Геометрия Клейна

редактировать

однородного пространства X вместе с транзитивным действием на X группой Ли G, которая действует как группа симметрии геометрии

В математике, геометрия Клейна - это тип геометрии, мотивированный Феликсом Клейном в его влиятельном Эрлангене. программа. Более конкретно, это однородное пространство X вместе с транзитивным действием на X со стороны группы Ли G, которая действует как группа симметрии геометрии.

Историю и мотивацию см. В статье о программе Erlangen.

Содержание

1 Формальное определение
2 Описание связки
3 Типы геометрий Клейна
- 3.1 Эффективные геометрии
- 3.2 Геометрически ориентированные геометрии
- 3.3 Редуктивные геометрии
4 Примеры
5 Ссылки

Формальное определение

A Геометрия Клейна - это пара (G, H), где G - Группа Ли и H является замкнутой подгруппой Ли группы G, такой что (левое) пространство смежных классов G / H связно. Группа G называется главной группой геометрии, а G / H называется пространством геометрии (или, при злоупотреблении терминологией, просто геометрией Клейна). Пространство X = G / H геометрии Клейна - это гладкое многообразие размерности

dim X = dim G - dim H.

Существует естественное гладкое левое действие группы G на X, задаваемой

g. (a H) = (g a) H. {\ displaystyle g. (aH) = (ga) H.}

g. (aH) = (ga) H.

Очевидно, что это действие транзитивно (возьмем a = 1), так что можно тогда рассматривать X как однородное пространство для действие группы G. стабилизатор тождественного смежного класса H ∈ X - это в точности группа H.

Для любого связного гладкого многообразия X и гладкого транзитивного действия группы Ли G на X, мы можем построить ассоциированную геометрию Клейна (G, H), зафиксировав базовую точку x 0 в X и позволив H быть стабилизирующей подгруппой x 0 в G. Группа H обязательно замкнутая подгруппа группы G и X естественно диффеоморфна G / H.

Две геометрии Клейна (G 1, H 1) и (G 2, H 2): геометрически изоморфен, если существует изоморфизм групп Ли φ: G 1 → G 2, так что φ (H 1) = H 2. В частности, если φ является сопряжением элементом g ∈ G, мы видим, что (G, H) и (G, gHg) изоморфны. Тогда геометрия Клейна, ассоциированная с однородным пространством X, является единственной с точностью до изоморфизма (т.е. она не зависит от выбранной базовой точки x 0).

Описание связки

Для данной группы Ли G и замкнутой подгруппы H существует естественное правое действие группы H на G, заданное правым умножением. Это действие одновременно бесплатное и правильное. орбиты - это просто левые смежные классы группы H в G. Можно сделать вывод, что G имеет структуру гладкого главного H-расслоения над левым смежным пространством G / H:

H → G → G / H. {\ displaystyle H \ to G \ to G / H.}

H \ to G \ to G / H.

Типы геометрий Клейна

Эффективные геометрии

Действие G на X = G / H не обязательно должно быть эффективным. ядро геометрии Клейна определяется как ядро действия группы G на X. Оно задается формулой

K = {k ∈ G: g - 1 kg ∈ H ∀ g ∈ G }. {\ displaystyle K = \ {k \ in G: g ^ {- 1} kg \ in H \; \; \ forall g \ in G \}.}

K = \ {k \ in G: g ^ {{- 1}} кг \ in H \; \; \ forall g \ in G \}.

Ядро K также можно описать как ядро H в G (т. е. наибольшая подгруппа H, которая нормальна в G). Это группа, порожденная всеми нормальными подгруппами группы G, лежащими в H.

Геометрия Клейна называется эффективной, если K = 1 и локально эффективной если K дискретный. Если (G, H) - геометрия Клейна с ядром K, то (G / K, H / K) - эффективная геометрия Клейна, канонически связанная с (G, H).

Геометрически ориентированные геометрии

Геометрия Клейна (G, H) является геометрически ориентированной, если G соединен. (Это не означает, что G / H является ориентированным многообразием ). Если H связно, то G также связно (это потому, что G / H предполагается связным, а G → G / H - это расслоение ).

Для любой геометрии Клейна (G, H) существует геометрически ориентированная геометрия, канонически связанная с (G, H) с тем же базовым пространством G / H. Это геометрия (G 0, G 0 ∩ H), где G 0 - это компонент идентичности группы G. Обратите внимание, что G = G 0 H.

Редуктивные геометрии

Геометрия Клейна (G, H) называется редуктивной, а G / H - редуктивным однородным пространством, если Алгебра Ли $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h}}$ H имеет H-инвариантное дополнение в $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g} }}$ ${\ mathfrak {g}}$ .

Примеры

В следующей таблице представлено описание классических геометрий, смоделированных как геометрии Клейна.

	Базовое пространство	Группа преобразований G	Подгруппа H	Инварианты
Проективная геометрия	Реальное проективное пространство $RP n {\ displaystyle \ mathbb {R} \ mathrm { P} ^ {n}}$ ${\ mathbb {R}} {\ mathrm {P}} ^ {n}$	Проективная группа $PGL (n + 1) {\ displaystyle \ mathrm {PGL} (n + 1)}$ ${\ mathrm {PGL}} (n + 1)$	Подгруппа $P {\ displaystyle P}$ $P$ исправление флага ${0} ⊂ V 1 ⊂ V n {\ displaystyle \ {0 \} \ subset V_ {1} \ subset V_ {n}}$ $\ {0 \} \ subset V_ {1} \ subset V_ {n}$	Проективные линии, поперечное отношение
Конформная геометрия на сфере	Сфера $S n {\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ {n}$	Группа Лоренца из $(n + 2) {\ displaystyle (n + 2)}$ $(n + 2)$ -мерное пространство $O (n + 1, 1) {\ displaystyle \ mathrm { O} (n + 1,1)}$ ${\ mathrm {O}} (n + 1,1)$	Подгруппа $P {\ displaystyle P}$ $P$ , фиксирующая строку в нулевом конусе метрика Минковского	Обобщенные окружности, углы
Гиперболическая геометрия	Гиперболическое пространство $H (n) {\ displaystyle H (n)}$ $H (n)$ , смоделировано, например как временные линии в пространстве Минковского $R 1, n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1, n}}$ $\ mathbb {R} ^ {{1, n}}$	Ортохронная группа Лоренца $O (1, N) / О (1) {\ Displaystyle \ mathrm {O} (1, n) / \ mathrm {O} (1)}$ ${\ mathrm {O}} (1, n) / {\ mathrm {O}} (1)$	$O (1) × O (n) {\ Displaystyle \ mathrm {O} (1) \ times \ mathrm {O} (n)}$ ${\ mathrm {O}} (1) \ times {\ mathrm {O}} (n)$	Линии, окружности, расстояния, углы
Эллиптическая геометрия	Эллиптическое пространство, смоделированное, например, как линии, проходящие через начало координат в евклидовом пространстве $R n + 1 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ $\ mathbb {R} ^ {n + 1}$	$O (n + 1) / O (1) {\ displaystyle \ mathrm {O} (n + 1) / \ mathrm {O} (1)}$ ${\ mathrm {O}} (n + 1) / {\ mathrm {O}} (1)$	$O (n) / O (1) {\ displaystyle \ mathrm {O} (n) / \ mathrm {O} (1)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {O} (n) / \ mathrm {O} (1)}$	Линии, окружности, расстояния, углы
Сферическая геометрия	Сфера $S n {\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ {n}$	Ортогональная группа $О (n + 1) {\ displaystyle \ mathrm {O} (n + 1)}$ ${\ mathrm {O}} (n + 1)$	Ортогональная группа $O (n) {\ displaystyle \ mathrm {O} (n)}$ $\ mathrm {O} (n)$	Линии ( большие круги), круги, расстояния между точками, углы
Аффинная геометрия	Аффинное пространство $A (n) ≃ R n {\ displaystyle A (n) \ simeq \ mathbb {R} ^ { n}}$ $A (n) \ simeq \ mathbb {R} ^ {n}$	Аффинная группа $A ff (n) ≃ R n ⋊ GL (n) {\ displaystyle \ mathrm {Aff} (n) \ simeq \ mathbb {R} ^ {n} \ rtimes \ mathrm {GL} (n)}$ ${\ mathrm {Aff}} (n) \ simeq \ mathbb {R } ^ {n} \ rtimes {\ mathrm {GL}} (n)$	Общая линейная группа $GL (n) {\ displaystyle \ mathrm {GL} (n)}$ ${\ mathrm {GL}} (n)$	Линии, частное от площадей поверхностей геометрических фигур, центр масс из треугольников
евклидова GE метрия	Евклидово пространство $E (n) {\ displaystyle E (n)}$ $E (n)$	Евклидова группа $E uc (n) ≃ R n ⋊ O (n) {\ displaystyle \ mathrm {Euc} (n) \ simeq \ mathbb {R} ^ {n} \ rtimes \ mathrm {O} (n)}$ ${\ mathrm {Euc}} (n) \ simeq \ mathbb {R} ^ {n} \ rtimes {\ mathrm {O}} (n)$	Ортогональная группа $O (n) {\ displaystyle \ mathrm {O} (n)}$ $\ mathrm {O} (n)$	Расстояния точек, углы векторов, площади