Метризуемое пространство

В топологии и смежных областях математики, метрическое пространство является топологическим пространством, которая гомеоморфно в метрическом пространстве. То есть, топологическое пространство называется метризуемыми если существует метрика такие, что топология, индуцированная является метризационными теоремы являются теоремы, которые дают достаточные условия для топологического пространства метризуемые. ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {T}})}$ ${\ displaystyle d: X \ times X \ to [0, \ infty)}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}}.}$

• 1 Недвижимость
• 2 Теоремы метризации
• 3 Примеры
• 4 Примеры неметризуемых пространств
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Метризуемые пространства наследуют все топологические свойства метрических пространств. Например, они являются паракомпактными пространствами Хаусдорфа (а значит, нормальными и тихоновскими ) и имеют счетность в первом приближении. Однако нельзя сказать, что некоторые свойства метрики, такие как полнота, унаследованы. Это также верно и для других структур, связанных с метрикой. Например, метризуемое однородное пространство может иметь другой набор сжимающих отображений, чем метрическое пространство, которому оно гомеоморфно.

Одной из первых широко известных теорем метризации была Теорема Урысона о метризации. Этоозначает,что всякое регулярное пространство хаусдорфа с счетной второй суммой является метризуемым. Так, например, каждое счетное многообразие метризуемо. (Историческое примечание: форма показанной здесь теоремы была фактически доказана Тихоновым в 1926 году. Урысон показал в статье, опубликованной посмертно в 1925 году, что каждое нормальное хаусдорфово пространство, имеющеесчетность всекундах, метризуемо). Обратное неверно: существуют метрические пространства, которые не являются вторыми счетными, например, несчетное множество, наделенное дискретной метрикой. Теорема Нагаты – Смирнова о метризации, описанная ниже, дает более конкретную теорему, в которой верно обратное.

Несколько других теорем метризации следуют как простые следствия теоремы Урысона. Например, компактное хаусдорфово пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно счетно до секунд.

Теорема Урысона может быть переформулирована так: топологическое пространство сепарабельно и метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно, хаусдорфово и имеет счетность во вторых. Теорема Нагаты – Смирнова о метризации распространяет это на неотделимый случай. Он утверждает, что топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно, хаусдорфово и имеет σ-локально конечную базу. Σ-локально конечная база - это база, которая представляет собой объединение счетного числа локально конечных наборов открытых множеств. Для тесно связанной теоремы см. Теорему о метризации Бинга.

Сепарабельные метризуемые пространства также можно охарактеризовать как те пространства, которые гомеоморфны подпространству гильбертова куба, то есть счетно бесконечному произведению единичного интервала (с его естественной топологией подпространства из вещественных чисел) с самим собой, наделенным топологией произведения. ${\ Displaystyle \ lbrack 0,1 \ rbrack ^ {\ mathbb {N}},}$

Пространство называется локально метризуемым, если каждая точка имеет метризуемую окрестность. Смирнов доказал, что локально метризуемое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно хаусдорфово и паракомпактно. В частности, многообразие метризуемо тогда и только тогда, когда оно паракомпактно.

Группа унитарных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве с сильной операторной топологией метризуема (см. Предложение II.1 в). ${\ Displaystyle \ mathbb {U} ({\ mathcal {H}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Ненормальные пространства не могут быть метризуемыми; важные примеры включают

• топологии Зарисского на алгебраическом многообразии или на спектре кольца, используется в алгебраической геометрии,
• топологическое векторное пространство всех функций от прямого к самому себе, с топологией поточечной сходимости. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Реальная линия с топологией нижнего предела не является метризуемой. Обычная функция расстояния не является метрикой на этом пространстве, потому что топология, которую она определяет, является обычной топологией, а не топологией нижнего предела. Это пространство хаусдорфово, паракомпактное и первое счетное.

Длинная линия локально метризуемая но не метризуемая; в некотором смысле это «слишком долго».

• Аполлоническая метрика  - румынский математик и поэт
• Теорема Бинга о метризации  - характеризует, когда топологическое пространство метризуемо
• Метризуемое топологическое векторное пространство  - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена с помощью метрики.
• Пространство Мура (топология)
• Теорема Нагаты – Смирнова о метризации  - характеризует, когда топологическое пространство является метризуемым.
• Униформизуемость, свойство топологического пространства быть гомеоморфным однородному пространству, или, что то же самое, топология, определяемая семейством псевдометрик.

Эта статья включает материал из Metrizable на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.