Треугольник Герона

В геометрии треугольник Герона является треугольником с длинами сторон и областью, которые все являются целыми числами. Геронские треугольники названы в честь героя Александрии. Этот термин иногда применяется более широко к треугольникам, все стороны и площадь которых являются рациональными числами, поскольку можно изменить масштаб сторон на общее кратное, чтобы получить треугольник, который является треугольником Герона в указанном выше смысле.

• 1 Свойства
• 2 Точная формула для всех треугольников Герона
  • 2.1 Второй подход
• 3 Примеры
• 4 Равносторонние треугольники
• 5 Почти равносторонние треугольники Герона
• 6 См. также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Любой прямоугольный треугольник, стороны которого равны тройке Пифагора, является треугольником Герона, как и длины сторон таких треугольник - это целые числа, и его площадь также является целым числом, равным половине произведения двух более коротких сторон треугольника, по крайней мере одна из которых должна быть четной.

Треугольник со сторонами c, e и b + d и высотой a.

Примером непрямоугольного треугольника Герона является равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5, и 6, площадь которого равна 12. Этот треугольник получается путем соединения двух копий прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5 по сторонам длины 4. Этот подход в целом работает, как показано на рисунке рядом. Один берет тройку Пифагора (a, b, c), где c является наибольшим, затем другой (a, d, e), где e является наибольшим, строит треугольники с этими длинами сторон и соединяет их вместе по сторонам длины. a, чтобы получить треугольник с целыми длинами сторон c, e и b + d и площадью

$A\; =\; 1\; 2\; (b\; +\; d)\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (b\; +\; d)\; a\}$(половина основания, умноженная на высоту).

Если a четно, то площадь A является целым числом. Менее очевидно то, что если a нечетное, то A по-прежнему является целым числом, так как b и d оба должны быть четными, что делает b + d четным.

Некоторые треугольники Герона не могут быть получены путем соединения вместе двух прямоугольных треугольников с целыми сторонами, как описано выше. Например, треугольник Герона 5, 29, 30 с площадью 72 не может быть построен из двух целочисленных треугольников Пифагора, поскольку ни одна из его высот не является целым числом. Также никакой примитивный треугольник Пифагора не может быть построен из двух меньших целочисленных треугольников Пифагора. Такие треугольники Герона известны как неразложимые . Однако, если разрешить пифагоровы тройки с рациональными значениями, не обязательно целыми числами, тогда всегда существует разложение на прямоугольные треугольники с рациональными сторонами, потому что каждая высота треугольника Герона рациональна (поскольку она равна удвоенной площади целого числа, деленной на основание целого числа). Таким образом, треугольник Герона со сторонами 5, 29, 30 может быть построен из рациональных треугольников Пифагора со сторонами 7/5, 24/5, 5 и 143/5, 24/5, 29. Обратите внимание, что тройка Пифагора с рациональными значениями просто масштабированная версия тройки с целыми значениями.

Другие свойства треугольников Герона следующие:

• Периметр треугольника Герона всегда является четным числом. Таким образом, каждый треугольник Герона имеет нечетное число сторон четной длины, и каждый примитивный треугольник Герона имеет ровно одну четную сторону.
• Полупериметр s треугольника Герона со сторонами a, b и c не может быть простым. Это видно из того факта, что s (s − a) (s − b) (s − c) должен быть полным квадратом, и если s - простое число, то один из других членов должен иметь множитель s, но это невозможно, поскольку все эти члены меньше s.
• Площадь треугольника Герона всегда делится на 6.
• Все высоты треугольника Герона рациональны. Это видно из того факта, что площадь треугольника составляет половину одной стороны, умноженной на высоту с этой стороны, а треугольник Герона имеет целые стороны и площадь. Некоторые треугольники Герона имеют три нецелочисленных высоты, например острый (15, 34, 35) с площадью 252 и тупой (5, 29, 30) с площадью 72. Любой треугольник Герона с одной или несколькими нецелыми высотами может можно увеличить на коэффициент, равный наименьшему общему кратному знаменателей высот, чтобы получить аналогичный треугольник Герона с тремя целыми высотами.
• Треугольники Герона, не имеющие целой высоты (неразложимые и непифагоровы) имеют стороны, которые делятся на простые числа вида 4k + 1. Однако у разложимых треугольников Герона должны быть две стороны, которые являются гипотенузами треугольников Пифагора. Следовательно, все треугольники Герона, не являющиеся пифагоровыми, имеют по крайней мере две стороны, которые делятся на простые числа вида 4k + 1. Остались только треугольники Пифагора. Следовательно, у всех треугольников Герона есть хотя бы одна сторона, которая делится на простые числа вида 4k + 1. Наконец, если треугольник Герона имеет только одну сторону, делящуюся на простые числа вида 4k + 1, он должен быть пифагоровым со стороной в качестве гипотенузы, а гипотенуза должна быть делимой на 5.
• Все внутренние перпендикуляры Биссектрисы треугольника Герона рациональны: для любого треугольника они задаются следующим образом: $pa\; =\; 2\; a\; A\; a\; 2\; +\; b\; 2\; -\; c\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{2aA\}\; \{\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; -c\; ^\; \{2\}\}\},\}$$pb\; =\; 2\; b\; A\; a\; 2\; +\; b\; 2\; -\; c\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{b\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{\; 2bA\}\; \{a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; -c\; ^\; \{2\}\}\},\}$и $pc\; =\; 2\; c\; A\; a\; 2\; -\; b\; 2\; +\; c\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{c\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{2cA\}\; \{a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\}\}\},\}$где стороны имеют вид a ≥ b ≥ c и площадь - А; в треугольнике Герона все a, b, c и A являются целыми числами.
• Не бывает равносторонних треугольников Герона.
• Нет треугольников Герона с длиной стороны 1 или 2.
• Существует бесконечное количество примитивных треугольников Герона с длиной одной стороны, равной a, при условии, что a>2.
• Не существует треугольников Герона, стороны которых образуют геометрическую прогрессию..
• Если любые две стороны (но не три) треугольника Герона имеют общий множитель, этот множитель должен быть суммой двух квадратов.
• Каждый угол треугольника Герона имеет рациональный синус. Это следует из формулы площади Area = (1/2) ab sin C, в которой площадь и стороны a и b являются целыми числами, и, что эквивалентно, для других углов.
• Каждый угол треугольника Герона имеет рациональный косинус. Это следует из закона косинусов, c = a + b - 2ab cos C, в котором стороны a, b и c являются целыми числами, и, что эквивалентно, для других углов.
• Поскольку все треугольники Герона имеют рациональные синусы и косинусы углов, это означает, что каждый наклонный угол треугольника Герона имеет рациональную касательную, котангенс, секанс и косеканс. Кроме того, половина каждого угла имеет рациональную касательную, потому что tan C / 2 = sin C / (1 + cos C), и, что эквивалентно, для других углов.
• Не существует треугольников Герона, три внутренних угла которых образуют арифметическое прогрессия. Это связано с тем, что все плоские треугольники с углами в арифметической прогрессии должны иметь один угол 60 °, который не имеет рационального синуса.
• Любой квадрат, вписанный в треугольник Герона, имеет рациональные стороны: для общего треугольника вписанный квадрат на стороне длины a имеет длину $2\; A\; aa\; 2\; +\; 2\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{2Aa\}\; \{a\; ^\; \{2\}\; +\; 2A\}\}\}$где A - площадь треугольника; в треугольнике Герона как A, так и a являются целыми числами.
• Каждый треугольник Герона имеет рациональный inradius (радиус вписанной окружности): для общего треугольника inradius - это отношение площадь до половины периметра, и оба из них рациональны в треугольнике Герона.
• Каждый треугольник Герона имеет рациональный описанный радиус (радиус его описанной окружности): для общего треугольника радиус описанной окружности равен одной четвертой произведению сторон, разделенных на площадь; в треугольнике Герона стороны и площадь являются целыми числами.
• В треугольнике Герона расстояние от центроида до каждой стороны является рациональным, поскольку для всех треугольников это расстояние равно удвоенному отношению площадь в три раза больше длины стороны. Это можно обобщить, заявив, что все центры, связанные с треугольниками Герона, барицентрические координаты которых являются рациональными соотношениями, имеют рациональное расстояние до каждой стороны. Эти центры включают в себя центр окружности, ортоцентр, центр по девяти точкам, симедианную точку, точку Жергонна и Точка Нагеля.
• Все треугольники Герона могут быть помещены в решетку с каждой вершиной в точке решетки.

Индийский математик Брахмагупта ( 598–668 нашей эры) получил параметрическое решение, такое что каждый треугольник Герона имеет стороны, пропорциональные:

$a\; =\; n\; (m\; 2\; +\; k\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; n\; (m\; ^\; \{2\}\; +\; k\; ^\; \{2\})\}$

$b\; =\; m\; (n\; 2\; +\; k\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; m\; (n\; ^\; \{2\}\; +\; k\; ^\; \{2\})\}$

$c\; =\; (m\; +\; n)\; (mn\; -\; k\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; (m\; +\; n)\; (mn-k\; ^\; \{2\})\}$

$Полупериметр\; =\; s\; =\; (a\; +\; b\; +\; c)\; /\; 2\; =\; mn\; (m\; +\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Полупериметр\}\}\; =\; s\; =\; (a\; +\; b\; +\; c)\; /\; 2\; =\; mn\; (m\; +\; n)\}$

$Площадь\; =\; mnk\; (m\; +\; n)\; (mn\; -\; k\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Area\}\; \}\; =\; mnk\; (m\; +\; n)\; (mn-k\; ^\; \{2\})\}$

$Inradius\; =\; k\; (mn\; -\; k\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Inradius\}\}\; =\; k\; (mn-k\; ^\; \{2\}))\}$

$s\; -\; a\; =\; n\; (mn\; -\; k\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; sa\; =\; n\; (mn-k\; ^\; \{2\})\}$

$s\; -\; b\; знак\; равно\; m\; (mn\; -\; k\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; sb\; =\; m\; (mn-k\; ^\; \{2\})\}$

$s\; -\; c\; =\; (m\; +\; n)\; k\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; sc\; =\; (\; m\; +\; n)\; k\; ^\; \{2\}\}$

для целых чисел m, n и k, где:

$gcd\; (m,\; n,\; k)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gcd\; \{(m,\; n,\; k)\}\; =\; 1\}$

$mn>k\; 2\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; mn>k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; geq\; 1\}$

$m\; \ge \; n\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; geq\; n\; \backslash \; geq\; 1\}$.

Коэффициент пропорциональности обычно является рациональным ⁄ q, где q = gcd (a, b, c) уменьшает сгенерированный треугольник Герона до его примитива, а p увеличивает этот примитив до необходимого размера. Например, если взять m = 36, n = 4 и k = 3, получится треугольник с a = 5220, b = 900 и c = 5400, который похож на треугольник Герона 5, 29, 30, а используемый коэффициент пропорциональности имеет p = 1 и q = 180.

Препятствием для вычислительного использования параметрического решения Брахмагупты является знаменатель q коэффициента пропорциональности. q можно определить только путем вычисления наибольшего общего делителя трех сторон (gcd (a, b, c)) и вносит элемент непредсказуемости в процесс генерации. Самый простой способ создания списков треугольников Герона - это создать все целочисленные треугольники с максимальной длиной стороны и проверить целую площадь.

Более быстрые алгоритмы были получены Курцем (2008).

Существует бесконечно много примитивных и неразложимых непифагорейских треугольников Герона с целыми значениями для радиуса и всех трех exradii, включая те, которые генерируются

$a\; =\; 25\; n\; 2\; +\; 5\; n\; -\; 5\; =\; 5\; (5\; n\; 2\; +\; n\; -\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; 25n\; ^\; \{2\}\; +\; 5n-5\; =\; 5\; (5n\; ^\; \{2\}\; +\; n-1),\}$

$b\; =\; 25\; n\; 3–5\; n\; 2–7\; n\; +\; 3\; =\; (5\; n\; +\; 3)\; (5\; n\; 2–4\; n\; +\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; 25n\; ^\; \{3\}\; -5n\; ^\; \{2\}\; -7n\; +\; 3\; =\; (5n\; +\; 3)\; (5n\; ^\; \{2\}\; -4n\; +\; 1),\}$

$c\; =\; 25\; n\; 3\; +\; 20\; n\; 2\; -\; 2\; n\; -\; 4\; =\; (5\; n\; -\; 2)\; (5\; n\; 2\; +\; 6\; n\; +\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; 25n\; ^\; \{3\}\; +\; 20n\; ^\; \{2\}\; -2n-4\; =\; (5n\; -2)\; (5n\; ^\; \{2\}\; +\; 6n\; +\; 2),\}$

$A\; =\; (5\; n\; -\; 2)\; (5\; n\; +\; 3)\; (5\; n\; 2\; +\; n\; -\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; (5n\; -2)\; (5n\; +\; 3)\; (5n\; ^\; \{2\}\; +\; n-1),\}$

$r\; =\; 5\; n\; -\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 5n-2,\}$

$ra\; =\; 5\; n\; +\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{a\}\; =\; 5n\; +\; 3,\}$

$rb\; =\; 5\; n\; 2\; +\; n\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{b\}\; =\; 5n\; ^\; \{2\}\; +\; n-1,\}$

$rc\; =\; A\; =\; (5\; n\; -\; 2)\; (5\; n\; +\; 3)\; (5\; n\; 2\; +\; n\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{c\}\; =\; A\; =\; (5n-2)\; (5n\; +\; 3)\; (5n\; ^\; \{2\}\; +\; n-1).\}$

Существует бесконечно много треугольников Герона, которые можно разместить на решетке, например что не только вершины находятся в узлах решетки, как это имеет место для всех треугольников Герона, но, кроме того, центры вписанной и вневписанной окружностей находятся в точках решетки.

См. также формулы для треугольников Герона с одним углом, равным к удвоению еще одного, треугольников Герона со сторонами в арифметической прогрессии и равнобедренных треугольников Герона.

Второй подход

Треугольник с обозначенными длинами сторон и внутренними углами. Заглавные A, B и C - это углы, а строчные буквы a, b и c - противоположные им стороны.

Касательная к половине любого внутреннего угла треугольника Герона обязательно рациональна; см. свойства выше. Эти половинные углы положительны, и их сумма составляет 90 ° (π / 2 радиан), потому что внутренние углы (A, B, C) в сумме равны 180 ° (π радиан). Начнем с выбора r = tan (A / 2) и s = tan (B / 2) в качестве любых положительных рациональных чисел, удовлетворяющих rs < 1. The limit of 1 ensures that angle A/2 + B/2 is less than 90° and thus the angle C/2 will be positive. The value t = tan(C/2) will also be a positive rational number because

$t\; =\; tan\; \; (C\; /\; 2)\; =\; cot\; \; (90\; \circ \; -\; C\; /\; 2)\; =\; детская\; кроватка\; \; (A\; /\; 2\; +\; B\; /\; 2)\; =\; 1\; -\; загар\; \; (A\; /\; 2)\; загар\; \; (B\; /\; 2)\; загар\; \; (A\; /\; 2)\; +\; загар\; \; (B\; /\; 2)\; =\; 1\; -\; rsr\; +\; с.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; \backslash \; tan\; (C\; /\; 2)\; =\; \backslash \; cot\; (90\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; -C\; /\; 2)\; =\; \backslash \; cot\; (A\; /\; 2\; +\; B\; /\; 2)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-\; \backslash \; tan\; (A\; /\; 2)\; \backslash \; tan\; (B\; /\; 2)\}\; \{\backslash \; tan\; (A\; /\; 2)\; +\; \backslash \; tan\; (B\; /\; 2)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-rs\}\; \{r\; +\; s\}\}\; \backslash ,.\}$

Мы можем вычислить синус любого угла по формуле $sin\; \; \theta \; =\; 2\; tan\; \; (\theta \; /\; 2)\; 1\; +\; tan\; 2\; \; (\theta \; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; tan\; (\backslash \; theta\; /\; 2)\}\; \{1+\; \backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; theta\; /\; 2)\}\}\}$. Мы используем Закон синусов, чтобы заключить, что длины сторон пропорциональны синусам внутренних углов:

$(a,\; b,\; c)\; \propto \; (2\; r\; 1\; +\; r\; 2,\; 2\; s\; 1\; +\; s\; 2,\; 2\; t\; 1\; +\; t\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; b,\; c)\; \backslash \; propto\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2r\}\; \{1\; +\; r\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2s\}\; \{1\; +\; s\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\; \backslash \; frac\; \{2t\}\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right).\}$

Значения a, b и c рациональны, потому что значения r, s и t рациональны. Целочисленные значения для длин сторон могут быть получены путем умножения длин сторон на целое число, которое очищает знаменатели.

Когда также бывает, что r, s или t равны 1, тогда соответствующий внутренний угол будет прямым углом, и три стороны также будут определять тройку Пифагора..

Список примитивных целочисленных треугольников Герона, отсортированных по площади и, если это то же самое, по периметру , начинается, как в следующей таблице. «Примитив» означает, что наибольший общий делитель трех длин сторон равен 1.

Площадь	Периметр	длина стороны b + d	длина стороны e	длина стороны c
6	12	5	4	3
12	16	6	5	5
12	18	8	5	5
24	32	15	13	4
30	30	13	12	5
36	36	17	10	9
36	54	26	25	3
42	42	20	15	7
60	36	13	13	10
60	40	17	15	8
60	50	24	13	13
60	60	29	25	6
66	44	20	13	11
72	64	30	29	5
84	42	15	14	13
84	48	21	17	10
84	56	25	24	7
84	72	35	29	8
90	54	25	17	12
90	108	53	51	4
114	76	37	20	19
120	50	17	17	16
120	64	30	17	17
120	80	39	25	16
126	54	21	20	13
126	84	41	28	15
126	108	52	51	5
132	66	30	25	11
156	78	37	26	15
156	104	51	40	13
168	64	25	25	14
168	84	39	35	10
168	98	48	25	25
180	80	37	30	13
180	90	41	40	9
198	132	65	55	12
204	68	26	25	17
210	70	29	21	20
210	70	28	25	17
210	84	39	28	17
210	84	37	35	12
210	140	68	65	7
210	300	149	148	3
216	162	80	73	9
234	108	52	41	15
240	90	40	37	13
252	84	35	34	15
252	98	45	40	13
252	144	70	65	9
264	96	44	37	15
264	132	65	34	33
270	108	52	29	27
288	162	80	65	17
300	150	74	51	25
300	250	123	122	5
306	108	51	37	20
330	100	44	39	17
330	110	52	33	25
330	132	61	60	11
330	220	109	100	11
336	98	41	40	17
336	112	53	35	24
336	128	61	52	15
336	392	195	193	4
360	90	36	29	25
360	100	41	41	18
360	162	80	41	41
390	156	75	68	13
396	176	87	55	34
396	198	97	90	11
396	242	120	109	13

Списки примитивных треугольников Герона, стороны которых не превышают 6 000 000 банок. можно найти в «Списки примитивных треугольников Герона». Саша Курц, Байройтский университет, Германия. Проверено 29 марта 2016 г.

Фигура называется equable, если ее площадь равна периметру. Ровных треугольников Герона ровно пять: с длинами сторон (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) и (9,10, 17).

Поскольку площадь равностороннего треугольника с рациональными сторонами является иррациональным числом, равносторонних треугольник геронский. Однако существует уникальная последовательность треугольников Герона, которые являются «почти равносторонними», поскольку три стороны имеют форму n - 1, n, n + 1. Метод генерации всех решений этой задачи на основе цепных дробей был описан в 1864 году Эдвардом Санг, а в 1880 году Рейнхольд Хоппе дал выражение в закрытой форме для растворов. Первые несколько примеров этих почти равносторонних треугольников перечислены в следующей таблице (последовательность A003500 в OEIS ):

Длина стороны			Площадь	Inradius
n - 1	n	n + 1
3	4	5	6	1
13	14	15	84	4
51	52	53	1170	15
193	194	195	16296	56
723	724	725	226974	209
2701	2702	2703	3161340	780
10083	10084	10085	44031786	2911
37633	37634	37635	613283664	10864

Последующие значения n можно найти, умножив предыдущее значение на 4, затем вычитая предыдущее значение (52 = 4 × 14 - 4, 194 = 4 × 52 - 14 и т. д.), таким образом:

$nt\; =\; 4\; nt\; -\; 1\; -\; nt\; -\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{t\}\; =\; 4n\_\; \{t-1\}\; -n\_\; \{t-2\}\; \backslash ,,\}$

где t обозначает любую строку в таблице. Это последовательность Лукаса. В качестве альтернативы формула $(2\; +\; 3)\; t\; +\; (2-3)\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; (2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\})\; ^\; \{t\}\; +\; (2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\})\; ^\; \{t\}\}$генерирует все n. Аналогично, пусть A = площадь и y = радиус, тогда

$((n\; -\; 1)\; 2\; +\; n\; 2\; +\; (n\; +\; 1)\; 2)\; 2-2\; ((n\; -\; 1)\; 4\; +\; n\; 4\; +\; (n\; +\; 1)\; 4)\; =\; (6\; ny)\; 2\; =\; (4\; A)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; big\; (\}\; (n-1)\; ^\; \{2\}\; +\; n\; ^\; \{2\}\; +\; (n\; +\; 1)\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{2\}\; -2\; \{\backslash \; big\; (\}\; (n-1)\; ^\; \{4\}\; +\; n\; ^\; \{4\}\; +\; (n\; +\; 1)\; ^\; \{4\}\; \{\backslash \; big)\}\; =\; (6ny)\; ^\; \{2\}\; =\; (4A)\; ^\; \{2\}\}$

где {n, y} - решения n - 12y = 4. Небольшое преобразование n = 2x дает обычное уравнение Пелла x - 3y = 1, решения которого затем могут быть получены из разложения регулярной цепной дроби для √3.

Переменная n имеет вид $n\; =\; 2\; +\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; 2k\}\}\}$, где k равно 7, 97, 1351, 18817,…. Числа в этой последовательности обладают тем свойством, что k последовательных целых чисел имеют целое стандартное отклонение.

• тетраэдр Герона
• четырехугольник Брахмагупты
• пятиугольник Роббинса
• целочисленный треугольник # треугольники Герона

• Вайсштейн, Эрик У. «Треугольник Герона». MathWorld.
• Интернет-энциклопедия целочисленных последовательностей Heronian
• Wm. Фитч Чейни младший (январь 1929 г.), "Heronian Triangles", Amer. Математика. Ежемесячно, 36 (1): 22–28, JSTOR 2300173
• S. ш. Кожегельдинов (1994), "О фундаментальных треугольниках Герона", Матем. Примечания, 55 (2): 151–6, doi :10.1007/BF02113294