Парадокс сорита

редактировать
Парадокс сорита: если куча уменьшается на одно зернышко за раз, в какой именно момент она перестает считаться куча?

парадокс соритов (; иногда известный как парадокс кучи ) - это парадокс который возникает из туманных предикатов. Типичный состав включает кучу песка, из которой отдельно удаляются зерна. Исходя из предположения, что удаление единственного зерна не превращает кучу в не-кучу, парадокс состоит в том, чтобы рассмотреть, что происходит, когда процесс повторяется достаточно раз: остается ли единственное оставшееся зерно кучей? Если нет, то когда он изменился с кучи на не кучу?

Содержание
  • 1 Исходная формулировка и варианты
    • 1.1 Парадокс кучи
    • 1.2 Варианты
      • 1.2.1 Ошибка континуума
  • 2 Предлагаемые решения
    • 2.1 Установка фиксированной границы
    • 2.2 Непознаваемые границы (или эпистемизм)
    • 2.3 Сверхоценка
    • 2.4 Пробелы в истине, избыток и многозначная логика
    • 2.5 Гистерезис
    • 2.6 Групповой консенсус
    • 2.7 Отказ от транзитивности вовлеченных отношений
  • 3 См. Также
  • 4 Ссылки
  • 5 Библиография
  • 6 Внешние ссылки
Исходная формулировка и варианты

Парадокс кучи

Слово «соритес» происходит от греческого слова «куча». Парадокс назван так из-за его первоначальной характеристики, приписываемой Евбулиду Милетскому. Парадокс заключается в следующем: рассмотрим кучу песка, из которой зерна удалены по отдельности. Можно построить аргумент, используя посылку, следующим образом:

1 000 000 песчинок - это куча песка (посылка 1)
Куча песка минус одно зерно все еще остается куча. (Предпосылка 2)

Повторное применение предпосылки 2 (каждый раз начиная с одной песчинки) в конечном итоге вынуждает принять вывод, что куча может состоять всего из одной песчинки. Рид (1995) отмечает, что «аргумент - это куча, или сориты, этапов modus ponens ":

1 000 000 гран - это куча.
Если 1 000 000 гран - это куча, то 999 999 гран - это куча. куча.
Итак, 999 999 зерен - это куча.
Если 999 999 зерен - это куча, то 999 998 зерен - это куча.
Итак, 999 998 зерен - это куча.
Если...
... Итак, 1 зерно - это куча.

Варианты

Цветовой градиент, иллюстрирующий парадокс соритов, при этом любые смежные цвета неразличимы человеческим глазом

Тогда противоречие между маленькими изменениями и большими последствиями порождает парадокс Сорита... Есть много вариантов... [некоторые из которых позволяют] рассмотреть разницу между бытием... (вопрос о факт ) и кажущееся... (вопрос восприятия ).

Другая формулировка - начать с песчинки, которая явно не куча, а затем предположить, что добавление единственной крупинки песок на что-то, кроме кучи, не превращает его в кучу. Индуктивно, этот процесс можно повторять сколько угодно, без создания кучи. Более естественная формулировка этого варианта состоит в том, чтобы предположить, что существует набор цветных чипов, два соседних чипа слишком мало различаются по цвету, чтобы человеческое зрение могло различить их. Тогда, исходя из этого предположения, люди не смогут различать какие-либо цвета.

Удаление одной капли из океана не сделает его «не океаном» (это все еще океан), но поскольку объем воды в океане конечен, в конце концов, после достаточного удаления, даже литр оставшейся воды все еще остается океаном.

Этот парадокс можно восстановить для множества предикатов, например, с «высокий», «богатый», «старый», «синий», «лысый» и т. Д. Бертран Рассел утверждал, что весь естественный язык, даже логические связки, расплывчат; кроме того, представления предложений расплывчаты.

Ошибка континуума

Ошибка континуума (также называемая ошибкой бороды, линия - ошибка рисования или ошибка точки принятия решения ) - это неформальная ошибка, тесно связанная с парадоксом Сорита. Оба заблуждения заставляют ошибочно отвергать туманное утверждение просто потому, что оно не так точно, как хотелось бы. Сама по себе неопределенность не обязательно означает недействительность. Заблуждение состоит в том, что два состояния или условия не могут считаться отдельными (или не существуют вообще), потому что между ними существует континуум состояний.

В более узком смысле, парадокс Сорита относится к ситуациям, когда существует множество дискретных состояний (классически от 1 до 1 000 000 песчинок, следовательно, 1 000 000 возможных состояний), в то время как ошибка континуума относится к ситуациям, когда есть (или появляется быть) континуум состояний, таких как температура - жарко или холодно в комнате? Существуют ли какие-либо континуумы ​​в физическом мире - это классический вопрос атомизма, и хотя ньютоновская физика моделирует мир как непрерывный, в современной квантовой физике понятия Непрерывная длина разрывается на планковской длине, и, таким образом, то, что кажется континуумом, в основе своей может быть просто очень большим количеством дискретных состояний.

Например, если у человека (Фреда) нет бороды, еще один день роста не приведет к тому, что у него будет борода. Следовательно, если Фред теперь чисто выбрит, он никогда не сможет отрастить бороду (поскольку абсурдно думать, что когда-нибудь у него будет борода, хотя накануне у него ее не было).

В целях заблуждения континуума предполагается, что на самом деле континуум существует, хотя это, как правило, незначительное различие: в общем, любой аргумент против парадокса соритов может быть использован и против заблуждения континуума. Один аргумент против заблуждения основан на простом контрпримере : существуют лысые и не лысые люди. Другой аргумент состоит в том, что для каждой степени изменения состояний степень состояния изменяется незначительно, и эти «небольшие» накапливаются, чтобы сместить состояние из одной категории в другую. Например, возможно, добавление рисового зерна приводит к тому, что вся группа риса будет «немного больше» кучи, и достаточно «немного» будет подтверждать статус группы - см. нечеткая логика.

Предлагается разрешения

На первый взгляд, есть несколько способов избежать этого вывода. может возразить против первой предпосылки, отрицая, что 1000000 песчинок образуют кучу. Но 1000000 - это просто произвольно большое число, и аргумент будет продолжаться с любым таким числом. Таким образом, ответ должен полностью отрицать существование таких вещей, как кучи. Питер Унгер защищает это решение. В качестве альтернативы, можно возразить против второй посылки, заявив, что не для всех куч песка утверждение, что удаление одной крупинки из нее все равно образует кучу.

Установка фиксированной границы

Обычное Первый ответ на парадокс - называть кучей любой набор зерен, в котором содержится более определенного количества зерен. Если бы кто-то должен был установить «фиксированную границу», скажем, на уровне 10 000 зерен, то можно было бы утверждать, что для менее чем 10 000 это не куча; для 10 000 или более, то это куча.

Однако такие решения неудовлетворительны, поскольку кажется незначительным разница между 9 999 зернами и 10 000 зернами. Граница, где бы она ни была установлена, остается произвольной, поэтому ее точность вводит в заблуждение. Это вызывает возражения как с философских, так и с лингвистических оснований: первое из-за его произвольности, а второе на том основании, что мы просто не используем естественный язык.

Второй ответ пытается найти фиксированные границы. это отражает обычное использование термина. Например, словарь может определять «кучу» как «совокупность вещей, собранных вместе, чтобы образовать возвышение». Для этого необходимо, чтобы зерна было достаточно, чтобы одни зерна поддерживались другими зернами. Таким образом, добавление одного зерна поверх одного слоя создает кучу, а удаление последнего зерна над нижним слоем разрушает кучу.

Непознаваемые границы (или эпистемизм)

Тимоти Уильямсон и Рой Соренсен придерживаются подхода, согласно которому существуют фиксированные границы, но они обязательно непознаваемы.

Сверхоценка

Сверхоценка - это семантика для работы с нереференциальными единичными терминами и неопределенностью. Это позволяет сохранять обычные тавтологические законы даже при работе с неопределенными значениями истинности. В качестве примера предложения о нереференциальном единственном числе рассмотрим предложение «Пегас любит солодку ». Поскольку имя «Пегас» не относится к, предложению нельзя присвоить значение истинности ; в мифе нет ничего, что могло бы оправдать такое назначение. Тем не менее, есть некоторые утверждения о «Пегасе», которые, тем не менее, имеют определенные значения истинности, например, «Пегас любит лакрицу или Пегас не любит лакрицу». Это предложение является примером тавтологии «p ∨ ¬ p {\ displaystyle p \ vee \ neg p}p \ vee \ neg p », то есть действительной схемы «p {\ displaystyle p}p или нет - p {\ displaystyle p}p ". Согласно супервальвационизму, оно должно быть истинным независимо от того, имеют ли его компоненты истинностное значение.

Допуская предложения без определенных истинностных ценностей, сверхоценочность избегает смежных случаев, когда n песчинок - это куча песка, а n-1 - нет; например, «1000 песчинок - куча» можно рассматривать как пограничный случай, не имеющий определенного значения истинности. Тем не менее, супервальвационизм способен обрабатывать предложение типа «1000 песчинок - это куча, или 1000 песчинок - это не куча» как тавтологию, т.е. присвоить ему значение «истина».

Точнее, пусть v {\ displaystyle v}v быть классической оценкой, определенной для каждого атомарного предложения языка L {\ displaystyle L}L , и пусть A t (x) {\ displaystyle At (x)}At (x) будет количеством отдельных атомарных предложений в x {\ displaystyle x}x . Тогда для каждого предложения x {\ displaystyle x}x не более 2 A t (x) {\ displaystyle 2 ^ {At (x)}}2 ^ {At (x)} отдельный классические оценки могут существовать. Супероценка V {\ displaystyle V}V - это функция от предложений до значений истинности, такая, что предложение x {\ displaystyle x}x является сверхправдивым ( т.е. V (x) = True {\ displaystyle V (x) = {\ text {True}}}V (x) = \ text {True} ) тогда и только тогда, когда v (x) = True {\ displaystyle v (x) = {\ text {True}}}v (x) = \ text {True} для каждой классической оценки v {\ displaystyle v}v ; так же и для супер-ложных. В противном случае V (x) {\ displaystyle V (x)}V (x) не определено, т.е. именно тогда, когда есть две классические оценки v {\ displaystyle v}v и v ′ {\ displaystyle v '}v'такие, что v (x) = Истина {\ displaystyle v (x) = {\ text {True}}}v (x) = \ text {True} и v ′ (x) = False {\ displaystyle v '(x) = {\ text {False}} }v'(x) = \text{False}.

Например, пусть L p {\ displaystyle L \; p}L \; р будет формальным переводом «Пегас любит лакрицу». Тогда есть ровно две классические оценки v {\ displaystyle v}v и v ′ {\ displaystyle v '}v'на L p {\ displaystyle L \; p}L \; р , а именно. v (L p) = True {\ displaystyle v (L \; p) = {\ text {True}}}v (L \; p) = \ text {True} и v '(L p) = False {\ displaystyle v '(L \; p) = {\ text {False}}}v'(L \; p) = \text{False}. Итак, L p {\ displaystyle L \; p}L \; р не является ни супер-истинным, ни супер-ложным. Однако тавтология L p ∨ ¬ L p {\ displaystyle L \; p \ lor \ lnot L \; p}L \; p \ lor \ lnot L \; p оценивается как True {\ displaystyle {\ text {True }}}\ text {True} по любой классической оценке; следовательно, это супер-правда. Точно так же формализация вышеупомянутого предложения кучи H 1000 {\ displaystyle H \; 1000}H \; 1000 не является ни супер-истинным, ни супер-ложным, но H 1000 ∨ ¬ H 1000 {\ displaystyle H \; 1000 \ lor \ lnot H \; 1000}H \; 1000 \ lor \ lnot H \; 1000 супер-правда.

Пробелы в истине, избыток и многозначная логика

Другой подход - использовать многозначную логику. С этой точки зрения проблема заключается в принципе двухвалентности : песок либо куча, либо не куча, без каких-либо оттенков серого. Вместо двух логических состояний, «куча» и «не-куча», может использоваться трехзначная система, например «куча», «неопределенное состояние» и «не-куча». Однако трехзначные системы не разрешают парадокс, поскольку все еще существует разделительная линия между кучей и неопределенным, а также между неопределенным и не-кучей. Третье значение истинности можно понимать либо как пробел в значении истинности, либо как избыток значений истинности.

В качестве альтернативы нечеткая логика предлагает непрерывный спектр логических состояний, представленных в единичный интервал действительных чисел [0,1] - это многозначная логика с бесконечно большим количеством истинностных значений, и, таким образом, песок плавно перемещается от «определенно кучи» к «определенно не кучке» с оттенки в промежуточной области. Нечеткие изгороди используются для разделения континуума на области, соответствующие классам, такие как определенно куча, в основном куча, частично куча, небольшая куча и не куча. Хотя остается проблема, где проходят эти границы; например при каком количестве зерен песок становится «однозначно» кучей.

Гистерезис

Другой подход, предложенный Раффманом, заключается в использовании гистерезиса, то есть знания того, с чего начался сбор песка. Эквивалентные количества песка можно назвать кучами или нет в зависимости от того, как они туда попали. Если большая куча (неоспоримо описывается как кучи) медленно уменьшаются, она сохраняет свой статус «куча» до точки, как и фактическое количество песка уменьшается до меньшего числа зерен. Например, предположим, что 500 зерен - это куча, а 1000 зерен - куча. Эти состояния будут перекрываться. Итак, если кто-то сокращает его из кучи в кучу, это будет куча, которая опускается, скажем, до 750. В этот момент можно перестать называть ее кучей и начать называть ее кучей. Но если заменить одно зерно, оно не сразу превратится обратно в кучу. Когда он поднимается вверх, он останется грудой, скажем, до 900 зерен. Выбранные числа произвольны; Дело в том, что одно и то же количество может быть либо кучей, либо кучей, в зависимости от того, что было до изменения. Обычно гистерезис используется для термостата для кондиционирования воздуха: кондиционер устанавливается на 77 ° F, а затем охлаждается до чуть ниже 77 ° F, но не включается снова мгновенно при 77,001 ° F - он ждет почти до 78 ° F, чтобы предотвратить мгновенное изменение состояния снова и снова.

Групповой консенсус

Можно установить значение слова «куча», обратившись к консенсусу. В своем эпистемическом решении парадокса Уильямсон предполагает, что значение неопределенных терминов должно определяться групповым употреблением. Консенсусный подход обычно утверждает, что совокупность зерен - это такая же «куча», как и доля людей в группе, которые считают, что это так. Другими словами, вероятность того, что любая коллекция будет считаться кучей, представляет собой ожидаемое значение распределения представлений группы.

Группа может решить, что:

  • Одна песчинка сама по себе не является кучей.
  • Большая коллекция песчинок - это куча.

Между ними двумя В крайнем случае, отдельные члены группы могут не соглашаться друг с другом по поводу того, можно ли назвать какую-либо конкретную коллекцию «кучей». В таком случае нельзя окончательно назвать коллекцию «кучей» или «не кучей». Это можно рассматривать как апелляцию к описательной лингвистике, а не к предписывающей лингвистике, поскольку она решает проблему определения на основе того, как население использует естественный язык. Действительно, если доступно точное предписывающее определение «кучи», тогда групповой консенсус всегда будет единодушным, и парадокса не возникнет.

Отказ от транзитивности задействованных отношений

Моделирование «X более или одинаково красного цвета, чем Y» как. квазитранзитивного (Q) и как транзитивного (T) отношения
YXf01000e02000d03000c04000b05000a06000
f01000QTQTQTPQTPQTPQTP
e02000QQTQTQTPQTPQTP
d03000QQTQTQTPQTP
c04000QQTQTQTP
b05000QQTQT
a06000QQT

В выше цветном примере, аргумент неявно основан на рассмотрении отношения «для человеческого глаза цвет X неотличим от Y» как отношения эквивалентности , в частности как транзитивный. Отказ от предположения о транзитивности - возможность разрешить парадокс.

Точно так же парадокс основан на рассмотрении отношения «для человеческого глаза цвет X выглядит более или одинаково красным, чем Y» как рефлексивное полное упорядочение ; опять же, отказ от транзитивности разрешает парадокс.

Вместо этого соотношение между цветами можно описать как квазитранзитивное отношение, используя концепцию, введенную микроэкономистом Амартией Сен в 1969 году. В таблице показан простой пример, с различиями в цвете, преувеличенными для удобочитаемости. «Q» и «T» указывают, что цвет строки выглядит более или одинаково красным, чем цвет столбца в квазитранзитивной и транзитивной версиях отношения, соответственно. В квазитранзитивной версии, например цвета f01000 и e02000 моделируются как неразличимые, поскольку «Q» появляется в обеих ячейках их пересечения. «P» указывает на асимметричную часть квазитранзитивной версии.

Чтобы разрешить исходную вариацию парадокса кучи с помощью этого подхода, соотношение «зерна X - это скорее куча, чем зерна Y» следует считать квазитранзитивным, а не транзитивным.

См. Также
  • Философский портал
  • Психологический портал
Ссылки
Библиография
Внешние ссылки
Поищите sorites в Викисловаре, бесплатном словаре.
На Викискладе есть материалы, связанные с Парадокс Соритеса.
Последняя правка сделана 2021-06-08 10:37:01
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте