Мультивектор

"p-вектор" перенаправляется сюда. Для использования в других целях, см K-вектор (значения).

В полилинейной алгебре, А поливектор, которую иногда называют Клиффорд числом, является элементом внешней алгебры Л ( V) из векторного пространства V. Эта алгебра градуированный, ассоциативна и переменный, и состоит из линейных комбинаций из простых K -векторов (также известных как разлагаемые K -векторы или K -blades ) вида

${\ Displaystyle v_ {1} \ клин \ cdots \ клин v_ {к},}$

где в V. ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {k}}$

К -векторных такая линейная комбинация, которая является однородной степени к (все термины к -blades для того же самого к). В зависимости от авторов, «мультивектор» может быть либо k- вектором, либо любым элементом внешней алгебры (любая линейная комбинация k- лезвий с потенциально различными значениями k).

В дифференциальной геометрии, A к -векторному представляет собой вектор во внешней алгебре касательного вектора пространства ; то есть, это антисимметрическая тензор получается взятие линейных комбинаций внешнего произведения из к касательным векторам, для некоторых целого числа к ≥ 0. Дифференциала к -форма является к -векторному во внешней алгебре двойных касательного пространства, что также является двойственной внешней алгеброй касательного пространства.

Для к = 0, 1, 2 и 3, K -векторам часто называют соответственно скаляры, векторы, бивекторы и тривекторы ; они соответственно двойственны 0-формам, 1-формам, 2-формам и 3-формам.

• 1 Внешний продукт
• 2 Площадь и объем
  • 2.1 Мультивекторы в R ²
  • 2.2 Мультивекторы в R ³
• 3 координаты Грассмана
  • 3.1 Мультивекторы на P ²
  • 3.2 Мультивекторы на P ³
• 4 изделия Клиффорда
• 5 Геометрическая алгебра
  • 5.1 Примеры
  • 5.2 Бивекторы
• 6 приложений
• 7 См. Также
• 8 ссылки

Основная статья: Внешняя алгебра

Внешний продукт (также называемый продуктом клина), используемый для построения мультивекторов, является полилинейным (линейным на каждом входе), ассоциативным и чередующимся. Это означает, что для векторов u, v и w в векторном пространстве V и для скаляров α, β внешнее произведение имеет свойства:

• Линейный вход: ${\ displaystyle \ mathbf {u} \ wedge (\ alpha \ mathbf {v} + \ beta \ mathbf {w}) = \ alpha \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v} + \ beta \ mathbf {u} \ клин \ mathbf {w};}$
• Ассоциативный: ${\ displaystyle (\ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v}) \ wedge \ mathbf {w} = \ mathbf {u} \ wedge (\ mathbf {v} \ wedge \ mathbf {w});}$
• Чередование: ${\ displaystyle \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {u} = 0.}$

Внешнее произведение k векторов или сумма таких произведений (для одного k) называется многовектором степени k или k -вектором. Максимальная степень поливектора размерность векторного пространства V.

Линейность на любом входе вместе с свойством чередования подразумевает линейность на другом входе. Полилинейности из внешнего продукта позволяет поливектору быть выражена в виде линейной комбинации внешних произведений базисных векторов V. Внешнее произведение k базисных векторов V является стандартным способом построения каждого базисного элемента для пространства k -векторов, имеющего размерность (^п _к) во внешней алгебре n -мерного векторного пространства.

К -векторных получается из внешнего произведения K отдельных векторов в п - мерном пространстве имеет компоненты, которые определяют проецируемого ( K - 1) -volumes из к - параллелоэдр, натянутое на векторы. Квадратный корень из суммы квадратов этих составляющих определяет объем k -параллелоэдра.

Следующие примеры показывают, что бивектор в двух измерениях измеряет площадь параллелограмма, а величина бивектора в трех измерениях также измеряет площадь параллелограмма. Точно так же трехмерный вектор в трех измерениях измеряет объем параллелепипеда.

Легко проверить, что величина трехвектора в четырех измерениях измеряет объем параллелепипеда, охватываемого этими векторами.

Мультивекторы в R ²

Свойства мультивекторов можно увидеть, рассматривая двумерное векторное пространство V = R ². Пусть базисные векторы равны e 1 и e 2, поэтому u и v задаются формулами

${\ displaystyle \ mathbf {u} = u_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + u_ {2} \ mathbf {e} _ {2}, \ quad \ mathbf {v} = v_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + v_ {2} \ mathbf {e} _ {2},}$

а многовектор u ∧ v, также называемый бивектором, вычисляется как

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v} \ = \ {\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {2} amp; v_ {2} \ end {vmatrix}} \ ( \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2}).}$

Вертикальные черты обозначают определитель матрицы, который представляет собой площадь параллелограмма, натянутого на векторы u и v. Величина u ∧ v - это площадь этого параллелограмма. Обратите внимание, что, поскольку V имеет размерность два базис бивектор е 1 ∧ е 2 является единственным многовекторными в Л V.

Связь между величиной многовектора и площадью или объемом, охватываемым векторами, является важной характеристикой во всех измерениях. Кроме того, линейная функциональная версия многовектора, вычисляющего этот объем, известна как дифференциальная форма.

Мультивекторы в R ³

Дополнительные особенности мультивекторов можно увидеть, рассматривая трехмерное векторное пространство V = R ³. В этом случае пусть базисными векторами будут e 1, e 2 и e 3, поэтому u, v и w задаются формулами

${\ displaystyle \ mathbf {u} = u_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + u_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + u_ {3} \ mathbf {e} _ {3}, \ quad \ mathbf {v} = v_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + v_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + v_ {3} \ mathbf {e} _ {3}, \ quad \ mathbf {w} = w_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + w_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + w_ {3} \ mathbf {e} _ {3},}$

а бивектор u ∧ v вычисляется как

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v} \ = \ {\ begin {vmatrix} u_ {2} amp; v_ {2} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix}} \ ( \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) + {\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix }} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) + {\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {2} amp; v_ {2} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2}).}$

Компоненты этого бивектора такие же, как и компоненты перекрестного произведения. Величина этого бивектора - это квадратный корень из суммы квадратов его компонентов.

Это показывает, что величина бивектора у ∧ об является площадь параллелограмма, натянутого на векторы ¯u и V, как она лежит в трехмерном пространстве V. Компоненты бивектора - это площади параллелограмма, спроецированные на каждую из трех координатных плоскостей.

Обратите внимание, что, поскольку V имеет размерность три, в Λ V есть один базисный трехвектор. Вычислить трехвекторный

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v} \ wedge \ mathbf {w} \ = \ {\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} amp; w_ {1} \\ u_ {2} amp; v_ {2} amp; w_ {2} \\ u_ {3} amp; v_ {3} amp; w_ {3} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} \ клин \ mathbf {e} _ {3}).}$

Получение тройного внешнего продукта

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v} \ wedge \ mathbf {w} amp; = (\ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v}) \ wedge \ mathbf {w } \\ amp; = \ left ({\ begin {vmatrix} u_ {2} amp; v_ {2} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {2} \ клин \ mathbf {e} _ {3}) + {\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) + {\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {2} amp; v_ {2} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2}) \ right) \ wedge (w_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + w_ {2} \ mathbf {e} _ { 2} + w_ {3} \ mathbf {e} _ {3}) \\ amp; = {\ begin {vmatrix} u_ {2} amp; v_ {2} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix} } \ (\ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) \ wedge (w_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + w_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + w_ {3} \ mathbf {e} _ {3}) \\ amp; \ quad + {\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ конец {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) \ wedge (w_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + w_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + w_ {3} \ mathbf {e} _ {3}) \\ amp; \ quad + {\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {2} amp; v_ {2} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2}) \ wedge (w_ {1} \ math bf {e} _ {1} + w_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + w_ {3} \ mathbf {e} _ {3}) \\ amp; = {\ begin {vmatrix} u_ {2 } amp; v_ {2} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) \ wedge w_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + {\ cancel {{\ begin {vmatrix} u_ {2} amp; v_ {2} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e } _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) \ wedge w_ {2} \ mathbf {e} _ {2}}} + {\ cancel {{\ begin {vmatrix} u_ {2} amp; v_ {2} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) \ wedge w_ {3} \ mathbf {e} _ {3}}} amp;amp; \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} = 0; \ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {3} = 0 \\ amp; \ quad + {\ cancel {{\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf { e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) \ wedge w_ {1} \ mathbf {e} _ {1}}} + {\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) \ wedge w_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + {\ cancel {{\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) \ wedge w_ {3} \ mathbf {e} _ {3}}} amp;amp; \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {1} = 0 ; \ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {3} = 0 \\ amp; \ quad + {\ cancel {{\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {2} amp; v_ {2} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2}) \ wedge w_ {1} \ mathbf {e} _ {1 }}} + {\ cancel {{\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {2} amp; v_ {2} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ клин \ mathbf {e} _ {2}) \ wedge w_ {2} \ mathbf {e} _ {2}}} + {\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {2} amp; v_ {2} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2}) \ wedge w_ {3} \ mathbf {e} _ {3} amp;amp; \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {1} = 0; \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} = 0 \\ amp; = {\ begin {vmatrix} u_ {2} amp; v_ {2} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) \ wedge w_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + {\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) \ wedge w_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + {\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \ \ u_ {2} amp; v_ {2} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2}) \ wedge w_ {3} \ mathbf {e} _ {3} \\ amp; = - w_ {1} {\ begin {vmatrix} u_ {2} amp; v_ {2} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ { 2} \ wedge \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) - w_ {2} {\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) + w_ {3} { \ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {2} amp; v_ {2} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2 } \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) \\ amp; = w_ {1} {\ begin {vmatrix} u_ {2} amp; v_ {2} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix} } \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) - w_ {2} {\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) + w_ {3} {\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {2} amp; v_ {2} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) \\ amp; = \ left (w_ {1} {\ begin {vmatrix} u_ {2} amp; v_ {2} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix}} - w_ {2} {\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {3} amp; v_ {3} \ end {vmatrix}} + w_ {3} {\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} \\ u_ {2} amp; v_ {2} \ end {vmatrix}} \ right) \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) \\ amp; = {\ begin {vmatrix} u_ {1} amp; v_ {1} amp; w_ {1} \\ u_ {2} amp; v_ {2} и w_ {2} \\ u_ {3} amp; v_ {3} amp; w_ {3} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) \\\ конец {выровнено}}}$

Это показывает, что величина трехвектора u ∧ v ∧ w - это объем параллелепипеда, натянутого на три вектора u, v и w.

В многомерных пространствах составляющие трехмерных векторов являются проекциями объема параллелепипеда на координатные трехмерные пространства, а величина трехмерного вектора - это объем параллелепипеда, находящегося в многомерном пространстве.

В этом разделе мы рассматриваем мультивекторы на проективном пространстве P ⁿ, которые обеспечивают удобный набор координат для прямых, плоскостей и гиперплоскостей, обладающих свойствами, аналогичными однородным координатам точек, называемым координатами Грассмана.

Точки в реальном проективном пространстве P ⁿ определяются как прямые, проходящие через начало координат векторного пространства R ^{n +1}. Например, проективная плоскость P ² - это множество прямых, проходящих через начало координат R ³. Таким образом, мультивекторы, определенные на R ^{n +1,} можно рассматривать как многовекторы на P ⁿ.

Удобный способ просмотра поливектора на Р ^п является рассмотрение его в аффинном компоненте из Р ^п, которая является пересечением линий через начало координат R ^{п +-} с выбранной гиперплоскостью, такие как H: х п +1 = 1. Прямые, проходящие через начало координат R ^3, пересекают плоскость E: z = 1, чтобы определить аффинную версию проективной плоскости, в которой отсутствуют только точки, для которых z = 0, называемые точками на бесконечности.

Мультивекторы на P ²

Точки аффинной компоненты E: z = 1 проективной плоскости имеют координаты x = ( x, y, 1). Линейная комбинация двух точек p = ( p 1, p 2, 1) и q = ( q 1, q 2, 1) определяет плоскость в R ^3, которая пересекает E на прямой, соединяющей p и q. Мультивектор p ∧ q определяет параллелограмм в R ^3, задаваемый формулой

${\ displaystyle \ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {q} \ = \ (p_ {2} -q_ {2}) (\ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) + (p_ {1} -q_ {1}) (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) + (p_ {1} q_ {2} -q_ {1} p_ {2}) (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2}).}$

Обратите внимание на то, что замещение α р + β д для р умножает это поливектор константой. Следовательно, компоненты p ∧ q являются однородными координатами плоскости, проходящей через начало координат R ³.

Множество точек x = ( x, y, 1) на прямой, проходящей через p и q, является пересечением плоскости, определенной как p ∧ q, с плоскостью E: z = 1. Эти точки удовлетворяют x ∧ p ∧ q = 0, т. Е.

${\ displaystyle \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {q} \ = \ (x \ mathbf {e} _ {1} + y \ mathbf {e} _ {2} + \ mathbf {e} _ {3}) \ wedge {\ big (} (p_ {2} -q_ {2}) (\ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) + ( p_ {1} -q_ {1}) (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) + (p_ {1} q_ {2} -q_ {1} p_ {2 }) (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2}) {\ big)} = 0,}$

что упрощается до уравнения линии

${\ displaystyle \ lambda: x (p_ {2} -q_ {2}) + y (p_ {1} -q_ {1}) + (p_ {1} q_ {2} -q_ {1} p_ {2})) = 0.}$

Этому уравнению удовлетворяют точки x = α p + β q для действительных значений α и β.

Три компонента p ∧ q, определяющие прямую λ, называются грассмановыми координатами прямой. Поскольку три однородные координаты определяют как точку, так и линию, геометрия точек называется двойственной геометрии прямых на проективной плоскости. Это называется принципом двойственности.

Мультивекторы на P ³

Трехмерное проективное пространство P ³ состоит из всех прямых, проходящих через начало координат R ⁴. Пусть трехмерная гиперплоскость H: w = 1 является аффинной компонентой проективного пространства, определяемой точками x = ( x, y, z, 1). Мультивектор p ∧ q ∧ r определяет параллелепипед в R ^4, задаваемый формулой

${\ displaystyle \ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {q} \ wedge \ mathbf {r} = {\ begin {vmatrix} p_ {2} amp; q_ {2} amp; r_ {2} \\ p_ {3} amp; q_ {3 } amp; r_ {3} \\ 1 amp; 1 amp; 1 \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {4} + {\ begin { vmatrix} p_ {1} amp; q_ {1} amp; r_ {1} \\ p_ {3} amp; q_ {3} amp; r_ {3} \\ 1 amp; 1 amp; 1 \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {4} + {\ begin {vmatrix} p_ {1} amp; q_ {1} amp; r_ {1} \\ p_ {2} amp; q_ {2} amp; r_ {2 } \\ 1 amp; 1 amp; 1 \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {4} + {\ begin {vmatrix} p_ { 1} amp; q_ {1} amp; r_ {1} \\ p_ {2} amp; q_ {2} amp; r_ {2} \\ p_ {3} amp; q_ {3} amp; r_ {3} \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}.}$

Обратите внимание на то, что замещение α р + β д + γ г для р умножает это поливектор константой. Следовательно, компоненты p ∧ q ∧ r являются однородными координатами для 3-мерного пространства, проходящего через начало R ⁴.

Плоскость в аффинной компоненте H: w = 1 - это множество точек x = ( x, y, z, 1) на пересечении H с 3-пространством, определяемым формулой p ∧ q ∧ r. Эти точки удовлетворяют x ∧ p ∧ q ∧ r = 0, то есть

${\ displaystyle \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {q} \ wedge \ mathbf {r} = (x \ mathbf {e} _ {1} + y \ mathbf {e} _ { 2} + z \ mathbf {e} _ {3} + \ mathbf {e} _ {4}) \ wedge \ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {q} \ wedge \ mathbf {r} = 0,}$

что упрощается до уравнения плоскости

${\ displaystyle \ lambda: x {\ begin {vmatrix} p_ {2} amp; q_ {2} amp; r_ {2} \\ p_ {3} amp; q_ {3} amp; r_ {3} \\ 1 amp; 1 amp; 1 \ end {vmatrix}} + y {\ begin {vmatrix} p_ {1} amp; q_ {1} amp; r_ {1} \\ p_ {3} amp; q_ {3} amp; r_ {3} \\ 1 amp; 1 amp; 1 \ end {vmatrix}} + z {\ begin {vmatrix} p_ {1} amp; q_ {1} amp; r_ {1} \\ p_ {2} amp; q_ {2} amp; r_ {2} \\ 1 amp; 1 amp; 1 \ end {vmatrix}} + {\ begin {vmatrix} p_ {1} amp; q_ {1} amp; r_ {1} \\ p_ {2} amp; q_ {2} amp; r_ {2} \\ p_ {3} amp; q_ {3} amp; r_ {3} \ end {vmatrix}} = 0.}$

Этому уравнению удовлетворяют точки x = α p + β q + γ r для действительных значений α, β и γ.

Четыре компонента p ∧ q ∧ r, определяющие плоскость λ, называются грассмановыми координатами плоскости. Поскольку четыре однородные координаты определяют как точку, так и плоскость в проективном пространстве, геометрия точек двойственна геометрии плоскостей.

Прямая как соединение двух точек: в проективном пространстве прямую λ, проходящую через две точки p и q, можно рассматривать как пересечение аффинного пространства H: w = 1 с плоскостью x = α p + β q в R ⁴. Мультивектор p ∧ q обеспечивает однородные координаты прямой

${\ displaystyle {\ begin {align} \ lambda: \ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {q} amp; = (p_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + p_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + p_ {3} \ mathbf {e} _ {3} + \ mathbf {e} _ {4}) \ wedge (q_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + q_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + q_ {3} \ mathbf {e} _ {3} + \ mathbf {e} _ {4}), \\ amp; = {\ begin {vmatrix} p_ {1} amp; q_ {1} \\ 1 amp; 1 \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {4} + {\ begin {vmatrix} p_ {2} amp; q_ {2} \\ 1 amp; 1 \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {4} + {\ begin {vmatrix} p_ {3} amp; q_ {3} \\ 1 amp; 1 \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {4} + {\ begin {vmatrix} p_ {2} amp; q_ {2} \\ p_ {3} amp; q_ {3} \ end {vmatrix} } \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3} + {\ begin {vmatrix} p_ {3} amp; q_ {3} \\ p_ {1} amp; q_ {1} \ end {vmatrix }} \ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {1} + {\ begin {vmatrix} p_ {1} amp; q_ {1} \\ p_ {2} amp; q_ {2} \ end { vmatrix}} \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2}. \ end {выравнивается}}}$

Они известны как координаты Плюккера линии, хотя они также являются примером координат Грассмана.

Прямая как пересечение двух плоскостей: прямую μ в проективном пространстве также можно определить как набор точек x, которые образуют пересечение двух плоскостей π и ρ, определенных мультивекторами третьего уровня, поэтому точки x являются решениями линейные уравнения

${\ displaystyle \ mu: \ mathbf {x} \ wedge \ pi = 0, \ mathbf {x} \ wedge \ rho = 0.}$

Чтобы получить координаты Плюккера прямой μ, сопоставьте многовекторы π и ρ с их координатами двойных точек, используя звездный оператор Ходжа,

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} = {\ star} (\ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {4}), - \ mathbf {e} _ {2} = {\ star} (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {4}), \ mathbf {e} _ {3} = {\ star} (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {4}), - \ mathbf {e} _ {4} = {\ star} (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}),}$

тогда

${\ displaystyle {\ star} \ pi = \ pi _ {1} \ mathbf {e} _ {1} + \ pi _ {2} \ mathbf {e} _ {2} + \ pi _ {3} \ mathbf {e} _ {3} + \ pi _ {4} \ mathbf {e} _ {4}, \ quad {\ star} \ rho = \ rho _ {1} \ mathbf {e} _ {1} + \ rho _ {2} \ mathbf {e} _ {2} + \ rho _ {3} \ mathbf {e} _ {3} + \ rho _ {4} \ mathbf {e} _ {4}.}$

Итак, координаты Плюккера прямой μ равны

${\ displaystyle \ mu: ({\ star} \ pi) \ wedge ({\ star} \ rho) = {\ begin {vmatrix} \ pi _ {1} amp; \ rho _ {1} \\\ pi _ { 4} amp; \ rho _ {4} \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {4} + {\ begin {vmatrix} \ pi _ {2} amp; \ rho _ {2} \\\ pi _ {4} amp; \ rho _ {4} \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {4} + {\ begin {vmatrix} \ pi _ {3} amp; \ rho _ {3} \\\ pi _ {4} amp; \ rho _ {4} \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {4} + {\ begin {vmatrix} \ pi _ {2} amp; \ rho _ {2} \\\ pi _ {3} amp; \ rho _ {3} \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3} + {\ begin {vmatrix} \ pi _ {3} amp; \ rho _ {3} \\\ pi _ {1} amp; \ rho _ {1} \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {1} + {\ begin {vmatrix} \ pi _ {1} amp; \ rho _ {1} \ \\ pi _ {2} amp; \ rho _ {2} \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2}.}$

Поскольку шесть однородных координат прямой могут быть получены из соединения двух точек или пересечения двух плоскостей, прямая называется самодуальной в проективном пространстве.

WK Clifford объединил мультивекторы со скалярным произведением, определенным в векторном пространстве, чтобы получить общую конструкцию гиперкомплексных чисел, которая включает обычные комплексные числа и кватернионы Гамильтона.

Продукт Clifford между двумя векторами ˙U и V билинеен и ассоциативный как внешнее произведением, и обладает дополнительным свойством, что многовекторность уф соединен с внутренним произведением U ⋅ v соотношением Клиффорд,

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ mathbf {u} = 2 \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}.}$

Отношение Клиффорда сохраняет свойство антикоммутации для перпендикулярных векторов. Это можно увидеть из взаимно ортогональных единичных векторов e i, i = 1,..., n в R ⁿ: соотношение Клиффорда дает

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ mathbf {e} _ {j} + \ mathbf {e} _ {j} \ mathbf {e} _ {i} = 2 \ mathbf {e} _ {i } \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = \ delta _ {i, j},}$

что показывает, что базисные векторы взаимно антикоммутируют,

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ mathbf {e} _ {j} = - \ mathbf {e} _ {j} \ mathbf {e} _ {i}, \ quad i \ neq j = 1, \ ldots, n.}$

В отличие от внешнего продукта, произведение Клиффорда вектора на себя не равно нулю. Чтобы убедиться в этом, вычислите произведение

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ mathbf {e} _ {i} + \ mathbf {e} _ {i} \ mathbf {e} _ {i} = 2 \ mathbf {e} _ {i } \ cdot \ mathbf {e} _ {i} = 2,}$

который дает

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ mathbf {e} _ {i} = 1, \ quad i = 1, \ ldots, n.}$

Набор мультивекторов, построенный с использованием произведения Клиффорда, дает ассоциативную алгебру, известную как алгебра Клиффорда. Внутренние произведения с разными свойствами могут использоваться для построения различных алгебр Клиффорда.

См. Также: Лезвие (геометрия)

Термин k-blade использовался в книге « От алгебры Клиффорда к геометрическому исчислению» (1984).

Мультивекторы играют центральную роль в математической формулировке физики, известной как геометрическая алгебра. По словам Дэвида Хестенеса,

[Нескалярные] k -векторы иногда называют k-лезвиями или просто лезвиями, чтобы подчеркнуть тот факт, что, в отличие от 0-векторов (скаляров), они обладают «свойствами направленности».

В 2003 г. термин « лезвие» для многовектора, который может быть записан как внешнее произведение [скаляра и] набора векторов, был использован К. Дораном и А. Ласенби. Здесь, согласно утверждению «Любой многовектор может быть выражен как сумма лезвий», скаляры неявно определяются как 0-лезвия.

В геометрической алгебре многовектор определяется как сумма k- лезвий разного уровня, например, суммирование скаляра, вектора и 2-вектора. Сумма только k- степенных компонент называется k -вектором или однородным многовектором.

Элемент высшего класса в пространстве называется псевдоскалярным.

Если данный элемент однороден степени k, то это k -вектор, но не обязательно k- лезвие. Таким элементом является k- лезвие, если его можно выразить как внешнее произведение k векторов. Геометрическая алгебра, сгенерированная 4-мерным векторным пространством, иллюстрирует точку на примере: сумма любых двух лопастей, одна из которых берется из плоскости XY, а другая - из плоскости ZW, образует 2-вектор, который не является 2-лопастной. В геометрической алгебре, порожденной векторным пространством размерности 2 или 3, все суммы 2-лопастей могут быть записаны как единственные 2-лопасти.

Примеры

Ориентация определяется упорядоченным набором векторов. Перевернутая ориентация соответствует отрицанию внешнего вида продукта. Геометрическая интерпретация элементов степени n в реальной внешней алгебре для n = 0 (точка со знаком), 1 (направленный отрезок или вектор), 2 (элемент ориентированной плоскости), 3 (ориентированный объем). Внешний продукт n векторов может быть визуализирован как любая n -мерная форма (например, n - параллелоэдр, n - эллипсоид ); с величиной ( гиперобъемом ) и ориентацией, определяемой ориентацией на его ( n - 1) -мерной границе и с какой стороны находится внутреннее пространство.

• 0-векторы - скаляры;
• 1-векторы - это векторы;
• 2-векторы являются бивекторами ;
• ( n - 1) -векторы являются псевдовекторами ;
• n -векторы являются псевдоскалярами.

При наличии объемной формы (такой как заданный внутренний продукт и ориентация) псевдовекторы и псевдоскаляры могут быть идентифицированы с помощью векторов и скаляров, что является обычным делом в векторном исчислении, но без объемной формы это невозможно сделать без произвольного выбор.

В алгебре физического пространства (геометрическая алгебра евклидова 3-пространства, используемая как модель (3 + 1) -пространства-времени) сумма скаляра и вектора называется паравектором и представляет точку в пространстве-времени ( вектор - пространство, скаляр - время).

Бивекторы

Основная статья: Бивектор

Бивектор является элементом антисимметричного тензорного продукта в виде касательного пространства с самими собой.

В геометрической алгебре, Кроме того, бивектор является класс 2 элемента (2-вектор) в результате клина продукта из двух векторов, и таким образом это геометрический ориентированное область, в том же образом вектор представляет собой ориентированный отрезок. Если a и b - два вектора, бивектор a ∧ b имеет

• норма, которая является его площадь, задаваемый

  ${\ Displaystyle \ влево \ | \ mathbf {a} \ клин \ mathbf {b} \ right \ | = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \, \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | \, \ sin (\ phi _ {a, b})}$

• направление: плоскость, на которой расположена эта область, т. е. плоскость, определяемая элементами a и b, при условии, что они линейно независимы;
• ориентация (из двух), определяемая порядком умножения исходных векторов.

Бивекторы связаны с псевдовекторами и используются для представления вращений в геометрической алгебре.

Поскольку бивекторы являются элементами векторного пространства Λ ²V (где V - конечномерное векторное пространство с dim V = n), имеет смысл определить скалярное произведение на этом векторном пространстве следующим образом. Сначала запишем любой элемент F ∈ Λ ²V в терминах базиса ( e i ∧ e j) 1 ≤ i lt; j ≤ n алгебры Λ ²V в виде

${\ Displaystyle F = F ^ {ab} \ mathbf {e} _ {a} \ wedge \ mathbf {e} _ {b} \ quad (1 \ leq a lt;b \ leq n),}$

где используется соглашение Эйнштейна о суммировании.

Теперь определим отображение G: Λ ²V × Λ ²V → R, настаивая на том, что

${\ Displaystyle G (F, H): = G_ {abcd} F ^ {ab} H ^ {cd},}$

где набор чисел. ${\ displaystyle G_ {abcd}}$

Бивекторы играют много важных ролей в физике, например, при классификации электромагнитных полей.

• Лезвие (геометрия)
• Паравектор