тетраэдр Герона

редактировать

A тетраэдр Герона (также называемый тетраэдром Герона или совершенной пирамидой ) - это тетраэдр, длина кромки которого, площадь лица и объем которого равны целым числам. Следовательно, все грани должны быть треугольниками Герона. Каждый тетраэдр Герона может быть расположен в евклидовом пространстве так, чтобы координаты его вершины также были целыми числами.

Содержание

1 Примеры
2 Классификация, бесконечные семейства и специальные типы тетраэдров
3 Связанные формы
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Примеры

Примером, известным Леонарду Эйлеру, является двупрямоугольный тетраэдр Герона , тетраэдр с траекторией из трех ребер, параллельных трем координатным осям, и со всеми гранями, являющимися прямоугольными треугольниками. Длины ребер на пути параллельных осям ребер равны 153, 104 и 672, а длины трех других ребер равны 185, 680 и 697, образуя четыре грани прямоугольного треугольника, описываемые пифагоровыми тройками (153 104 185), (104 672 680), (153 680 697) и (185 672 697).

Восемь примеров тетраэдров Герона были обнаружены в 1877 году Рейнхольдом Хоппе.

117 наименьший из возможных длина самого длинного ребра идеального тетраэдра с целыми длинами ребер. Его другие длины ребер равны 51, 52, 53, 80 и 84. 8064 - это наименьший возможный объем (а 6384 - наименьшая возможная площадь поверхности) идеального тетраэдра. Интегральные длины ребер тетраэдра Герона с таким объемом и площадью поверхности равны 25, 39, 56, 120, 153 и 160.

В 1943 году Е.П. Старке опубликовал другой пример, в котором две грани равнобедренные треугольники с основанием 896 и сторонами 1073, а две другие грани также равнобедренные с основанием 990 и такими же сторонами. Однако Старке допустил ошибку, сообщив об этом томе, который стал широко копироваться. Правильный объем - 124185600, что вдвое превышает число, указанное Старке.

Саша Курц использовал алгоритмы компьютерного поиска, чтобы найти все тетраэдры Герона с наибольшей длиной ребра 600000.

Классификация, бесконечные семейства, и специальные типы тетраэдра

A правильный тетраэдр (один со всеми равносторонними гранями) не может быть тетраэдром Герона, потому что для правильных тетраэдров, длина ребер которых является целым числом, площади граней и объем являются иррациональными числами. По той же причине ни один геронский тетраэдр не может иметь равносторонний треугольник в качестве одной из его граней.

Существует бесконечно много героновских тетраэдров, и, что еще более, бесконечно много геронских дифеноидов, тетраэдров, у которых все стороны конгруэнтны, и каждая пара противоположных сторон имеет одинаковую длину. В этом случае для описания тетраэдра необходимы только три длины ребра, а не шесть, а тройки длин, которые определяют тетраэдры Герона, могут быть чатактеризованы с помощью эллиптической кривой. Также существует бесконечно много тетраэдров Герона с циклом из четырех равных длин ребер, в которых все грани являются равнобедренными треугольниками.

. Существует также бесконечно много двупрямоугольных тетраэдров Герона. Один из методов создания тетраэдров этого типа вычисляет длины ребер, параллельных оси $a {\ displaystyle a}$ $a$ , $b {\ displaystyle b}$ $b$ и $c {\ displaystyle c}$ $c$ из двух равных сумм четвертых степеней

p 4 + s 4 = q 4 + r 4 {\ displaystyle p ^ {4} + s ^ {4} = q ^ {4} + r ^ {4}}

{\ displaystyle p ^ {4} + s ^ {4} = q ^ {4} + r ^ {4}}

по формуле

a = | (p q) 2 - (r s) 2 |, {\ displaystyle a = {\ bigl |} (pq) ^ {2} - (rs) ^ {2} {\ bigr |},}

{\ displaystyle a = {\ bigl |} (pq) ^ {2} - (rs) ^ {2} {\ bigr |},}

b = | 2 п д р с |, {\ displaystyle b = {\ bigl |} 2pqrs {\ bigr |},}

{\ displaystyle b = {\ bigl |} 2pqrs {\ bigr |},}

c = | (p r) 2) - | (q s) 2 |. {\ displaystyle c = {\ bigl |} (pr) ^ {2}) - | (qs) ^ {2} {\ bigr |}.}

{\ displaystyle c = {\ bigl |} (пр) ^ {2}) - | (qs) ^ {2} {\ bigr |}.}

Например, тетраэдр получен таким образом из тождества Леонард Эйлер, $59 4 + 158 4 = 133 4 + 134 4 {\ displaystyle 59 ^ {4} + 158 ^ {4} = 133 ^ {4} + 134 ^ {4}}$ ${\ displaystyle 59 ^ {4} + 158 ^ {4} = 133 ^ {4} + 134 ^ {4}}$ , имеет $a {\ displaystyle a}$ $a$ , $b {\ displaystyle b}$ $b$ и $c {\ displaystyle c}$ $c$ равно на 386678175, 332273368 и 379083360, где гипотенуза прямоугольного треугольника $ab {\ displaystyle ab}$ $ab$ равна 509828993, гипотенуза прямоугольного треугольника $bc {\ displaystyle bc}$ $bc$ равно 504093032, а гипотенуза двух оставшихся сторон равна 635318657. Для этих тетраэдров $a {\ displaystyle a}$ $a$ , $b {\ displaystyle b}$ $b$ и $c {\ displaystyle c}$ $c$ образуют длины ребер почти идеального кубоида, прямоугольного кубоида, в котором стороны, две из трех диагоналей граней и диагональ тела являются целыми числами.

Полная классификация всех героновских тетраэдров остается неизвестной собственное.

Связанные формы

Альтернативное определение треугольников Герона состоит в том, что они могут быть сформированы путем склеивания двух целочисленных прямоугольных треугольников вдоль общей стороны. Это определение также было обобщено до трех измерений, что привело к другому классу тетраэдров, которые также назывались тетраэдрами Герона.

Ссылки

Внешние ссылки

Weisstein, Eric W. "Героновский тетраэдр". MathWorld.