Войти
В математике, дифференциальная топология - это t Поле, посвященное дифференцируемым функциям на дифференцируемых многообразиях. Это тесно связано с дифференциальной геометрией, и вместе они составляют геометрическую теорию дифференцируемых многообразий.
Дифференциальная топология учитывает свойства и структуры, требующие только гладкой структуры на многообразии, которое предстоит определить. Гладкие многообразия «мягче», чем многообразия с дополнительными геометрическими структурами, которые могут действовать как препятствия для определенных типов эквивалентностей и деформаций, существующих в дифференциальной топологии. Например, объем и риманова кривизна являются инвариантами, которые могут различать различные геометрические структуры на одном и том же гладком многообразии, то есть можно плавно «сплющить» определенные многообразия, но для этого может потребоваться искажая пространство и влияя на кривизну или объем.
С другой стороны, гладкие многообразия более жесткие, чем топологические многообразия. Джон Милнор обнаружил, что некоторые сферы имеют более одной гладкой структуры - см. Экзотическая сфера и теорема Дональдсона. Мишель Кервер показал топологические многообразия без гладкой структуры. Некоторые конструкции теории гладких многообразий, такие как существование касательных расслоений, могут быть выполнены в топологической обстановке с гораздо большей работой, а другие - нет.
Одной из основных тем в дифференциальной топологии является изучение специальных видов гладких отображений между многообразиями, а именно погружений и субмерсий, а также пересечений подмногообразий через трансверсальность. В более общем плане интересуются свойствами и инвариантами гладких многообразий, которые переносятся диффеоморфизмами, другим специальным видом гладких отображений. Теория Морса - это еще одна ветвь дифференциальной топологии, в которой топологическая информация о многообразии выводится из изменений ранга якобиана функции.
Список тем по дифференциальной топологии см. В следующей ссылке: Список тем по дифференциальной геометрии.
Дифференциальная топология и дифференциальная геометрия сначала характеризуются их сходство. Оба они изучают в первую очередь свойства дифференцируемых многообразий, иногда с множеством наложенных на них структур.
Анимация трансформации чашки кофе в форму пончика Одно из основных различий заключается в природе проблем, которые пытается решить каждый субъект. С одной точки зрения, дифференциальная топология отличается от дифференциальной геометрии тем, что изучает в первую очередь те проблемы, которые по своей сути являются глобальными. Рассмотрим на примере чашку кофе и пончик. С точки зрения дифференциальной топологии пончик и кофейная чашка - это одно и то же (в некотором смысле). Тем не менее, это по своей сути глобальный взгляд, потому что у дифференциального тополога нет возможности определить, являются ли два объекта одинаковыми (в этом смысле), глядя только на крошечный (локальный) фрагмент любого из них. У них должен быть доступ ко всем (глобальным) объектам.
С точки зрения дифференциальной геометрии кофейная чашка и пончик отличаются, потому что невозможно повернуть кофейную чашку таким образом, чтобы ее конфигурация соответствовала конфигурации пончика. Это тоже глобальный взгляд на проблему. Но важное отличие состоит в том, что геометру не нужен весь объект, чтобы решить это. Глядя, например, на крошечный кусочек ручки, он может решить, что кофейная чашка отличается от пончика, потому что ручка тоньше (или более изогнута), чем любой кусок пончика.
Короче говоря, дифференциальная топология изучает структуры на многообразиях, которые, в определенном смысле, не имеют интересной локальной структуры. Дифференциальная геометрия изучает структуры на многообразиях, которые действительно имеют интересную локальную (или иногда даже бесконечно малую) структуру.
С математической точки зрения, например, проблема построения диффеоморфизма между двумя многообразиями одной и той же размерности по сути является глобальной, поскольку локально два таких многообразия всегда диффеоморфны. Точно так же проблема вычисления величины на многообразии, инвариантной относительно дифференцируемых отображений, по своей сути является глобальной, поскольку любой локальный инвариант будет тривиальным в том смысле, что он уже представлен в топологии 
Это различие между дифференциальной геометрией и дифференциальной топологией размывается, однако, в вопросах, конкретно относящихся к локальным инвариантам диффеоморфизма, таким как касательное пространство в точке. Дифференциальная топология также решает подобные вопросы, которые конкретно относятся к свойствам дифференцируемых отображений на
Различие кратко в абстрактных терминах:
