Матричное представление конических сечений

В математике, то матричное представление конических сечений позволяет инструменты линейной алгебры, которые будут использоваться при изучении конических сечений. Он позволяет легко вычислить ось конического сечения, вершины, касательные, а также полюсные и полярные отношения между точками и линиями плоскости, определяемой коникой. Этот метод не требует приведения уравнения конического сечения к стандартной форме, что упрощает исследование тех конических сечений, оси которых не параллельны системе координат.

Конические сечения (в том числе вырожденные ) - это множества точек, координаты которых удовлетворяют полиномиальному уравнению второй степени от двух переменных:

${\ displaystyle Q (x, y) = Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0.}$

Из-за злоупотребления обозначениями это коническое сечение будет также называться Q, если не может возникнуть путаницы.

Это уравнение может быть записано в матричных обозначениях в терминах симметричной матрицы, чтобы упростить некоторые последующие формулы, как

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x amp; y \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A amp; B / 2 \\ B / 2 amp; C \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \ end {matrix}} \ right) + \ left ({\ begin {matrix} Damp;E \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \ end {matrix}} \ right) + F = 0.}$

Сумма первых трех членов этого уравнения, а именно

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} = \ left ({\ begin {matrix} x amp; y \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A amp; B / 2 \\ B / 2 и C \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \ end {matrix}} \ right),}$

- квадратичная форма, связанная с уравнением, а матрица

${\ displaystyle A_ {33} = \ left ({\ begin {matrix} A amp; B / 2 \\ B / 2 amp; C \ end {matrix}} \ right)}$

называется матрицей квадратичной формы. След и определитель из оба инвариантны относительно осей вращения и перевода плоскости (движение происхождения). ${\ displaystyle A_ {33}}$

Квадратное уравнение можно также записать в виде

${\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {T} A_ {Q} \ mathbf {x} = 0,}$

где - однородный вектор координат с тремя переменными, ограниченный так, чтобы последняя переменная была 1, т. е. ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ 1 \ end {pmatrix}}}$

а где матрица ${\ displaystyle A_ {Q}}$

${\ displaystyle A_ {Q} = {\ begin {pmatrix} A amp; B / 2 amp; D / 2 \\ B / 2 amp; C amp; E / 2 \\ D / 2 amp; E / 2 amp; F \ end {pmatrix}}.}$

Матрица называется матрицей квадратного уравнения. Как и определитель, его определитель инвариантен как по отношению к вращению, так и по отношению к сдвигу. ${\ displaystyle A_ {Q}}$${\ displaystyle A_ {33}}$

Верхняя левая подматрица 2 × 2 (матрица порядка 2) матрицы A Q, полученная удалением третьей (последней) строки и третьего (последнего) столбца из A Q, является матрицей квадратичной формы. Приведенное выше обозначение A 33 используется в этой статье, чтобы подчеркнуть эту взаимосвязь.

• 1 Классификация
• 2 центральные коники
  • 2.1 Центр
    • 2.1.1 Центрированное матричное уравнение
  • 2.2 Стандартная форма центральной коники
  • 2.3 Оси
  • 2.4 Вершины
• 3 Поляки и Поляры
• 4 касательных
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 ссылки

Собственные (невырожденный) и вырожденные конические сечения могут быть выделены на основе детерминанта из A Q:

Если, коника вырожденная. ${\ displaystyle \ det A_ {Q} = 0}$

Если так, что Q не является вырожденным, мы можем видеть, какой тип конического сечения это путь вычисления несовершеннолетнего,: ${\ displaystyle \ det A_ {Q} \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ det A_ {33}}$

• Q является гиперболой тогда и только тогда, когда${\ displaystyle \ det A_ {33} lt;0}$
• Q - парабола тогда и только тогда, когда, и${\ displaystyle \ det A_ {33} = 0}$
• Q является эллипсом тогда и только тогда, когда.${\ displaystyle \ det A_ {33}gt; 0}$

В случае эллипса мы можем выделить частный случай круга, сравнив два последних диагональных элемента, соответствующих коэффициентам при x ² и y ²:

• Если A = C и B = 0, то Q - круг.

Более того, в случае невырожденного эллипса (с и) мы имеем действительный эллипс, если и мнимый эллипс, если. Примером последнего является отсутствие решений с действительными значениями. ${\ displaystyle \ det A_ {33}gt; 0}$${\ displaystyle \ det A_ {Q} \ neq 0}$ ${\ displaystyle (A + C) \ det A_ {Q} lt;0}$ ${\ displaystyle (A + C) \ det A_ {Q}gt; 0}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + 10 = 0}$

Если коническое сечение является вырожденным (), все же позволяет нам различать его форму: ${\ displaystyle \ det A_ {Q} = 0}$${\ displaystyle \ det A_ {33}}$

• Две пересекающиеся прямые (гипербола выродилась в две свои асимптоты) тогда и только тогда, когда.${\ displaystyle \ det A_ {33} lt;0}$
• Две параллельные прямые (вырожденная парабола) тогда и только тогда, когда. Эти прямые различны и действительны, если, совпадают, если, и не существуют в реальной плоскости, если.${\ displaystyle \ det A_ {33} = 0}$${\ displaystyle D ^ {2} + E ^ {2}gt; 4 (A + C) F}$${\ displaystyle D ^ {2} + E ^ {2} = 4 (A + C) F}$${\ displaystyle D ^ {2} + E ^ {2} lt;4 (A + C) F}$
• Единственная точка (вырожденный эллипс) тогда и только тогда, когда.${\ displaystyle \ det A_ {33}gt; 0}$

Случай совпадающих строк имеет место тогда и только тогда, когда ранг матрицы 3 × 3 равен 1; во всех остальных вырожденных случаях его ранг равен 2. ${\ displaystyle A_ {Q}}$

Когда существует геометрический центр конического сечения и такие конические сечения (эллипсы и гиперболы) называются центральными кониками. ${\ displaystyle \ det A_ {33} \ neq 0}$

Центр

Центр коники, если он существует, - это точка, которая делит пополам все хорды коники, проходящие через нее. Это свойство можно использовать для вычисления координат центра, который можно показать как точку, в которой градиент квадратичной функции Q обращается в нуль, т. Е.

${\ displaystyle \ nabla Q = \ left [{\ frac {\ partial Q} {\ partial x}}, {\ frac {\ partial Q} {\ partial y}} \ right] = [0,0].}$

Это дает центр, как показано ниже.

Альтернативный подход, который использует матричную форму квадратного уравнения, основан на том факте, что, когда центр является началом системы координат, в уравнении нет линейных членов. Любой перенос в начало координат ( x 0, y 0) с использованием x * = x - x 0, y * = y - y 0 приводит к

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x ^ {*} + x_ {0} amp; y ^ {*} + y_ {0} \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A amp; B / 2 \\ B / 2 amp; C \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x ^ {*} + x_ {0} \\ y ^ {*} + y_ {0} \ end {matrix}} \ right) + \ left ({\ begin {matrix} Damp;E \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x ^ {*} + x_ {0} \\ y ^ {*} + y_ {0} \ end {matrix}} \ right) + F = 0.}$

Условие того, что ( x 0, y 0) является центром коники ( x c, y c), заключается в том, что коэффициенты линейных членов x * и y * при умножении этого уравнения равны нулю. Это условие дает координаты центра:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x_ {c} \\ y_ {c} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} A amp; B / 2 \\ B / 2 amp; C \ end {pmatrix}} ^ {\! -1} {\ begin {pmatrix} -D / 2 \\ - E / 2 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} (BE-2CD) / (4AC-B ^ {2}) \\ ( DB-2AE) / (4AC-B ^ {2}) \ end {pmatrix}}.}$

Это вычисление также можно выполнить, взяв первые две строки соответствующей матрицы A Q, умножив каждую на ( x, y, 1) ^⊤ и установив оба скалярных произведения равными 0, получив следующую систему:

${\ Displaystyle Ax + (B / 2) y + D / 2 = 0,}$

${\ displaystyle (B / 2) x + Cy + E / 2 = 0.}$

Это дает указанную выше центральную точку.

В случае параболы, то есть, когда 4 AC - B ² = 0, центра нет, так как вышеуказанные знаменатели становятся равными нулю (или, проективно интерпретируемый, центр находится на бесконечно удаленной прямой ).

Центрированное матричное уравнение

Центральную (непараболическую) конику в форме центрированной матрицы можно переписать как ${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0}$

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x-x_ {c} amp; y-y_ {c} \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A amp; B / 2 \\ B / 2 amp; C \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x-x_ {c} \\ y-y_ {c} \ end {matrix}} \ right) = K,}$

куда

${\ Displaystyle К = {\ гидроразрыва {- \ det (A_ {Q})} {AC- (B / 2) ^ {2}}} = {\ frac {- \ det (A_ {Q})} {\ det (A_ {33})}}.}$

Тогда для случая эллипса AC gt; ( B / 2) ² эллипс действительный, если знак K равен знаку ( A + C) (то есть знак каждого из A и C), мнимый, если они имеют противоположные знаки и вырожденный точечный эллипс, если K = 0. В случае гиперболы AC lt;( B / 2) ² гипербола вырождена тогда и только тогда, когда K = 0.

Стандартная форма центральной коники

Основные статьи: Коническое сечение § Стандартные формы в декартовых координатах и Коническое сечение § Преобразование в каноническую форму

Стандартная форма уравнения центрального конического сечения получается, когда коническая секция поступательная и вращательное движение так, что его центр находится в центре системы координат и ее оси совпадают с осями координат. Это эквивалентно тому, что центр системы координат перемещается, а оси координат вращаются, чтобы удовлетворить этим свойствам. На схеме исходная система координат xy с началом O перемещена в систему координат x'y ' с началом O'.

Перевод и поворот координат

Перевод по вектору ${\ displaystyle {\ vec {t}} = {\ begin {pmatrix} x_ {c} \\ y_ {c} \ end {pmatrix}}.}$

Поворот на угол α можно осуществить путем диагонализации матрицы A 33. Таким образом, если и являются собственными значениями матрицы A 33, центрированное уравнение можно переписать в новых переменных x ' и y' как ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {1} x '^ {2} + \ lambda _ {2} y' ^ {2} = - {\ frac {\ det A_ {Q}} {\ det A_ {33}}}.}$

Разделив на, мы получим стандартный канонический вид. ${\ displaystyle K = - {\ frac {\ det A_ {Q}} {\ det A_ {33}}}}$

Например, для эллипса эта форма имеет вид

${\ displaystyle {\ frac {{x '} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {{y'} ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1.}$

Отсюда мы получаем a и b, длины большой и малой полуосей в обычных обозначениях.

Для центральных коник оба собственных значения отличны от нуля, и классификация конических сечений может быть получена путем их изучения.

• Если λ 1 и λ 2 имеют один и тот же алгебраический знак, то Q является действительным эллипсом, мнимым эллипсом или действительной точкой, если K имеет тот же знак, имеет противоположный знак или равно нулю, соответственно.
• Если λ 1 и λ 2 имеют противоположные алгебраические знаки, то Q является гиперболой или двумя пересекающимися прямыми в зависимости от того, является ли K ненулевым или нулевым, соответственно.

Топоры

По теореме о главной оси два собственных вектора матрицы квадратичной формы центрального конического сечения (эллипса или гиперболы) перпендикулярны ( ортогональны друг другу), и каждый параллелен (в том же направлении) либо большому, либо малая ось конуса. Собственный вектор, имеющий наименьшее собственное значение (по модулю ), соответствует большой оси.

В частности, если центральная коническая секция имеет центр ( x c, y c), а собственный вектор A 33 задается как v → ( v 1, v 2), то главная ось (большая или малая), соответствующая этому собственному вектору, имеет уравнение,

${\ displaystyle {\ frac {x-x_ {c}} {v_ {1}}} = {\ frac {y-y_ {c}} {v_ {2}}}.}$

Вершины

В вершины центрального коники может быть определена путем расчета пересечения конической и его осей - другими словами, путем решения системы, состоящей из квадратичной конического уравнения и линейное уравнение для поочередного одного или другого из осей. Для каждой оси получается две или никакие вершины, поскольку в случае гиперболы малая ось не пересекает гиперболу в точке с действительными координатами. Однако, с более широкой точки зрения на комплексную плоскость, малая ось гиперболы действительно пересекает гиперболу, но в точках с комплексными координатами.

Основная статья: Полюс и полярник

Используя однородные координаты, точки

${\ Displaystyle \ mathbf {p} = {\ begin {pmatrix} p_ {0} \\ p_ {1} \\ p_ {2} \ end {pmatrix}}}$ и ${\ Displaystyle \ mathbf {r} = {\ begin {pmatrix} r_ {0} \\ r_ {1} \ r_ {2} \ end {pmatrix}}}$

являются сопряженными по отношению к коническим Q при условии

${\ displaystyle \ mathbf {p} ^ {T} A_ {Q} \ mathbf {r} = 0.}$

Сопряженные к неподвижной точке p либо образуют линию, либо состоят из всех точек плоскости коники. Когда конъюгаты р образуют линию, линия называется полярная из р и точка р называется полюсом линии, по отношению к коническому. Эта связь между точками и линиями называется полярностью.

Если коника невырожденная, сопряженные точки всегда образуют прямую, а полярность, определяемая коникой, является взаимно однозначным соответствием между точками и прямыми расширенной плоскости, содержащей конику (то есть плоскость вместе с точками и линия на бесконечности ).

Если точка p лежит на конике Q, полярная линия точки p является касательной к Q в точке p.

Уравнение в однородных координатах полярной линии точки p относительно невырожденной коники Q имеет вид

${\ displaystyle \ mathbf {p} ^ {T} A_ {Q} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} = 0.}$

Так же, как p однозначно определяет свою полярную линию (относительно данной коники), каждая прямая определяет уникальный полюс p. Кроме того, точка p находится на прямой L, которая является полярной точкой r, тогда и только тогда, когда полярная точка p проходит через точку r ( теорема Ла Гира ). Таким образом, эта связь является выражением геометрической двойственности между точками и линиями на плоскости.

С этой полярностью напрямую связаны несколько знакомых понятий, касающихся конических сечений. Центр по невырожденному коники может быть идентифицирован как полюс линии на бесконечности. Парабола, касающаяся бесконечно удаленной линии, имела бы центр в точке на бесконечно удаленной прямой. Гиперболы пересекают бесконечно удаленную линию в двух различных точках, и полярные линии этих точек являются асимптотами гиперболы и касательными линиями к гиперболе в этих бесконечно удаленных точках. Также полярная линия фокуса коники является соответствующей ей директрисой.

Пусть линия L полярной линия точки р по отношению к невырожденному коническому Q. По теореме Ла Гир, в каждой линии, проходящей через р имеет полюс на L. Если L пересекает Q в двух точек (максимум возможных), то поляры этих точек касательные, которые проходят через р и такую точка называются внешней или внешней точкой Q. Если L пересекает Q только в одной точке, то это касательная линия, а p - точка касания. Наконец, если L не пересекает Q, то точка p не имеет касательных, проходящих через нее, и она называется внутренней или внутренней точкой.

Уравнение касательной (в однородных координатах) в точке p невырожденной коники Q имеет вид

${\ displaystyle \ mathbf {p} ^ {T} A_ {Q} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} = 0.}$

Если p - внешняя точка, сначала найдите уравнение ее полярности (уравнение выше), а затем пересечения этой прямой с коникой, скажем, в точках s и t. Поляры s и t будут касательными через p.

Используя теорию полюсов и поляр, проблема нахождения четырех взаимных касательных двух коник сводится к нахождению пересечения двух коник.

• Коническое сечение # Общая декартова форма
• Квадратичная форма (статистика)

• АЙЮБ, А. Б. (1993), "Центральные конические сечения вновь", Математика Журнал, 66 (5): 322-325, DOI : 10,1080 / 0025570x.1993.11996157
• Браннан, Дэвид А.; Эсплен, Мэтью Ф.; Грей, Джереми Дж. (1999), геометрия, Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-59787-6
• Лоуренс, Дж. Деннис (1972), Каталог специальных плоских кривых, Дувр
• Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012), Геометрия по ее истории, Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-642-29163-0, ISBN   978-3-642-29163-0
• Петтофреццо, Энтони (1978) [1966], Матрицы и преобразования, Довер, ISBN   978-0-486-63634-4
• Испания, Барри (2007) [1957], Analytical Conics, Dover, ISBN.   978-0-486-45773-4