Регуляризация дзета-функции

редактировать

Метод суммирования в физике

В математике и теоретической физике, дзета-функция регуляризация - это тип регуляризации или метода суммирования, который присваивает конечные значения расходящимся суммам или продуктам и, в частности, может использоваться для определения определителей и следов некоторых самосопряженных операторов. В настоящее время этот метод обычно применяется к проблемам в физике, но он берет свое начало в попытках придать точное значение плохо обусловленным суммам, появляющимся в теории чисел.

Содержание

1 Определение
2 Пример
3 Связь с другими регуляризациями
4 Связь с серией Дирихле
5 Регуляризация теплового ядра
6 История
7 См. Также
8 Ссылки

Определение

Существует несколько различных методов суммирования, называемых регуляризацией дзета-функции для определения суммы возможных расходящихся рядов a 1 + a 2 +....

One Метод состоит в том, чтобы определить его дзета-регуляризованную сумму как ζ A (−1), если это определено, где дзета-функция определяется для больших Re (s) как

ζ A (s) = 1 a 1 s + 1 a 2 s + ⋯ {\ displaystyle \ zeta _ {A} (s) = {\ frac {1} {a_ {1} ^ {s}}} + {\ frac {1} {a_ { 2} ^ {s}}} + \ cdots}

\ zeta_A (s) = \ frac {1} {a_1 ^ s} + \ frac {1} {a_2 ^ s} + \ cdots

, если эта сумма сходится, и по аналитическому продолжению в другом месте.

В случае, когда a n = n, дзета-функция является обычной дзета-функцией Римана. Этот метод был использован Эйлером для «суммирования» ряда 1 + 2 + 3 + 4 +... до ζ (-1) = -1/12.

Хокинг (1977) показал, что в плоском пространстве, в котором известны собственные значения лапласианов, дзета-функция, соответствующая статистической сумме, может быть вычислена явно. Рассмотрим скалярное поле φ, содержащееся в большом ящике объема V в плоском пространстве-времени при температуре T = β. Статистическая сумма определяется интегралом по путям по всем полям φ в евклидовом пространстве, полученным положением τ = it, которые равны нулю на стенках ящика и которые периодичны по τ с периодом β. В этой ситуации из статистической суммы он вычисляет энергию, энтропию и давление излучения поля φ. В случае плоских пространств собственные значения, входящие в физические величины, общеизвестны, в то время как в случае искривленных пространств они неизвестны: в этом случае необходимы асимптотические методы.

Другой метод определяет возможное расходящееся бесконечное произведение a 1a2.... как exp (−ζ ′ A (0)). Ray Singer (1971) использовали это для определения определителя положительного самосопряженного оператора A (лапласиан риманово многообразие в их приложении) с собственными значениями a1, a 2,...., и в этом случае дзета-функция формально является следом A. Минакшисундарам и Плейжель (1949) показали, что если A - лапласиан компактного риманова многообразия, то дзета-функция Минакшисундарама – Плейжеля сходится и имеет аналитическое продолжение как мероморфная функция на все комплексные числа, и Сили (1967) распространил это на эллиптические псевдодифференциальные операторы A на компактных римановых многообразиях. Таким образом, для таких операторов можно определить определитель, используя регуляризацию дзета-функции. См. "аналитическое кручение."

Хокинг (1977) предложил использовать эту идею для вычисления интегралов по траекториям в искривленном пространстве-времени. Он изучил регуляризацию дзета-функции, чтобы вычислить статистические суммы для теплового гравитона и квантов материи на искривленном фоне, например на горизонте черных дыр и на фоне де Ситтера, используя соотношение обратным преобразованием Меллина след ядра уравнений теплопроводности.

Пример

Первый пример, в котором доступна регуляризация дзета-функции, появляется в эффекте Казимира, который находится в плоском пространстве с объемными вкладами квантового поля в трех измерениях пространства. В этом случае мы должны вычислить значение дзета-функции Римана при -3, которое явно расходится. Тем не менее, его можно аналитически продолжить до s = -3, где, надеюсь, нет полюса, тем самым давая конечное значение выражению. Подробный пример этой регуляризации в действии приведен в статье о подробном примере эффекта Казимира, где результирующая сумма очень явно является дзета-функцией Римана (и где казалось бы, более легкое аналитическое продолжение удаляет аддитивную бесконечность, оставляя физически значимое конечное число).

Примером регуляризации дзета-функции является вычисление ожидаемого значения вакуума энергии поля частицы в квантовой теории поля. В более общем смысле, подход с дзета-функцией может использоваться для регуляризации всего тензора энергии-импульса в искривленном пространстве-времени.

Нерегулируемое значение энергии дается суммированием по энергии нулевой точки всех режимов возбуждения вакуума:

⟨0 | T 00 | 0⟩ = ∑ n ℏ | ω n | 2 {\ displaystyle \ langle 0 | T_ {00} | 0 \ rangle = \ sum _ {n} {\ frac {\ hbar | \ omega _ {n} |} {2}}}

\ langle 0 | T_ {00} | 0 \ rangle = \ sum_n \ frac {\ hbar | \ omega_n |} {2 }

Здесь $T 00 {\ displaystyle T_ {00}}$ $T_ { 00}$ - это нулевая компонента тензора энергии-импульса, и считается, что сумма (которая может быть интегралом) распространяется на все (положительные и отрицательные) моды энергии. $ω N {\ Displaystyle \ omega _ {n}}$ $\ omega _ {n}$ ; абсолютное значение, напоминающее нам, что энергия считается положительной. Эта сумма, как написано, обычно бесконечна ( $ω n {\ displaystyle \ omega _ {n}}$ $\ omega _ {n}$ обычно линейна по n). Сумма может быть регуляризована, записав ее как

⟨0 | T 00 (с) | 0⟩ = ∑ n ℏ | ω n | 2 | ω n | - s {\ displaystyle \ langle 0 | T_ {00} (s) | 0 \ rangle = \ sum _ {n} {\ frac {\ hbar | \ omega _ {n} |} {2}} | \ omega _ {n} | ^ {- s}}

\ langle 0 | T_ {00} (s) | 0 \ rangle = \ sum_n \ frac {\ hbar | \ omega_n |} {2} | \ omega_n | ^ {- s}

где s - некоторый параметр, принимаемый как комплексное число. Для больших вещественных s больше 4 (для трехмерного пространства) сумма явно конечна и поэтому часто может быть вычислена теоретически.

Дзета-регуляризация полезна, поскольку ее часто можно использовать таким образом, чтобы сохранить различные симметрии физической системы. Регуляризация дзета-функции используется в конформной теории поля, перенормировке и при фиксации критического пространственно-временного измерения теории струн.

Связь с другими регуляризациями

Мы можем спросить, есть ли какие-либо отношения к размерной регуляризации, порожденной диаграммой Фейнмана. Но теперь мы можем сказать, что они эквивалентны друг другу, понимаете. Однако главное преимущество дзета-регуляризации заключается в том, что ее можно использовать всякий раз, когда размерная регуляризация терпит неудачу, например, если в вычислениях есть матрицы или тензоры $ϵ i, j, k {\ displaystyle \ epsilon _ {i, j, k}}$ $\ epsilon _ {i, j, k}$

Связь с рядом Дирихле

Регуляризация дзета-функции дает аналитическую структуру для любых сумм по арифметической функции f (n). Такие суммы известны как ряд Дирихле. Регуляризованная форма

f ~ (s) = ∑ n = 1 ∞ f (n) n - s {\ displaystyle {\ tilde {f}} (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty } f (n) n ^ {- s}}

\ тильда {f} (s) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty f (n) n ^ {- s}

преобразует расходимости суммы в простые полюса на комплексной s-плоскости. В численных расчетах регуляризация дзета-функции неуместна, так как она очень медленно сходится. Для численных целей более быстро сходящейся суммой является экспоненциальная регуляризация, задаваемая как

F (t) = ∑ n = 1 ∞ f (n) e - t n. {\ displaystyle F (t) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) e ^ {- tn}.}

F (t) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty f (n) e ^ {- tn}.

Иногда это называют Z-преобразованием функции f, где z = exp (−t). Аналитическая структура экспоненциальной и дзета-регуляризации взаимосвязаны. Раскладывая экспоненциальную сумму как ряд Лорана

F (t) = a N t N + a N - 1 t N - 1 + ⋯ {\ displaystyle F (t) = {\ frac {a_ {N) }} {t ^ {N}}} + {\ frac {a_ {N-1}} {t ^ {N-1}}} + \ cdots}

F (t) = \ frac {a_N} {t ^ N} + \ frac {a_ {N-1}} {t ^ {N-1} } + \ cdots

обнаруживается, что дзета-серия имеет структуру

f ~ (s) = a N s - N +. {\ displaystyle {\ tilde {f}} (s) = {\ frac {a_ {N}} {sN}} + \ cdots.}

{\ displaystyle {\ tilde {f}} (s) = {\ frac {a_ {N}} {sN}} + \ cdots.}

Структура экспоненциального и дзета-регуляторов связана с помощью Преобразование Меллина. Одно можно преобразовать в другое, используя интегральное представление гамма-функции :

Γ (s + 1) = ∫ 0 ∞ xse - xdx {\ displaystyle \ Gamma (s + 1) = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s} e ^ {- x} \, dx}

\ Gamma (s + 1) = \ int_0 ^ \ infty x ^ se ^ {- x} \, dx

что приводит к тождеству

Γ (s + 1) f ~ (s + 1) = ∫ 0 ∞ ts F (t) dt {\ displaystyle \ Gamma (s + 1) {\ tilde {f}} (s + 1) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {s} F ( t) \, dt}

\ Gamma (s + 1) \ tilde {f} (s + 1) = \ int_0 ^ \ infty t ^ s F (t) \, dt

, связывающие экспоненциальные и дзета-регуляторы, и преобразование полюсов в s-плоскости в расходящиеся члены в ряду Лорана.

Регуляризация теплового ядра

Сумма

f (s) = ∑ n a n e - s | ω n | {\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n} a_ {n} e ^ {- s | \ omega _ {n} |}}

f (s) = \ sum_n a_n e ^ {- s | \ omega_n |}

иногда называют тепловым ядром или регуляризованная сумма теплового ядра ; это название происходит от идеи, что $ω n {\ displaystyle \ omega _ {n}}$ $\ omega _ {n}$ иногда можно понимать как собственные значения теплового ядра. В математике такая сумма известна как обобщенный ряд Дирихле ; его использование для усреднения известно как среднее абелево. Он тесно связан с преобразованием Лапласа – Стилтьеса в том смысле, что

f (s) = ∫ 0 ∞ e - std α (t) {\ displaystyle f (s) = \ int _ {0 } ^ {\ infty} e ^ {- st} \, d \ alpha (t)}

f (s) = \ int_0 ^ \ infty e ^ {- st} \, d \ alpha (t)

где $α (t) {\ displaystyle \ alpha (t)}$ $\ alpha (t)$ - это пошаговая функция с шагами $an {\ displaystyle a_ {n}}$ $a_{n}$ при $t = | ω n | {\ displaystyle t = | \ omega _ {n} |}$ $t = | \ omega_n |$ . Существует ряд теорем о сходимости такого ряда. Например, по тауберовской теореме Харди-Литтлвуда, если

L = lim sup n → ∞ log ⁡ | ∑ k = 1 n a k | | ω n | {\ displaystyle L = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ log \ vert \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ vert} {| \ omega _ {n} |}}}

L = \ limsup_ {n \ to \ infty} \ frac {\ log \ vert \ sum_ {k = 1} ^ n a_k \ vert} {| \ omega_n |}

тогда ряд для $f (s) {\ displaystyle f (s)}$ $f (s)$ сходится в полуплоскости $ℜ (s)>L {\ displaystyle \ Re (s)>L}$ $\Re(s)>L$ и является равномерно сходящимся на каждом компактном подмножестве полуплоскости $ℜ (s)>L {\ displaystyle \ Re (s)>L }$ $\Re(s)>L$ . Почти во всех приложениях к физике имеется $L = 0 {\ displaystyle L = 0}$ $L = 0$

История

Большая часть ранних работ, устанавливающих сходимость и эквивалентность рядов, регуляризованных тепловым ядром и Методы регуляризации дзета-функции были выполнены Г. Х. Харди и Дж. Э. Литтлвуд в 1916 г. и основан на применении интеграла Каэна – Меллина. Были предприняты усилия, чтобы получить значения для различных плохо определенных, условно сходящихся сумм, фигурирующих в теории чисел.

С точки зрения применения в качестве регулятора в физических задачах, до Хокинга (1977), Дж. Стюарт Даукер и Раймонд Кричли в 1976 г. предложили метод регуляризации дзета-функции для задач квантовой физики. Эмилио Элизальде и другие также предложили метод, основанный на дзета-регуляризации для интегралов $∫ a ∞ xm - sdx {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} x ^ {ms} dx}$ $\ int_ {a} ^ {\ infty} x ^ {ms} dx$ , здесь $x - s {\ displaystyle x ^ {- s}}$ $x ^ {- s}$ - регулятор, а расходящийся интеграл зависит от чисел $ζ (s - m) {\ displaystyle \ zeta (sm)}$ $\ zeta (sm)$ в пределах $s → 0 {\ displaystyle s \ to 0}$ $s \ to 0$ см. перенормировка. Также в отличие от других регуляризаций, таких как размерная регуляризация и аналитическая регуляризация, дзета-регуляризация не имеет контрчленов и дает только конечные результаты.

См. Также

Ссылки

^Том М. Апостол, «Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел», «Springer-Verlag New Йорк. (См. Главу 8.) "
^А. Быценко, Г. Коньола, Э. Элизальде, В. Моретти и С. Зербини, «Аналитические аспекты квантовых полей», World Scientific Publishing, 2003, ISBN 981-238-364-6
^GH Харди и Дж. Литтлвуд, «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел», Acta Mathematica, 41 (1916), стр. 119–196. (См., Например, теорему 2.12)
Хокинг, SW (1977), «Регуляризация дзета-функцией интегралов по траекториям в искривленном пространстве-времени», Сообщения в области математической физики, 55 (2): 133–148, Bibcode : 1977CMaPh..55..133H, doi : 10.1007 / BF01626516, ISSN 0010-3616, MR 0524257
^В. Моретти, "Прямой подход z-функции и перенормировка однопетлевого тензора напряжений в искривленном пространстве-времени, Phys. Rev.D 56, 7797 (1997).
Minakshisundaram, S.; Pleijel, Å. (1949), <128">«Некоторые свойства собственных функций оператора Лапласа на римановых многообразиях», Canadian Journal of Mathematics, 1(3): 242–256, doi : 10.4153 / CJM-1949-021-5, ISSN 0008-414X, MR 0031145
Рэй, ДБ; Зингер, И.М. (1971), «R-кручение и лапласиан. на римановых многообразиях ", Успехи в математике, 7 (2): 145–210, doi : 10.1016 / 0001-8708 (71) 90045-4, MR 0295381
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Сили, Р.Т. (1967), «Комплексные степени эллиптического оператора», в Кальдероне, Альберто П. (изд..), Сингулярные интегралы (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 10, Providence, RI: Amer. Math. Soc., Стр. 288–307, ISBN 978-0-8218-1 410-9, MR 0237943
^J.S. Даукер, Р. Кричли, Эффективный лагранжиан и тензор энергии-импульса в пространстве де Ситтера, Phys. Ред. D 13, 3224 (1976).