Эллиптическая геометрия

Неевклидова геометрия

Эллиптическая геометрия является примером геометрии, в которой Евклидова постулат параллельности не выполняется. Вместо этого, как в сферической геометрии, нет параллельных линий, поскольку любые две прямые должны пересекаться. Однако, в отличие от сферической геометрии, обычно предполагается, что две линии пересекаются в одной точке (а не в двух). Из-за этого эллиптическая геометрия, описанная в этой статье, иногда называется одиночной эллиптической геометрией, тогда как сферическая геометрия иногда упоминается как двойная эллиптическая геометрия.

Появление этой геометрии в девятнадцатом веке стимулировало развитие неевклидовой геометрии в целом, включая гиперболическую геометрию.

Эллиптическая геометрия имеет множество свойств, которые отличаются от свойств классической геометрии евклидовой плоскости.. Например, сумма внутренних углов любого треугольника всегда больше 180 °.

• 1 Определения
• 2 Два измерения
  • 2.1 Эллиптическая плоскость
  • 2.2 Сравнение с евклидовой геометрией
• 3 Эллиптическое пространство
• 4 Пространства более высоких измерений
  • 4.1 Гиперсферическая модель
  • 4.2 Проективная эллиптическая геометрия
  • 4.3 Стереографическая модель
• 5 Самосогласованность
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

В эллиптической геометрии две прямые , перпендикулярные данной прямой, должны пересекаться. Фактически, все перпендикуляры на одной стороне пересекаются в одной точке, называемой абсолютным полюсом этой линии. Перпендикуляры на другой стороне также пересекаются в одной точке. Однако, в отличие от сферической геометрии, полюса с обеих сторон одинаковы. Это связано с тем, что в эллиптической геометрии нет противоположных точек. Например, в гиперсферической модели (описанной ниже) это достигается за счет того, что «точки» в нашей геометрии фактически являются парами противоположных точек на сфере. Причина этого заключается в том, что это позволяет эллиптической геометрии удовлетворять аксиоме, согласно которой существует уникальная линия, проходящая через любые две точки.

Каждая точка соответствует абсолютной полярной линии, абсолютным полюсом которой она является. Любая точка на этой полярной линии образует абсолютно сопряженную пару с полюсом. Такая пара точек ортогональна, а расстояние между ними - квадрант.

расстояние между парой точек пропорционально углу между их абсолютными полярными полюсами.

Как объяснил H. С. М. Кокстер

Название «эллиптический», возможно, вводит в заблуждение. Это не подразумевает какой-либо прямой связи с кривой, называемой эллипсом, а только довольно надуманной аналогией. Центральная коника называется эллипсом или гиперболой в зависимости от того, не имеет ли она асимптоты или двух асимптот . Аналогично, неевклидова плоскость называется эллиптической или гиперболической в ​​зависимости от того, каждая из ее прямых не содержит бесконечно удаленной точки или двух бесконечно удаленных точек.

Эллиптическая плоскость

Эллиптическая плоскость - это реальная проективная плоскость, снабженная метрикой : Кеплер и Дезарг использовал гномоническую проекцию, чтобы связать плоскость σ с точками на полусфере, касательной к ней. Когда O является центром полушария, точка P в σ определяет прямую OP, пересекающую полусферу, а любая прямая L ⊂ σ определяет плоскость OL, которая пересекает полушарие в половине большого круга. Полусфера ограничена плоскостью, проходящей через точку O и параллельной σ. Этой плоскости не соответствует никакая обычная линия σ; вместо этого к σ добавляется строка на бесконечности. Поскольку любая прямая в этом продолжении σ соответствует плоскости, проходящей через O, и поскольку любая пара таких плоскостей пересекается по прямой, проходящей через O, можно сделать вывод, что любая пара прямых в продолжении пересекается: точка пересечения лежит там, где плоскость пересечение пересекает σ или бесконечно удаленную прямую. Таким образом подтверждается аксиома проективной геометрии, требующая, чтобы все пары прямых на плоскости пересекались.

Учитывая P и Q в σ, эллиптическое расстояние между ними является мерой угол POQ, обычно измеряемый в радианах. Артур Кэли положил начало изучению эллиптической геометрии, когда написал «Об определении расстояния». За этим предприятием абстракции в геометрии последовали Феликс Кляйн и Бернхард Риман, приведшие к неевклидовой геометрии и римановой геометрии.

Сравнение с евклидовой геометрия

Сравнение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрий в двух измерениях

В евклидовой геометрии фигуру можно увеличивать или уменьшать до бесконечности, и получающиеся фигуры похожи, т. е. имеют одинаковые углы и одинаковые внутренние пропорции. В эллиптической геометрии дело обстоит иначе. Например, в сферической модели мы можем видеть, что расстояние между любыми двумя точками должно быть строго меньше половины окружности сферы (поскольку идентифицируются противоположные точки). Следовательно, линейный сегмент не может увеличиваться бесконечно. Геометр, измеряющий геометрические свойства пространства, в котором он или она обитает, может обнаружить посредством измерений, что существует определенная шкала расстояний, которая является свойством пространства. В масштабах, намного меньших, чем этот, пространство примерно плоское, геометрия примерно евклидова, а фигуры можно масштабировать вверх и вниз, оставаясь примерно одинаковыми.

Большая часть евклидовой геометрии переносится непосредственно на эллиптическую геометрию. Например, первый и четвертый постулаты Евклида о том, что между любыми двумя точками существует единственная линия и что все прямые углы равны, выполняются в эллиптической геометрии. Постулат 3 о том, что можно построить круг с любым заданным центром и радиусом, не выполняется, если «любой радиус» означает «любое действительное число», но остается верным, если его понимать как «длину любого заданного отрезка линии». Следовательно, любой результат в евклидовой геометрии, который следует из этих трех постулатов, будет иметь место и в эллиптической геометрии, например, предложение 1 из книги I Элементов, в котором говорится, что для любого отрезка прямой можно построить равносторонний треугольник с отрезком в качестве основания.

Эллиптическая геометрия также похожа на евклидову геометрию в том, что пространство непрерывно, однородно, изотропно и не имеет границ. Изотропия гарантируется четвертым постулатом, что все прямые углы равны. В качестве примера однородности обратите внимание, что предложение Евклида I.1 подразумевает, что один и тот же равносторонний треугольник может быть построен в любом месте, а не только в местах, которые являются в некотором роде особенными. Отсутствие границ следует из второго постулата - растяжимости отрезка.

Одним из отличий эллиптической геометрии от евклидовой геометрии является то, что сумма внутренних углов треугольника больше 180 градусов. В сферической модели, например, треугольник может быть построен с вершинами в местах, где три положительные декартовы оси координат пересекают сферу, и все три его внутренних угла равны 90 градусам, что в сумме составляет 270 градусов. Для достаточно маленьких треугольников превышение более 180 градусов можно сделать сколь угодно малым.

Теорема Пифагора не работает в эллиптической геометрии. В треугольнике 90 ° –90 ° –90 °, описанном выше, все три стороны имеют одинаковую длину и, следовательно, не удовлетворяют требованиям $a\; 2\; +\; b\; 2\; =\; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{\; 2\}\; =\; c\; ^\; \{2\}\}$. Результат Пифагора восстанавливается в пределах малых треугольников.

Отношение длины окружности к ее площади меньше, чем в евклидовой геометрии. В общем, площадь и объем не масштабируются как вторая и третья степени линейных размеров.

Эллиптическое пространство может быть построено аналогично построению трехмерного векторного пространства: с классами эквивалентности. На больших кругах сферы используются направленные дуги. Поскольку направленные отрезки равновелики, когда они параллельны, одинаковой длины и одинаково ориентированы, так и направленные дуги, обнаруженные на больших окружностях, равноправны, когда они имеют одинаковую длину, ориентацию и большую окружность. Эти отношения равнодоступности создают трехмерное векторное пространство и эллиптическое пространство соответственно.

Доступ к структуре эллиптического пространства обеспечивается посредством векторной алгебры Уильяма Роуэна Гамильтона : он представил сферу как область квадратных корней из минус единицы. Тогда формула Эйлера $exp\; \; (\theta \; r)\; =\; cos\; \; \theta \; +\; r\; sin\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (\backslash \; theta\; r)\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; +\; r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}$(где r находится на сфере) представляет собой большой круг в плоскости, перпендикулярной r. Противоположные точки r и –r соответствуют противоположно направленным окружностям. Дуга между θ и φ эквивалентна дуге между 0 и φ - θ. В эллиптическом пространстве длина дуги меньше π, поэтому дуги могут быть параметризованы с помощью θ в [0, π) или (–π / 2, π / 2].

Для $z\; =\; exp\; \; (\theta \; р),\; z\; \ast \; знак\; равно\; ехр\; \; (-\; \theta \; r)\; ⟹\; zz\; \ast \; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; \backslash \; exp\; (\backslash \; theta\; r),\; \backslash \; z\; ^\; \{*\}\; =\; \backslash \; exp\; (-\; \backslash \; theta\; r)\; \backslash \; влечет\; zz\; ^\; \{*\}\; =\; 1.\}$Говорят, что модуль или норма z равна единице (Гамильтон назвал это тензором z). Но поскольку r пробегает сферу в 3-пространстве, exp (θ r) пробегает сферу в 4-м пространстве, которая теперь называется 3-сферой, поскольку ее поверхность имеет три измерения. Гамильтон назвал свою алгебру кватернионами, и она быстро стала полезный и знаменитый инструмент математики. Его четырехмерное пространство эволюционирует в полярных координатах $t\; exp\; \; (\theta \; r),\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; exp\; (\backslash \; theta\; r),\}$с t в положительных вещественных числах.

При выполнении тригонометрии на Земле или небесной сфере стороны треугольников представляют собой дуги большого круга. Первым успехом кватернионов была визуализация сферическая тригонометрия в алгебра. Гамильтон назвал кватернион нормы один a версором, и это точки эллиптического пространства.

При фиксированном r варианты

образуют эллиптическую линию. Расстояние от $e\; a\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{ar\}\}$до 1 равно a. Для произвольного версора u расстояние будет таким θ, для которого cos θ = (u + u) / 2, поскольку это формула для скалярной части любого кватерниона.

Эллиптическое движение описывается кватернионным отображением

$q\; \mapsto \; uqv,\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash \; mapsto\; uqv,\}$где u и v - фиксированные версоры.

Расстояния между точки такие же, как между точками изображения эллиптического движения. В случае, когда u и v являются кватернионами, сопряженными друг с другом, движение представляет собой пространственное вращение, а их векторная часть является осью вращения. В случае u = 1 эллиптическое движение называется правым переводом Клиффорда или паратаксией. Случай v = 1 соответствует левому сдвигу Клиффорда.

Эллиптические линии через Versor u могут иметь форму

или для фиксированного r.

Они являются правым и левым сдвигами Клиффорда u вдоль эллиптической линии, проходящей через 1. Эллиптическое пространство формируется из S путем определения противоположных точек.

Эллиптическое пространство имеет особую структуру, называемую параллелями Клиффорда и Поверхности Клиффорда.

Точки Versor эллиптического пространства отображаются с помощью преобразования Кэли в ℝ для альтернативного представления пространства.

Гиперсферическая модель

Гиперсферическая модель - это обобщение сферической модели на более высокие измерения. Точки n-мерного эллиптического пространства - это пары единичных векторов (x, −x) в R, то есть пары противоположных точек на поверхности единичного шара в (n + 1) - мерное пространство (n-мерная гиперсфера). Линии в этой модели - это большие окружности, то есть пересечения гиперсферы с плоскими гиперповерхностями размерности n, проходящими через начало координат.

Проективная эллиптическая геометрия

В проективной модели эллиптической геометрии точки n-мерного реального проективного пространства используются как точки модели. Это моделирует абстрактную эллиптическую геометрию, которая также известна как проективная геометрия.

Точки n-мерного проективного пространства могут быть идентифицированы линиями, проходящими через начало координат в (n + 1) -мерном пространстве, и могут быть представлены без -однозначно ненулевыми векторами в R, с пониманием того, что u и λu для любого ненулевого скаляра λ представляют одну и ту же точку. Расстояние определяется с помощью метрики

$d\; (u,\; v)\; =\; arccos\; \; (|\; u\; \cdot \; v\; |\; \Vert \; u\; \Vert \; \Vert \; v\; \Vert );\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (u,\; v)\; =\; \backslash \; arccos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{|\; u\; \backslash \; cdot\; v\; |\}\; \{\backslash \; |\; u\; \backslash \; |\; \backslash \; \backslash \; |\; v\; \backslash \; |\}\}\; \backslash \; right);\}$

то есть, расстояние между двумя точками - это угол между их соответствующими линиями в R . Формула расстояния однородна по каждой переменной, причем d (λu, μv) = d (u, v), если λ и μ ненулевые скаляры, поэтому она действительно определяет расстояние в точках проективного пространства.

Примечательным свойством проективной эллиптической геометрии является то, что для четных размеров, таких как плоскость, геометрия не- ориентируемая. Он стирает различие между вращением по часовой стрелке и против часовой стрелки, идентифицируя их.

Стереографическая модель

Модель, представляющая то же пространство, что и гиперсферическая модель, может быть получена с помощью стереографической проекции. Пусть E представляет R ∪ {∞}, то есть n-мерное реальное пространство, расширенное единственной точкой на бесконечности. Мы можем определить метрику, хордовую метрику, на E как

$\delta \; (u,\; v)\; =\; 2\; \Vert \; u\; -\; v\; \Vert \; (1\; +\; \Vert \; u\; \Vert \; 2)\; (1\; +\; \Vert \; v\; \Vert \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (u,\; v)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; |\; uv\; \backslash \; |\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{(1+\; \backslash \; |\; u\; \backslash \; |\; ^\; \{2\})\; (1+\; \backslash \; |\; v\; \backslash \; |\; ^\; \{\; 2\})\}\}\}\}$

где u и v - любые два вектора в R и $\Vert \; \cdot \; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; cdot\; \backslash \; |\}$is обычная евклидова норма. Также положим

$\delta \; (u,\; \infty )\; =\; \delta \; (\infty ,\; u)\; =\; 2\; 1\; +\; \Vert \; u\; \Vert \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (u,\; \backslash \; infty)\; =\; \backslash \; delta\; (\backslash \; infty,\; u)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1+\; \backslash \; |\; u\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\}\}\}.\}$

Результатом является метрическое пространство на E, которое представляет собой расстояние вдоль хорды до соответствующих точек на гиперсферической модели, на которое оно биективно отображается с помощью стереографической проекции. Модель сферической геометрии получается, если использовать метрику

$d\; (u,\; v)\; =\; 2\; arcsin\; \; (\delta \; (u,\; v)\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (u,\; v)\; =\; 2\; \backslash \; arcsin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; (u,\; v)\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right).\}$

Эллиптическая геометрия получается из этого путем идентификации точек u и −u, и принимая расстояние от v до этой пары как минимум расстояний от v до каждой из этих двух точек.

Поскольку сферическая эллиптическая геометрия может быть смоделирована, например, как сферическое подпространство евклидова пространства, отсюда следует, что если евклидова геометрия самосогласована, то сферическая эллиптическая геометрия. Следовательно, невозможно доказать постулат параллельности на основе других четырех постулатов евклидовой геометрии.

Тарский доказал, что элементарная евклидова геометрия завершена : существует алгоритм, который для каждого предложения может показать, что оно истинно или ложно. (Это не нарушает теорему Гёделя, потому что евклидова геометрия не может описать достаточное количество арифметики для применения теоремы.) Отсюда следует, что элементарная эллиптическая геометрия также самосогласована и полный.

• Эллиптическая мозаика
• Сферическая мозаика

• Алан Ф. Бердон, Геометрия дискретных групп, Springer -Верлаг, 1983
• Х. С.М. Коксетер (1942) Неевклидова геометрия, главы 5, 6 и 7: Эллиптическая геометрия в 1, 2 и 3 измерениях, University of Toronto Press, переиздано в 1998 году издателем Mathematical Ассоциация Америки, ISBN 0-88385-522-4.
• HSM Кокстер (1969) Введение в геометрию, §6.9 Эллиптическая плоскость, стр. 92–95. John Wiley Sons.
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Феликс Клейн (1871) «О так называемой неевклидовой геометрии» Mathematische Annalen 4: 573–625, переведенный и введенный в John Stillwell (1996) Sources of Hyperbolic Geometry, American Mathematical Society ISBN 0-8218-0529-0.
• Борис Одегнал «Об изотропных конгруэнциях линий в эллиптическом трёхмерном пространстве»
• Эдуард Этюд (1913) Переводчик Д.Х. Дельфениха, «Основы и цели аналитическая кинематика », стр. 20.
• Альфред Тарский (1951) Метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии. Univ. из California Press.
• Франзен, Торкель (2005). Теорема Гёделя: неполное руководство по ее использованию и злоупотреблениям. А.К. Петерс. ISBN 1-56881-238-8.
• Альфред Норт Уайтхед (1898) Универсальная алгебра, Книга VI Глава 2: Эллиптическая геометрия, стр 371–98.

• СМИ, относящиеся к эллиптической геометрии на Wikimedia Commons