Специальный прямоугольный треугольник

редактировать

прямоугольный треугольник с функцией, выполняющей вычисления на треугольник проще

Положение некоторых специальных треугольников на диаграмме Эйлера типов треугольников, используя определение, что равнобедренные треугольники имеют по крайней мере две равные стороны, т.е. равносторонние треугольники равнобедренные.

A специальный прямоугольный треугольник - это прямоугольный треугольник с некоторой регулярной функцией, которая упрощает вычисления в треугольнике или для которого существуют простые формулы. Например, прямоугольный треугольник может иметь углы, образующие простые соотношения, например 45 ° –45 ° –90 °. Это называется прямоугольным треугольником, основанным на углах. Прямоугольный треугольник со «основанием по бокам» - это треугольник, в котором длины сторон образуют отношение целых чисел, например 3: 4: 5, или других специальных чисел, таких как золотое сечение.. Знание соотношений углов или соотношений сторон этих специальных прямоугольных треугольников позволяет быстро вычислять различные длины в геометрических задачах, не прибегая к более продвинутым методам.

Содержание

1 По углу
- 1.1 Треугольник 45 ° –45 ° –90 °
- 1.2 Треугольник 30 ° –60 ° –90 °
2 По бокам
- 2.1 Обычный пифагорейский тройки
- 2.2 Почти равнобедренные тройки Пифагора
- 2.3 Арифметические и геометрические прогрессии
- 2.4 Стороны правильных многоугольников
3 См. также
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Угловые

Специальные угловые треугольники, вписанные в единичный круг, удобны для визуализации и запоминания тригонометрических функций кратных 30 и 45 градусов.

Специальные прямоугольные треугольники, основанные на углах, задаются соотношениями углов, из которых состоит треугольник. Углы этих треугольников таковы, что больший (прямой) угол, составляющий 90 градусов или π / 2 радиан, равен сумме двух других углов.

Длины сторон обычно выводятся на основе единичной окружности или других геометрических методов. Этот подход может использоваться для быстрого воспроизведения значений тригонометрических функций для углов 30 °, 45 ° и 60 °.

Для помощи в вычислении общих тригонометрических функций используются специальные треугольники, как показано ниже:

градусы	радианы	углы	повороты	sin	cos	tan	котан
0°	0	0	0	√0 / 2 = 0	√4 / 2 = 1	0	undefined
30 °	π/6	33+ 1/3	1/12	√1 / 2 = 1/2	√3 / 2	1 / √3	√3
45 °	π/4	50	1/8	√2 / 2 = 1 / √2	√2 / 2 = 1 / √2	1	1
60 °	π / 3	66 + 2/3	1/6	√3 / 2	√1 / 2 = 1/2	√3	1 / √3
90 °	π/2	100	1/4	√4 / 2 = 1	√0 / 2 = 0	undefined	0

45 ° –45 ° –90 °

30 ° –60 ° - 90 °

Треугольник 45 ° –45 ° –90 °, треугольник 30 ° –60 ° –90 ° и равносторонний / равносторонний (60 ° –60 ° –60 °) треугольник - это три Мёбиуса треугольники на плоскости, означающие, что они разбивают плоскость мозаикой за счет отражений в их сторонах; см. Группа треугольников.

Треугольник 45 ° –45 ° –90 °

Установить квадрат

Длины сторон треугольника 45 ° –45 ° –90 °

Построение диагонали в плоской геометрии квадрата дает треугольник, три угла которого находятся в соотношении 1: 1: 2, что в сумме дает 180 ° или π радиан. Следовательно, углы составляют соответственно 45 ° (π / 4), 45 ° (π / 4) и 90 ° (π / 2). Стороны этого треугольника находятся в соотношении 1: 1: √2, что непосредственно следует из теоремы Пифагора.

Из всех прямоугольных треугольников треугольник 45 ° –45 ° –90 ° имеет наименьшее отношение гипотенуза к сумме катетов, а именно √2 / 2. и наибольшее отношение высоты от гипотенузы к сумме катетов, а именно √2 / 4.

Треугольники с этими углами - единственные возможные прямоугольные треугольники, которые также являются равнобедренными треугольниками в евклидовой геометрии. Однако в сферической геометрии и гиперболической геометрии существует бесконечно много различных форм прямоугольных равнобедренных треугольников.

треугольник 30 ° –60 ° –90 °

Установить квадрат

Длины сторон треугольника 30 ° –60 ° –90 °

Это треугольник, три угла которого лежат в соотношение 1: 2: 3 и соответственно измеряют 30 ° (π / 6), 60 ° (π / 3) и 90 ° (π / 2). Стороны находятся в соотношении 1: √3 : 2.

Доказательство этого факта ясно с помощью тригонометрии. геометрическое доказательство:

Нарисуйте равносторонний треугольник ABC с длиной стороны 2 и точкой D в качестве середины отрезка BC. Проведите высотную линию от A до D. Тогда ABD представляет собой треугольник 30 ° –60 ° –90 ° с гипотенузой длины 2 и основанием BD длиной 1.

Тот факт, что оставшийся отрезок AD имеет длину √3 непосредственно следует из теоремы Пифагора.

Треугольник 30 ° –60 ° –90 ° - единственный прямоугольный треугольник, углы которого находятся в арифметической прогрессии. Доказательство этого факта простое и следует из того факта, что если α, α + δ, α + 2δ - углы в прогрессии, то сумма углов 3α + 3δ = 180 °. После деления на 3 угол α + δ должен составлять 60 °. Прямой угол равен 90 °, а оставшийся угол равен 30 °.

Расположенные по бокам

Правые треугольники со сторонами целочисленной длины, вместе со сторонами, известными как пифагоровы тройки, имеют углы, которые не могут все быть рациональными числами из градусов. (Это следует из теоремы Нивена.) Они наиболее полезны в том смысле, что их легко запомнить, и любое кратное сторон создает такое же отношение. Используя формулу Евклида для генерации троек Пифагора, стороны должны быть в соотношении

m - n: 2mn: m + n

, где m и n - любые положительные целые числа такие, что m>n.

Общие пифагорейские тройки

Есть несколько хорошо известных пифагоровых троек, в том числе со сторонами в соотношениях:

3:	4	: 5
5:	12	: 13
8:	15	: 17
7:	24	: 25
9:	40	: 41

Треугольники 3: 4: 5 - единственные прямоугольные треугольники с ребрами в арифметической прогрессии. Треугольники, основанные на тройках Пифагора, - это Герона, что означает, что они имеют целую площадь, а также целые стороны.

Возможное использование треугольника 3: 4: 5 в Древнем Египте с предполагаемым использованием веревки с узлами для построения такого треугольника и вопрос о том, верна ли теорема Пифагора известные в то время, были много споров. Впервые это предположение было высказано историком Морицем Кантором в 1882 году. Известно, что прямые углы были выложены точно в Древнем Египте; что их геодезисты использовали веревки для измерений; что Плутарх записал в Исиде и Осирисе (около 100 г. н.э.), что египтяне восхищались треугольником 3: 4: 5; и что в Берлинском папирусе 6619 из Среднего царства Египта (до 1700 г. до н.э.) говорится, что «площадь квадрата 100 равна площади двух меньших квадратов. Сторона одного - ½ + ¼ сторона другого ». Историк математики Роджер Л. Кук отмечает: «Трудно представить, чтобы кто-то интересовался такими условиями, не зная теоремы Пифагора». В противовес этому Кук отмечает, что ни в одном египетском тексте до 300 г. до н.э. на самом деле не упоминается использование теоремы для определения длины сторон треугольника, и что существуют более простые способы построить прямой угол. Кук приходит к выводу, что гипотеза Кантора остается неопределенной: он предполагает, что древние египтяне, вероятно, знали теорему Пифагора, но что «нет никаких доказательств того, что они использовали ее для построения прямых углов».

Все нижеизложенное является пифагорейским. тройные отношения, выраженные в наименьшей форме (помимо пяти наименьших в наименьшей форме в списке выше) с обеими негипотенузными сторонами меньше 256:

11:	60	: 61
12:	35	: 37
13:	84	: 85
15:	112	: 113
16:	63	: 65
17:	144	: 145
19:	180	: 181
20:	21	: 29
20:	99	: 101
21:	220	: 221

24:	143	: 145
28:	45	: 53
28:	195	: 197
32:	255	: 257
33:	56	: 65
36:	77	: 85
39:	80	: 89
44:	117	: 125
48:	55	: 73
51:	140	: 149

52:	165	: 173
57:	176	: 185
60:	91	: 1 09
60:	221	: 229
65:	72	: 97
84:	187	: 205
85:	132	: 157
88:	105	: 137
95:	168	: 193
96:	247	: 265

104:	153	: 185
105:	208	: 233
115:	252	: 277
119:	120	: 169
120:	209	: 241
133:	156	: 205
140:	171	: 221
160:	231	: 281
161:	240	: 289
204:	253	: 325
207:	224	: 305

Почти равнобедренные тройки Пифагора

Равнобедренные прямоугольные треугольники не могут иметь стороны с целыми числами, потому что отношение гипотенузы к любой другой стороне равно √2, но √2 не может быть выражено как отношение двух целых чисел. Однако существует бесконечно много почти равнобедренных прямоугольных треугольников. Это прямоугольные треугольники с целыми сторонами, для которых длины ребер без гипотенузы отличаются на единицу. Такие почти равнобедренные прямоугольные треугольники можно получить рекурсивно,

a0= 1, b 0 = 2

an= 2b n − 1 + a n− 1

bn= 2a n + 5b n − 1

an- длина гипотенузы, n = 1, 2, 3,.... Эквивалентно,

(x - 1 2) 2 + (Икс + 1 2) 2 = Y 2 {\ Displaystyle ({\ tfrac {x-1} {2}}) ^ {2} + ({\ tfrac {x + 1} {2}}) ^ {2} = y ^ {2}}

({\ tfrac {x-1} {2}}) ^ {2} + ({\ tfrac {x + 1} { 2}}) ^ {2} = y ^ {2}

где {x, y} - решения уравнения Пелла x - 2y = −1, где гипотенуза y - нечетные члены Числа Пелла 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378... (последовательность A000129 в OEIS ).. Наименьшие результирующие тройки Пифагора:

3:	4	: 5
20:	21	: 29
119:	120	: 169
696:	697	: 985
4,059:	4,060	: 5,741
23,660:	23,661	: 33,461
137,903:	137,904	: 195,025
803,760:	803,761	: 1,136,689
4,684,659:	4,684,660	: 6,625,109

В качестве альтернативы те же треугольники могут быть получены из квадратных треугольных чисел.

Арифметические и геометрические прогрессии

A Треугольник Кеплера - прямоугольный треугольник, образованный тремя квадратами с областями в геометрической прогрессии в соответствии с золотым сечением.

Треугольник Кеплера - это прямоугольный треугольник, стороны которого находятся в геометрической прогрессии. Если стороны образованы геометрической прогрессией a, ar, ar, то его общее отношение r равно r = √φ, где φ - золотое сечение. Следовательно, его стороны находятся в соотношении 1: √φ: φ. Таким образом, форма треугольника Кеплера однозначно определяется (с точностью до масштабного коэффициента) требованием, чтобы его стороны находились в геометрической прогрессии.

Треугольник 3–4–5 - это единственный прямоугольный треугольник (с точностью до масштабирования), стороны которого находятся в арифметической прогрессии.

Стороны правильных многоугольников

Стороны пятиугольника, шестиугольника, и десятиугольник, вписанный в конгруэнтные окружности, образуют прямоугольный треугольник

. Пусть a = 2 sin π / 10 = −1 + √5 / 2 = 1 / φ - длина стороны правильного десятиугольник вписанный в единичный круг, где φ - золотое сечение. Пусть b = 2 sin π / 6 = 1 - длина стороны правильного шестиугольника в единичной окружности, и пусть c = 2 sin π / 5 = $5-5 2 {\ displaystyle { \ sqrt {\ tfrac {5 - {\ sqrt {5}}} {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {5 - {\ sqrt {5}}} {2}}}}$ - длина стороны правильного пятиугольника в единичной окружности. Тогда a + b = c, поэтому эти три длины образуют стороны прямоугольного треугольника. Тот же треугольник образует половину золотого прямоугольника. Его также можно найти внутри правильного икосаэдра со стороной c: самый короткий отрезок прямой от любой вершины V до плоскости его пяти соседей имеет длину a, а концы этого отрезка прямой вместе с любым из соседи V образуют вершины прямоугольного треугольника со сторонами a, b и c.

См. также

Ссылки

^ Позаментьер, Альфред С.., и Леман, Ингмар. Тайны треугольников. Книги Прометея, 2012.
^Вайсштейн, Эрик У. «Рациональный треугольник». MathWorld.
^ Кук, Роджер Л. (2011). История математики: Краткий курс (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. С. 237–238. ISBN 978-1-118-03024-0.
^Гиллингс, Ричард Дж. (1982). Математика во времена фараонов. Дувр. п. 161.
^Забудьте, Т. У.; Ларкин, Т.А. (1968), «Пифагоровы триады формы x, x + 1, z, описываемые рекуррентными последовательностями» (PDF), Fibonacci Quarterly, 6 (3): 94 –104.
^Чен, СС; Пэн, Т.А. (1995), «Почти равнобедренные прямоугольные треугольники» (PDF), Австралазийский журнал комбинаторики, 11 : 263–267, MR 1327342.
^(последовательность A001652 в OEIS )
^Nyblom, MA (1998), «Примечание о наборе почти равнобедренных прямоугольных треугольников» (PDF), The Fibonacci Quarterly, 36 (4): 319–322, MR 1640364.
^Борегар, Раймонд А.; Сурьянараян, ER (1997), «Арифметические треугольники», Mathematics Magazine, 70(2): 105–115, doi : 10.2307 / 2691431, MR 1448883.
^Элементы Евклида, Книга XIII, Предложение 10.
^nLab: пятиугольник, декагон, шестиугольник, идентичность.

Внешние ссылки

3: 4: 5 треугольник
30–60–90 треугольник
45–45–90 треугольник - с интерактивной анимацией