Идеальная теория

редактировать

Теория идеалов в коммутативных кольцах в математике

В математике, теория идеалов - это теория идеалов в коммутативные кольца ; и является предшественником названия современного объекта коммутативной алгебры. Название выросло из основных соображений, таких как теорема Ласкера – Нётер в алгебраической геометрии и группе классов идеалов в теории алгебраических чисел коммутативной алгебры первых t четверть ХХ века. Он использовался во влиятельном ван дер Вардене тексте по абстрактной алгебре примерно с 1930 года.

Рассматриваемая идеальная теория была основана на теории исключения, но в соответствии с вкусом Дэвида Гилберта отошли от алгоритмических методов. Базис Грёбнера теория теперь полностью изменила тенденцию для компьютерной алгебры.

Важность идеи модуля, более общего, чем идеального, вероятно, привела к восприятию эта идеальная теория была слишком узким описанием. Теория оценки тоже была важным техническим расширением и использовалась Гельмутом Хассе и Оскаром Зариски. Бурбаки использовал коммутативную алгебру; иногда локальная алгебра применяется к теории локальных колец. Идеальная теория Дугласа Норткотта 1953 года (переиздана в 2004 году под тем же названием) была одним из последних упоминаний этого имени.

Содержание

1 Топология, определяемая идеалом
2 Система параметров
3 Теория редукции
4 Локальные когомологии в идеальной теории
5 Ссылки

Топология, определяемая идеалом

Пусть R - кольцо, а M - R-модуль. Тогда каждый идеал $a {\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ mathfrak {a}}$ R определяет топологию на M, называемую $a {\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ mathfrak {a}}$ -адическая топология такая, что подмножество U в M является открытым тогда и только тогда, когда для каждого x в U существует натуральное число n такое, что

x + an M ⊂ U. {\ displaystyle x + {\ mathfrak {a}} ^ {n} M \ subset U.}

{\ displaystyle x + {\ mathfrak {a}} ^ {n} M \ subset U.}

В отношении этого $a {\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ mathfrak {a}}$ - адическая топология, ${x + an M} n {\ displaystyle \ {x + {\ mathfrak {a}} ^ {n} M \} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ {x + {\ mathfrak {a}} ^ {n} M \} _ {n}}$ - основа окрестностей $x {\ displaystyle x}$ $x$ и делает работу модуля непрерывной; в частности, $M {\ displaystyle M}$ $M$ является, возможно, нехаусдорфовой топологической группой. Кроме того, M является топологическим пространством Хаусдорфа тогда и только тогда, когда $⋂ n>0 an M = 0. {\ textstyle \ bigcap _ {n>0} {\ mathfrak {a}} ^ { n} M = 0.}$ ${\textstyle \bigcap _{n>0} {\ mathfrak {a}} ^ {n} M = 0.}$ Более того, когда $M {\ displaystyle M}$ $M$ - это Хаусдорф, топология та же метрическое пространство топология, заданная путем определения функции расстояния: $d (x, y) = 2 - n {\ displaystyle d (x, y) = 2 ^ {- n}}$ ${\ displaystyle d (x, y) = 2 ^ {- n}}$ для $x ≠ y {\ displaystyle x \ neq y}$ $x \ neq y$ , где $n {\ displaystyle n}$ $N$ - целое число, такое что $x - y ∈ an M - an + 1 M {\ displaystyle xy \ in {\ mathfrak {a}} ^ {n} M - {\ mathfrak {a}} ^ {n + 1} M}$ ${\ displaystyle xy \ in {\ mathfrak {a}} ^ {n} M - {\ mathfrak {a}} ^ {n + 1} M}$ .

Для подмодуля N для M $a {\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ mathfrak {a}}$ -копирование N в M равно $⋂ n>0 (N + an M) {\ textstyle \ bigcap _ {n>0} (N + {\ mathfrak {a}} ^ {n} M)}$ ${\textstyle \bigcap _{n>0} (N + {\ mathfrak {a}} ^ {n} M)}$ , как легко показано.

Теперь, априори, на подмодуле N модуля M существуют две естественные $a {\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ mathfrak {a}}$ -топологии: топология подпространства, индуцированная посредством $a {\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ mathfrak {a}}$ -adic топологии на M и $a {\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ mathfrak {a}}$ -адическая топология на N. Однако, когда $R {\ displaystyle R}$ $R$ является нётеровым, а $M {\ displaystyle M}$ $M$ конечно над ним, эти два топологии совпадают как следствие леммы Артина – Риса.

Когда $M {\ displaystyle M}$ $M$ является Хаусдорфом, $M {\ displaystyle M}$ $M$ может быть заполнено как метрическое пространство; результирующее пространство обозначается $M ^ {\ displaystyle {\ widehat {M}}}$ $\ widehat {M}$ и имеет модульную структуру, полученную путем непрерывного расширения операций модуля. Это также то же самое (или канонически изоморфно):

M ^ = lim ← ⁡ M / an M {\ displaystyle {\ widehat {M}} = \ varprojlim M / {\ mathfrak {a}} ^ { n} M}

{\ displaystyle {\ widehat {M }} = \ varprojlim M / {\ mathfrak {a}} ^ {n} M}

, где правая часть - завершение модуля $M {\ displaystyle M}$ $M$ относительно $a {\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ mathfrak {a}}$ .

Пример : Пусть $R = k [x 1,…, xn] {\ displaystyle R = k [x_ {1}, \ dots, x_ {n} ]}$ $R = К [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]$ - кольцо многочленов над полем и $a = (x 1,…, xn) {\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ максимальный идеал. Тогда $R ^ = k [[x 1,…, xn]] {\ displaystyle {\ widehat {R}} = k [\! [X_ {1}, \ dots, x_ {n}] \!] }$ ${\ displaystyle {\ widehat {R}} = к [\! [x_ {1}, \ точки, x_ {n}] \!]}$ является кольцом формальных степенных рядов.

R называется кольцом Зарисского по отношению к $a {\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ mathfrak {a}}$ , если каждый идеал в R $a {\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ mathfrak {a}}$ -closed. Существует характеристика:

R - кольцо Зарисского относительно

a {\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}

{\ mathfrak {a}}

тогда и только тогда, когда

a {\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}

{\ mathfrak {a}}

содержится в радикале Джекобсона кольца R.

В частности, нетерово локальное кольцо является кольцом Зарисского относительно максимального идеала.

Система параметров

A система параметров для локального нетеровского кольца размерности Крулля d с максимальным идеальный m - это набор элементов x 1,..., x d, который удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

m является минимальным prime over (x 1,..., x d).
радикал из (x 1,..., x d) равно m.
Некоторая степень m содержится в (x 1,..., x d).
(x1,..., x d) является m-примарным.

Каждое локальное нётерово кольцо допускает систему параметров.

Невозможно, чтобы меньше чем d элементов генерировали идеал с радикалом m, потому что тогда размерность R будет меньше d.

Если M - k-мерный модуль над локальным кольцом, то x 1,..., x k равно система параметров для M, если длина M / (x 1,..., x k) M конечна.

Теория редукции

Теория редукции восходит к влиятельным 19 54 документ Норткотта и Риса, в котором представлены основные понятия. В алгебраической геометрии теория является одним из важных инструментов для извлечения подробной информации о поведении раздутий.

Для заданных идеалов J ⊂ I в кольце R идеал J называется редукцией I, если существует целое число m>0 такое, что $JI m = I m + 1 {\ displaystyle JI ^ {m} = I ^ {m + 1}}$ ${\ displaystyle JI ^ {m} = I ^ {м + 1}}$ . Для таких идеалов, непосредственно из определения, выполняется следующее:

Для любого k, $J k I m = J k - 1 I m + 1 = ⋯ = I m + k {\ displaystyle J ^ {k } I ^ {m} = J ^ {k-1} I ^ {m + 1} = \ cdots = I ^ {m + k}}$ ${\ displaystyle J ^ {k} I ^ {m} = J ^ {k-1} I ^ {m + 1} = \ cdots = I ^ {m + k}}$ .
J и у меня такой же радикал и такой же набор минимальных простых чисел идеалы над ними (обратное неверно).

Если R - нётерово кольцо, то J является редукцией I тогда и только тогда, когда алгебра Риса R [It] конечна больше R [Jt]. (Это причина отношения к взрыву.)

Тесно родственное понятие - понятие аналитического распространения . По определению кольцо волоконного конуса нётерова локального кольца (R, $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ ) вдоль идеала I имеет размер

FI (R) = R [I t] ⊗ R κ (m) ≃ ⨁ N = 0 ∞ I n / m I n {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {I} (R) = R [It ] \ otimes _ {R} \ kappa ({\ mathfrak {m}}) \ simeq \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} I ^ {n} / {\ mathfrak {m}} I ^ {n }}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {I} (R) = R [It] \ otimes _ {R } \ kappa ({\ mathfrak {m}}) \ simeq \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} I ^ {n} / {\ mathfrak {m}} I ^ {n}}

измерение Крулля для $FI (R) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {I} (R)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {I} (R)}$ называется аналитическим распространение I. При уменьшении $J ⊂ I {\ displaystyle J \ subset I}$ ${\ displaystyle J \ subset I}$ минимальное количество образующих J равно, по крайней мере, аналитическому разбросу I. Кроме того, имеет место частичное обратное для бесконечных полей: если $R / m {\ displaystyle R / {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle R / {\ mathfrak {m}}}$ бесконечно и если целое число $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ - это аналитический разброс I, тогда каждая редукция I содержит редукцию, порожденную $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ элементами.

Локальные когомологии в теории идеалов

Локальные когомологии иногда можно использовать для получения информации об идеале. Этот раздел предполагает некоторое знакомство с теорией пучков и теорией схем.

Пусть $M {\ displaystyle M}$ $M$ будет модулем над кольцом $R {\ displaystyle R}$ $R$ и $I {\ displaystyle I}$ $I$ идеал. Затем $M {\ displaystyle M}$ $M$ определяет связку $M ~ {\ displaystyle {\ widetilde {M}}}$ ${\ widetilde {M}}$ на $Y = Spec ⁡ ( R) - V (I) {\ displaystyle Y = \ operatorname {Spec} (R) -V (I)}$ ${ \ displaystyle Y = \ operatorname {Spec} (R) -V (I)}$ (ограничение Y связки, связанной с M). Раскручивая определение, мы видим:

Γ I (M): = Γ (Y, M ~) = lim → ⁡ Hom ⁡ (I n, M) {\ displaystyle \ Gamma _ {I} (M): = \ Gamma (Y, {\ widetilde {M}}) = \ varinjlim \ operatorname {Hom} (I ^ {n}, M)}

{\ displaystyle \ Gamma _ {I} (M): = \ Gamma (Y, {\ widetilde {M}}) = \ varinjlim \ operatorname {Hom} (I ^ {n}, M)}

Здесь $Γ I (M) {\ displaystyle \ Gamma _ {I} (M)}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {I} (M)}$ называется идеальным преобразованием из $M {\ displaystyle M}$ $M$ относительно $I {\ displaystyle I}$ $I$ .

Ссылки

Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
Эйзенбуд, Дэвид, Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
Хунеке, Крейг; Суонсон, Ирена (2006), Интегральное замыкание идеалов, колец и модулей, Серия лекций Лондонского математического общества, 336, Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68860-4, MR 2266432