\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}^{T}}}~\underline {\underline {{\boldsymbol {K}}}}~\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}}}

Свойства ортотропного материала

Ортотропный материал имеет три ортогональных плоскости симметрии. Если мы выберем ортонормированную систему координат так, чтобы оси совпадали с нормалями к трем плоскостям симметрии, матрицы преобразования равны

A 1 _ _ = [- 1 0 0 0 1 0 0 0 1]; A 2 _ _ = [1 0 0 0 - 1 0 0 0 1]; A 3 _ _ = [1 0 0 0 1 0 0 0 - 1] {\ displaystyle {\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}} _ {1}}}} = {\ begin {bmatrix} -1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \ end {bmatrix}} ~; ~~ {\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}} _ {2}}}} = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 0 -1 0 \\ 0 0 1 \ end {bmatrix}} ~; ~~ {\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}} _ {3}}}} = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 -1 \ end {bmatrix}}}

\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}} _ { 1}}} = {\ begin {bmatrix} -1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \ end {bmatrix}} ~; ~~ \ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}} _ {2}}} = { \ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 0 -1 0 \\ 0 0 1 \ end {bmatrix}} ~; ~~ \ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}} _ {3}}} = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 -1 \ end {bmatrix}}

Можно показать, что если матрица $K _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {K}}}}}$ $\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {K}}}}$ для материал инвариантен при отражении относительно двух ортогональных плоскостей, тогда он также инвариантен при отражении относительно третьей ортогональной плоскости.

Рассмотрим отражение $A 3 _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}} _ {3}}}}}$ $\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}} _ {3}}}$ о $1–2 {\ displaystyle 1-2 \,}$ $1-2\,$ плоскость. Тогда у нас есть

K _ _ = A 3 T _ _ K _ _ A 3 _ _ = [K 11 K 12 - K 13 K 21 K 22 - K 23 - K 31 - K 32 K 33] {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {K}}}} = {\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}} _ {3} ^ {T}}}} ~ {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {K}}}} ~ {\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}} _ {3}}}} = {\ begin {bmatrix} K_ {11} K_ {12} - K_ {13} \\ K_ {21} K_ {22} - K_ {23} \\ - K_ {31} - K_ {32} K_ {33} \ end {bmatrix}}}

\underline {\underline {{\boldsymbol {K}}}}=\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}^{T}}}~\underline {\underline {{\boldsymbol {K}}}}~\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}={\begin{bmatrix}K_{{11}}K_{{12}}-K_{{13}}\\K_{{21}}K_{{22}}-K_{{23}}\\-K_{{31}}-K_{{32}}K_{{33}}\end{bmatrix}}

Из приведенного выше соотношения следует, что $К 13 = К 23 = К 31 = К 32 = 0 {\ displaystyle K_ {13} = K_ {23} = K_ {31} = K_ {32} = 0}$ $K _ {{13}} = K _ {{ 23}} = K _ {{31}} = K _ {{32}} = 0$ . Затем рассмотрим отражение $A 2 _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}} _ {2}}}}}$ $\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}$ около $1–3 {\ displaystyle 1-3 \,}$ $1-3\,$ плоскость. Тогда у нас есть

K _ _ = A 2 T _ _ K _ _ A 2 _ _ = [K 11 - K 12 0 - K 21 K 22 0 0 0 K 33] {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {K}}}} = {\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}} _ {2} ^ {T}}}} ~ {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {K}}} } ~ {\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}} _ {2}}}} = {\ begin {bmatrix} K_ {11} - K_ {12} 0 \\ - K_ {21} K_ { 22} 0 \\ 0 0 K_ {33} \ end {bmatrix}}}

\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {K}}}} = \ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}} _ {2} ^ {T}}} ~ \ underline {\ underline {{\ boldsymbol {K}}}} ~ \ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}} _ {2}}} = {\ begin {bmatrix} K _ {{11}} - K _ {{12}} 0 \\ - K _ {{21}} K _ {22}} 0 \\ 0 0 K _ {{33}} \ end {bmatrix }}

Это означает, что $K 12 = K 21 = 0 {\ displaystyle K_ {12} = K_ {21} = 0}$ $K _ {{12}} = K _ {{21}} = 0$ . Следовательно, свойства ортотропного материала описываются матрицей

K _ _ = [K 11 0 0 0 K 22 0 0 0 K 33] {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {K}} }}} = {\ begin {bmatrix} K_ {11} 0 0 \\ 0 K_ {22} 0 \\ 0 0 K_ {33} \ end {bmatrix}}}

\ underline {\ underline { {\ boldsymbol {K}}}} = {\ begin {bmatrix} K _ {11}} 0 0 \\ 0 K _ {{22}} 0 \\ 0 0 K _ {{33}} \ end {bmatrix}}

Ортотропия при линейной упругости

Анизотропная упругость

В линейной упругости соотношение между напряжением и деформацией зависит от типа рассматриваемого материала. Это соотношение известно как закон Гука. Для анизотропных материалов закон Гука можно записать как

σ = c ⋅ ε {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ mathsf {c}} \ cdot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}

{\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ mathsf {c}} \ cdot {\ boldsy mbol {\ varepsilon}}

где $σ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\boldsymbol {\sigma }}$ - это напряжение тензор, $ε {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$ $\boldsymbol{\varepsilon}$ - тензор деформации, а $c {\ displaystyle {\ mathsf {c}}}$ $\mathsf{c}$ - тензор жесткости упругости. Если тензоры в приведенном выше выражении описываются в терминах компонентов относительно ортонормальной системы координат, мы можем написать

σ ij = cijk ℓ ε k ℓ {\ displaystyle \ sigma _ {ij} = c_ {ijk \ ell} ~ \ varepsilon _ {k \ ell}}

\ sigma _ { {ij}} = c _ {{ijk \ ell}} ~ \ varepsilon _ {{k \ ell}}

где предполагается суммирование по повторяющимся индексам. Поскольку тензоры напряжений и деформаций симметричны, и поскольку зависимость между напряжением и деформацией в линейной упругости может быть получена из функции плотности энергии деформации, для линейно-упругих материалов выполняются следующие симметрии

cijk ℓ = cjik ℓ, cijk ℓ = cij ℓ k, cijk ℓ = ck ℓ ij. {\ Displaystyle c_ {ijk \ ell} = c_ {jik \ ell} ~, ~~ c_ {ijk \ ell} = c_ {ij \ ell k} ~, ~~ c_ {ijk \ ell} = c_ {k \ ell ij} ~.}

c _ {{ijk \ ell}} = c _ {{jik \ ell}} ~, ~~ c _ {{ijk \ ell}} = c _ {{ij \ ell k}} ~, ~~ c _ {{ijk \ ell}} = c _ {{ k \ ell ij}} ~.

Из-за вышеуказанной симметрии соотношение напряжение-деформация для линейных упругих материалов может быть выражено в матричной форме как

[σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 31 σ 12] = [c 1111 c 1122 c 1133 c 1123 c 1131 c 1112 c 2211 c 2222 c 2233 c 2223 c 2231 c 2212 c 3311 c 3322 c 3333 c 3323 c 3331 c 3312 c 2311 c 2322 c 2333 c 2323 c 2331 c 2312 c 3111 c 3122 c 3133 c 3123 c 3131 c 3112 c 1211 c 1222 c 1233 c 1223 c 1231 c 1212] [ε 11 ε 22 ε 33 2 ε 23 2 ε 31 2 ε 12] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {33} \\\ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} \\\ sigma _ {12} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} c_ {1111} c_ {1122} c_ {1133} c_ {1123} c_ {1131} c_ {1112} \\ c_ {2211} c_ {2222} c_ {2233} c_ {2223} c_ {2231} c_ {2212} \\ c_ {3311} c_ {3322} c_ {3333} c_ {3323} c_ {3331} c_ {3312} \\ c_ {2311} c_ {2322} c_ {2333} c_ {2323 } c_ {2331} c_ {2312} \\ c_ {3111} c_ {3122} c_ {3133} c_ {3123} c_ {3131} c_ {3112} \\ c_ {1211} c_ {1 222} c_ {1233} c_ {1223} c_ {1231} c_ {1212} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {11} \\\ varepsilon _ {22} \\\ varepsilon _ { 33} \\ 2 \ varepsilon _ {23} \\ 2 \ varepsilon _ {31} \\ 2 \ varepsilon _ {12} \ end {bmatrix}}}

{\begin{bmatrix}\sigma _{{11}}\\\sigma _{{22}}\\\sigma _{{33}}\\\sigma _{{23}}\\\sigma _{{31}}\\\sigma _{{12}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{{1111}}c_{{1122}}c_{{1133}}c_{{1123}}c_{{1131}}c_{{1112}}\\c_{{2211}}c_{{2222}}c_{{2233}}c_{{2223}}c_{{2231}}c_{{2212}}\\c_{{3311}}c_{{3322}}c_{{3333}}c_{{3323}}c_{{3331}}c_{{3312}}\\c_{{2311}}c_{{2322}}c_{{2333}}c_{{2323}}c_{{2331}}c_{{2312}}\\c_{{3111}}c_{{3122}}c_{{3133}}c_{{3123}}c_{{3131}}c_{{3112}}\\c_{{1211}}c_{{1222}}c_{{1233}}c_{{1223}}c_{{1231}}c_{{1212}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{{11}}\\\varepsilon _{{22}}\\\varepsilon _{{33}}\\2\varepsilon _{{23}}\\2\varepsilon _{{31}}\\2\varepsilon _{{12}}\end{bmatrix}}

Альтернативное представление в нотации Фойгта равно

[σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6] = [C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 12 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 13 C 23 C 33 C 34 C 35 C 36 C 14 C 24 C 34 C 44 C 45 C 46 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 56 C 16 C 26 C 36 C 46 C 56 C 66] [ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6] {\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {1} \\\ sigma _ {2} \\\ sigma _ {3} \\\ sigma _ {4} \\\ sigma _ {5} \\\ sigma _ {6} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} C_ {11} C_ {12} C_ {13} C_ {14} C_ {15} C_ {16} \\ C_ {12} C_ {22} C_ {23} C_ {24} C_ {25} C_ {26} \\ C_ {13} C_ {23} C_ {33} C_ {34} C_ {35} C_ { 36} \\ C_ {14} C_ {24} C_ {34} C_ {44} C_ {45} C_ {46} \\ C_ {15} C_ {25} C_ {35} C_ {45} и C_ {55} C_ {56} \\ C_ {16} C_ {26} C_ {36} C_ {46} C_ {56} C_ {66} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {1} \\ \ varepsilon _ {2} \\\ varepsilon _ {3} \\\ varepsil на _ {4} \\\ varepsilon _ {5} \\\ varepsilon _ {6} \ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} \ sigma _ {1} \\\ sigma _ {2} \\\ sigma _ {3} \\\ sigma _ {4} \\\ sigma _ {5} \\\ sigma _ {6} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmat rix}C_{{11}}C_{{12}}C_{{13}}C_{{14}}C_{{15}}C_{{16}}\\C_{{12}}C_{{22}}C_{{23}}C_{{24}}C_{{25}}C_{{26}}\\C_{{13}}C_{{23}}C_{{33}}C_{{34}}C_{{35}}C_{{36}}\\C_{{14}}C_{{24}}C_{{34}}C_{{44}}C_{{45}}C_{{46}}\\C_{{15}}C_{{25}}C_{{35}}C_{{45}}C_{{55}}C_{{56}}\\C_{{16}}C_{{26}}C_{{36}}C_{{46}}C_{{56}}C_{{66}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}

или

σ _ _ = C _ _ ε _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ sigma}}}} = {\ underline {\ underline {\ mathsf {C}}}} ~ {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}}}

\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {\ sigma}}}} = \ underline {\ underline {{\ mathsf {C}}}} ~ \ underline { \ underline {{\ boldsymbol {\ varepsilon}}}}

Матрица жесткости $C _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathsf {C}}}}}$ $\underline {\underline {{\mathsf {C}}}}$ в приведенном выше соотношении удовлетворяет точке симметрия.

Условие симметрии материала

Матрица жесткости $C _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathsf {C}}}}}$ $\underline {\underline {{\mathsf {C}}}}$ удовлетворяет заданное условие симметрии, если оно не изменяется при выполнении соответствующего ортогонального преобразования. Ортогональное преобразование может представлять симметрию относительно точки точки, оси или плоскости плоскости. Ортогональные преобразования в линейной упругости включают в себя вращения и отражения, но не преобразования с изменением формы, и могут быть представлены в ортонормированных координатах $3 × 3 {\ displaystyle 3 \ times 3}$ $3 \ times 3$ матрицей $A _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {A}}}}}$ $\ underline {\ underline {{\ mathbf {A}}}}$ задано

A _ _ = [A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 А 31 А 32 А 33]. {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {A}}}} = {\ begin {bmatrix} A_ {11} A_ {12} A_ {13} \\ A_ {21} A_ {22} A_ {23 } \\ A_ {31} A_ {32} A_ {33} \ end {bmatrix}} ~.}

\underline {\underline {{\mathbf {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{{11}}A_{{12}}A_{{13}}\\A_{{21}}A_{{22}}A_{{23}}\\A_{{31}}A_{{32}}A_{{33}}\end{bmatrix}}~.

В нотации Фойгта матрица преобразования для тензора напряжений может быть выражена как $6 × 6 {\ displaystyle 6 \ times 6}$ $6 \ times 6$ матрица $A σ _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {{\ mathsf {A}} _ {\ sigma}} }}}$ $\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}$ задано как

A σ _ _ = [A 11 2 A 12 2 A 13 2 2 A 12 A 13 2 A 11 A 13 2 A 11 A 12 A 21 2 A 22 2 A 23 2 2 A 22 A 23 2 A 21 A 23 2 A 21 A 22 A 31 2 A 32 2 A 33 2 2 A 32 A 33 2 A 31 A 33 2 A 31 A 32 A 21 A 31 A 22 A 32 A 23 A 33 A 22 A 33 + A 23 A 32 A 21 A 33 + A 23 A 31 A 21 A 32 + A 22 A 31 A 11 A 31 A 12 A 32 A 13 A 33 A 12 A 33 + A 13 A 32 A 11 A 33 + A 13 A 31 A 11 A 32 + A 12 A 31 A 11 A 21 A 12 A 22 A 13 A 23 A 12 A 23 + A 13 A 22 A 11 A 23 + A 13 A 21 A 11 A 22 + A 12 A 21] {\ displaystyle {\ underline {\ underline {{\ mathsf {A}} _ {\ sigma}}}}} = {\ begin {bmatrix} A_ {11} ^ {2} A_ {12} ^ {2} A_ {13} ^ {2} 2A_ {12} A_ {13} 2A_ {11} A_ {13} 2A_ {11} A_ {12} \\ A_ {21} ^ {2} A_ {22} ^ {2} и A_ {23} ^ {2} 2A_ {22} A_ {23} 2A_ {21} A_ {23} 2A_ {21} A_ {22} \\ A_ {31} ^ {2} A_ {32} ^ {2} A_ {33} ^ {2} 2A_ {32} A_ {33} 2A_ {31} A_ {33} и 2A_ {31} A_ {32} \\ A_ {21} A_ {31} A_ {22} A_ {32} и A_ {23} A_ {33} A_ {22} A_ {33} + A_ {23} A_ {32} A_ {21} A_ {33} + A_ {23} A_ {31} и A_ {21} A_ {32} + A_ {22} A_ {31} \\ A_ {11} A_ {31} A_ {12} A_ {32} A_ {13} A_ {33} A_ {12} A_ {33} + A_ {13} A_ {32} и A_ {11 } A_ {33} + A_ {13} A_ {31} A_ {11} A_ {32} + A_ {12} A_ {31} \\ A_ {11} A_ {21} A_ {12} A_ {22} и A_ {13} A_ {23} A_ {12} A_ {23} + A_ {13} A_ {22} A_ {11} A_ {23} + A_ {13} A_ {21} и A_ {11} A_ {22} + A_ {12} A_ {21} \ end {bmatrix}}}

\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}={\begin{bmatrix}A_{{11}}^{2}A_{{12}}^{2}A_{{13}}^{2}2A_{{12}}A_{{13}}2A_{{11}}A_{{13}}2A_{{11}}A_{{12}}\\A_{{21}}^{2}A_{{22}}^{2}A_{{23}}^{2}2A_{{22}}A_{{23}}2A_{{21}}A_{{23}}2A_{{21}}A_{{22}}\\A_{{31}}^{2}A_{{32}}^{2}A_{{33}}^{2}2A_{{32}}A_{{33}}2A_{{31}}A_{{33}}2A_{{31}}A_{{32}}\\A_{{21}}A_{{31}}A_{{22}}A_{{32}}A_{{23}}A_{{33}}A_{{22}}A_{{33}}+A_{{23}}A_{{32}}A_{{21}}A_{{33}}+A_{{23}}A_{{31}}A_{{21}}A_{{32}}+A_{{22}}A_{{31}}\\A_{{11}}A_{{31}}A_{{12}}A_{{32}}A_{{13}}A_{{33}}A_{{12}}A_{{33}}+A_{{13}}A_{{32}}A_{{11}}A_{{33}}+A_{{13}}A_{{31}}A_{{11}}A_{{32}}+A_{{12}}A_{{31}}\\A_{{11}}A_{{21}}A_{{12}}A_{{22}}A_{{13}}A_{{23}}A_{{12}}A_{{23}}+A_{{13}}A_{{22}}A_{{11}}A_{{23}}+A_{{13}}A_{{21}}A_{{11}}A_{{22}}+A_{{12}}A_{{21}}\end{bmatrix}}

Преобразование для тензора деформации имеет немного другую форму из-за выбора обозначений. Эта матрица преобразования имеет вид

A ε _ _ = [A 11 2 A 12 2 A 13 2 A 12 A 13 A 11 A 13 A 11 A 12 A 21 2 A 22 2 A 23 2 A 22 A 23 A 21 A 23 A 21 A 22 A 31 2 A 32 2 A 33 2 A 32 A 33 A 31 A 33 A 31 A 32 2 A 21 A 31 2 A 22 A 32 2 A 23 A 33 A 22 A 33 + A 23 A 32 A 21 A 33 + A 23 A 31 A 21 A 32 + A 22 A 31 2 A 11 A 31 2 A 12 A 32 2 A 13 A 33 A 12 A 33 + A 13 A 32 A 11 A 33 + A 13 A 31 A 11 A 32 + A 12 A 31 2 A 11 A 21 2 A 12 A 22 2 A 13 A 23 A 12 A 23 + A 13 A 22 A 11 A 23 + A 13 A 21 A 11 A 22 + A 12 A 21] {\ displaystyle {\ underline {\ underline {{\ mathsf {A}} _ {\ varepsilon}}}} = {\ begin {bmatrix} A_ {11} ^ {2} A_ {12} ^ {2 } A_ {13} ^ {2} A_ {12} A_ {13} A_ {11} A_ {13} A_ {11} A_ {12} \\ A_ {21} ^ {2} A_ {22} ^ {2 } A_ {23} ^ {2} A_ {22} A_ {23} A_ {21} A_ {23} A_ {21} A_ {22} \\ A_ {31} ^ {2} A_ {32} ^ {2 } A_ {33} ^ {2} A_ {32} A_ {33} A_ {31} A_ {33} A_ {31} A_ {32} \\ 2A_ {21} A_ {31} 2A_ {22} A_ {32 } 2A_ {23} A_ {33} A_ {22} A_ {33} + A_ {23} A_ {32} A_ {21} A_ {33} + A_ {23} A_ {31} A_ {21} A_ {32 } + A_ {22} A_ {31} \\ 2A_ {11} A_ {31} и 2A_ {12} A_ {32} 2A_ {13} A_ {33} A_ {12} A_ {33} + A_ {13} A_ { 32} A_ {11} A_ {33} + A_ {13} A_ {31} A_ {11} A_ {32} + A_ {12} A_ {31} \\ 2A_ {11} A_ {21} и 2A_ {12} A_ {22} и 2A_ {13} A_ {23} и A_ {12} A_ {23} + A_ {13} A_ {22} и A_ {11} A_ {23} + A_ {13} A_ {21} и A_ {11} A_ {22} + A_ {12} A_ {21} \ end {bmatrix}}}

\ underline {\ underline {{\ mathsf {A}} _ {\ varepsilon}}} = {\ begin {bmatrix} A _ {{11}} ^ {2} A _ {{12}} ^ {2} A _ {{13}} ^ { 2} A _ {{12}} A _ {{13}} A _ {{11}} A _ {{13}} A _ {{11}} A _ {{12}} \\ A _ {{21}} ^ {2} A _ {{22}} ^ {2} A _ {{23}} ^ {2} A _ {22}} A _ {{23}} A _ {{21}} A _ {{23}} A _ {{21}} A _ {{22}} \\ A _ {{31}} ^ {2} A _ {{32}} ^ {2} A _ {{33}} ^ {2} A _ {{32}} A _ {33}} A _ {{31}} A _ {{33}} A _ {{31}} A _ {{32}} \\ 2A _ {{21}} A _ {{31}} 2A _ {{22}} A _ {32}} 2A _ {{23}} A _ {{33}} A _ {{22}} A _ {{33}} + A _ {{23}} A _ {{32}} A _ {{21}} A _ {{33}} + A _ {{23}} A _ {{31}} A _ {{21}} A _ {{32}} + A _ {{22}} A _ {{31}} \\ 2A _ {{11}} A _ {{31} } 2A _ {{12}} A _ {{32}} 2A _ {{13}} A _ {{33}} A _ {{12}} A _ {{33}} + A_ { {13}} A _ {{32}} A _ {{11}} A _ {{33}} + A _ {{13}} A _ {{31}} A _ {{11}} A _ {{32}} + A_ { {12}} A _ {{31}} \\ 2A _ {{11}} A _ {{21}} 2A _ {{12}} A _ {{22}} и 2A _ {{13}} A _ {{23}} A_ { {12}} A _ {{23}} + A _ {{13}} A _ {{22}} A _ {{11}} A _ {{23}} + A _ {{13}} A _ {{21}} A_ { {11}} A _ {{22}} + A _ {{12}} A _ {{21}} \ end {bmatrix}}

Можно показать, что $A ε _ _ T = A σ _ _ - 1 {\ displaystyle {\ underline { \ underline {{\ mathsf {A}} _ {\ varepsilon}}}} ^ {T} = {\ underline {\ underline {{\ mathsf {A}} _ {\ sigma}}}} ^ {- 1} }$ $\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}^{T}=\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}^{{-1}}$ .

Упругие свойства континуума инвариантны относительно ортогонального преобразования $A _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {A}}}}}$ $\ underline {\ underline {{\ mathbf {A}}}}$ тогда и только если

C _ _ = A ε _ _ TC _ _ A ε _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathsf {C}}}} = {\ underline {\ underline {{\ mathsf {A) }} _ {\ varepsilon}}}} ^ {T} ~ {\ underline {\ underline {\ mathsf {C}}}} ~ {\ underline {\ underline {{\ mathsf {A}} _ {\ varepsilon} }}}}

\ underline {\ underline {{\ mathsf {C}}}} = \ underline {\ underline {{\ mathsf {A}} _ {\ varepsilon}}} ^ { T} ~ \ underline {\ underline {{\ mathsf {C}}}} ~ \ underline {\ underline {{\ mathsf {A}} _ {\ varepsilon}}}

Матрицы жесткости и податливости в ортотропной упругости

Ортотропный эластичный материал имеет три ортогональные плоскости симметрии. Если мы выберем ортонормированную систему координат так, чтобы оси совпадали с нормалями к трем плоскостям симметрии, матрицы преобразования равны

A 1 _ _ = [- 1 0 0 0 1 0 0 0 1]; A 2 _ _ = [1 0 0 0 - 1 0 0 0 1]; A 3 _ _ = [1 0 0 0 1 0 0 0 - 1] {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {A} _ {1}}}} = {\ begin {bmatrix} -1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \ end {bmatrix}} ~; ~~ {\ underline {\ underline {\ mathbf {A} _ {2}}}} = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 0 -1 0 \\ 0 0 1 \ end {bmatrix}} ~; ~~ {\ underline {\ underline {\ mathbf {A} _ {3}}}} = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 -1 \ end {bmatrix}} }

\ underline {\ underline {{\ mathbf {A}} _ {1}}} = {\ begin {bmatrix} -1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \ end {bmatrix}} ~; ~~ \ underline {\ underline {{\ mathbf {A}} _ {2}}} = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 0 -1 0 \\ 0 0 1 \ end {bmatrix}} ~; ~~ \ underline { \ underline {{\ mathbf {A}} _ {3}}} = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 -1 \ end {bmatrix}}

Мы можем показать, что если матрица $C _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathsf {C}}}}}$ $\underline {\underline {{\mathsf {C}}}}$ для линейного упругого материала инвариантна относительно отражение относительно двух ортогональных плоскостей, то оно также инвариантно относительно отражения относительно третьей ортогональной плоскости.

Если мы рассмотрим отражение $A 3 _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {A} _ {3}}}}}$ $\ underline {\ underline {{\ mathbf {A}} _ { 3}}}$ о $1-2 {\ displaystyle 1-2 \,}$ $1-2\,$ плоскость, тогда у нас есть

A ε _ _ = [1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 1] {\ displaystyle {\ underline {\ underline {{\ mathsf {A}} _ {\ varepsilon}}}} = { \ begin {bmatrix} 1 0 0 0 0 0 \\ 0 1 0 0 0 0 \\ 0 0 1 0 0 0 \\ 0 0 0 0 -1 0 0 \\ 0 0 0 0 -1 0 \\ 0 0 0 0 0 1 \ end {bmatrix}} _ _ A ε _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathsf {C}}}} = {\ underline {\ underline {{\ mathsf {A}} _ {\ varepsilon}}}} ^ {T } ~ {\ underline {\ underline {\ mathsf {C}}}} ~ {\ underline {\ underline {{\ mathsf {A}} _ {\ varepsilon}}}}}

\ underline {\ underline {{\ mathsf {C}}}} = \ underline {\ underline {{\ mathsf {A}} _ {\ varepsilon}}} ^ { T} ~ \ underline {\ underline {{\ mathsf {C}}}} ~ \ underline {\ underline {{\ mathsf {A}} _ {\ varepsilon}}}

означает, что

[C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 12 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 13 C 23 C 33 C 34 C 35 C 36 C 14 C 24 C 34 C 44 C 45 C 46 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 56 C 16 C 26 C 36 C 46 C 56 C 66] = [C 11 C 12 C 13 - C 14 - C 15 C 16 С 12 С 22 С 23 - С 24 - С 25 С 26 С 13 С 23 С 33 - С 34 - С 35 С 36 - С 14 - С 24 - С 34 С 44 С 45 - С 46 - С 15 - С 25 - C 35 C 45 C 55 - C 56 C 16 C 26 C 36 - C 46 - C 56 C 66] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} C_ {11} C_ {12} C_ {13} C_ {14} C_ {15} C_ {16} \\ C_ {12} C_ {22} C_ {23} C_ {24} C_ {25} C_ {26} \\ C_ {13} C_ {23} C_ {33} C_ { 34} C_ {35} C_ {36} \\ C_ {14} C_ {24} C_ {34} C_ {44} C_ {45} C_ {46} \\ C_ {15} C_ {25} и C_ {35} C_ {45} C_ {55} C_ {56} \\ C_ {16} C_ {26} C_ {36} C_ {46} C_ {56} C_ {66} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix } C_ {11} C_ {12} C_ {13} - C_ {14} - C_ {15} C_ {16} \\ C_ {12} C_ {22} C_ {23} - C_ {24} -C_ {25} C_ {26} \\ C_ {13} C_ {23} C_ {33} - C_ {34} - C_ {35} C_ {36} \\ - C_ {14} - C_ { 24} - C_ {34} C_ {44} C_ {45} - C_ {46} \\ - C_ {15} - C_ {25} - C_ {35} C_ {45} C_ {55} -C_ {56} \\ C_ {16} C_ {26} C_ {36} - C_ {46} - C_ {56} C_ {66} \ end {bmatrix}}}

{\begin{bmatrix}C_{{11}}C_{{12}}C_{{13}}C_{{14}}C_{{15}}C_{{16}}\\C_{{12}}C_{{22}}C_{{23}}C_{{24}}C_{{25}}C_{{26}}\\C_{{13}}C_{{23}}C_{{33}}C_{{34}}C_{{35}}C_{{36}}\\C_{{14}}C_{{24}}C_{{34}}C_{{44}}C_{{45}}C_{{46}}\\C_{{15}}C_{{25}}C_{{35}}C_{{45}}C_{{55}}C_{{56}}\\C_{{16}}C_{{26}}C_{{36}}C_{{46}}C_{{56}}C_{{66}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{{11}}C_{{12}}C_{{13}}-C_{{14}}-C_{{15}}C_{{16}}\\C_{{12}}C_{{22}}C_{{23}}-C_{{24}}-C_{{25}}C_{{26}}\\C_{{13}}C_{{23}}C_{{33}}-C_{{34}}-C_{{35}}C_{{36}}\\-C_{{14}}-C_{{24}}-C_{{34}}C_{{44}}C_{{45}}-C_{{46}}\\-C_{{15}}-C_{{25}}-C_{{35}}C_{{45}}C_{{55}}-C_{{56}}\\C_{{16}}C_{{26}}C_{{36}}-C_{{46}}-C_{{56}}C_{{66}}\end{bmatrix}}

Вышеупомянутое требование может быть выполняется, только если

C 14 = C 15 = C 24 = C 25 = C 34 = C 35 = C 46 = C 56 = 0. {\ displaystyle C_ {14} = C_ {15} = C_ {24} = C_ {25} = C_ {34} = C_ {35} = C_ {46} = C_ {56} = 0 ~.}

C_{{14}}=C_{{15}}=C_{{24}}=C_{{25}}=C_{{34}}=C_{{35}}=C_{{46}}=C_{{56}}=0~.

Давайте теперь рассмотрим отражение $A 2 _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {A} _ {2}}}}}$ $\underline {\underline {{\mathbf {A}}_{2}}}$ около $1–3 {\ displaystyle 1-3 \,}$ $1-3\,$ плоскость. В этом случае

A ε _ _ = [1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 - 1 ] {\ displaystyle {\ underline {\ underline {{\ mathsf {A}} _ {\ varepsilon}}}} = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 0 0 0 \\ 0 1 0 0 0 0 \\ 0 0 1 0 0 0 0 0 \\ 0 0 0 0 1 0 0 0 \\ 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 \ end {bmatrix}}}

\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}={\begin{bmatrix}100000\\010000\\001000\\000-100\\000010\\00000-1\end{bmatrix}}

Снова используя условие инвариантности, мы получаем дополнительное требование:

C 16 = C 26 = C 36 = C 45 = 0. {\ displaystyle C_ {16} = C_ {26} = C_ {36} = C_ {45} = 0 ~.}

C_{{16}}=C_{{26}}=C_{{36}}=C_{{45}}=0~.

Никакой дополнительной информации получить нельзя, потому что отражение о третьей плоскости симметрии не зависит от отражений от самолеты, которые мы уже рассматривали. Следовательно, матрица жесткости ортотропного линейного упругого материала может быть записана как

C _ _ = [C 11 C 12 C 13 0 0 0 C 12 C 22 C 23 0 0 0 C 13 C 23 C 33 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 55 0 0 0 0 0 0 C 66] {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathsf {C}}}} = {\ begin {bmatrix} C_ {11 } C_ {12} C_ {13} 0 0 0 \\ C_ {12} C_ {22} C_ {23} 0 0 0 \\ C_ {13} C_ {23} C_ {33} 0 0 0 \\ 0 0 0 C_ {44} 0 0 \\ 0 0 0 0 0 0 {55} 0 \\ 0 0 0 0 0 C_ {66} \ end {bmatrix}}}

\ underline {\ underline {{\ mathsf {C}}}} знак равно \ begin {bmatrix} C _ {{11}} C _ {{12}} C _ {{13}} 0 0 0 \\ C _ {{12}} C _ {{22}} C _ {{23}} 0 0 0 \\ C _ {{ 13}} C _ {{23}} C _ {{33}} 0 0 0 \\ 0 0 0 C _ {{44}} 0 0 \\ 0 0 0 0 C _ {55}} 0 \\ 0 0 0 0 0 0 C _ {{66}} \ end {bmatrix}}

Обратная матрица обычно записывается как

S _ _ = [1 E 1 - ν 21 E 2 - ν 31 E 3 0 0 0 - ν 12 E 1 1 E 2 - ν 32 E 3 0 0 0 - ν 13 E 1 - ν 23 E 2 1 E 3 0 0 0 0 0 0 1 G 23 0 0 0 0 0 0 1 G 31 0 0 0 0 0 0 1 г 12] {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathsf {S}}}} = {\ begin {bmatrix} {\ tfrac {1} {E _ {\ rm {1}} }} - {\ tfrac {\ nu _ {\ rm {21}}} {E _ {\ rm {2}}}} - {\ tfrac {\ nu _ {\ rm {31}}} {E_ { \ rm {3}}}} 0 0 0 \\ - {\ tfrac {\ nu _ {\ rm {12}}} {E _ {\ rm {1}}}} и {\ tfrac {1} {E _ {\ rm {2}}}} - {\ tfrac {\ nu _ {\ rm {32}}} {E _ {\ rm {3}}}} 0 0 0 \\ - {\ tfrac {\ nu _ {\ rm {13 }}} {E _ {\ rm { 1}}}} - {\ tfrac {\ nu _ {\ rm {23}}} {E _ {\ rm {2}}}} и {\ tfrac {1} {E _ {\ rm {3}}} } 0 0 0 \\ 0 0 0 {\ tfrac {1} {G _ {\ rm {23}}}} 0 0 \\ 0 0 0 0 {\ tfrac {1} {G _ {\ rm {31}}}} 0 \\ 0 0 0 0 0 {\ tfrac {1} {G _ {\ rm {12}}}} \\\ end {bmatrix}}}

\underline {\underline {{\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{{{\rm {1}}}}}}-{\tfrac {\nu _{{{\rm {21}}}}}{E_{{{\rm {2}}}}}}-{\tfrac {\nu _{{{\rm {31}}}}}{E_{{{\rm {3}}}}}}000\\-{\tfrac {\nu _{{{\rm {12}}}}}{E_{{{\rm {1}}}}}}{\tfrac {1}{E_{{{\rm {2}}}}}}-{\tfrac {\nu _{{{\rm {32}}}}}{E_{{{\rm {3}}}}}}000\\-{\tfrac {\nu _{{{\rm {13}}}}}{E_{{{\rm {1}}}}}}-{\tfrac {\nu _{{{\rm {23}}}}}{E_{{{\rm {2}}}}}}{\tfrac {1}{E_{{{\rm {3}}}}}}000\\000{\tfrac {1}{G_{{{\rm {23}}}}}}00\\0000{\tfrac {1}{G_{{{\rm {31}}}}}}0\\00000{\tfrac {1}{G_{{{\rm {12}}}}}}\\\end{bmatrix}}

где $E i {\ displaystyle {E} _ {\ rm {i}} \,}$ ${E}_{\rm i}\,$ - модуль Юнга вдоль оси $i {\ displaystyle i}$ $i$ , $G ij {\ displaystyle G _ {\ rm {ij}} \,}$ $G _ {\ rm ij} \,$ - модуль сдвига в направлении $j {\ displaystyle j}$ $j$ на плоскости, нормаль которой находится в направлении $i {\ displaystyle i}$ $i$ , а $ν ij {\ displaystyle \ nu _ {\ rm {ij}} \,}$ $\nu_{\rm ij}\,$ - это коэффициент Пуассона, который соответствует сокращению в направлении $j {\ displaystyle j}$ $j$ , когда расширение применяется в направлении $i {\ displaystyle i}$ $i$ .

Границы модулей ортотропных эластичных материалов

Соотношение деформация-напряжение для ортотропных линейно-упругих материалов может быть записано в нотации Фойгта как

ε _ _ = S _ _ σ _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}} = {\ underline {\ underline {\ mathsf {S}}}} ~ {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ sigma}}}}}

\ underline { \ underline {{\ boldsymbol {\ varepsilon}}}} = \ underline {\ underline {{\ mathsf {S}}}} ~ \ underline {\ underline {{\ boldsymbol {\ sigma}}}}

где матрица соответствия $S _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathsf {S}}}}}$ $\underline {\underline {{\mathsf {S}}}}$ задается как

S _ _ = [S 11 S 12 S 13 0 0 0 S 12 S 22 S 23 0 0 0 S 13 S 23 S 33 0 0 0 0 0 0 S 44 0 0 0 0 0 0 S 55 0 0 0 0 0 0 S 66] {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathsf {S}}}} = {\ begin {bmatrix} S_ {11} S_ {12} S_ {13} 0 0 0 \\ S_ {12} S_ {22} S_ {23} 0 0 0 \\ S_ {13} S_ {23} S_ {33} 0 0 0 \\ 0 0 0 S_ {44} 0 0 \\ 0 0 0 0 0 S_ {55} 0 \\ 0 0 0 0 0 S_ {66} \ end {bmatrix}}}

\underline {\underline {{\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}S_{{11}}S_{{12}}S_{{13}}000\\S_{{12}}S_{{22}}S_{{23}}000\\S_{{13}}S_{{23}}S_{{33}}000\\000S_{{44}}00\\0000S_{{55}}0\\00000S_{{66}}\end{bmatrix}}

Матрица соответствия симметричный и должен быть положительно определенным, чтобы плотность энергии деформации была положительной. Из критерия Сильвестра это означает, что все главные миноры матрицы положительны, т. Е.

Δ k: = det (S k _ _)>0 {\ displaystyle \ Дельта _ {k}: = \ det ({\ underline {\ underline {{\ mathsf {S}} _ {k}}}})>0}

$\Delta _{k}:=\det(\underline {\underline {{\mathsf {S}}_{k}}})>0$

где $S k _ _ {\ displaystyle {\ underlinestyle {\ underlinestyle {\ подчеркивание) {\ underline {{\ mathsf {S}} _ {k}}}}}$ $\underline {\underline {{\mathsf {S}}_{k}}}$ - это $k × k {\ displaystyle k \ times k}$ $k \ times k$ главный подматрица из $S _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathsf {S}}}}}$ $\underline {\underline {{\mathsf {S}}}}$ .