Диофантово приближение

редактировать

аппроксимация действительных чисел рациональными числами

В теории чисел изучение Диофантово приближение касается приближения действительных чисел с помощью рациональных чисел. Он назван в честь Диофанта Александрийского.

. Первая проблема заключалась в том, чтобы узнать, насколько хорошо действительное число может быть аппроксимировано рациональными числами. Для этой задачи рациональное число a / b является «хорошим» приближением действительного числа α, если абсолютное значение разницы между a / b и α может не уменьшаться, если a / b заменяется другим рациональным числом с меньшим знаменатель. Эта проблема была решена в 18 веке с помощью непрерывных дробей.

. Зная «наилучшие» приближения данного числа, основная проблема в данной области - найти точные верхние и нижние границы указанной выше разницы, выраженной как функция знаменателя .

Похоже, что эти границы зависят от природы приближаемых действительных чисел: нижняя граница для приближения рационального числа другим рациональным числом равна больше нижней границы для алгебраических чисел, которая сама по себе больше нижней границы для всех действительных чисел. Таким образом, действительное число, которое может быть аппроксимировано лучше, чем оценка для алгебраических чисел, безусловно, является трансцендентным числом. Это позволило Лиувиллю в 1844 году получить первое явное трансцендентное число. Позже аналогичным методом были получены доказательства трансцендентности π и e.

Таким образом, диофантовы приближения и теория трансцендентных чисел - очень близкие области, которые имеют много общих теорем и методов. Диофантовы приближения также имеют важные приложения при изучении диофантовых уравнений.

Содержание

1 Лучшие диофантовы приближения действительного числа
2 Мера точности приближений
- 2.1 Плохо аппроксимируемые числа
3 Нижние оценки диофантовых приближений
- 3.1 Приближение рациональных чисел другими рациональными числами
- 3.2 Приближение алгебраических чисел, результат Лиувилля
- 3.3 Приближение алгебраических чисел, теорема Туэ – Зигеля – Рота
- 3.4 Совместные приближения алгебраические числа
- 3.5 Эффективные оценки
4 Верхние границы для диофантовых приближений
- 4.1 Общая верхняя граница
- 4.2 Эквивалентные действительные числа
- 4.3 Спектр Лагранжа
5 Теорема Хинчина и расширения
- 5.1 Хаусдорф измерение исключительных наборов
6 Равномерное распределение
7 Нерешенные проблемы
8 Последние разработки
9 См. также
10 Примечания
11 Ссылки
12 Внешние ссылки

Лучшие диофантовы приближения действительного числа

Для действительного числа α есть два способа определить наилучшее диофантово приближение α. Для первого определения рациональное число p / q является наилучшим диофантовым приближением α, если

| α - p q | < | α − p ′ q ′ |, {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,}

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,

для любого рационального числа p '/ q', отличного от p / q, такого что 0 < q′ ≤ q.

Для второго определения приведенное выше неравенство заменяется на

| q α - p | < | q ′ α − p ′ |. {\displaystyle \left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.}

\ left | q \ alpha -p \ right | <\ left | q ^ {\ prime} \ alpha -p ^ {\ prime} \ right |.

Наилучшее приближение для второго определения также является наилучшим приближением для первого, но обратное неверно.

Теория непрерывных дробей позволяет нам вычислять наилучшие приближения действительного числа: для второго определения они являются подходящими дробями его выражения в виде правильной непрерывной дроби. Для первого определения необходимо учитывать также полуконвергенты .

. Например, константа e = 2.718281828459045235... имеет представление (регулярной) непрерывной дроби

[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1,…]. {\ displaystyle [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1, \ ldots \;].}

[2; 1,2,1,1,4,1,1,1,6,1,1,8,1, \ ldots \;].

Его наилучшие приближения для второго определения:

3, 8 3, 11 4, 19 7, 87 32,…, {\ displaystyle 3, {\ tfrac {8} {3}}, {\ tfrac {11} {4}}, {\ tfrac {19} {7}}, {\ tfrac {87} {32}}, \ ldots \,,}

3, {\ tfrac {8} {3}}, {\ tfrac { 11} { 4}}, {\ tfrac {19} {7}}, {\ tfrac {87} {32}}, \ ldots \,,

в то время как для первого определения они равны

3, 5 2, 8 3, 11 4, 19 7, 49 18, 68 25, 87 32, 106 39,…. {\ displaystyle 3, {\ tfrac {5} {2}}, {\ tfrac {8} {3}}, {\ tfrac {11} {4}}, {\ tfrac {19} {7}}, { \ tfrac {49} {18}}, {\ tfrac {68} {25}}, {\ tfrac {87} {32}}, {\ tfrac {106} {39}}, \ ldots \,.}

3, {\ tfrac {5} {2}}, {\ tfrac {8} {3}}, {\ tfrac {11} {4}}, {\ tfrac {19} {7}}, {\ tfrac {49} {18}}, {\ tfrac {68} {25}}, { \ tfrac {87} {32}}, {\ tfrac {106} {39}}, \ ldots \,.

Мера точности приближений

Очевидным показателем точности диофантова приближения действительного числа α рациональным числом p / q является $| α - p q |. {\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right |.}$ $\ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right |.$ Однако это количество всегда можно сделать сколь угодно малым, увеличив абсолютные значения p и q; таким образом, точность приближения обычно оценивается путем сравнения этой величины с некоторой функцией φ знаменателя q, обычно с ее отрицательной степенью.

Для такого сравнения может потребоваться верхняя или нижняя границы точности. Нижняя граница обычно описывается теоремой типа «для каждого элемента α некоторого подмножества действительных чисел и каждого рационального числа p / q мы имеем $| α - pq |>ϕ (q) {\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right |>\ phi (q)}$ $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\ phi (q)$ ". В некоторых случаях" каждое рациональное число "можно заменить на" все рациональные числа, кроме конечного числа их », что сводится к умножению φ на некоторую константу, зависящую от α.

Для верхних оценок необходимо учитывать, что не все« лучшие »диофантовы приближения, обеспечиваемые подходящими дробями, могут иметь желаемую точность. Следовательно, теоремы принимают вид «для каждого элемента α некоторого подмножества действительных чисел существует бесконечно много рациональных чисел p / q таких, что $| α - p q | < ϕ ( q) {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)}$ $\ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <\ phi (q)$ ".

Плохо аппроксимируемые числа

A плохо аппроксимируемые числа - это x, для которого существует положительная константа c, такая, что для всех рациональных p / q мы имеем

| x - pq |>cq 2. {\ displaystyle \ left | {x - {\ frac {p} {q}}} \ right |>{\ frac {c} {q ^ {2}}} \.}

\left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\ frac {c} {q ^ {2}}} \.

Плохо аппроксимируемые числа - это именно те с ограниченными частными частными.

Эквивалентно, число плохо аппроксимируется тогда и только тогда, когда его константа Маркова ограничена.

Нижние границы диофантовых приближений

Аппроксимация рационального другими рациональными числами

рациональное число $α = ab {\ displaystyle \ alpha = {\ frac {a } {b}}}$ $\ alpha = {\ frac {a} {b}}$ может быть явно и идеально аппроксимирован $piqi = iaib {\ displaystyle {\ tfrac {p_ {i}} {q_ {i}}} = {\ tfrac {i \, a} {i \, b}}}$ ${\ tfrac {p_ {i}} {q_ {i}} } = {\ tfrac {i \, a} {i \, b}}$ для каждого положительного целого числа i.

Если $pq ≠ α = ab, {\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}} \ not = \ alpha = {\ tfrac {a} {b}} \,,}$ ${\ tfrac {p} {q}} \ not = \ alpha = {\ tfrac {a} {b}} \,,$ имеем

| а б - р д | = | а q - б п б q | ≥ 1 bq, {\ displaystyle \ left | {\ frac {a} {b}} - {\ frac {p} {q}} \ right | = \ left | {\ frac {aq-bp} {bq}} \ right | \ geq {\ frac {1} {bq}},}

\ left | {\ frac {a} {b}} - {\ frac {p} {q}} \ right | = \ left | {\ frac {aq-bp} {bq}} \ right | \ geq {\ frac {1} {bq}},

потому что $| a q - b p | {\ displaystyle | aq-bp |}$ $| aq-bp |$ является положительным целым числом и, следовательно, не ниже 1. Таким образом, точность приближения плохая по сравнению с иррациональными числами (см. следующие разделы).

Можно заметить, что в предыдущем доказательстве используется вариант принципа голубиной дыры : неотрицательное целое число, которое не равно 0, не меньше 1. Это очевидно тривиальное замечание. почти в каждом доказательстве нижних оценок диофантовых приближений, даже в самых сложных.

Таким образом, рациональное число прекрасно аппроксимируется само по себе, но плохо аппроксимируется любым другим рациональным числом.

Аппроксимация алгебраических чисел, результат Лиувилля

В 1840-х годах Джозеф Лиувилль получил первую нижнюю оценку для приближения алгебраических чисел : если x - иррациональное алгебраическое число степени n над рациональными числами, то существует постоянная c (x)>0 такая, что

| x - p q |>c (x) qn {\ displaystyle \ left | x - {\ frac {p} {q}} \ right |>{\ frac {c (x)} {q ^ {n}}}}

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\ frac {c (x)} {q ^ {{n}}}}

выполняется для всех целых чисел p и q, где q>0.

Этот результат позволил ему получить первый проверенный пример трансцендентного числа, Константа Лиувилля

∑ j = 1 ∞ 10 - j! = 0.110001000000000000000001000…, {\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} 10 ^ {- j!} = 0.110001000000000000000001000 \ ldots \,, }

\ sum _ {{j = 1}} ^ {\ infty} 10 ^ {{- j!}} = 0.110001000000000000000001000 \ ldots \,,

который не удовлетворяет теореме Лиувилля, какая бы степень n ни была выбрана.

Эта связь между диофантовыми приближениями и трансцендентной теорией чисел продолжается и по сей день. Многие методы доказательства используются в этих двух областях.

Аппроксимация алгебраических чисел, теорема Туэ – Зигеля – Рота

Более чем за столетие было предпринято множество попыток улучшить теорему Лиувилля: каждое улучшение оценки позволяет нам доказать, что больше чисел трансцендентны. Основные улучшения внесены в Аксель Туэ (1909), Сигел (1921), Фриман Дайсон ( 1947) и Клаус Рот (1955), что в конечном итоге приводит к теореме Туэ – Зигеля – Рота: если x - иррациональное алгебраическое число и ε a ( small) положительное действительное число, то существует положительная постоянная c (x, ε) такая, что

| x - p q |>с (Икс, ε) Q 2 + ε {\ Displaystyle \ left | x - {\ frac {p} {q}} \ right |>{\ frac {c (x, \ varepsilon)} {q ^ {2 + \ varepsilon}}}}

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\ frac {c (x, \ varepsilon)} {q ^ {{2+ \ varepsilon}}}}

выполняется для всех целых p и q таких, что q>0.

В некотором смысле этот результат является оптимальным, поскольку теорема была бы неверной при ε = 0. Это непосредственное следствие приведенных ниже оценок сверху.

Одновременные приближения алгебраических чисел

Впоследствии Вольфганг М. Шмидт обобщил это на случай одновременных приближений, доказав, что: если x 1,..., x n - алгебраические числа, такие что 1, x 1,..., x n являются линейно независимыми над рациональными числами, а ε - любое заданное положительное действительное число, тогда существуют только конечное число рациональных наборов n (p 1 / q,..., p n / q) такие, что

| x i - p i / q | < q − ( 1 + 1 / n + ε), i = 1, …, n. {\displaystyle |x_{i}-p_{i}/q|

| x_ {i} -p_ {i} / q | <q ^ {{- (1+ 1 / n + \ varepsilon)}}, \ quad i = 1, \ ldots, n.

Опять же, этот результат является оптимальным в том смысле, что нельзя удалить ε из показателя степени.

Эффективные границы

Все предыдущие нижние границы не эффективны в том смысле, что доказательства не предоставляют никакого способа вычислить константу, подразумеваемую в утверждениях. Это означает, что нельзя использовать результаты или их доказательства для получения оценок размера решений связанных диофантовых уравнений. Однако эти методы и результаты часто можно использовать для оценки количества решений таких уравнений.

Тем не менее, уточнение теоремы Бейкера Фельдманом дает эффективную оценку: если x - алгебраическое число степени n над рациональными числами, то существуют эффективно вычислимые константы c (x)>0 и 0 < d(x) < n such that

| x - p q |>c (x) | q | d (x) {\ displaystyle \ left | x - {\ frac {p} {q}} \ right |>{\ frac {c (x)} {| q | ^ {d (x)}}}}

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\ frac {c (x)} {| q | ^ {{d (x)}}}}

действует для всех рациональных целых чисел.

Однако, как и для любой эффективной версии теоремы Бейкера, константы d и 1 / c настолько велики, что этот эффективный результат не может быть использован на практике.

Верхние границы для диофантовых приближений

Общая верхняя граница

Первый важный результат о верхних границах для Диофантовы приближения - это аппроксимационная теорема Дирихле, из которой следует, что для любого иррационального числа α существует бесконечно много дробей $pq {\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}} \;}$ ${\ tfrac {p} {q}} \;$ такое, что

| α - pq | < 1 q 2. {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}\,.}

\ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {q ^ {2}}} \,.

Отсюда сразу следует, что нельзя подавить ε в формулировке теоремы Туэ-Зигеля-Рота.

На протяжении многих лет эта теорема быть en улучшен до следующей теоремы Эмиля Бореля (1903). Для каждого иррационального числа α существует бесконечно много дробей $p q {\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}} \;}$ ${\ tfrac {p} {q}} \;$ таких, что

| α - p q | < 1 5 q 2. {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}\,.}

\ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac { 1} {{\ sqrt {5}} q ^ {2}}} \,.

Следовательно, $1 5 q 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {{\ sqrt {5}} \, q ^ {2}}}}$ ${\ frac {1} {{\ sqrt {5}} \, q ^ {2}}}$ является верхней границей для диофантовы приближения любого иррационального числа. Константу в этом результате нельзя улучшить без исключения некоторых иррациональных чисел (см. Ниже).

Эквивалентные действительные числа

Определение : два действительных числа $x, y {\ displaystyle x, y}$ $x, y$ называются эквивалентными, если есть целые числа $a, b, c, d {\ displaystyle a, b, c, d \;}$ $a, b, c, d \;$ с $ad - bc = ± 1 {\ displaystyle ad-bc = \ pm 1 \;}$ $ad-bc = \ pm 1 \;$ такой, что:

y = ax + bcx + d. {\ displaystyle y = {\ frac {ax + b} {cx + d}} \,.}

y = {\ frac {ax + b} {cx + d}} \,.

Таким образом, эквивалентность определяется целым числом преобразованием Мёбиуса действительных чисел или членом из модульной группы $SL 2 ± (Z) {\ displaystyle {\ text {SL}} _ {2} ^ {\ pm} (\ mathbb {Z})}$ ${\ text {SL}} _ {2} ^ {{\ pm}} (\ mathbb {Z})$ , множество обратимых матриц 2 × 2 над целыми числами. Каждое рациональное число эквивалентно 0; таким образом, рациональные числа являются классом эквивалентности для этого отношения.

Эквивалентность может быть прочитана на представлении регулярной непрерывной дроби, как показано следующей теоремой из Серре :

Теорема : два иррациональных числа x и y эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют два положительных целых числа h и k такие, что обычная непрерывная дробь представления x и y

x = [u 0; u 1, u 2,…], {\ displaystyle x = [u_ {0}; u_ {1}, u_ {2}, \ ldots] \,,}

x = [u_ {0}; u_ {1}, u_ {2}, \ ldots] \,,

y = [v 0; v 1, v 2,…], {\ displaystyle y = [v_ {0}; v_ {1}, v_ {2}, \ ldots] \,,}

y = [v_ { 0}; v_ {1}, v_ {2}, \ ldots] \,,

проверить

uh + i = vk + i {\ displaystyle u_ {h + i} = v_ {k + i}}

u_{{h+i}}=v_{{k+i}}

для каждого неотрицательного целого i.

Таким образом, за исключением конечной начальной последовательности, эквивалентные числа имеют одинаковую непрерывную дробь представление.

Эквивалентные числа аппроксимируются с одинаковой степенью в том смысле, что они имеют одинаковую постоянную Маркова.

спектр Лагранжа

Как сказано выше, константа в теореме Бореля не может улучшено, как показано Адольфом Гурвицем в 1891 году. Пусть $ϕ = 1 + 5 2 {\ displaystyle \ phi = {\ tfrac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} }$ $\ phi = {\ tfrac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}$ быть золотым сечением. Затем для любой действительной константы c с $c>5 {\ displaystyle c>{\ sqrt {5}} \;}$ $c>{\ sqrt {5}} \;$ существует только конечное число рациональных чисел p / q таких, что

| ϕ - pq | < 1 c q 2. {\displaystyle \left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.}

{\ displaystyle \ left | \ phi - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {c \, q ^ {2}}}.}

Следовательно, улучшение может быть достигнуто только в том случае, если числа, эквивалентные $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , исключены. Точнее: для каждого иррационального числа $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , что не эквивалентно $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , дробей бесконечно много $pq {\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}} \;}$ ${\ tfrac {p} {q}} \;$ такой, что

| α - pq | < 1 8 q 2. {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {8}}q^{2}}}.}

\ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {{\ sqrt {8}} q ^ {2}}}.

Последовательные исключения - следующий должен исключить числа, эквивалентные $2 { \ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ - для все большего количества классов эквивалентности нижняя граница может быть дополнительно увеличена. Значения, которые могут быть сгенерированы таким образом, - это значения Лагранжа числа, входящие в спектр Лагранжа. Они сходятся к числу 3 и связаны с числами Маркова.

теоремой Хинчина и расширениями

Пусть $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ не- возрастающая функция от положительных целых чисел к положительным действительным числам. Действительное число x (не обязательно алгебраическое) называется $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ -approximable, если существует бесконечно много рациональных чисел p / q таких, что

| x - p q | < ψ ( q) | q |. {\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi (q)}{|q|}}.}

\ left | x - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {\ psi (q)} {| q |}}.

Александр Хинчин в 1926 году доказал, что если ряд $∑ q ψ (q) {\ displaystyle \ sum _ {q} \ psi (q)}$ $\ sum _ {{q}} \ psi ( q)$ расходится, то почти все вещественное число (в смысле меры Лебега ) является $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ -апроксимируемым, и если ряд сходится, то почти каждое действительное число не $198>ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ -приблизительно.

Даффин и Шеффер (1941) доказали более общую теорему, из которой следует результат Хинчина, и выдвинули гипотезу, теперь известную под их названием гипотеза Даффина-Шеффера. Бересневич и Велани (2006) доказали, что мера Хаусдорфа аналог гипотезы Даффина – Шеффера эквивалентен исходной гипотезе Даффина – Шеффера, которая априори более слабая. В июле 2019 года Димитрис Кукулопулос и Джеймс Мейнард объявили о доказательстве гипотезы.

Хаусдорфова размерность исключительных множеств

Важный пример функции $ψ { \ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ , к которой применима теорема Хинчина, - это функция $ψ c (q) = q - c {\ displaystyle \ psi _ {c} (q) = q ^ {- c}}$ $\ psi _ {c} (q) = q ^ {{- c}}$ , где c>1 - действительное число. Для этой функции соответствующий ряд сходится, и поэтому теорема Хинчина говорит нам, что почти каждая точка не $ψ c {\ displaystyle \ psi _ {c}}$ $\ psi _ {c}$ -апроксимируема. Таким образом, набор чисел, которые являются $ψ c {\ displaystyle \ psi _ {c}}$ $\ psi _ {c}$ -approximable, образует подмножество действительной прямой нулевой меры Лебега. Теорема Ярника-Безиковича, принадлежащая В. Ярник и А. С. Безикович утверждает, что размерность Хаусдорфа этого набора равна $1 / c {\ displaystyle 1 / c}$ $1 / c$ . В частности, набор чисел, который $ψ c {\ displaystyle \ psi _ {c}}$ $\ psi _ {c}$ -приблизим для некоторого $c>1 {\ displaystyle c>1}$ $c>1$ (известный как набор очень хорошо аппроксимируемых чисел) имеет размерность Хаусдорфа один, в то время как набор чисел, которые являются $ψ c {\ displaystyle \ psi _ {c}}$ $\ psi _ {c}$ -приближаемыми для всех $c>1 { \ displaystyle c>1}$ $c>1$ (известный как набор чисел Лиувилля ) имеет нулевую размерность Хаусдорфа.

Другим важным примером является функция $ψ ϵ (q) = ϵ q - 1 {\ displaystyle \ psi _ {\ epsilon} (q) = \ epsilon q ^ {- 1}}$ $\ psi _ {\ epsilon} (q) = \ epsilon q ^ {{- 1}}$ , где $ϵ>0 {\ displaystyle \ epsilon>0}$ $\epsilon>0$ - действительное число. Для этой функции соответствующий ряд расходится, и поэтому теорема Хинчина говорит нам, что почти каждое число $ψ ϵ {\ displaystyle \ psi _ {\ epsilon}}$ $\ psi _ {\ epsilon}$ -approximable. Это то же самое, что сказать, что каждое такое число хорошо аппроксимируется, где число называется хорошо аппроксимируемым, если оно не плохо аппроксимируется. Так что подходящий аналог Теорема Ярника-Безиковича должна касаться размерности Хаусдорфа множества плохо аппроксимируемых чисел. И действительно, В. Ярник доказал, что размерность Хаусдорфа этого множества равна единице. Этот результат был улучшен В.М. Шмидтом, который показал, что набор плохо аппроксимируемые числа несжимаемы, что означает, что если $f 1, f 2,… {\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ ldots}$ $f_ {1}, f_ {2}, \ ldots$ является последовательностью билипшицевых отображает, затем набор чисел x, для которых $f 1 (x), f 2 (x),… {\ displaystyle f_ {1} (x), f_ {2} (x), \ ldots }$ $f_ {1} (x), f_ {2} (x), \ ldots$ все плохо аппроксимируются с размерностью один по Хаусдорфу. Шмидт также обобщил теорему Ярника на более высокие измерения, что является значительным достижением, поскольку аргумент Ярника по существу одномерный, в зависимости от аппарата непрерывных дробей.

Равномерное распределение

Еще одна тема, которая получила серьезное развитие, - это теория модуля равномерного распределения 1. Возьмем последовательность a 1, a 2,... действительных чисел и рассмотрим их дробные части. То есть, более абстрактно, посмотрите на последовательность в R / Z, которая представляет собой круг. Для любого интервала I на окружности мы смотрим на долю элементов последовательности, которые лежат в ней, с точностью до некоторого целого числа N, и сравниваем ее с долей окружности, занятой I. Равномерное распределение означает, что в пределе, как N растет, доля совпадений на интервале стремится к «ожидаемому» значению. Герман Вейль доказал основной результат, показывающий, что это эквивалентно оценкам экспоненциальных сумм, образованных из последовательности. Это показало, что результаты диофантового приближения были тесно связаны с общей проблемой сокращения в экспоненциальных суммах, которая встречается в аналитической теории чисел при ограничении членов ошибки.

С равномерным распределением связана тема, которая имеет комбинаторный характер.

Нерешенные проблемы

В диофантовом приближении все еще остаются нерешенные проблемы, сформулированные просто, например, гипотеза Литтлвуда и гипотеза одинокого бегуна. Также неизвестно, есть ли алгебраические числа с неограниченными коэффициентами в их разложении в цепную дробь.

Последние достижения

В своем пленарном выступлении на Международном математическом конгрессе в Киото (1990) Григорий Маргулис изложил широкую программу, основанную на эргодическая теория, позволяющая доказывать теоретико-числовые результаты, используя динамические и эргодические свойства действий подгрупп полупростых групп Ли. Работы Д. Клейнбока, Г. Маргулиса и их сотрудников продемонстрировали силу этого нового подхода к классическим проблемам в диофантовом приближении. Среди его заметных успехов - доказательство многолетней гипотезы Оппенгейма Маргулисом с более поздними расширениями Дэни и Маргулисом и Эскином – Маргулисом – Мозесом, а также доказательство гипотез Бейкера и Спринджука в диофантовых приближениях многообразия Клейнбока и Маргулиса. В рамках этого же подхода были получены различные обобщения приведенных выше результатов Александра Хинчина в метрическом диофантовом приближении.

См. Также

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Диофантово приближение: исторический обзор. Из курса «Введение в диофантовы методы» Мишеля Вальдшмидта.
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]