В геометрии, Восьмиугольная мозаика порядка 4 - это регулярная мозаика гиперболической плоскости . Он имеет символ Шлефли из {8,4}. Его раскраска шахматной доски может быть названа восьмиугольной мозаикой, а символом Шлефли r {8,8}.
Содержание
- 1 Однородные конструкции
- 2 Симметрия
- 3 Связанные многогранники и мозаика
- 4 См. Также
- 5 Ссылки
- 6 Внешние ссылки
Однородные конструкции
Есть четыре однородных конструкции этой плитки, три из которых построены путем удаления зеркала из калейдоскопа [8,8] . Удаление зеркала между точками порядка 2 и 4, [8,8,1], дает симметрию [(8,8,4)], (* 884). Удаление двух зеркал как [8,4] оставляет оставшиеся зеркала * 4444 симметричными.
Четыре однородных конструкции из 8.8.8.8Равномерное. Раскраска | | | | |
---|
Симметрия | [8,4]. (* 842). | [8,8]. (* 882). = | [(8,4,8)] = [8,8,1]. (* 884). = = | [1,8,8,1]. (* 4444). =. |
---|
Символ | {8,4} | r {8,8} | r (8,4,8) = r {8,8} ⁄ 2 | r {8,4} ⁄ 8 = r {8,8} ⁄ 4 |
---|
Диаграмма Кокстера. | | | = = | = =. = |
---|
Симметрия
Эта мозаика представляет собой гиперболическую калейдоскоп из 8 зеркал, встречающихся как грани правильного шестиугольника. Эта симметрия с помощью орбифолдной нотации называется (* 22222222) или (* 2) с 8 зеркальными пересечениями порядка 2. В нотация Кокстера может быть представлена как [8,4], удаляя два из трех зеркал (проходящих через центр восьмиугольника) в симметрии [8,4]. Добавление биссектрисы через 2 вершины восьмиугольной фундаментальной области определяет трапецию. Добавление 4-х пополам зеркал через вершины определяет симметрию * 444. Добавление 4 пополам зеркал через край определяет симметрию * 4222. Добавление всех 8 биссектрис приводит к полной симметрии * 842.
Калейдоскопические области можно рассматривать как двухцветные восьмиугольные мозаики, представляющие зеркальные изображения фундаментальной области. Эта раскраска представляет собой однородный тайлинг r {8,8}, квазирегулярный тайлинг, и его можно назвать восьмиугольным замощением .
Связанные многогранники и тайлинг
Этот тайлинг топологически связаны как часть последовательности правильных мозаик с восьмиугольными гранями, начиная с восьмиугольного мозаика, с символом Шлефли {8, n} и Диаграмма Кокстера , стремящаяся к бесконечности.
* n42 мутация симметрии правильных мозаик: {n, 4} [ ] |
---|
Сферические | Евклидовы | Гиперболические мозаики |
---|
| | | | | | | |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... ∞ |
Эта мозаика также топологически связана как часть последовательности правильных многогранников и мозаик с четырьмя гранями на вершину, начиная с октаэдра , с символом Шлефли {n, 4} и диаграммой Кокстера , где n стремится к бесконечности.
Равномерные восьмиугольные / квадратные мозаики [ ] |
---|
[8,4], (* 842). (с [8,8] (* 882), [(4,4,4)] (* 444), [∞, 4, ∞] (* 4222) подсимметрии индекса 2). (And [(∞, 4, ∞, 4)] (* 4242) подсимметрия индекса 4) |
---|
. = . . = . = | . = | . = . = . . = | . . = | . . = . = | . . . = | |
| | | | | | |
{8,4} | t {8,4}. | r {8,4} | 2t {8,4} = t {4,8} | 2r {8,4} = {4,8} | rr {8,4} | tr {8,4} |
Однородные двойные |
---|
| | | | | | |
| | | | | | |
V8 | V4.16.16 | V (4.8) | V8.8.8 | V4 | V4.4.4.8 | V4.8.16 |
Чередование |
---|
[1,8,4]. (* 444) | [8, 4]. (8 * 2) | [8,1,4]. (* 4222) | [8,4]. (4 * 4) | [8,4,1]. (* 882) | [(8,4,2)]. (2 * 42) | [8, 4]. (842) |
---|
. = | . = | . = | . = | . = | . = | |
| | | | | | |
ч {8,4} | с {8,4} | ч {8,4} | с {4,8} | ч { 4,8} | hrr {8,4} | sr {8,4} |
Двойные чередования |
---|
| | | | | | |
| | | | | | |
V(4.4) | V3. (3.8) | V (4.4.4) | V (3.4) | V8 | V4.4 | V3.3.4.3.8 |
Равномерные восьмиугольные мозаики [ ] |
---|
Симметрия: [8, 8], (* 882) |
---|
= . = | = . = | = . = | = . = | = . = | = . = | = . = |
| | | | | | |
{8,8} | t {8,8}. | r {8,8} | 2t {8,8} = t {8,8} | 2r {8,8} = {8,8} | r r {8,8} | tr {8,8} |
Унифицированные двойные |
---|
| | | | | | |
| | | | | | |
V8 | V8.16.16 | V8.8.8.8 | V8.16.16 | V8 | V4.8.4.8 | V4.16.16 |
Чередования |
---|
[1,8,8]. (* 884) | [8,8]. (8 * 4) | [8,1,8]. (* 4242) | [8,8]. (8 * 4) | [8,8,1]. (* 884) | [(8,8,2)]. (2 * 44) | [8,8]. (882) |
---|
= | | = | | = | = . = | = . = |
| | | | | | |
h {8,8} | с {8,8} | ч {8,8} | с {8,8} | ч {8,8} | hrr {8,8} | sr {8,8} |
Двойное чередование |
---|
| | | | | | |
| | | | | | |
V(4.8) | V3.4.3.8.3.8 | V (4.4) | V3.4.3.8.3.8 | V (4.8) | V4 | V3.3.8.3.8 |
См. Также
| На Викискладе есть материалы, связанные с восьмиугольной мозаикой Order-4. |
Ссылки
- Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 19, Гиперболические архимедовы мозаики)
- «Глава 10: Обычные соты в гиперболическом спа ce ". Красота геометрии: двенадцать очерков. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
Внешние ссылки