Простая топология
редактировать
В топологии топологическое пространство с тривиальной топологией - это такое, в котором единственными открытыми наборами являются пустой набор и все пространство. Такие пространства обычно называют недискретными, антидискретными или кодискретными . Интуитивно это приводит к тому, что все точки пространства «сгруппированы вместе» и не могут быть различимы топологическими средствами. Каждое недискретное пространство - это псевдометрическое пространство, в котором расстояние между любыми двумя точками равно нулю.
Содержание
- 1 Подробности
- 2 См. Также
- 3 Примечания
- 4 Ссылки
Подробности
Тривиальная топология - это топология с наименьшим возможным числом открытых наборов, а именно пустым набором и всем пространством, поскольку определение топологии требует, чтобы эти два набора были открытыми. Несмотря на свою простоту, пространство X с более чем одним элементом и тривиальной топологией лишено ключевого желаемого свойства: это не T0пространство.
Другие свойства недискретного пространства X - многие из которых довольно необычны - include:
- Единственными закрытыми множествами являются пустые множества и X.
- Единственно возможным базисом X является {X}.
- Если X имеет более одной точки, то, поскольку это не T0, он также не удовлетворяет ни одной из высших аксиом T. В частности, это не хаусдорфово пространство. Не являясь Хаусдорфом, X не является топологией порядка и не является метризуемой.
- , однако, обычным, полностью регулярным, нормальный и полностью нормальный ; все это довольно бессмысленно, поскольку единственными замкнутыми множествами являются ∅ и X.
- X компактный и, следовательно, паракомпактный, Линделёф, и локально компактный.
- Каждая функция , домен которой является топологическим пространством, а домен X является непрерывным.
- X является соединены по пути и поэтому соединены.
- X является подсчитываемым вторым и, следовательно, подсчитываемым первым, разделяемым и Линделёф.
- Все подпространства в X имеют тривиальную топологию.
- Все факторпространства X имеют тривиальную топологию
- Произвольная продукты тривиальных топологических пространств, с топологией продукта или блочной топологией, имеют тривиальную топологию.
- Все последовательности в X сходятся к каждой точке X. В частности, каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность (всю последовательность или любую другую подпоследовательность), таким образом, X является последовательно компактным.
- внутренняя часть каждого набора, кроме X, пуста.
- замыкание каждого непустого подмножества X - это X. Другими словами: каждое непустое подмножество X является плотным, свойством, которое характеризует тривиальный топологический пробелы.
- В результате этого закрытие каждого открытого подмножества U в X равно (если U =) или X (в противном случае). В частности, замыкание каждого открытого подмножества X снова является открытым множеством, и поэтому X является экстремально несвязным.
- Если S - любое подмножество X с более чем одним элементом, то все элементы X предельные точки из S. Если S является одноэлементным, то каждая точка X \ S по-прежнему является предельной точкой S.
- X является пространством Бэра..
- Два топологических пространства, несущих тривиальную топологию, гомеоморфны , если они имеют одинаковую мощность.
В некотором смысле противоположностью тривиальной топологии является дискретная топология, в которой каждое подмножество открыто.
Тривиальная топология принадлежит однородному пространству, в котором все декартово произведение X × X является единственным окружением.
Пусть Top будет категория топологических пространств с непрерывными отображениями и Set будет категорией множеств с функциями. Если G: Top → Set - это функтор , который присваивает каждому топологическому пространству его базовый набор (так называемый забывчивый функтор ), и H: Set → Top - это функтор, который помещает тривиальную топологию в данное множество, тогда H (так называемый cofree functor ) равен справа, сопряженный с G. (Так называемый свободный функтор F: Set → Top, который помещает дискретную топологию на данном наборе примыкает к G.)
См. также
Примечания
Ссылки
