Гипотеза термализации собственного состояния

редактировать

Гипотеза квантовых систем и когда равновесная статистическая механика точно их описывает

Гипотеза термализации собственного состояния (или ETH ) - это набор идей, который призван объяснить, когда и почему изолированную квантово-механическую систему можно точно описать с помощью равновесной статистической механики. В частности, он посвящен пониманию того, как системы, которые изначально были приготовлены в состояниях, далеких от равновесия, могут эволюционировать во времени до состояния, которое, по-видимому, находится в тепловом равновесии. Фраза «собственное состояние термализация » была впервые введена Марком Средницким в 1994 году после того, как аналогичные идеи были представлены Джошем Дойчем в 1991 году. Основная философия, лежащая в основе гипотезы термализации собственного состояния, заключается в том, что вместо объяснения эргодичность термодинамической системы через механизм динамического хаоса, как это сделано в классической механике, вместо этого следует исследовать свойства матрица элементов наблюдаемых величин в отдельных энергетических собственных состояниях системы.

Содержание

1 Мотивация
2 Утверждение
3 Эквивалентность диагонального и микроканонического ансамблей
4 Тесты
5 Альтернативы
6 Временные колебания математических ожиданий
7 Квантовые колебания и тепловые колебания
8 Общая применимость
9 См. также
10 Сноски
11 Ссылки
12 Внешние ссылки

Мотивация

В статистической механике, микроканонический ансамбль представляет собой особый статистический ансамбль, который используется для прогнозирования результатов экспериментов, выполненных на изолированных системах, которые, как предполагается, находятся в равновесии с точно известной энергией. Микроканонический ансамбль основан на предположении, что, когда такая уравновешенная система исследуется, вероятность ее нахождения в любом из микроскопических состояний с той же полной энергией имеет равную вероятность. С этим предположением, среднее по ансамблю наблюдаемой величины находится путем усреднения значения этой наблюдаемой $A i {\ displaystyle A_ {i}}$ $A_{i}$ по всем микросостояниям $я {\ displaystyle i}$ $я$ с правильной полной энергией:

A ¯ classic = 1 N ∑ i = 1 NA i {\ displaystyle {\ bar {A}} _ {\ mathrm {classic }} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} A_ {i}}

{\ displaystyle {\ bar {A}} _ {\ mathrm {classic}} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} A_ {i}}

Важно отметить, что эта величина не зависит ни от чего о начальном состоянии, кроме его энергии.

Допущения эргодичности хорошо мотивированы в классической механике как результат динамического хаоса, так как хаотическая система в целом будет тратить равное время в равных областях его фазового пространства. Если мы подготовим изолированную хаотическую классическую систему в некоторой области ее фазового пространства, тогда, когда системе позволено развиваться во времени, она будет производить выборку всего своего фазового пространства, подчиняясь лишь небольшому количеству законов сохранения (таких как сохранение полной энергии). Если можно оправдать утверждение, что данная физическая система эргодична, то этот механизм обеспечит объяснение того, почему статистическая механика успешно делает точные прогнозы. Например, газ твердых сфер был строго доказан как эргодический.

Этот аргумент нельзя напрямую распространить на квантовые системы, даже те, которые аналогичны хаотическим классическим системам, потому что эволюция во времени квантовой системы не выбирает равномерно все векторы в гильбертовом пространстве с заданной энергией. Учитывая состояние в нулевой момент времени в основе энергии eigenstates

| Ψ (0)⟩ = ∑ α c α | E α⟩, {\ displaystyle | \ Psi (0) \ rangle = \ sum _ {\ alpha} c _ {\ alpha} | E _ {\ alpha} \ rangle,}

{\ displaystyle | \ Psi (0) \ rangle = \ sum _ {\ alpha } c _ {\ alpha} | E _ {\ alpha} \ rangle,}

математическое ожидание любой наблюдаемой $A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\hat {A}}$ равно

⟨A ^⟩ t ≡ ⟨Ψ (t) | A ^ | Ψ (t)⟩ = ∑ α, β c α ∗ c β A α β e - i (E β - E α) t / ℏ. {\ Displaystyle \ langle {\ шляпа {A}} \ rangle _ {t} \ Equiv \ langle \ Psi (t) | {\ hat {A}} | \ Psi (t) \ rangle = \ sum _ {\ alpha, \ beta} c _ {\ alpha} ^ {*} c _ {\ beta} A _ {\ alpha \ beta} e ^ {- i \ left (E _ {\ beta} -E _ {\ alpha} \ right) t / \ hbar}.}

\langle {\hat {A}}\rangle _{t}\equiv \langle \Psi (t)|{\hat {A}}|\Psi (t)\ rangle =\sum _{\alpha,\beta }c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\ alpha }\right)t/\hbar }.

Даже если $E α {\ displaystyle E _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle E _ {\ alpha}}$ несоизмеримы, так что это математическое ожидание долгое время дается как

⟨A ^ ⟩ T ≈ t → ∞ ∑ α | c α | 2 A α α, {\ Displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle _ {t} {\ overset {t \ to \ infty} {\ приблизительно}} \ sum _ {\ alpha} \ vert c _ {\ alpha} \ vert ^ {2} A _ {\ alpha \ alpha},}

{\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle _ {t} {\ overset {t \ to \ infty} {\ приблизительно}} \ sum _ {\ alpha} \ vert c _ {\ alpha} \ vert ^ {2} A _ {\ alpha \ alpha},}

математическое ожидание постоянно сохраняет информацию о начальном состоянии в виде коэффициентов $c α {\ displaystyle c _ {\ alpha}}$ $c _ {{\ alpha}}$ .

Таким образом, в принципе, остается открытым вопрос о том, приблизится ли изолированная квантово-механическая система, подготовленная в произвольном начальном состоянии к состоянию, напоминающему тепловое равновесие, в котором горстка наблюдаемых параметров достаточна для успешного прогнозирования система. Однако в ряде экспериментов с холодными атомарными газами действительно наблюдалась тепловая релаксация в системах, которые в очень хорошем приближении полностью изолированы от окружающей среды, и для широкого класса начальных состояний. Задача объяснения этой экспериментально наблюдаемой применимости равновесной статистической механики к изолированным квантовым системам является основной целью гипотезы термализации собственного состояния.

Утверждение

Предположим, что мы изучаем изолированную квантово-механическую систему многих тел. В этом контексте «изолированный» относится к тому факту, что система не имеет (или, по крайней мере, незначительно) взаимодействует с внешней по отношению к ней средой. Если гамильтониан системы обозначен $H ^ {\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\hat {H}}$ , то полный набор базисных состояний для системы задается в терминах собственных состояний гамильтониана,

H ^ | E α⟩ = E α | E α⟩, {\ displaystyle {\ hat {H}} | E _ {\ alpha} \ rangle = E _ {\ alpha} | E _ {\ alpha} \ rangle,}

{\ hat {H}} | E _ {{\ alpha}} \ rangle = E _ {{\ alpha }} | E _ {{\ alpha}} \ rangle,

где $| E α⟩ {\ displaystyle | E _ {\ alpha} \ rangle}$ $| E _ {{\ alpha}} \ rangle$ - собственное состояние гамильтониана с собственным значением $E α {\ displaystyle E _ {\ alpha}}$ $E _ {{\ alpha}}$ . Мы будем называть эти состояния просто «энергетическими состояниями». Для простоты предположим, что система не имеет вырождения собственных значений энергии и имеет конечную протяженность, так что собственные значения энергии образуют дискретный невырожденный спектр (это не является необоснованным предположение, поскольку любая «реальная» лабораторная система будет иметь достаточно беспорядок и достаточно сильные взаимодействия, чтобы устранить почти все вырождение системы, и, конечно, будет иметь конечный размер). Это позволяет нам помечать собственные состояния энергии в порядке возрастания собственного значения энергии. Кроме того, рассмотрим некоторые другие квантово-механические наблюдаемые $A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\hat {A}}$ , относительно которых мы хотим сделать тепловые прогнозы. Матричные элементы этого оператора, выраженные в базисе собственных состояний энергии, будут обозначаться как

A α β ≡ ⟨E α | A ^ | E β⟩. {\ displaystyle A _ {\ alpha \ beta} \ Equiv \ langle E _ {\ alpha} | {\ hat {A}} | E _ {\ beta} \ rangle.}

A _ {{\ alpha \ beta}} \ Equiv \ langle E _ {{\ alpha}} | {\ hat {A}} | E _ {{\ beta}} \ rangle.

Теперь представим, что мы готовим нашу систему в начальное состояние, для которого ожидаемое значение из $A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\hat {A}}$ далеко от его значения, предсказанного в микроканоническом ансамбле, соответствующий рассматриваемой шкале энергии (мы предполагаем, что наше начальное состояние является некоторой суперпозицией собственных состояний энергии, которые все достаточно "близки" по энергии). Гипотеза термализации собственного состояния гласит, что для произвольного начального состояния математическое ожидание $A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\hat {A}}$ в конечном итоге будет развиваться во времени до значения, предсказанного микроканоническим ансамбля, и после этого будет демонстрировать только небольшие колебания вокруг этого значения при соблюдении следующих двух условий:

Диагональные матричные элементы $A α α {\ displaystyle A _ {\ alpha \ alpha}}$ $A _ {{\ alpha \ alpha }}$ плавно меняются в зависимости от энергии с разницей между соседними значениями, $A α + 1, α + 1 - A α, α {\ displaystyle A _ {\ alpha +1, \ alpha +1} -A_ {\ alpha, \ alpha}}$ $A _ {{\ alpha +1, \ alpha +1}} - A _ {{\ alpha, \ альфа}}$ , становясь экспоненциально маленьким в размере системы.
Недиагональные матричные элементы $A α β {\ displaystyle A _ {\ alpha \ beta }}$ $A_{{\alpha \beta }}$ , с $α ≠ β {\ displaystyle \ alpha \ neq \ beta}$ $\ alpha \ neq \ beta$ , намного меньше, чем диагональные матричные элементы, и, в частности, сами экспоненциально малы в размер системы.

Эти условия могут быть записывается как

A α β ≃ A ¯ δ α β + A 2 ¯ DR α β, {\ displaystyle A _ {\ alpha \ beta} \ simeq {\ overline {A}} \ delta _ {\ alpha \ beta} + {\ sqrt {\ frac {\ overline {A ^ {2}}} {\ mathcal {D}}}} R _ {\ alpha \ beta},}

A _ {\ alpha \ beta} \ simeq \ overline {A} \ delta _ {\ alpha \ beta} + \ sqrt {\ frac {\ overline {A ^ 2}} {\ mathcal {D}}} R _ {\ alpha \ beta},

где $A ¯ {\ displaystyle {\ overline {A}}}$ ${\ overline {A}}$ и $A 2 ¯ {\ displaystyle {\ overline {A ^ {2}}}}$ $\ overline { A ^ 2}$ - гладкие функции энергии, $D = es V {\ displaystyle {\ mathcal {D}} = e ^ {sV}}$ ${\mathcal {D}}=e^{sV }$ - многомерное измерение гильбертова пространства, а $R α β {\ displaystyle R _ {\ alpha \ beta}}$ $R _ {\ alpha \ beta}$ - случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией. И наоборот, если квантовая система многих тел удовлетворяет ETH, ожидается, что матричное представление любого локального оператора в базисе собственных энергий будет следовать вышеуказанному анзацу.

Эквивалентность диагонального и микроканонического ансамблей

Мы можем определить долгосрочное среднее значение математического ожидания оператора $A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}$ $\ hat A$ согласно выражению

A ¯ ≡ lim τ → ∞ 1 τ ∫ 0 τ ⟨Ψ (t) | A ^ | Ψ (т)⟩ д т. {\ displaystyle {\ overline {A}} \ Equiv \ lim _ {\ tau \ to \ infty} {\ frac {1} {\ tau}} \ int _ {0} ^ {\ tau} \ langle \ Psi ( t) | {\ hat {A}} | \ Psi (t) \ rangle ~ dt.}

\ overline {A} \ Equiv \ lim _ {{\ tau \ to \ infty}} {\ frac {1} {\ tau}} \ int _ {{0}} ^ { {\ tau}} \ langle \ Psi (t) | {\ hat A} | \ Psi (t) \ rangle ~ dt.

Если мы используем явное выражение для эволюции этого математического ожидания во времени, мы можем записать

A ¯ = lim τ → ∞ 1 τ ∫ 0 τ [∑ α, β = 1 D c α ∗ c β A α β e - i (E β - E α) t / ℏ] dt. {\ displaystyle {\ overline {A}} = \ lim _ {\ tau \ to \ infty} {\ frac {1} {\ tau}} \ int _ {0} ^ {\ tau} \ left [\ sum _ {\ alpha, \ beta = 1} ^ {D} c _ {\ alpha} ^ {*} c _ {\ beta} A _ {\ alpha \ beta} e ^ {- i \ left (E _ {\ beta} -E_ { \ alpha} \ right) t / \ hbar} \ right] ~ dt.}

\ overline {A} = \ lim _ { {\ tau \ to \ infty}} {\ frac {1} {\ tau}} \ int _ {{0}} ^ {{\ tau}} \ left [\ sum _ {{\ alpha, \ beta = 1 }} ^ {{D}} c _ {{\ alpha}} ^ {{*}} c _ {{\ beta}} A _ {{\ alpha \ beta}} e ^ {- i \ left (E _ {{\ beta}} - E _ {{\ alpha}} \ right) t / \ hbar}} \ right] ~ dt.

интегрирование в этом выражении может быть выполнено явно, и результат будет

A ¯ = ∑ α = 1 D | c α | 2 A α α + i lim τ → ∞ [∑ α ≠ β D c α ∗ c β A α β E β - E α (e - i (E β - E α) τ / ℏ - 1 τ)]. {\ displaystyle {\ overline {A}} = \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {D} | c _ {\ alpha} | ^ {2} A _ {\ alpha \ alpha} + i \ hbar \ lim _ { \ tau \ to \ infty} \ left [\ sum _ {\ alpha \ neq \ beta} ^ {D} {\ frac {c _ {\ alpha} ^ {*} c _ {\ beta} A _ {\ alpha \ beta} } {E _ {\ beta} -E _ {\ alpha}}} \ left ({\ frac {e ^ {- i \ left (E _ {\ beta} -E _ {\ alpha} \ right) \ tau / \ hbar} -1} {\ tau}} \ right) \ right].}

\ overline {A} = \ sum _ {{\ alpha = 1}} ^ {{D}} | c _ {{\ alpha}} | ^ {{2} } A _ {{\ alpha \ alpha}} + i \ hbar \ lim _ {{\ tau \ to \ infty}} \ left [\ sum _ {{\ alpha \ neq \ beta}} ^ {{D}} { \ frac {c_ {{\ alpha}} ^ {{*}} c _ {{\ beta}} A _ {{\ alpha \ beta}}} {E _ {{\ beta}} - E _ {{\ alpha}}}} \ left ( {\ frac {e ^ {{- i \ left (E _ {{\ beta}} - E _ {{\ alpha}} \ right) \ tau / \ hbar}} - 1} {\ tau}} \ right) \ справа].

Каждый из членов второй суммы будет становиться меньше по мере того, как предел будет доведен до бесконечности. Если предположить, что фазовая когерентность между различными экспоненциальными членами во второй сумме никогда не станет достаточно большой, чтобы конкурировать с этим распадом, вторая сумма будет равна нулю, и мы обнаружим, что долгосрочное среднее значение математическое ожидание определяется как

A ¯ = ∑ α = 1 D | c α | 2 A α α. {\ displaystyle {\ overline {A}} = \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {D} | c _ {\ alpha} | ^ {2} A _ {\ alpha \ alpha}.}

\ overline {A} = \ sum _ {{\ alpha = 1}} ^ {{D}} | c _ {{ \ alpha}} | ^ {{2}} A _ {{\ alpha \ alpha}}.

Этот прогноз для среднее по времени наблюдаемое $A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}$ $\ hat A$ называется его предсказанным значением в диагональном ансамбле. Наиболее важным аспектом диагонального ансамбля является что он явно зависит от начального состояния системы и, следовательно, может сохранять всю информацию, касающуюся подготовки системы. Напротив, прогнозируемое значение в микроканоническом ансамбле дается равновзвешенным средним по всем собственным состояниям энергии в некотором энергетическом окне с центром вокруг средней энергии системы

⟨A⟩ mc = 1 N ∑ α ′ = 1 NA α ′ α ′, {\ Displaystyle \ langle A \ rangle _ {\ text {mc}} = {\ frac {1} {\ mathcal {N}}} \ sum _ {\ alpha '= 1} ^ {\ mathcal {N}} A _ {\ alpha '\ alpha'},}

\langle A\rangle _{{{\text{mc}}}}={\frac {1}{{\mathcal {N}}}}\sum _{{\alpha '=1}}^{{{\mathcal {N}}}}A_{{\alpha '\alpha '}},

где $N {\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$ ${\ mathcal {N}}$ - количество состояний в соответствующем энергетическом окне, а штрих у индексов суммы указывает, что суммирование ограничено этим соответствующим микроканоническим окном. Этот прогноз абсолютно не ссылается на начальное состояние системы, в отличие от диагонального ансамбля. Из-за этого неясно, почему микроканонический ансамбль должен обеспечивать такое точное описание долгосрочных средних значений наблюдаемых в таком большом разнообразии физических систем.

Однако предположим, что матричные элементы $A α α {\ displaystyle A _ {\ alpha \ alpha}}$ $A _ {{\ alpha \ alpha }}$ фактически постоянны в соответствующем энергетическом окне с флуктуациями, которые достаточно маленький. Если это так, то это одно постоянное значение A может быть эффективно извлечено из суммы, и прогноз диагонального ансамбля просто равен этому значению,

A ¯ = ∑ α = 1 D | c α | 2 A α α ≈ A ∑ α = 1 D | c α | 2 = A, {\ displaystyle {\ overline {A}} = \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {D} | c _ {\ alpha} | ^ {2} A _ {\ alpha \ alpha} \ приблизительно A \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {D} | c _ {\ alpha} | ^ {2} = A,}

\ overline {A} = \ sum _ {{\ alpha = 1}} ^ {{D}} | c _ {{\ alpha}} | ^ {{2 }} A _ {{\ alpha \ alpha}} \ приблизительно A \ sum _ {{\ alpha = 1}} ^ {{D}} | c _ {{\ alpha}} | ^ {{2}} = A,

где мы предположили, что начальное состояние нормализовано соответствующим образом. Точно так же прогноз микроканонического ансамбля принимает вид

⟨A⟩ mc = 1 N ∑ α ′ = 1 N A α ′ α ′ ≈ 1 N ∑ α ′ = 1 N A = A. {\ displaystyle \ langle A \ rangle _ {\ text {mc}} = {\ frac {1} {\ mathcal {N}}} \ sum _ {\ alpha '= 1} ^ {\ mathcal {N}} A_ {\ alpha '\ alpha'} \ приблизительно {\ frac {1} {\ mathcal {N}}} \ sum _ {\ alpha '= 1} ^ {\ mathcal {N}} A = A.}

\langle A\rangle _{{{\text{mc}}}}={\frac {1}{{\mathcal {N}}}}\sum _{{\alpha '=1}}^{{{\mathcal {N}}}}A_{{\alpha '\alpha '}}\approx {\frac {1}{{\mathcal {N}}}}\sum _{{\alpha '=1}}^{{{\mathcal {N}}}}A=A.

Таким образом, два ансамбля согласны.

Это постоянство значений $A α α {\ displaystyle A _ {\ alpha \ alpha}}$ $A _ {{\ alpha \ alpha }}$ в малых энергетических окнах является основной идеей, лежащей в основе гипотезы термализации собственного состояния. Обратите внимание, что в нем, в частности, говорится, что математическое ожидание $A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}$ $\ hat A$ в одном собственном состоянии энергии равно значению, предсказанному микроканоническим ансамблем, построенным в таком энергетическом масштабе. Это составляет основу квантовой статистической механики, которая радикально отличается от той, что построена на представлениях о динамической эргодичности.

Тесты

Несколько численных исследований малых решетчатых систем, по-видимому, предварительно подтверждают предсказания гипотеза термализации собственного состояния во взаимодействующих системах, которые, как ожидается, будут термализованы. Точно так же интегрируемые системы не подчиняются гипотезе термализации собственного состояния.

Некоторые аналитические результаты также могут быть получены, если сделать определенные предположения о природе собственных высоковозбужденных энергетических состояний. В оригинальной статье 1994 года по ETH Марка Средницки изучается, в частности, пример квантового газа твердых сфер в изолированном ящике. Это система, которая, как известно, классически демонстрирует хаос. Для состояний с достаточно высокой энергией гипотеза Берри утверждает, что собственные энергетические функции в этой системе многих тел твердых сферических частиц будут вести себя как суперпозиции плоских волн, при этом плоские волны входят в суперпозиция со случайными фазами и распределенными по Гауссу амплитудами (точное понятие этой случайной суперпозиции разъясняется в статье). При таком предположении можно показать, что с точностью до пренебрежимо малых поправок в термодинамическом пределе функция распределения импульса для каждой отдельной различимой частицы равна Распределение Максвелла – Больцмана

f MB (p, T α) = (2 π mk T) - 3/2 e - p 2/2 mk T α, {\ displaystyle f _ {\ rm {MB}} \ left ( \ mathbf {p}, T _ {\ alpha} \ right) = \ left (2 \ pi mkT \ right) ^ {- 3/2} e ^ {- \ mathbf {p} ^ {2} / 2mkT _ {\ alpha }},}

{\ displaystyle f _ {\ rm {MB}} \ left (\ mathbf {p}, T _ {\ alpha} \ right) = \ left (2 \ pi mkT \ right) ^ {- 3/2} e ^ {- \ mathbf {p} ^ {2} / 2mkT _ {\ alpha}},}

где $p {\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ - это импульс частицы, m - масса частиц, k - постоянная Больцмана, а «температура » $T α {\ displaystyle T _ {\ alpha}}$ $T _ {\ alpha}$ связана с энергией собственного состояния в соответствии с обычное уравнение состояния для идеального газа,

E α = 3 2 N k T α, {\ displaystyle E _ {\ alpha} = {\ frac {3} {2}} NkT_ {\ alpha},}

E _ {{\ alpha}} = {\ frac {3} {2}} NkT _ {{\ alpha}},

где N - количество частиц в газе. Этот результат является конкретным проявлением ETH, так как он приводит к предсказанию значения наблюдаемой в одном собственном энергетическом состоянии, которое согласуется с предсказанием, полученным на основе микроканонического (или канонического) ансамбля. Обратите внимание, что никакого усреднения по начальным состояниям не производилось, и не использовалось ничего похожего на H-теорему. Кроме того, можно также получить соответствующие распределения Бозе-Эйнштейна или Ферми-Дирака, если ввести соответствующие коммутационные соотношения для частиц, составляющих газ.

В настоящее время, не совсем понятно, насколько высока должна быть энергия собственного состояния газа твердых сфер, чтобы он подчинялся ETH. Грубым критерием является то, что средняя длина тепловой волны каждой частицы должна быть достаточно меньше, чем радиус твердых сферических частиц, так что система может исследовать особенности, которые приводят к классическому хаосу (а именно, тот факт, что частицы имеют конечный размер). Однако возможно, что это условие можно ослабить, и, возможно, в термодинамическом пределе собственные состояния энергии с произвольно низкими энергиями будут удовлетворять ETH (кроме основного состояния сам, который должен обладать некоторыми особыми свойствами, например, отсутствием каких-либо узлов ).

Альтернативы

Часто предлагаются три альтернативных объяснения термализации изолированных квантовых систем:

Для начальных состояний, представляющих физический интерес, коэффициенты $c α {\ displaystyle c _ {\ alpha}}$ $c _ {{\ alpha}}$ демонстрируют большие колебания от собственного состояния к собственному, причем полностью некоррелированно с колебаниями $A α α {\ displaystyle A _ {\ alpha \ alpha} }$ $A _ {{\ alpha \ alpha }}$ от собственного состояния к собственному состоянию. Поскольку коэффициенты и матричные элементы не коррелированы, суммирование в диагональном ансамбле эффективно выполняет несмещенную выборку значений $A α α {\ displaystyle A _ {\ alpha \ alpha}}$ $A _ {{\ alpha \ alpha }}$ над соответствующим энергетическим окном. Для достаточно большой системы эта несмещенная выборка должна привести к значению, которое близко к истинному среднему из значений $A α α {\ displaystyle A _ {\ alpha \ alpha}}$ $A _ {{\ alpha \ alpha }}$ над этим окном, и будет эффективно воспроизводить предсказание микроканонического ансамбля. Однако этому механизму может быть отказано по следующей эвристической причине. Обычно интересуются физическими ситуациями, в которых начальное математическое ожидание $A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}$ $\ hat A$ далеко от своего равновесного значения. Чтобы это было правдой, начальное состояние должно содержать какую-то конкретную информацию о $A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}$ $\ hat A$ , и поэтому возникает подозрение, что начальный состояние действительно представляет собой несмещенную выборку значений $A α α {\ displaystyle A _ {\ alpha \ alpha}}$ $A _ {{\ alpha \ alpha }}$ в соответствующем энергетическом окне. Более того, независимо от того, было ли это правдой, это все еще не дает ответа на вопрос, когда произвольные начальные состояния придут в равновесие, если они когда-нибудь придут.
Для начальных состояний, представляющих физический интерес, коэффициенты $c α {\ displaystyle c _ {\ alpha}}$ $c _ {{\ alpha}}$ фактически постоянны и вообще не меняются. В этом случае диагональный ансамбль в точности совпадает с микроканоническим ансамблем, и нет никакой загадки в том, почему их прогнозы идентичны. Однако это объяснение не одобряется во многом по тем же причинам, что и первое.
Доказано, что интегрируемые квантовые системы термализуются при условии простой регулярной зависимости параметров от времени, что предполагает космологическое расширение Вселенной и интегрируемость самые фундаментальные уравнения движения в конечном итоге ответственны за термализацию.

Временные флуктуации математических ожиданий

Условие, которое ETH налагает на диагональные элементы наблюдаемой, отвечает за равенство предсказания диагонального и микроканонического ансамблей. Однако равенство этих долгосрочных средних значений не гарантирует, что колебания во времени вокруг этого среднего значения будут небольшими. То есть равенство долгосрочных средних значений не гарантирует, что ожидаемое значение $A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}$ $\ hat A$ снизится до этого долгосрочного среднего значение, а затем оставайтесь там в большинстве случаев.

Чтобы вывести условия, необходимые для того, чтобы значение математического ожидания наблюдаемого проявляло небольшие временные колебания вокруг своего среднего значения по времени, мы изучаем среднеквадратичную амплитуду временных колебаний, определяемую как

(A t - A ¯) 2 ¯ ≡ lim τ → ∞ 1 τ ∫ 0 τ (A t - A ¯) 2 dt, {\ displaystyle {\ overline {\ left (A_ {t} - {\ overline {A) }} \ right) ^ {2}}} \ Equiv \ lim _ {\ tau \ to \ infty} {\ frac {1} {\ tau}} \ int _ {0} ^ {\ tau} \ left (A_ {t} - {\ overline {A}} \ right) ^ {2} dt,}

\ overline {\ left (A _ {{t}} - \ overline {A} \ right) ^ {{2}}} \ Equiv \ lim _ {{\ tau \ to \ infty}} {\ frac {1} {\ tau}} \ int _ {{0}} ^ {{\ tau} } \ left (A _ {{t}} - \ overline {A} \ right) ^ {{2}} dt,

где $A t {\ displaystyle A_ {t}}$ $A_{{t}}$ - сокращенное обозначение математическое ожидание $A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}$ $\ hat A$ в момент времени t. Это выражение может быть вычислено явно, и оказывается, что

(A t - A ¯) 2 ¯ = ∑ α ≠ β | c α | 2 | c β | 2 | A α β | 2. {\ displaystyle {\ overline {\ left (A_ {t} - {\ overline {A}} \ right) ^ {2}}} = \ sum _ {\ alpha \ neq \ beta} | c _ {\ alpha} | ^ {2} | c _ {\ beta} | ^ {2} | A _ {\ alpha \ beta} | ^ {2}.}

\ overline {\ left ( A _ {{t}} - \ overline {A} \ right) ^ {{2}}} = \ sum _ {{\ alpha \ neq \ beta}} | c _ {{\ alpha}} | ^ {{2} } | c _ {{\ beta}} | ^ {{2}} | A _ {{\ alpha \ beta}} | ^ {{2}}.

Временные колебания относительно долгосрочного среднего значения будут небольшими до тех пор, пока не- диагональные элементы удовлетворяют условиям, налагаемым на них ETH, а именно, что они становятся экспоненциально малыми в размере системы. Обратите внимание, что это условие допускает возможность изолированных времен всплеска, в которых фазы когерентно выравниваются, чтобы произвести большие колебания от долгосрочного среднего. Время, которое система проводит далеко от долгосрочного среднего, гарантированно невелико, пока вышеупомянутый средний квадрат амплитуды достаточно мал. Однако, если система представляет собой, она будет периодически колебаться вокруг долгосрочного среднего.

Квантовые флуктуации и тепловые флуктуации

Ожидаемое значение квантово-механического наблюдаемое представляет собой среднее значение, которое можно было бы измерить после выполнения повторных измерений ансамбля идентично подготовленных квантовых состояний. Следовательно, хотя мы изучали это математическое ожидание как основной объект интереса, неясно, в какой степени оно представляет собой физически значимые количества. В результате квантовых флуктуаций ожидаемое значение наблюдаемой обычно не является тем, что будет измеряться во время одного эксперимента на изолированной системе. Однако было показано, что для наблюдаемой, удовлетворяющей ETH, квантовые флуктуации в его ожидаемом значении обычно будут того же порядка величины, что и тепловые флуктуации, который можно было бы предсказать в традиционном микроканоническом ансамбле. Это еще больше подтверждает идею о том, что ETH является основным механизмом, ответственным за термализацию изолированных квантовых систем.

Общая применимость

В настоящее время не существует известного аналитического вывода гипотезы термализации собственного состояния для общих взаимодействующих систем. Однако было подтверждено, что это верно для широкого разнообразия взаимодействующих систем с использованием методов числовой точной диагонализации с точностью до неопределенности этих методов. Это также было доказано в некоторых частных случаях в полуклассическом пределе, когда действительность ETH основывается на справедливости теоремы Шнирельмана, которая утверждает, что в системе, которая является классически хаотической, математическое ожидание оператора $A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}$ $\ hat A$ в собственном состоянии энергии равно его классическому микроканоническому среднему значению при соответствующей энергии. Остается открытым вопрос, можно ли показать это в более общем плане для взаимодействующих квантовых систем. Также известен явный отказ в некоторых интегрируемых системах, в которых наличие большого количества констант движения предотвращает термализацию.

. Также важно отметить что ETH делает заявления о конкретных наблюдаемых на индивидуальной основе - он не делает никаких заявлений о том, будет ли каждое наблюдаемое в системе подчиняться ETH. На самом деле это определенно не может быть правдой. Учитывая базис собственных состояний энергии, всегда можно явно построить оператор , который нарушает ETH, просто записав оператор в виде матрицы в этом базисе, элементы которой явно не подчиняются условиям, налагаемым ETH. И наоборот, всегда можно легко найти операторы, которые удовлетворяют ETH, записав матрицу, элементы которой специально выбраны для соответствия ETH. В свете этого можно предположить, что полезность ETH несколько тривиальна. Однако важно иметь в виду, что построенные таким образом операторы могут не иметь никакого физического значения. Хотя можно построить эти матрицы, неясно, соответствуют ли они наблюдаемым, которые могут быть реально измерены в эксперименте, или имеют какое-либо сходство с физически интересными величинами. Произвольный эрмитов оператор в гильбертовом пространстве системы не обязательно должен соответствовать чему-то, что является физически измеримой наблюдаемой.

Как правило, ETH постулируется для «операторов нескольких тел», наблюдаемых, в которых участвует лишь небольшое количество частиц. Примеры этого могут включать заполнение заданного импульса в газе частиц или заполнение определенного узла в решетчатой системе частиц. Обратите внимание, что хотя ETH обычно применяется к таким «простым» операторам, состоящим из нескольких частей, эти наблюдаемые не обязательно должны быть локальными в пространстве - импульс числовой оператор в приведенном выше примере не представляет локальное количество.

Также значительный интерес вызвал случай, когда изолированные, не- интегрируемые квантовые системы не термализуются, несмотря на предсказания традиционной статистической механики. Неупорядоченные системы, которые демонстрируют локализацию многих тел, являются кандидатами для этого типа поведения с возможностью возбужденных собственных энергетических состояний, термодинамические свойства которых больше напоминают свойства основных состояний. Остается открытым вопрос о том, может ли полностью изолированная, неинтегрируемая система без статического беспорядка потерпеть неудачу в термализации. Одна интригующая возможность - это реализация «Квантово-распутанных жидкостей». Также остается открытым вопрос, должны ли все собственные состояния подчиняться ETH в термализующей системе.

См. Также

Сноски

Ссылки

Внешние ссылки

«Обзор гипотезы термализации собственного состояния " Марк Средницки, UCSB, Программа KITP: квантовая динамика в далёких от равновесия теплоизолированных системах
" Гипотеза термализации собственного состояния " Марк Средницки, UCSB, KITP Rapid Response Workshop: Black Дыры: дополнительность, нечеткость или огонь?
«Квантовые распутанные жидкости» Мэтью П.А. Фишер, UCSB, Конференция KITP: от ренормализационной группы к квантовой гравитации Прославление науки Джо Полчински