Войти
| Анри Лебег | |
|---|---|
 | |
| Родился | (1875-06-28) 28 июня 1875. Бове, Уаз, Франция |
| Умер | 26 июля 1941 (1941-07- 26) (66 лет). Париж, Франция |
| Национальность | Француз |
| Alma mater | École Normale Supérieure. Парижский университет |
| Известен | интеграцией Лебега. Мера Лебега |
| Награды | Член Королевского общества. Премия Понселе за 1914 год |
| Научная карьера | |
| Филдс | Математика |
| Учреждения | Университет Ренна. Университет Пуатье. Парижский университет. Коллеж де Франс |
| Советник докторантуры | Эмиль Борель |
| Докторант | Поль Монтель. Зиг мунт Янишевски. Жорж де Рам |
Анри Леон Лебег ForMemRS (французский: ; 28 июня 1875 г. - 26 июля 1941 г.) был французским математиком, известным своей теорией интеграции, которая была обобщением концепции 17-го века интегрирование - суммирование площади между осью и кривой функции, определенной для этой оси. Его теория была первоначально опубликована в его диссертации Intégrale, longueur, aire («Интеграл, длина, площадь») в Университете Нэнси в 1902 году.
Анри Лебег родился 28 июня 1875 года в Бове, Уаз. Отец Лебега был наборщиком, а мать была школьной учительницей. Его родители собрали дома библиотеку, которой юный Анри мог пользоваться. Его отец умер от туберкулеза, когда Лебег был еще очень молод, и его матери пришлось содержать его одна. Поскольку он проявил выдающийся талант к математике в начальной школе, один из его преподавателей организовал поддержку сообщества, чтобы продолжить его образование в College de Beauvais, а затем в Lycée Saint-Louis и Lycée Louis-le-Grand в Париже.
В 1894 году Лебег был принят в École Normale Supérieure, где он продолжал сосредотачивать свою энергию на изучении математики. в 1897. После окончания школы он оставался в Высшей школе нормального образования в течение двух лет, работая в библиотеке, где ему стало известно об исследовании прерывности, проведенном в то время Рене-Луи Бэром, недавний выпускник школы. В то же время он поступил в аспирантуру Сорбонны, где узнал о работе Эмиля Бореля над зарождающейся теорией меры и Камилла. Работа Джордана по мере Джордана. В 1899 году он перешел на преподавательскую должность в Центральном лицее в Нэнси, продолжая работать над докторской степенью. В 1902 году он получил свою докторскую степень в Сорбонне, написав основополагающую диссертацию на тему «Интеграл, длина, площадь», представленную вместе с Борелем, на четыре года старше, в качестве советника.
Лебег женился. сестра одного из его однокурсников, и у него и его жены было двое детей, Сюзанна и Жак.
После публикации диссертации Лебегу в 1902 году предложили должность в Университете Ренна, где он читал лекции до 1906 года, когда он перешел на факультет наук Университета Пуатье. В 1910 году Лебег переехал в Сорбонну в качестве maître de conférences, а с 1919 года стал профессором. В 1921 году он покинул Сорбонну, чтобы стать профессором математики в Collège de France, где он читал лекции и проводил исследования до конца своей жизни. В 1922 году он был избран членом Академии наук. Анри Лебег умер 26 июля 1941 года в Париже.
Leçons sur l'integration et la recherche des fonctions primitives, 1904 Первая статья Лебега была опубликована в 1898 году и называлась «Sur l» аппроксимация функций ". Он касался теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций полиномами. В период с марта 1899 г. по апрель 1901 г. Лебег опубликовал шесть заметок в Comptes Rendus. Первый из них, не связанный с его разработкой интегрирования Лебега, касался расширения теоремы Бэра на функции двух переменных. Следующие пять касались поверхностей, применимых к плоскости, площади перекосов многоугольников, поверхностных интегралов минимальной площади с заданной границей, а в заключительном примечании дается определение интегрирования Лебега для некоторая функция f (x). Великий тезис Лебега, Intégrale, longueur, aire, с полным описанием этой работы, появился в Annali di Matematica в 1902 году. Первая глава развивает теорию меры (см. Борелевская мера ). Во второй главе он определяет интеграл геометрически и аналитически. Следующие главы расширяют примечания Comptes Rendus, касающиеся длины, площади и применимых поверхностей. Последняя глава посвящена в основном проблеме Плато. Эта диссертация считается одной из лучших, когда-либо написанных математиком.
Его лекции с 1902 по 1903 год были собраны в "Борель трактат" Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions примитивы. Проблема интеграции, рассматриваемая как поиск примитивной функции, является лейтмотивом книги. Лебег представляет проблему интеграции в ее историческом контексте, обращаясь к Огюстен-Луи Коши, Питеру Густаву Лежену Дирихле и Бернхарду Риману. Лебег представляет шесть условий, которым желательно, чтобы интеграл удовлетворял, последнее из которых: «Если последовательность f n (x) увеличивается до предела f (x), интеграл от f n (x) стремится к интегралу от f (x) ". Лебег показывает, что его условия приводят к теории меры и измеримым функциям, а также аналитическому и геометрическому определениям интеграла.
Он обратился к тригонометрическим функциям в своей статье 1903 года «Sur les séries trigonométriques». В этой работе он представил три основные теоремы: что тригонометрический ряд, представляющий ограниченную функцию, является рядом Фурье, n-коэффициент Фурье стремится к нулю (лемма Римана – Лебега ) и что a Ряд Фурье интегрируется почленно. В 1904–1905 годах Лебег снова читал лекции в Collège de France, на этот раз по тригонометрическим рядам, и он продолжил публиковать свои лекции в другом «трактате Бореля». В этом трактате он снова рассматривает предмет в историческом контексте. Он подробно излагает ряды Фурье, теорию Кантора-Римана, интеграл Пуассона и проблему Дирихле.
. В статье 1910 года «Тригонометрический подход к репрезентации функций, удовлетворяющих условию де Липшица», он рассматривает ряд Фурье функций, удовлетворяющих условию Липшица, с оценкой порядка величины остаточного члена. Он также доказывает, что лемма Римана – Лебега является наилучшим возможным результатом для непрерывных функций, и дает некоторую трактовку констант Лебега.
Лебег однажды написал: «Réduites à des théories générales, les mathématiques seraient une belle forme sans contenu ". («Сведенная к общим теориям, математика была бы прекрасной формой без содержания».)
В теоретико-мерном анализе и смежных областях математики интеграл Лебега – Стилтьеса обобщает Римана – Стилтьеса. и интегрирование Лебега, сохраняя многие преимущества последнего в более общей теории меры.
На протяжении своей карьеры Лебег также совершал набеги в области комплексного анализа и топологии. У него также были разногласия с Эмилем Борелем по поводу более общего интеграла. Однако эти второстепенные набеги бледнеют по сравнению с его вкладом в настоящий анализ ; его вклад в эту область оказал огромное влияние на форму поля сегодня, и его методы стали неотъемлемой частью современного анализа. Они имеют важные практические последствия для фундаментальной физики, о которых Лебег совершенно не подозревал, как указано ниже.
Аппроксимация интеграла Римана прямоугольными областями. Интегрирование - математическая операция, которая соответствует неформальной идее нахождения области под график функции . Первая теория интеграции была разработана Архимедом в 3 веке до нашей эры с его методом квадратур, но это могло быть применено только в ограниченных обстоятельствах с высокой степенью геометрической симметрии. В 17 веке Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц открыли идею о том, что интеграция неразрывно связана с дифференциацией, причем последнее является способом измерения скорости функция изменилась в любой точке графика. Эта удивительная взаимосвязь между двумя основными геометрическими операциями в исчислении, дифференцированием и интегрированием, теперь известна как Фундаментальная теорема исчисления. Это позволило математикам впервые вычислить широкий класс интегралов. Однако, в отличие от метода Архимеда, который был основан на евклидовой геометрии, математики считали, что интегральное исчисление Ньютона и Лейбница не имело строгой основы.
В XIX веке Августин Коши разработал эпсилон-дельта пределы, а Бернхард Риман продолжил это, формализовав то, что сейчас называется интеграл Римана. Чтобы определить этот интеграл, заполняют область под графиком все меньшими и меньшими прямоугольниками и принимают предел сумм площадей прямоугольников на каждом этапе. Однако для некоторых функций общая площадь этих прямоугольников не приближается к единому числу. Как таковые они не имеют интеграла Римана.
Лебег изобрел новый метод интеграции, чтобы решить эту проблему. Вместо использования областей прямоугольников, которые сосредоточили внимание на области функции, Лебег посмотрел на codomain функции для своей фундаментальной единицы площади. Идея Лебега заключалась в том, чтобы сначала определить меру как для множеств, так и для функций на этих множествах. Затем он приступил к построению интеграла для того, что он назвал простыми функциями ; измеримые функции, которые принимают только конечное число значений. Затем он определил его для более сложных функций как наименьшую верхнюю границу всех интегралов простых функций, меньших, чем рассматриваемая функция.
Интегрирование Лебега обладает тем свойством, что каждая функция, определенная на ограниченном интервале с интегралом Римана, также имеет интеграл Лебега, и для этих функций два интеграла согласуются. Кроме того, каждая ограниченная функция на замкнутом ограниченном интервале имеет интеграл Лебега, и есть много функций с интегралом Лебега, которые не имеют интеграла Римана.
В рамках разработки интеграции Лебега Лебег изобрел концепцию меры, которая расширяет идею длины с интервалов до очень большого класса множеств, называемые измеримыми множествами (точнее, простые функции - это функции, которые принимают конечное число значений, и каждое значение берется из измеримого множества). Техника Лебега для превращения меры в интеграл легко обобщается на многие другие ситуации, что приводит к современной области теории меры.
Интеграл Лебега несовершенен в одном отношении. Интеграл Римана обобщается на несобственный интеграл Римана для измерения функций, область определения которых не является закрытым интервалом. Интеграл Лебега объединяет многие из этих функций (всегда воспроизводя один и тот же ответ, когда это было), но не все из них. Для функций на вещественной прямой интеграл Хенстока представляет собой еще более общее понятие интеграла (основанное на теории Римана, а не на теории Лебега), которое включает как интегрирование Лебега, так и несобственное интегрирование Римана. Однако интеграл Хенстока зависит от особенностей упорядочения вещественной прямой и поэтому не обобщается, чтобы позволить интегрирование в более общих пространствах (скажем, многообразиях ), в то время как интеграл Лебега распространяется на такие пространства вполне естественно.
