Контурное интегрирование

В математической области комплексное интегрирование, Контурное интегрирование является методом оценки качества интегралы вдоль путей в комплексной плоскости.

Контурное интегрированное соединение с использованием методов комплексного анализа.

Одним из применений контурных интегралов является оценка интегралов по действительной прямой, которые нелегко найти с использованием только методов физического числа.

Методы контурного интегрирования включают

• прямое интегрирование комплексной -значной функции вдоль кривой в комплексной плоскости (контур)
• применение интегральной формулы Коши
• применение теоремы о вычетах

Назначение один метод или их комбинация, или различные предельные с целью нахождения этих интегралов или сумм.

• 1 Кривые на комплексной плоскости
  • 1.1 Направленные гладкие кривые
  • 1.2 Контуры
• 2 Контурные интегралы
  • 2.1 Для непрерывных функций
  • 2.2 Как обобщение интеграла Римана
• 3 Прямые методы
  • 3.1 Пример
• 4 Применение интегральных теорем
  • 4.1 Пример 1
    • 4.1.1 Использование интегральной формулы Коши
    • 4.1.2 Использование метода вычетов
    • 4.1.3 Контурное примечание
  • 4.2 Пример 2 - распределение Коши
  • 4.3 Пример 3 - тригонометрические интегралы
  • 4.4 Пример 3a - тригонометрические интегралы, общая процедура
  • 4.5 Пример 4 - разрезы ветвей
  • 4.6 Пример 5 - квадрат логарифма
  • 4.7 Пример 6 - логарифмы и бесконечно удаленный остаток
• 5 Вычисление по теореме о вычетах
• 6 Многопараметрические контурные интегралы
  • 6.1 Пример 1
  • 6.2 Пример 2
• 7 Интегральное представление
• 8 См. Также
• 9 Ссылки
• 10 Дополнительная литература
• 11 Внешние ссылки

В комплексном анализе a contou r - это тип кривой на комплексной плоскости . При интегрировании контуров контуры определения точного определения кривых ,, на котором можно определить соответствующий интеграл. Кривая в комплексной плоскости определяется как непрерывная функция от закрытого интертоговала от вещественной прямой до комплексной плоскости: z: [a, b] → C.

Это определение кривой совпадает с интуитивным понятием кривой, но включает параметры с помощью непрерывной функции из отрезка. Это более точное определение позволяет нам определить, какие свойства должна обладать кривая, чтобы ее можно было использовать для интеграции. В следующих подразделах сузим набор кривых, которые могут быть интегрированы, включить только те, которые могут быть построены из конечного ряда непрерывных кривых, которым можно задать направление. Более того, мы ограничим "куски" пересечения самого себя, и мы потребуем, чтобы каждый кусок имел конечную (отличную от нуля) непрерывную производную. Эти требования соответствуют требованиям, чтобы мы оценивали только кривые, которые можно проследить, например, пером, в соответствии с ровными, устойчивыми штрихами, которые останавливаются только для начала нового участка кривой, и все это без взятия пера.

Направленные гладкие кривые

Контуры часто называемые гладкие кривые. Они определяют определение «отрезка» плавной кривой, из которой определяется контур.

A гладкая кривая - это кривая z: [a, b] → C с непрерывной производной, отличной от нуля, так что каждая точка проходит только один раз (z взаимно однозначно), за возможное исключающая кривая, концы совпадают (z (a) = z (b)). В случае, когда концы совпадают, кривая замкнутой, и функция должна быть взаимно однозначной везде, а производная должна быть непрерывной в идентифицированной точке (z ′ (a) = z ′ (b)). Гладкую кривую, которая не замкнута, часто называют гладкой дугой.

Параметризация кривая обеспечивает естественный порядок точек на кривой: z (x) предшествует z (y), если x классы эквивалентности гладких кривых с одинаковым направлением. Затем направленная гладкая кривая может быть определена как упорядоченный набор точек на комплексной плоскости, который является изображением некоторой гладкой кривой в их естественном порядке (согласно параметрам). Обратите внимание, что не все порядки точек являются естественным порядком гладкой кривой. Фактически, гладкая кривая имеет только два таких порядка. Кроме того, у одной точки замкнутой кривой может быть любая точка в конечной точке, в то время как у гладкой дуги есть только два варианта для ее конечных точек.

Контуры

Контуры - это класс кривых, по которым мы определяем интегрирование контуров. Контур представляет собой направленную кривую, которая из конечной последовательности гладких кривых, концы совпадают, чтобы дать единственное направление. Для этого требуется, чтобы последовательность кривых γ 1,…, γ n была такая, чтобы конечная точка γ i совпадала с начальной точкой γ i + 1, ∀ i, 1 ≤ i < n. This includes all directed smooth curves. Also, a single point in the complex plane is considered a contour. The symbol + is often used to denote the piecing of curves together to form a new curve. Thus we could write a contour Γ that is made up of n curves as

$\Gamma \; =\; \gamma \; 1\; +\; \gamma \; 2\; +\; \cdots \; +\; \gamma \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; =\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; gamma\; \_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; gamma\; \_\; \{n\}.\}$

Контурные интегралы комплексной функции f: C→ Cобобщение интеграла для функций с действующими значениями. Для непрерывных функций на комплексной плоскости контурный интеграл можно определить по аналогии с линейным интегралом, сначала определив интеграл вдоль направленной гладкой кривой в терминах интеграла по действительнозначному параметру. Более общее определение может быть дано в терминах разбиений контура по аналогии с разбиением интервала и интегралом Римана. В обоих случаях интеграл по контуру определяется как сумма интегралов по направленным гладким кривым, составляющим контур.

Для непрерывных функций

Чтобы определить контурный интеграл таким образом, нужно сначала рассмотреть интеграл по действующей комплекснозначной функции. Пусть f: R→ C- комплексная функция действительной переменной t. Действительная и мнимая части f часто обозначаются как u (t) и v (t) соответственно, так что

$f\; (t)\; =\; u\; (t)\; +\; i\; v\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (t)\; =\; u\; (t)\; +\; iv\; (t).\}$

Тогда интеграл комплекснозначной функции f на интервале [a, b] определяется выражением

$\int \; abf\; (t)\; dt\; =\; \int \; ab\; (u\; (t)\; +\; iv\; (t))\; dt\; =\; \int \; abu\; (t)\; dt\; +\; i\; \int \; abv\; (t)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (t)\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; u\; (t)\; +\; iv\; (\; t)\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash ,\; dt\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; u\; (t)\; \backslash ,\; dt\; +\; i\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; v\; (t)\; \backslash ,\; dt.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Пусть f: C→ Cбудет непрерывной функцией на направленной гладкой кривой γ. Пусть z: R→ C- любая параметризация γ, соответствующая ее порядку (направление). Тогда интеграл вдоль γ обозначается

$\int \; \gamma \; f\; (z)\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; f\; (z)\; \backslash ,\; dz\; \backslash ,\}$

и задается как

$\int \; \gamma \; f\; (z)\; dz\; =\; \int \; abf\; (\gamma \; (t))\; \gamma \; \prime \; (t)\; dt.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; е\; (г)\; \backslash ,\; dz\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; е\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; gamma\; (t)\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; gamma\; \text{'}(t)\; \backslash ,\; dt.\}$

Это определение хорошо определено. То есть результат не зависит от выбранной параметра. В случае, когда действительный интеграл в правой части не существует, говорят, что интеграл по γ не существует.

Как обобщение интеграла Римана

Обобщение интеграла Римана на функции комплексной функции выполнено в полном аналогии с его определением для функций из вещественного числа. Разбиение направленной гладкой кривой γ определяется как конечный упорядоченный набор точек на γ. Интеграл по кривой - это предел конечных сумм значений взятых в точках на разбиении, в пределе, когда максимальное расстояние между любыми двумя последовательными точками на разбиении (в двумерной комплексной плоскости) также известно, как сетка, стремится к нулю.

Прямые методы включают в себя вычисление интеграла с помощью методов, аналогичных тем, которые используются при вычислении линейных интегралов в исчислении нескольких чисел. Это означает, что мы используем следующий метод:

• параметры контура

  Контур параметризует дифференцируемую комплекснозначную функцию действительных чисел, или контур разбивается на части и параметризуется отдельно.

• Подстановка параметров в подынтегральное выражение

  Подстановка параметров в подынтегральное выражение преобразует интеграл в интеграл от одной действующей переменной.

• Прямое вычисление

  Интеграл вычисляется аналогичным методом в интеграл вещественной переменной.

Пример

Основным результатом комплексного анализа является то, что контурный интеграл 1 / z равенство 2πi, где путь контура берется как единичный круг, проходящий против часовой стрелки (или любая положительно ориентированная жорданова кривая около 0). В случае единичной окружности существует прямой метод вычислений интеграла

$\oint \; C\; \; 1\; z\; d\; z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\}\; \backslash ,\; dz.\}$

При вычислении этого интеграла используйте единичный круг | z | = 1 как контур, параметризованный как z (t) = e, при t ∈ [0, 2π], то dz / dt = ie и

$\oint \; C\; 1\; zdz\; =\; \int \; 0\; 2\; \pi \; 1\; eitieitdt\; =\; i\; \int \; 0\; 2\; \pi \; 1\; dt\; =\; [t]\; 0\; 2\; \pi \; i\; =\; (2\; \pi \; -\; 0)\; i\; =\; 2\; \pi \; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\}\; \backslash ,\; dz\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{e\; ^\; \{it\}\}\}\; т.е.\; ^\; \{it\}\; \backslash ,\; dt\; =\; i\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; 1\; \backslash ,\; dt\; =\; \{\backslash \; Big\; [\}\; \backslash ;\; т\; \backslash ;\; \{\backslash \; Big]\}\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; i\; =\; (2\; \backslash \; pi\; -0)\; i\; =\; 2\; \backslash \; pi\; i.\}$

, которое является величиной интеграла.

Приложения интегральных теорем также часто используются для вычислений контурного интеграла вдоль контура, что означает, что действительный интеграл вычисляется одновременно с вычислением контурного интеграла..

Интегральные теоремы, такие как интегральная формула Коши или теорема о вычетах, обычно используются в следующем методе:

• выбирается конкретный контур:

  Контур выбирается таким образом, чтобы он повторял часть комплексной плоскости, которая включает в себя особенности подынтегральной функции, формулы теорема возможна

• применение <>Коши или . 156>интегральной теоремы Коши

  Интеграл сводится только к интегрированию вокруг небольшого круга вокруг каждого полюса.

• применение интегральной формулы Коши или теорема о вычетах

  Применение этих интегральных формул дает нам значение интеграла по всему контуру.

• разделение контура на контур по действующей и мнимой части

  Весь контур можно разделить на контур, который следует за частью комплексной плоскости, описывающей реальную -значный интеграл, выбранный ранее (назовите его R), и интеграл, пересекающий комплексную плоскость (назовите его I). Интеграл по всему контуру - это сумма интеграла по каждому из этих контуров.

• демонстрация того, что интеграл, пересекающий комплексную плоскость, не играет никакой роли в сумме

  Если интеграл I может быть показан, что он равен нулю, или если искомый вещественнозначный интеграл является неправильным, то, если мы производим, что интеграл I, как описано, стремится к 0, интеграл по R будет стремиться к интегралу по контуре R + I.

• заключение

  Если мы сможем показать вышеупомянутый шаг, то мы сможем напрямую вычислить R, действительный интеграл.

Пример 1

Рассмотрим интеграл

$\int \; -\; \infty \; \infty \; 1\; (Икс\; 2\; +\; 1)\; 2\; dx,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{\backslash \; left\; (x\; ^\; \{2\}\; +1\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dx,\}$

Чтобы оценить этот интеграл, мы смотрим на комплексную функцию

$f\; (z)\; =\; 1\; (\; z\; 2\; +\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; left\; (z\; ^\; \{2\}\; +1\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

, который имеет особенности в точках i и −i. Выберем контур, который будет охватывать действительный интеграл, здесь будет удобен полукруг диаметром на действительной прямой (идущий, скажем, от −a к a). Назовите этот контур C.

Действуйте двумя способами: с помощью интегральной формулы Коши или методом вычетов:

Используя интегральную формулу Коши

Обратите внимание, что:

$\oint \; С\; \; е\; (z)\; dz\; =\; \int \; -\; aaf\; (z)\; dz\; +\; \int \; Arc\; f\; (z)\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; f\; (z)\; \backslash ,\; dz\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\; -\; a\}\; ^\; \{a\}\; f\; (z)\; \backslash ,\; dz\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Arc\}\}\; f\; (z)\; \backslash ,\; dz\}$

таким образом

$\int \; -\; aaf\; (z)\; dz\; Знак\; равно\; \oint \; С\; \; е\; (z)\; dz\; -\; \int \; дуга\; е\; (z)\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; a\}\; ^\; \{a\}\; f\; (z)\; \backslash ,\; dz\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; f\; (z)\; \backslash ,\; dz-\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Arc\}\}\; f\; (z)\; \backslash ,\; dz\}$

Кроме того, обратите внимание, что

$f\; (z)\; =\; 1\; (z\; 2\; +\; 1)\; 2\; =\; 1\; (z\; +\; i)\; 2\; (г\; -\; я)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; left\; (z\; ^\; \{2\}\; +1\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{(z\; +\; i)\; ^\; \{2\}\; (zi)\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Временная особенность в контуре - это особенность в точке i, мы можем записать

$f\; (z)\; =\; 1\; (z\; +\; i)\; 2\; (z\; -\; i)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(z\; +\; i)\; ^\; \{2\}\}\}\; \{(zi)\; ^\; \{2\}\; \}\},\}$

что ставит функция в форме для применения формулы. Тогда, используя интегральную формулу Коши,

$C\; \; f\; (z)\; dz\; =\; \oint \; C\; \; 1\; (z\; +\; i)\; 2\; (z\; -\; i)\; 2\; dz\; =\; 2\; \pi \; iddz\; (1\; (z\; +\; i)\; 2)\; |\; z\; =\; i\; =\; 2\; \pi \; i\; (-\; 2\; (z\; +\; i)\; 3)\; |\; Z\; знак\; равно\; я\; знак\; равно\; \pi \; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; f\; (z)\; \backslash ,\; dz\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(z\; +\; i)\; ^\; \{2\}\; \}\}\; \{(zi)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dz\; =\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dz\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(z\; +\; i)\; ^\; \{2\}\}\; \}\; \backslash \; справа)\; \{\backslash \; Bigg\; |\}\; \_\; \{z\; =\; i\}\; =\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{-2\}\; \{(z\; +\; i)\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; Bigg\; |\}\; \_\; \{z\; =\; i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\}$

Мы берем первую производную на описанных выше шагах, потому что полюс является полюсом второго порядка. То есть (z - i) переводится во вторую степень, поэтому мы используем первую производную от f (z). Если бы (z - i) взяли в третью степень, мы бы использовали вторую производную и разделили на 2!, И т. Д. Случай (z - i) в первой степени соответствует производной нулевого порядка - просто f (z) сам.

Нам нужно показать, что интеграл по дуге полукруга стремится к нулю при a → ∞, используя лемму об оценке

$|\; \int \; Дуга\; f\; (z)\; d\; z\; |\; \le \; M\; L\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево\; |\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Arc\}\}\; f\; (z)\; \backslash ,\; dz\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; ML\}$

где M - верхняя граница | f (z) | по дуге и L - длина дуги. Теперь,

$|\; \int \; Дуга\; f\; (z)\; d\; z\; |\; \le \; a\; \pi \; (a\; 2\; -\; 1)\; 2\; \to \; 0\; при\; a\; \to \; \infty .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Arc\}\}\; f\; (z)\; \backslash ,\; dz\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; left\; (a\; ^\; \{2\}\; -1\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; rightarrow\; 0\; \{\backslash \; t\_dv\; \{as\}\}\; a\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty.\}$

Итак

$\int \; -\; \infty \; \infty \; 1\; (x\; 2\; +\; 1)\; 2\; dx\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; f\; (z)\; dz\; =\; lim\; a\; \to \; +\; \infty \; \int \; -\; aaf\; (z)\; dz\; =\; \pi \; 2.\; ◻\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; left\; (x\; ^\; \{2\}\; +1\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (z)\; \backslash ,\; dz\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{a\; \backslash \; to\; +\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; a\}\; ^\; \{a\}\; f\; (z)\; \backslash ,\; dz\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{\; 2\}\}.\; \backslash \; quad\; \backslash \; square\}$

Используя метод вычетов

Рассмотрим ряд Лорана функции f (z) относительно i, единственные особенности нам нужно учитывать. Тогда имеем

$f\; (z)\; =\; -\; 1\; 4\; (z\; -\; i)\; 2\; +\; -\; i\; 4\; (z\; -\; i)\; +\; 3\; 16\; +\; i\; 8\; (z\; -\; i)\; +\; -\; 5\; 64\; (z\; -\; i)\; 2\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{4\; (zi)\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{-i\}\; \{4\; (zi)\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{\; 16\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{8\}\}\; (zi)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{-5\}\; \{64\}\}\; (zi)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

(см. Пример расчета Лорана из ряд Лорана для вывода этого ряда.)

Из осмотра ясно, что вычет равенства −i / 4, поэтому по теореме о вычетах, получаем

$\oint \; C\; \; е\; (z)\; dz\; знак\; равно\; \oint \; C\; \; 1\; (z\; 2\; +\; 1)\; 2\; dz\; =\; 2\; \pi \; i\; Res\; z\; =\; i\; \; f\; (z)\; =\; 2\; \pi \; i\; (-\; i\; 4)\; =\; \pi \; 2\; ◻\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; f\; (z)\; \backslash ,\; dz\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; left\; (z\; ^\; \{2\}\; +1\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dz\; =\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \_\; \{z\; =\; i\}\; f\; (z)\; =\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; square\}$

Таким образом, мы получаем тот же результат, что и раньше.

Контурное примечание

Кроме того, может возникнуть вопрос, не возьмем ли мы полукруг, чтобы включить другую особенность, заключающую в себе −i. Чтобы интеграл вдоль действующей оси двигался в правильном направлении, контур должен двигаться по часовой стрелке, то есть в отрицательном направлении, меняя знак интеграла в целом.

Это не влияет на использование метода остатков по сериям.

Пример 2 - распределение Коши

Интеграл

$\int \; -\; \infty \; \infty \; eitxx\; 2\; +\; 1\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; e\; ^\; \{itx\}\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash ,\; dx\}$

(который возникает в теории вероятностей как скалярное кратное характеристической функции распределения Коши ) сопротивляется методам элементарного исчисления. Мы будем оценивать его, выражая его как предел контура интегралов вдоль контура C, который проходит вдоль вещественной линии 222>от −a до a, а против часовой стрелки вдоль полукруга с центром в 0 от a до −a. Возьмите больше 1, чтобы мнимая единица была заключена внутри кривой. Контурный интеграл равенство

$\int \; C\; e\; i\; t\; z\; z\; 2\; +\; 1\; d\; z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{itz\}\}\; \{z\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash ,\; dz.\}$

Время e - это целая функция, (не имеющая функция в любой точке комплексной плоскости) эта функция имеет особенности только там, где знаменатель z + 1 равенство нулю. Времена z + 1 = (z + i) (z - i), это происходит только тогда, когда z = i или z = −i. Только одна из этих точек находится в области, ограниченной этим контуром. остаток функции f (z) при z = i равенство

$lim\; z\; \to \; i\; (z\; -\; i)\; f\; (z)\; =\; lim\; z\; \to \; i\; (z\; -\; i)\; eitzz\; 2\; +\; 1\; =\; lim\; z\; \to \; i\; (z\; -\; i)\; eitz\; (z\; -\; i)\; (z\; +\; i)\; =\; lim\; z\; \to \; ieitzz\; +\; i\; =\; e\; -\; t\; 2\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{z\; \backslash \; to\; i\}\; (zi)\; f\; (z)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{z\; \backslash \; to\; i\}\; (zi)\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{itz\}\}\; \{z\; ^\; \{2\}\; +1\; \}\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{z\; \backslash \; to\; i\}\; (zi)\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{itz\}\}\; \{(zi)\; (z\; +\; i)\}\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{z\; \backslash \; to\; i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; e\; ^\; \{itz\}\}\; \{z\; +\; i\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; t\}\}\; \{2i\}\}.\}$

Согласно теореме о вычетах, тогда мы имеем

$\int \; C\; f\; (z)\; dz\; =\; 2\; \pi \; i\; Res\; z\; =\; i\; \; f\; (z)\; =\; 2\; \pi \; ie\; -\; t\; 2\; i\; =\; \pi \; e\; -\; t.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{C\}\; е\; (z)\; \backslash ,\; dz\; =\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \_\; \{z\; =\; i\}\; f\; (z)\; =\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; t\; \}\}\; \{2i\}\}\; =\; \backslash \; pi\; e\; ^\; \{-\; t\}.\}$

Контур C можно разделить на «прямую» часть и криволинейную дугу, так что

$\int \; прямой\; +\; arc\; =\; \pi \; e\; -\; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; text\; \{прямо\}\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; text\; \{arc\}\}\; =\; \backslash \; pi\; e\; ^\; \{-\; t\},\}$

и, следовательно,

$\int \; -\; aa\; =\; \pi \; e\; -\; т\; -\; \int \; дуга.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; a\}\; ^\; \{a\}\; =\; \backslash \; pi\; e\; ^\; \{-\; t\}\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; text\; \{arc\}\}.\}$

Согласно лемме Джордана, если t>0, то

$\int \; arc\; eitzz\; 2\; +\; 1\; dz\; \to \; 0\; при\; a\; \to \; \infty .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; text\; \{arc\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{itz\}\}\; \{z\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash ,\; dz\; \backslash \; rightarrow\; 0\; \{\backslash \; t\_dv\; \{as\}\}\; a\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty.\}$

Следовательно, если t>0, то

$\int \; -\; \infty \; \infty \; eitxx\; 2\; +\; 1\; dx\; =\; \pi \; e\; -\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{itx\}\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; pi\; e\; ^\; \{-\; t\}.\}$

Аналогичный аргумент с дугой, который вращается вокруг −i, а не i, показывает, что если t < 0 then

$\int \; -\; \infty \; \infty \; eitxx\; 2\; +\; 1\; dx\; =\; \pi \; et,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{itx\}\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; pi\; e\; ^\; \{t\},\}$

и, наконец, у нас есть это:

$\int \; -\; \infty \; \infty \; eitxx\; 2\; +\; 1\; dx\; =\; \pi \; e\; -\; |\; т\; |.\; ◻\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{itx\}\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; pi\; e\; ^\; \{-\; |\; т\; |\; \}.\; \backslash \; quad\; \backslash \; square\}$

(Если t = 0, тогда интеграл немедленно уступает место методам исчисления с действительным знаком и его значение равно π.)

Пример 3 - тригонометрические интегралы

В интегралы, включающие тригонометрические функции, могут быть внесены определенные подстановки, поэтому интеграл преобразуется в рациональную функцию комплексной переменной, а затем для вычисления интеграла можно использовать вышеуказанныеметоды.

В качестве примера рассмотрим

$\int \; -\; \pi \; \pi \; 1\; 1\; +\; 3\; (cos\; \; t)\; 2\; d\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; pi\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; 3\; (\backslash \; cos\; t)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dt.\}$

Мы стремимся создать замену z = е. Теперь вспомните

$cos\; \; t\; =\; 1\; 2\; (eit\; +\; e\; -\; it)\; =\; 1\; 2\; (z\; +\; 1\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; t\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{\; it\}\; +\; e\; ^\; \{-\; it\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (z\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\}\; \backslash \; right)\}$

и

$dzdt\; =\; iz,\; dt\; =\; dziz.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dz\}\; \{dt\}\}\; =\; iz,\; \backslash \; dt\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dz\}\; \{iz\}\}.\}$

Принимая C за единичный круг, мы подставляем, чтобы получить:

$∮ С 1 1 + 3 (1 2 (z + 1 z)) 2 dziz = ∮ C 1 1 + 3 4 (z + 1 z) 2 1 izdz = ∮ C - iz + 3 4 z (z + 1 z) 2 dz = - i ∮ C 1 z + 3 4 z (z 2 + 2 + 1 z 2) dz = - i ∮ C 1 z + 3 4 (z 3 + 2 z + 1 z) dz = - i ∮ C 1 3 4 z 3 + 5 2 z + 3 4 zdz = - i ∮ C 4 3 z 3 + 10 z + 3 zdz = - 4 i ∮ C 1 3 z 3 + 10 z + 3 zdz = - 4 i ∮ C z 3 z 4 + 10 z 2 + 3 dz = - 4 i ∮ C z 3 (z + 3 i) (z - 3 i) (z + i 3) (z - i 3) dz = - 4 i 3 ∮ С z (z + 3 i) (z - 3 i) (z + i 3) (z - i 3) dz. {\ displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {C} {\ frac {1} {1 + 3 \ left ({\ frac {1} {2}} \ left (z + {\ frac {1} { z}} \ right) \ right) ^ {2}}} \, {\ frac {dz} {iz}} = \ oint _ {C} {\ frac {1} {1 + {\ frac {3} {4}} \ left (z + {\ frac {1} {z}} \ right) ^ {2}}} {\ frac {1} {iz}} \, dz \\ = \ oint _ {C } {\ frac {-i} {z + {\ frac {3} {4}} z \ left (z + {\ frac {1} {z}} \ right) ^ {2}}} \, dz \ \ = - i \ oint _ {C} {\ frac {1} {z + {\ frac {3} {4}} z \ left (z ^ {2} +2 + {\ frac {1} {z ^ {2}})} \ right)}} \, dz \\ = - i \ oint _ {C} {\ frac {1} {z + {\ frac {3} {4}} \ left (z ^ {3} + 2z + {\ frac {1} {z}} \ right)}} \, dz \\ = - i \ oint _ {C} {\ frac {1} {{\ frac {3} {4}} z ^ {3} + {\ frac {5} {2}} z + {\ frac {3} {4z}}}} \, dz \\ = - i \ oint _ {C} { \ frac {4} {3z ^ {3} + 10z + {\ frac {3} {z}}}} \, dz \\ = - 4i \ oint _ {C} {\ frac {1} {3z ^ {3} + 10z + {\ frac {3} {z}}}} \, dz \\ = - 4i \ oint _ {C} {\ frac {z} {3z ^ {4} + 10z ^ {2 } +3}} \, dz \\ = -4i \ oint _ {C} {\ frac {z} {3 \ left (z + {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z - {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z + { \ frac {i} {\ sqrt {3}}} \ right) \ left (z - {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} \ right)}} \, dz \\ = - {\ frac {4i} {3}} \ oint _ {C} {\ frac {z} {\ left (z + {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z - {\ sqrt {3})} я \ вправо) \ влево (г + {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} \ right) \ left (z - {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} \ right)}} \, дз. \ end {выровнено}}}$

Следует учитывать особенности в $\pm \; i\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pm\; i\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}.\}$Пусть C 1 будет маленьким кружком около $i\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{i\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\},\}$и C 2 быть маленьким кружком около $-\; i\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{-i\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}.\}$Тогда мы получаем следующее:

$- 4 i 3 [∮ C 1 z (z + 3 i) (z - 3 i) (z + i 3) z - i 3 dz + ∮ C 2 z (z + 3 i) (z - 3 i) (z - i 3)) z + i 3 dz] = - 4 i 3 [2 π i (z (z + 3 i) (z - 3 i) (z + i 3)) | z = i 3 + 2 π i (z (z + 3 i) (z - 3 i) (z - i 3)) | z = - i 3] = 8 π 3 [i 3 (i 3 + 3 i) (i 3 - 3 i) (i 3 + i 3) + - i 3 (- i 3 + 3 i) (- i 3 - 3 i) (- i 3 - i 3)] = 8 π 3 [i 3 (4 3 i) (- 2 i 3) (2 3 i) + - i 3 (2 3 i) (- 4 3 i))) (- 2 3 i)] = 8 π 3 [i 3 i (4 3) (2 3) (2 3) + - i 3 - i (2 3) (4 3) (2 3)] = 8 π 3 [1 3 (4 3) (2 3) (2 3) + 1 3 (2 3) (4 3) (2 3)] = 8 π 3 [1 3 16 3 3 + 1 3 16 3 3] = 8 π 3 [3 16 + 3 16] = π. {\ displaystyle {\ begin {align} - {\ frac {4i} {3}} \ left [\ oint _ {C_ {1}} {\ frac {\ frac {z} {\ left (z + {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z - {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z + {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} \ right)}} { z- {\ frac {i} {\ sqrt {3}}}} \, dz + \ oint _ {C_ {2}} {\ frac {\ frac {z} {\ left (z + {\ sqrt {3 }} i \ right) \ left (z - {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z - {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} \ right)}} {z + { \ frac {i} {\ sqrt {3}}}}} \, dz \ right] \\ = {} - {\ frac {4i} {3}} \ left [2 \ pi i \ left. \ left ({\ frac {z} {\ left (z + {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z - {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z + {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} \ right)}} \ right) \ right | _ {z = {\ frac {i} {\ sqrt {3}}}} + 2 \ pi i \ left. \ left ({\ frac {z} {\ left (z + {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z - {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z - {\ frac {i} {\ sqrt {3}})} \ right)}} \ right) \ right | _ {z = - {\ frac {i} {\ sqrt {3}}}} \ right] \\ = {} {\ frac {8 \ pi} {3}} \ left [{\ frac {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} {\ left ({\ frac {i} {\ sqrt {3}}} + {\ sqrt {3}} i \ right) \ left ({\ frac {i} {\ sqrt {3}}} - {\ sqrt {3}} i \ right) \ left ({\ frac {i} {\ sqrt {3}}} + {\ frac {i} {\ sqrt {3}) }} \ right)}} + {\ frac {- {\ frac {i} {\ sqrt {3}}}} {\ left (- {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} + {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (- {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} - {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (- {\ frac {i} { \ sqrt {3}}} - {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} \ right)}} \ right] \\ = {} {\ frac {8 \ pi} {3}} \ left [{\ frac {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} {\ left ({\ frac {4} {\ sqrt {3}}} i \ right) \ left (- {\ frac {2}) {i {\ sqrt {3}}}} \ right) \ left ({\ frac {2} {{\ sqrt {3}} i}} \ right)}} + {\ frac {- {\ frac {i } {\ sqrt {3}}}} {\ left ({\ frac {2} {\ sqrt {3}}} i \ right) \ left (- {\ frac {4} {\ sqrt {3}}} i \ right) \ left (- {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} i \ right)}} \ right] \\ = {} {\ frac {8 \ pi} {3}} \ left [{\ frac {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} {i \ left ({\ frac {4} {\ sqrt {3}}} \ right) \ left ({ \ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ right) \ left ({\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ right)}} + {\ frac {- {\ frac {i} {\ sqrt {3}}}} {- i \ left ({\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ right) \ left ({\ frac {4} {\ sqrt {3}}} \ right) \ left ({\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ right)}} \ right] \\ = {} {\ frac {8 \ pi} {3}} \ left [{\ frac {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} {\ left ({\ frac {4} {\ sqrt {3}}} \ right) \ left ({\ frac {2} {\ sqrt {3 }}} \ right) \ left ({\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ right)}} + {\ frac {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} {\ le ft ({\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ right) \ left ({\ frac {4} {\ sqrt {3}}} \ right) \ left ({\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ right)}} \ right] \\ = {} {\ frac {8 \ pi} {3}} \ left [{\ frac {\ frac {1} {\ sqrt {3}} } {\ frac {16} {3 {\ sqrt {3}}}}} + {\ frac {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} {\ frac {16} {3 {\ sqrt {3 }}}}} \ right] \\ = {} {\ frac {8 \ pi} {3}} \ left [{\ frac {3} {16}} + {\ f rac {3} {16}} \ right] \\ = {} \ pi. \ end {align}}}$

Пример 3a - тригонометрические интегралы, общая процедура

Вышеупомянутый метод может быть применен ко всем интегралам типа

$\int \; 0\; 2\; \pi \; P\; (sin\; \; (t),\; sin\; \; (2\; t),\dots ,\; cos\; \; (t),\; cos\; \; (2\; t),\dots )\; Q\; (sin\; \; (t),\; sin\; \; (2\; т),\dots \; соз\; \; (т),\; соз\; \; (2\; т),\dots )\; Dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; frac\; \{P\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; sin\; (t),\; \backslash \; sin\; (2t),\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; cos\; (t),\; \backslash \; cos\; (2t),\; \backslash \; ldots\; \{\backslash \; big)\}\}\; \{Q\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; sin\; (t),\; \backslash \; sin\; (2t),\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; cos\; (t),\; \backslash \; cos\; (2t),\; \backslash \; ldots\; \{\backslash \; big)\}\}\}\; \backslash ,\; dt\}$

где P и Q - полиномы, т.е. рациональная функция в тригонометрических терминах интегрируется. Обратите внимание, что границы интегрирования также могут быть π и −π, как в примере, или любой другой парой конечных точек, разнесенных на 2π.

Уловка состоит в том, чтобы использовать замену z = e, где dz = ie dt и, следовательно,

$1\; i\; z\; d\; z\; =\; d\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{iz\}\}\; \backslash ,\; dz\; =\; dt.\}$

Эта подстановка отображает интервал [0, 2π] на единичную окружность. Кроме того,

$sin\; \; (kt)\; =\; eikt\; -\; e\; -\; ikt\; 2\; i\; =\; zk\; -\; z\; -\; k\; 2\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (kt)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{ikt\}\; -e\; ^\; \{-\; ikt\}\}\; \{2i\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{k\}\; -z\; ^\; \{-\; k\}\}\; \{2i\}\}\}$

и

$cos\; \; (kt)\; =\; eikt\; +\; e\; -\; ikt\; 2\; =\; zk\; +\; Z\; -\; К\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; cos\; (kt)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{ikt\}\; +\; e\; ^\; \{-\; ikt\}\}\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{k\}\; +\; z\; ^\; \{\; -\; k\}\}\; \{2\}\}\}$

так, чтобы в результате подстановки получилась рациональная функция f (z) по z, а интеграл стал

$\oint \; |\; z\; |\; Знак\; равно\; 1\; е\; (z)\; 1\; izdz\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oint\; \_\; \{|\; z\; |\; =\; 1\}\; f\; (z)\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{iz\}\}\; \backslash ,\; dz\}$

, который, в свою очередь, вычисляется путем суммирования вычеты f (z) 1 / из внутри единичной окружности.

Изображение справа иллюстрирует это для

$I\; =\; \int \; 0\; \pi \; 2\; 1\; 1\; +\; (sin\; \; t)\; 2\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; (\backslash \; sin\; t)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dt,\}$

который мы теперь вычисляем. Первый шаг - признать, что

$I\; =\; 1\; 4\; \int \; 0\; 2\; \pi \; 1\; 1\; +\; (sin\; \; t)\; 2\; d\; t.\; \{\backslash \; Displaystyle\; I\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; (\backslash \; sin\; t)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dt.\}$

Замена дает

$1\; 4\; \oint \; |\; z\; |\; Знак\; равно\; 1\; 4\; i\; z\; z\; 4\; -\; 6\; z\; 2\; +\; 1\; d\; z\; =\; \oint \; |\; z\; |\; Знак\; равно\; 1\; я\; Z\; Z\; 4-6\; Z\; 2\; +\; 1\; д\; Z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{|\; z\; |\; =\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{4iz\}\; \{z\; ^\; \{4\}\; -6z\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash ,\; dz\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{|\; z\; |\; =\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{iz\}\; \{z\; ^\; \{4\}\; -6z\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash ,\; dz.\}$

Полюса этой функции находятся в точках 1 ± √2 и −1 ± √2. Из них 1 + √2 и −1 - √2 находятся за пределами единичного круга (показаны не в масштабе), тогда как 1 - √2 и −1 + √2 находятся внутри единичного круга (показаны синим). Оба соответствующих вычета равны −i√2 / 16, так что значениерала

$I\; =\; 2\; \pi \; i\; 2\; (-\; 2\; 16\; i)\; =\; \pi \; 2\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash ;\; 2\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \{16\}\}\; i\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \{4\}\}.\}$

Пример 4 - разветвления

Рассмотрим вещественный интеграл

$\int \; 0\; \infty \; xx\; 2\; +\; 6\; x\; +\; 8\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; 6x\; +\; 8\}\}\; \backslash ,\; dx.\}$

Мы можем начать с формулировки комплексный интеграл

$\int \; C\; zz\; 2\; +\; 6\; z\; +\; 8\; dz\; =\; I.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{z\}\}\; \{z\; ^\; \{2\}\; +\; 6z\; +\; 8\}\}\; \backslash ,\; dz\; =\; I.\}$

Мы можем использовать интегральную формулу Коши или остаток теорему еще раз, чтобы получить соответствующие вычеты. Однако важно отметить, что z = e, поэтому z имеет отрезок ветви . Это влияет на наш выбор контура C. Обычно отрезококарифмической переменной определяется как отрицательная действительная ось, однако это немного усложняет вычисление интеграла, поэтому мы определяем как положительную действительную ось.

Мы используем так называемый контур замочной скважины, который проходит через небольшой круг вокруг начала радиуса, до отрезка прямого, параллельного и близкого к положительной действительной оси, но не касающегося его, почти полный круг, возвращающийся к отрезку прямой, параллельному, близкому и ниже положительной действительной оси в отрицательном смысле, возвращаясь к маленькому кругу в середине.

Обратите внимание, что z = −2 и z = −4 находятся внутри большого круга. Это два оставшихся полюса, которые можно получить, разложив знаменатель подынтегрального выражения. Точку ветвления на z = 0 удалось избежать обхода начала координат.

Пусть γ - это малая окружность радиуса ε, большего Γ и радиуса R, тогда

$\int \; C\; =\; \int \; \epsilon \; R\; +\; \int \; \Gamma \; +\; \int \; R\; \epsilon \; +\; \int \; \gamma .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{C\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\; ^\; \{R\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{R\}\; ^\; \{\backslash \; varepsilon\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; gamma\}.\; \}$

Можно показать, что интегралы по Γ и γ стремятся к нулю при ε → 0 и R → ∞, с помощью оценочного аргумента, приведенного выше, что оставляет два члена. Теперь, поскольку z = e, на контуре вне сечения ветви мы получили 2π аргумента вдоль γ. (Согласно тождеству Эйлера, e представляет собой единый вектор, который, следовательно, имеет π в качестве своего журнала. Это π и есть то, что подразумевается под аргументом z. Коэффициент 1/2 вынуждает нас использовать 2π.),

$∫ R ε zz 2 + 6 z + 8 dz = ∫ R ε e 1 2 Log ⁡ zz 2 + 6 z + 8 dz = ∫ R ε e 1 2 (log ⁡ | z | + i arg ⁡ z) z 2 + 6 z + 8 dz = ∫ R ε e 1 2 log ⁡ | z | e 1 2 (2 π i) z 2 + 6 z + 8 d z = ∫ R ε e 1 2 log ⁡ | z | е π z 2 + 6 z + 8 d z знак равно ∫ R ε - z z 2 + 6 z + 8 d z знак равно ∫ ε R z z 2 + 6 z + 8 d z. {\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {R} ^ {\ varepsilon} {\ frac {\ sqrt {z}} {z ^ {2} + 6z + 8}} \, dz = \ int _ {R} ^ {\ varepsilon} {\ frac {e ^ {{\ frac {1} {2}} \ operatorname {Log} z}} {z ^ {2} + 6z + 8}} \, dz \\ = \ int _ {R} ^ {\ varepsilon} {\ frac {e ^ {{\ frac {1} {2}} (\ log | z | + i \ arg {z})}} {z ^ { 2} + 6z + 8}} \, dz \\ = \ int _ {R} ^ {\ varepsilon} {\ frac {e ^ {{\ frac {1} {2}} \ log | z |} e ^ {{\ frac {1} {2}} (2 \ pi i)}} {z ^ {2} + 6z + 8}} \, dz \\ = \ int _ {R} ^ {\ varepsilon} {\ frac {e ^ {{\ frac {1} {2}} \ log | z |} e ^ {\ pi i}} {z ^ {2} + 6z + 8}} \, dz \\ = \ int _ {R} ^ {\ varepsilon} {\ frac {- {\ sqrt { z}}} {z ^ {2} + 6z + 8}} \, dz \\ = \ int _ {\ varepsilon} ^ {R} {\ frac {\ sqrt {z}} {z ^ {2} + 6z + 8}} \, dz. \ End {align}}}$

Следовательно:

$\int \; C\; zz\; 2\; +\; 6\; z\; +\; 8\; dz\; знак\; 2\; \int \; 0\; \infty \; хх\; 2\; +\; 6\; х\; +\; 8\; дх.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{z\}\}\; \{z\; ^\; \{2\}\; +\; 6z\; +\; 8\}\}\; \backslash ,\; dz\; =\; 2\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; 6x\; +\; 8\}\}\; \backslash ,\; dx.\}$

Используя теорему о вычетах или интегральную формулу Коши (сначала используя метод частичных дробей, чтобы получить сумму двух простые контурные интегралы) получаем

$\pi \; i\; (i\; 2\; -\; i)\; =\; \int \; 0\; \infty \; xx\; 2\; +\; 6\; x\; +\; 8\; dx\; =\; \pi \; (1\; -\; 1\; 2).\; ◻\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; -\; i\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\; \}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; 6x\; +\; 8\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; pi\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right).\; \backslash \; quad\; \backslash \; square\}$

Пример 5 - квадрат логарифма

В этом разделе рассматривается тип интеграла, от которого

$\int \; 0\; \infty \; log\; \; x\; (1\; +\; x\; 2)\; 2\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; log\; x\}\; \{\backslash \; left\; (1\; +\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dx\}$

является примером.

Для вычисления этого интеграла используется функция

$f\; (z)\; =\; (log\; \; z\; 1\; +\; z\; 2)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; log\; z\}\; \{1\; +\; z\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

и ветвь логарифма, соответствующую −π < arg z ≤ π.

. Мы вычислим интеграл от f (z) по контуру замочной скважины показано справа. Оказывается, этот интеграл является кратным первоначальному интегралу, который мы хотим вычислить, и по теореме Коши о вычетах имеем

$(\int \; R\; +\; \int \; M\; +\; \int \; N\; +\; \int \; r)\; f\; (z)\; dz\; =\; 2\; \pi \; i\; (Res\; z\; =\; i\; \; f\; (z)\; +\; Res\; z\; =\; -\; i\; \; f\; (z))\; =\; 2\; \pi \; i\; (-\; \pi \; 4\; +\; 1\; 16\; i\; \pi \; 2\; -\; \pi \; 4\; -\; 1\; 16\; i\; \pi \; 2)\; =\; -\; i\; \pi \; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{R\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{N\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{r\}\; \backslash \; right)\; f\; (z)\; \backslash ,\; dz\; =\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \_\; \{z\; =\; i\}\; f\; (z)\; +\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \_\; \{z\; =\; -i\}\; f\; (z)\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \backslash \; =\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{16\}\}\; i\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{16\}\}\; i\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; -\; i\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Пусть R будет радиусом большой круг, а r радиус малого. Обозначим верхнюю линию через M, а нижнюю через N. Как и раньше, мы берем предел, когда R → ∞ и r → 0. Вклады двух кружков равны нулю. Например, с леммой ML :

$|\; \int \; R\; f\; (z)\; d\; z\; |\; \le \; 2\; \pi \; R\; (журнал\; \; R)\; 2\; +\; \pi \; 2\; (R\; 2-1)\; 2\; \to \; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; int\; \_\; \{R\}\; f\; (z)\; \backslash ,\; dz\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; 2\; \backslash \; pi\; R\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; log\; R)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; left\; (R\; ^\; \{2\}\; -1\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; до\; 0.\}$

Чтобы вычислить вклады M и N, мы полагаем z = −x + iε на M и z = −x - iε на N, причем 0 < x < ∞:

$- i π 2 = (∫ R + ∫ M + ∫ N + ∫ r) f (z) dz = (∫ M + ∫ N) f (z) dz ∫ R, ∫ r исчезают = - ∫ ∞ 0 (log ⁡ (- x + i ε) 1 + (- x + i ε)) 2) 2 dx - ∫ 0 ∞ (log ⁡ (- x - i ε) 1 + (- x - i ε) 2) 2 dx = ∫ 0 ∞ (log ⁡ (- x + i ε) 1 + (- x + i ε) 2) 2 dx - ∫ 0 ∞ (журнал ⁡ (- x - i ε) 1 + (- x - i ε) 2) 2 dx = ∫ 0 ∞ (журнал ⁡ x + i π 1 + x 2) 2 dx - ∫ 0 ∞ (журнал ⁡ x - i π 1 + x 2) 2 dx ε → 0 = ∫ 0 ∞ (журнал ⁡ x + i π) 2 - (журнал ⁡ x - i π) 2 (1 + Икс 2) 2 dx знак равно ∫ 0 ∞ 4 π я журнал ⁡ x (1 + x 2) 2 dx = 4 π я ∫ 0 ∞ журнал ⁡ x (1 + x 2) 2 dx {\ displaystyle {\ begin {выровнен } -i \ pi ^ {2} = \ left (\ int _ {R} + \ int _ {M} + \ int _ {N} + \ int _ {r} \ right) f (z) \, dz \\ [6pt] = \ left (\ int _ {M} + \ int _ {N} \ right) f (z) \, dz \ int _ {R}, \ int _ {r} {\ t_dv {vanish}} \\ [6pt] = - \ int _ {\ infty} ^ {0} \ left ({\ frac {\ log (-x + i \ varepsilon)} {1 + (- x + i \ varepsilon) ^ {2}}} \ right) ^ {2} \, dx- \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {\ log (-xi \ varepsilon)} {1 + (- xi \ varepsilon) ^ {2}}} \ right) ^ {2} \, dx \\ [6pt] = \ int _ {0} ^ { \ infty} \ left ({\ frac {\ log (-x + i \ varepsilon)} {1 + (- x + i \ varepsilon) ^ {2}}} \ right) ^ {2} \, dx- \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {\ log (-xi \ varepsilon)} {1 + (- xi \ varepsilon) ^ {2}}} \ right) ^ {2} \, dx \\ [6pt] = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {\ log x + i \ pi} {1 + x ^ {2}}} \ right) ^ {2 } \, dx- \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {\ log xi \ pi} {1 + x ^ {2}}} \ right) ^ {2} \, dx \ varepsilon \ to 0 \\ = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {(\ log x + i \ pi) ^ {2} - (\ log xi \ pi) ^ {2}} { \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {2}}} \, dx \\ [6pt] = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {4 \ pi i \ log x} {\ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {2}}} \, dx \\ [6pt] = 4 \ pi i \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ log x} {\ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {2}}} \, dx \ end {align}}}$

, что дает

$\int \; 0\; \infty \; log\; \; x\; (\; 1\; +\; x\; 2)\; 2\; dx\; =\; -\; \pi \; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; log\; x\}\; \{\backslash \; left\; (1\; +\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}.\}$

Пример 6 - логарифмы и остаток на бесконечности

Мы стремимся вычислить

$I\; =\; \int \; 0\; 3\; x\; 3\; 4\; (3\; -\; x)\; 1\; 4\; 5\; -\; xdx.\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; (3-x)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\}\; \{5\; -x\}\}\; \backslash ,\; dx.\}$

Это требует внимательного изучения

$f\; (z)\; =\; z\; 3\; 4\; (3\; -\; z)\; 1\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; z\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; (3-z)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}.\}$

Мы построим f (z) так, чтобы у него есть разветвление на [0, 3], показанное на диаграмме красным. Для этого выберем две ветви логарифма: полагая

и

Таким образом, разрез z равен (−∞, 0], а разрез (3 - z) равен ( −∞, 3]. Легко видеть что разрез произведения двух, то есть f (z), равенство [0, 3], потому что f (z) на самом деле непрерывен на (−∞, 0). z = −r < 0 and we approach the cut from above, f(z) has the value

$р\; 3\; 4\; е\; 3\; 4\; \pi \; я\; (3\; +\; г)\; 1\; 4\; е\; 2\; 4\; \pi \; я\; знак\; равно\; р\; 3\; 4\; (3\; +\; г)\; 1\; 4\; е\; 5\; 4\; \pi \; я.\; \{\backslash \; Displaystyle\; г\; ^\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{3\}\; \{4\}\}\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; \backslash \; pi\; i\}\; (3\; +\; r)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{\; 2\}\; \{4\}\}\; \backslash \; pi\; i\}\; =\; r\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; (3\; +\; r)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{4\; \}\}\; \backslash \; pi\; i\}.\}$

Когда мы приближаемся снизу, f (z) имеет значение

$r\; 3\; 4\; e\; -\; 3\; 4\; \pi \; i\; (3\; +\; r)\; 1\; 4\; e\; 0\; 4\; \pi \; i\; =\; r\; 3\; 4\; (3\; +\; r)\; 1\; 4\; е\; -\; 3\; 4\; \pi \; я.\; \{\backslash \; Displaystyle\; r\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; \backslash \; pi\; i\}\; (3\; +\; r)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{0\}\; \{4\}\}\; \backslash \; pi\; i\}\; =\; r\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; (\; 3\; +\; r)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; \backslash \; pi\; i\}.\}$

Но

$e\; -\; 3\; 4\; \pi \; i\; =\; e\; 5\; 4\; \pi \; я,\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; \backslash \; pi\; i\}\; =\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{4\}\}\; \backslash \; pi\; i\},\}$

, чтобы обеспечить непрерывность разреза. Это проиллюстрировано на диаграмме, где два ориентированных черных круга помечены соответствующим аргумента логарифма, используемого в z и (3 - z).

Мы будем использовать контур, показанный на диаграмме зеленым цветом. Для этого мы должны вычислить значение f (z) вдоль отрезков линии чуть выше и чуть ниже разреза.

Пусть z = r (в пределе, т.е. когда два зеленых круга сжимаются до нулевого радиуса), где 0 ≤ r ≤ 3. Вдоль верхнего сегмента мы находим, что f (z) имеет значение

$r\; 3\; 4\; e\; 0\; 4\; \pi \; я\; (3\; -\; r)\; 1\; 4\; e\; 2\; 4\; \pi \; i\; =\; ir\; 3\; 4\; (3\; -\; r)\; 1\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; e\; ^\; \{\; \{\backslash \; frac\; \{0\}\; \{4\}\}\; \backslash \; pi\; i\}\; (3-r)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{4\}\}\; \backslash \; pi\; i\}\; =\; ir\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; (3-r)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\}$

и вдоль нижнего сегмента

$r\; 3\; 4\; e\; 0\; 4\; \pi \; i\; (3\; -\; г)\; 1\; 4\; е\; 0\; 4\; \pi \; я\; =\; г\; 3\; 4\; (3\; -\; г)\; 1\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{0\}\; \{4\}\}\; \backslash \; pi\; i\; \}\; (3-r)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{0\}\; \{4\}\}\; \backslash \; pi\; i\}\; =\; r\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; (3-\; r)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}.\}$

Это следует, что интеграл от f (z) / 5 - z по верхнему сегменту равен −iI в пределе, а по нижнему сегменту - I.

Если мы можем показать, что интегралы по двум зеленым кружкам обращаются в нуль в пределе, то мы также имеем значение I по теореме Коши о вычетах. Пусть радиус зеленых кружков равен ρ, где ρ < 0.001 and ρ → 0, and apply the неравенство ML. Для круга C L слева находим

$|\; \int \; C\; L\; f\; (z)\; 5\; -\; z\; d\; z\; |\; \le \; 2\; \pi \; \rho \; \rho \; 3\; 4\; 3.001\; 1\; 4\; 4.999\; \in \; O\; (\rho \; 7\; 4)\; \to \; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; int\; \_\; \{C\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (z)\}\; \{5-z\}\}\; dz\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; rho\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; 3.001\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\}\; \{4.999\}\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; rho\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; to\; 0.\}$

Аналогично для круга C R на справа, имеем

$|\; \int \; C\; R\; f\; (z)\; 5\; -\; z\; d\; z\; |\; \le \; 2\; \pi \; \rho \; 3,001\; 3\; 4\; \rho \; 1\; 4\; 1,999\; \in \; O\; (\rho \; 5\; 4)\; \to \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; int\; \_\; \{C\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{R\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (z)\}\; \{\; 5-z\}\}\; dz\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; rho\; \{\backslash \; frac\; \{3.001\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; \backslash \; rho\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\}\; \{1.999\}\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; rho\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; to\; 0.\}$

Теперь, используя теорему Коши о вычетах, мы имеем

$(-\; i\; +\; 1)\; I\; =\; -\; 2\; \pi \; i\; (Res\; z\; =\; 5\; \; f\; (z)\; 5\; -\; z\; +\; Res\; z\; =\; \infty \; \; f\; (z)\; 5\; -\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; (-i\; +\; 1)\; I\; =\; -2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; left\; (\backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \_\; \{z\; =\; 5\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (z)\}\; \{5-z\}\}\; +\; \backslash \; operatorname\; \{Res\; \}\; \_\; \{z\; =\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (z)\}\; \{5-z\}\}\; \backslash \; right).\}$

где знак минус связан с направлением по часовой стрелке вокруг остатков. Используя предыдущую ветвь логарифма, ясно, что

$Res\; z\; =\; 5\; \; f\; (z)\; 5\; -\; z\; =\; -\; 5\; 3\; 4\; e\; 1\; 4\; log\; \; (-\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \_\; \{z\; =\; 5\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (z)\}\; \{5-z\}\}\; =\; -\; 5\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; log\; (-2)\}.\}$

Столб показан на схеме синим цветом. Значение упрощается до

$-\; 5\; 3\; 4\; e\; 1\; 4\; (log\; \; 2\; +\; \pi \; i)\; =\; -\; e\; 1\; 4\; \pi \; i\; 5\; 3\; 4\; 2\; 1\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; -5\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; (\backslash \; log\; 2+\; \backslash \; pi\; i)\}\; =\; -\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; pi\; i\}\; 5\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; 2\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}.\}$

Мы используем следующую формулу для остатка на бесконечности:

$Res\; z\; =\; \infty \; \; h\; (z)\; =\; Res\; z\; =\; 0\; \; (-\; 1\; z\; 2\; h\; (1\; z)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \_\; \{z\; =\; \backslash \; infty\}\; h\; (z)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \_\; \{z\; =\; 0\}\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\; ^\; \{2\}\}\}\; h\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right).\}$

Подставляя, находим

$1\; 5\; -\; 1\; z\; =\; -\; z\; (1\; +\; 5\; z\; +\; 5\; 2\; z\; 2\; +\; 5\; 3\; z\; 3\; +\; \cdots )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\}\}\}\; =\; -\; z\; \backslash \; left\; (1\; +\; 5z\; +\; 5\; ^\; \{2\}\; z\; ^\; \{2\; \}\; +\; 5\; ^\; \{3\}\; z\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right)\}$

и

$(1\; z\; 3\; (3\; -\; 1\; z))\; 1\; 4\; =\; 1\; z\; (3\; z\; -\; 1)\; 1\; 4\; Знак\; равно\; 1\; ze\; 1\; 4\; \pi \; я\; (1-3\; z)\; 1\; 4,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; left\; (3\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\})\; \}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\}\; (3z-1)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{z\}\}\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; pi\; i\}\; (1-3z)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\},\}$

где мы использовали факт что −1 = e для второй ветви логарифма. Затем мы применяем биномиальное разложение, получая

$1\; ze\; 1\; 4\; \pi \; i\; (1\; -\; (1\; 4\; 1)\; 3\; z\; +\; (1\; 4\; 2)\; 3\; 2\; z\; 2\; -\; (1\; 4\; 3)\; 3\; 3\; z\; 3\; +\; \cdots ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\}\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; pi\; i\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; choose\; 1\})\; 3z\; +\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; choose\; 2\}\; 3\; ^\; \{2\}\; z\; ^\; \{2\}\; -\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; choose\; 3\}\; 3\; ^\; \{3\}\; z\; ^\; \{\; 3\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right).\}$

Вывод:

$Res\; z\; =\; \infty \; \; f\; (z)\; 5\; -\; z\; =\; e\; 1\; 4\; \pi \; i\; (5\; -\; 3\; 4)\; =\; e\; 1\; 4\; \pi \; i\; 17\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \_\; \{z\; =\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (z)\}\; \{5-z\}\}\; =\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; pi\; i\}\; \backslash \; left\; (5\; -\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\; =\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; pi\; i\}\; \{\backslash \; frac\; \{17\}\; \{4\}\}.\}$

Наконец, то значение I равно

$I\; =\; 2\; \pi ,\; т.е.\; 1\; 4\; \pi \; i\; -\; 1\; +\; i\; (17\; 4\; -\; 5\; 3\; 4\; 2\; 1\; 4)\; =\; 2\; \pi \; 2\; -\; 1\; 2\; (17\; 4\; -\; 5\; 3\; 4\; 2\; 1\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \{-\; 1\; +\; i\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{17\; \}\; \{4\}\}\; -\; 5\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; 2\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 2\; \backslash \; pi\; 2\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{17\}\; \{4\}\}\; -\; 5\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; 2\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\}$

, что дает

$I\; =\; \pi \; 2\; 2\; (17-5\; 3\; 4\; 2\; 9\; 4)\; =\; \pi \; 2\; 2\; (17-40\; 3\; 4).\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; left\; (17-5\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; 2\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{9\}\; \{4\; \}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; left\; (17-40\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right).\}$

Используя теорему о вычетах, мы можем вычислить интегралы по замкнутому контуру. Ниже приведены примеры вычисления контурных интегралов с помощью теоремы о вычетах.

Используя теорему о вычетах, давайте вычислим этот контурный интеграл.

$\oint \; C\; \; ezz\; 3\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{z\}\}\; \{z\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash ,\; dz\}$

Напоминаем, что теорема о вычетах состояния

$\oint \; С\; \; е\; (z)\; =\; 2\; \pi \; я\; \cdot \; \sum \; Res\; \; (f,\; ak),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; f\; (z)\; =\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sum\; \backslash \; operatorname\; \{\; Res\}\; (f,\; a\_\; \{k\}),\}$

где $Res\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\}$- остаток от $f\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\}$.

$f\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\}$имеет только один полюс, $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$. Исходя из этого, мы можем определить остаток для $f\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\}$как $1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{\; 1\}\; \{2\}\}\}$

$\oint \; C\; f\; (z)\; =\; \oint \; C\; ezz\; 3\; =\; 2\; \pi \; i\; \cdot \; Res\; z\; =\; 0\; \; f\; (z)\; =\; 2\; \pi \; i\; Res\; z\; =\; 0\; \; ezz\; 3\; =\; 2\; \pi \; i\; \cdot \; 1\; 2\; знак\; равно\; \pi \; я\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; f\; (z)\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{z\}\}\; \{z\; ^\; \{3\}\}\; \}\; \backslash \backslash \; =\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; cdot\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \_\; \{z\; =\; 0\}\; f\; (z)\; \backslash \backslash \; =\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; \_\; \{z\; =\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{z\}\}\; \{z\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Таким образом, используя теорему о вычетах, мы можем определить:

$\oint \; C\; ezz\; 3\; =\; \pi \; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{z\}\}\; \{z\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; \backslash \; pi\; i.\}$

Для решения многомерных контурных интегралов (то есть поверхностные интегралы, комплексные объемные интегралы и интегралы более высокого порядка ), мы должны использовать теорему о расходимости. А пока позвольте $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$быть взаимозаменяемым с $Div\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Div\}\}$. Оба они будут служить дивергенцией векторного поля , обозначенного как $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}$. Эта теорема гласит:

$\int \; \cdots \; \int \; U\; ⏟\; n\; Div\; \; (F)\; d\; V\; =\; \oint \; \; \cdots \; \oint \; \partial \; U\; ⏟\; n\; -\; 1\; F\; \cdot \; nd\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; int\; \backslash \; cdots\; \backslash \; int\; \_\; \{U\; \}\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; operatorname\; \{Div\}\; (\backslash \; mathbf\; \{F\})\; \backslash ,\; dV\; =\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; oint\; \backslash \; cdots\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; U\}\}\; \_\; \{n-1\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash ,\; dS\}$

Кроме того, нам также нужно оценить $\nabla \; \cdot \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}$где $\nabla \; \cdot \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}$- альтернативное обозначение $Div\; \; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Div\}\; (\backslash \; mathbf\; \{F\})\; \}$. Дивергенция любой размерности можно описать как

$Div\; \; (F)\; =\; \nabla \; \cdot \; F\; =\; (\partial \; \partial \; u,\; \partial \; \partial \; x,\; \partial \; \partial \; y,\; \partial \; \partial \; z,\; \cdots )\; \cdot \; (F\; u,\; F\; x,\; F\; y,\; F\; z\; \cdots )\; знак\; равно\; (\partial \; F\; u\; \partial \; u\; +\; \partial \; F\; x\; \partial \; x\; +\; \partial \; F\; y\; \partial \; y\; +\; \partial \; F\; z\; \partial \; z\; \cdots )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{Div\}\; (\backslash \; mathbf\; \{F\})\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\; \backslash \; partial\; x\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\},\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; (F\_\; \{u\},\; F\_\; \{x\; \},\; F\_\; \{y\},\; F\_\; \{z\}\; \backslash \; cdots)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\_\; \{u\}\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\_\; \{x\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\_\; \{y\}\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\_\; \{z\}\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{\; выровнено\}\}\}$

Пример 1

Пусть векторное поле $F\; =\; sin\; \; (2\; x)\; +\; sin\; \; (2\; y)\; +\; sin\; \; (2\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; \backslash \; sin\; (2x)\; +\; \backslash \; sin\; (2y)\; +\; \backslash \; sin\; (2z)\}$и ограничиваться следующим

$0\; \le \; x\; \le \; 1\; 0\; \le \; y\; \le \; 3\; \pi \; -\; 1\; \le \; Z\; \le \; 4\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{0\; \backslash \; Leq\; x\; \backslash \; Leq\; 1\}\; \backslash \; четырехъядерный\; \{0\; \backslash \; Leq\; у\; \backslash \; Leq\; 3\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; четырехъядерный\; \{-1\; \backslash \; Leq\; г\; \backslash \; Leq\; 4\}\}$

Соответствующий двойной контурный интеграл будет настроен как таковой:

$S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; scriptstyle\; S\}\}$$F\; \cdot \; nd\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash ,\; dS\}$

Теперь мы оцениваем $\nabla \; \cdot \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}$. Пока мы это делаем, давайте установим соответствующий тройной интеграл:

$= V (∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z) d V = ∭ V (∂ sin ⁡ ( 2 x) ∂ x + ∂ sin ⁡ (2 y) ∂ y + ∂ sin ⁡ (2 z) ∂ z) d V = ∭ V 2 (cos ⁡ (2 x) + cos ⁡ (2 y) + cos ⁡ ( 2 z)) d V = ∫ 0 1 ∫ 0 3 ∫ - 1 4 2 (cos ⁡ (2 x) + cos ⁡ (2 y) + cos ⁡ (2 z)) dxdydz = ∫ 0 1 ∫ 0 3 (10 cos ⁡ (2 y) + sin ⁡ (8) + sin ⁡ (2) + 10 cos ⁡ (z)) dydz = ∫ 0 1 (30 cos ⁡ (2 z) + 3 sin ⁡ (2) + 3 sin ⁡ (8) + 5 грех ⁡ (6)) dz = 18 грех ⁡ (2) + 3 грех ⁡ (8) + 5 грех ⁡ (6) {\ displaystyle {\ begin {align} = \ iiint _ {V} \ left ({\ frac {\ partial F_ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial F_ {y}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial F_ {z}} {\ partial z}} \ right) \, dV \\ = \ iiint _ {V} \ left ({\ frac {\ partial \ sin (2x)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ sin (2y)} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ sin (2z)} {\ partial z}} \ right) \, dV \\ = \ iiint _ {V} 2 (\ cos (2x) + \ cos (2y) + \ cos (2z)) \, dV \\ = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {3} \ int _ {- 1 } ^ {4} 2 (\ cos (2x) + \ cos (2y) + \ c os (2z)) \, dx \, dy \, dz \\ = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {3} (10 \ cos (2y) + \ sin (8) + \ sin (2) +10 \ cos (z)) \, dy \, dz \\ = \ int _ {0} ^ {1} (30 \ cos (2z) +3 \ sin (2) + 3 \ sin (8) +5 \ sin (6)) \, dz \\ = 18 \ sin (2) +3 \ sin (8) +5 \ sin (6) \ end {align}}}$

Пример 2

Например, пусть векторное поле $F\; =\; u\; 4\; +\; x\; 5\; +\; y\; 6\; +\; z\; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; u\; ^\; \{4\}\; +\; x\; ^\; \{5\}\; +\; y\; ^\; \{6\}\; +\; z\; ^\; \{-\; 3\}\}$, а $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- четвертое измерение. Пусть это векторное поле ограничено следующим:

$0\; \le \; x\; \le \; 1\; -\; 10\; \le \; y\; \le \; 2\; \pi \; 4\; \le \; z\; \le \; 5\; -\; 1\; \le \; u\; \le \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{0\; \backslash \; leq\; x\; \backslash \; leq\; 1\}\; \backslash \; quad\; \{-10\; \backslash \; leq\; y\; \backslash \; leq\; 2\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; quad\; \{4\; \backslash \; leq\; z\; \backslash \; leq\; 5\}\; \backslash \; quad\; \{-1\; \backslash \; leq\; u\; \backslash \; leq\; 3\}\}$

Чтобы оценить это, мы должен использовать теорему о расходимости, как указано ранее, и мы должны вычислить $\nabla \; \cdot \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}$. А пока пусть $d\; V\; =\; dxdydzdu\; \{\backslash \; displaystyle\; dV\; =\; dxdydzdu\}$

$S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; scriptstyle\; S\}\}$$F\; \cdot \; nd\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash ,\; dS\}$

$= ⨌ V (∂ F u ∂ u + ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z) d V = ⨌ V (∂ u 4 ∂ u + ∂ x 5 ∂ x + ∂ y 6 ∂ y + ∂ z - 3 ∂ z) d V = ⨌ V 4 u 3 z 4 + 5 x 4 z 4 + 5 y 4 z 4 - 3 z 4 d V = ⨌ V 4 u 3 z 4 + 5 x 4 z 4 + 5 y 4 z 4 - 3 z 4 d V = ∫ 0 1 ∫ - 10 2 π ∫ 4 5 ∫ - 1 3 4 u 3 z 4 + 5 x 4 z 4 + 5 y 4 z 4 - 3 z 4 d V = ∫ 0 1 ∫ - 10 2 π ∫ 4 5 (4 (3 u 4 z 3 + 3 y 6 + 91 z 3 + 3) 3 z 3) dydzdu = ∫ 0 1 ∫ - 10 2 π (4 u 4 + 743440 21 + 4 z 3) dzdu = ∫ 0 1 (- 1 2 π 2 + 1486880 π 21 + 8 π u 4 + 40 u 4 + 371720021 1050) du = 371728421 1050 + 14869136 π 3 - 105210 π 2 ≈ 576468.77 {\ displaystyle {\ begin {align} = \ iiiint _ {V} \ left ({\ frac {\ partial F_ {u}} {\ partial u}} + {\ frac {\ partial F_ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial F_ {y}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial F_ {z}} {\ частичный z}} \ right) \, dV \\ = \ iiiint _ {V} \ left ({\ f rac {\ partial u ^ {4}} {\ partial u}} + {\ frac {\ partial x ^ {5}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial y ^ {6}} {\ частичное y}} + {\ frac {\ partial z ^ {- 3}} {\ partial z}} \ right) \, dV \\ = \ iiiint _ {V} {\ frac {4u ^ {3} z ^ {4} + 5x ^ {4} z ^ {4} + 5y ^ {4} z ^ {4} -3} {z ^ {4}}} \, dV \\ = \ iiiint _ {V} {\ frac {4u ^ {3} z ^ {4} + 5x ^ {4} z ^ {4} + 5y ^ {4} z ^ {4} -3} {z ^ {4}}} \, dV \\ = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {- 10} ^ {2 \ pi} \ int _ {4} ^ {5} \ int _ {- 1} ^ {3} {\ гидроразрыв {4u ^ {3} z ^ {4} + 5x ^ {4} z ^ {4} + 5y ^ {4} z ^ {4} -3} {z ^ {4}}} \, dV \\ = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {- 10} ^ {2 \ pi} \ int _ {4} ^ {5} \ left ({\ frac {4 (3u ^ {4} z ^ {3} + 3y ^ {6} + 91z ^ {3} +3)} {3z ^ {3}}} \ right) \, dy \, dz \, du \\ = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {- 10} ^ {2 \ pi} \ left (4u ^ {4} + {\ frac {743440} {21}} + {\ frac {4} {z ^ {3}} } \ right) \, dz \, du \\ = \ int _ {0} ^ {1} \ left (- {\ frac {1} {2 \ pi ^ {2}}} + {\ frac {1486880 \ pi} {21}} + 8 \ pi u ^ {4} + 40u ^ {4} + {\ frac {371720021} {1050}} \ right) \, du \\ = {\ frac {371728421} { 1050}} + {\ frac {14869136 \ pi ^ {3} -105} {210 \ pi ^ {2}}} \\ \ приблизительно {576468.77} \ end {align}}}$

Таким образом, мы можем оцените контурный интеграл четвертого измерения.

Интегральное представление функции - это выражение функции, включающее контурный интеграл. Для многих специальных функций известны различные интегральные представления. Интегральные представления могут быть важны по теоретическим причинам, например дающие аналитическое продолжение или функциональные уравнения, или иногда для числовых оценок.

Например, исходное определение дзета-функции Римана ζ (s) через a ряд Дирихле,

$\zeta \; (s)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; ns,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; (s)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; ^\; \{s\}\}\},\}$

действительно только для Re (s)>1. Но

$\zeta \; (s)\; =\; -\; \Gamma \; (1\; -\; s)\; 2\; \pi \; я\; \int \; H\; (-\; t)\; s\; -\; 1\; et\; -\; 1\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; (s)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (\; 1-s)\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{H\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-t)\; ^\; \{s-1\}\}\; \{e\; ^\; \{t\}\; -1\}\}\; dt,\}$

где интегрирование выполняется по контуру Ганкеля H, действительно для всех комплексных s, не равных 1.

• Остаток (комплексный анализ)
• Главное значение Коши
• Интеграл Пуассона
• Контур Поххаммера

• Titchmarsh, EC (1939), Theory of Functions (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 0-19-853349-7
• Жан Жаклен, Марко Ридель, Branche univalente, Les-Mathematiques.net, на французском языке.
• Марко Ридель et al., Problème d'intégrale, Les-Mathematiques.net, на французском языке.
• Marko Riedel et al., Интеграл по остатку, math.stackexchange. com.
• WWL Chen, Введение в комплексный анализ
• Различные авторы, sin límites ni cotas, es.ciencia.matematicas, на испанском языке.

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]